四川省成都市2024届高三下学期第三次诊断性检测理科数学试题（含答案）

第第页四川省成都市2024届高三下学期第三次诊断性检测理科数学试题一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x∣x=2k+1，k∈ZA．A∩B=∅ B．A∪B=Z C．A⊆B D．2．若复数z满足z+1i=−1−i，则zA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知a,b是两条不同的直线，α是平面，若a//α,b⊂α，则a,b不可能（）A．平行 B．垂直 C．相交 D．异面4．“数九”从每年“冬至”当天开始计算，每九天为一个单位，冬至后的第81天，“数九”结束，天气就变得温暖起来.如图，以温江国家基准气候站为代表记录了2023一2024年从“一九”到“九九”成都市的“平均气温”和“多年平均气温”(单位：∘CA．“四九”以后成都市“平均气温”一直上升B．“四九”成都市“平均气温”较“多年平均气温”低0.1”∘C．“一九”到“五九”成都市“平均气温”的方差小于“多年平均气温”的方差D．“一九”到“九九”成都市“平均气温”的极差小于“多年平均气温”的极差5．设m∈R，双曲线C的方程为x2m2−y2m+1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．如图，由观测数据xi，yii=1，2，3，4，5，6的散点图可知，y与x的关系可以用模型y=blnx+aA．17e12 B．12e12 7．已知sin2α1−cosA．12 B．−12 C．28．已知直线l1:x−ay+1=0与⊙C:x−a2+y−12A．1或−1 B．3或−3 C．−17或−1 D．9．将函数fx=sinωx+φω>0的图象向左平移πA．9 B．6 C．3 D．210．已知函数fx=ex−eπ−xA．0 B．π2 C．3π2 11．已知正方形ABCD的边长为1，M，N分别是边AB，AD上的点(均不与端点重合)，记△AMN，A．14，34 B．2−1，12．在棱长为5的正方体ABCD−A1B1C1D1中，Q是A．5π B．25π C．5π二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13．已知函数f(x)=3x,x≥1314．△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若15．设F为抛物线C:x2=2y的焦点，过F的直线与C相交于A,B两点，过点A作C的切线，与x轴交于点D，与y轴交于点E，则DE⋅16．已知函数f(x)=xex−me2x，若f(x)存在最小值，且最小值为2三、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．设Sn为数列an的前n项和，已知（1）证明：数列an（2）设bn=log2an+118．如图，在四棱锥E−ABCD中，AB//CD，∠BAD=60（1）证明：平面BDE⊥平面ABCD；（2）若AD⊥DE，DE=42，F为19．课外阅读对于培养学生的阅读兴趣，拓宽知识视野、提高阅读能力具有重要作用.某市为了解中学生的课外阅读情况，从该市全体中学生中随机抽取500名学生，调查他们在寒假期间每天课外阅读平均时长t(单位：分钟)，得到如下所示的频数分布表，已知所调查的学生中寒假期间每天课外阅读平均时长均不超过100分钟.时长t0,2020,4040,6060,8080,100学生人数5010020012525（1）估计这500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；（2）用频率估计概率，从该市中学生中随机抽取2名学生参加座谈，抽到的学生寒假期间每天课外阅读平均时长在0,20内记0分，在20,60内记1分，在60,100内记2分.用X表示这两名学生得分之和，求X的分布列和数学期望.20．已知函数fx（1）当a=2时，求fx（2）若fx有两个零点，求a21．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为32，过点Pa,b（1）求椭圆C的方程；（2）线段OP上是否存在定点Q，使得直线QA与直线QB的斜率之积为定值.若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.四、选修4-4:坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=mt2y=mt(t为参数).以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且M6,2为线段AB的三等分点，求实数m五、选修4-5:不等式选讲23．已知函数fx（1）求不等式fx（2）当m=−2时，函数fx的最小值为n，若非零实数a,b,c满足a2+

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：因为B={x|x=4k+1,k∈Z}={x|x=2⋅2k+1,k∈Z}，所以B⊆A，即A∩B=B，A∪B=A≠Z，故选项D正确；选项A、选项B、选项C错误.故答案为：D.【分析】利用已知条件和交集的运算法则、并集的运算法则、集合间的包含关系，从而逐项判断找出正确的选项.2．【答案】B【解析】【解答】解：由z+1i=−1−i，

则z=−1−所以复数z对应的点为−2,1，位于第二象限.故答案为：B.【分析】根据复数的运算法则进行化简得出复数z，再结合复数的几何意义得出答案.3．【答案】C【解析】【解答】解：因为a//α，b⊂α，

则a与b可能平行，异面和垂直，若a与b相交，a∩b=A，

则A∈a,A∈b，所以A∈α，即直线a与平面α有公共点，这与a//α矛盾.故答案为：C.【分析】若a与b相交，从而得到a与α有交点，这与题设矛盾，从而找出答案.4．【答案】D【解析】【解答】解：对于A，“八九”、“九九”的平均气温比“七九”的“平均气温”低，故A错误；对于B，“四九”成都市“平均气温”较“多年平均气温”高0.1°C”，故B错误；对于C，由图表，“平均气温”的波动比“多年平均气温”的波动大，则“一九”到“五九”成都市“平均气温”的方差大于“多年平均气温”的方差，故C错误；对于D，“一九”到“九九”成都市“平均气温”的极差为：10.6−5.4=5.2，“多年平均气温”的极差为10.7−5.3=5.4，则“一九”到“九九”成都市“平均气温”的极差小于“多年平均气温”的极差，故D正确.故答案为：D.【分析】由图表中的数据分析可判断选项A和选项B；由方差的意义可判断选项C；由极差的计算公式判断出选项D，从而找出说法正确的选项.5．【答案】B【解析】【解答】解：由题意知，a2=m所以m=1或m=−13，故是“故答案为：B.【分析】根据双曲线方程得出a,b,c，从而表示出双曲线的离心率，进而得到m值，再根据充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.6．【答案】C【解析】【解答】解：由i=16yi由x1x2由线性回归方程y=bz+1必过样本中心点z所以3=2b^+1故答案为：C.【分析】利用已知数据和平均数公式可得样本中心点坐标，再利用线性回归直线必过样本中心点，从而求出b^7．【答案】A【解析】【解答】解：由倍角公式，可得sin2α1−cos故答案为：A.【分析】根据题意结合正弦、余弦的倍角公式以及同角三角函数的基本关系式，从而得出tanα8．【答案】A【解析】【解答】解：根据题意，圆C的圆心为a,1，半径r=1，易知△ABC是等腰直角三角形，所以圆心C到直线l1的距离为22，

则a−a+1a2+1=2故答案为：A.【分析】根据题意得出圆心坐标和圆的半径的长，从而判断出△ABC是等腰直角三角形，进而可得圆心C到直线l19．【答案】C【解析】【解答】解：将fx=sinωx+φ的图象向左平移π6则πω6=π2+2kπ,k∈Z，所以ω=3+12k，k∈Z，

故答案为：C.【分析】根据正弦型函数的图象变换可得y=sinωx+φ+πω6，根据题意结合诱导公式可得πω610．【答案】C【解析】【解答】解：因为函数fx所以fπ−x+fx=eπ−x−若实数x1，x又因为fx所以x2=π故答案为：C.【分析】先由fπ−x+fx=eπ−x−11．【答案】D【解析】【解答】解：设AM=x,

则S1=12由平面向量数量积的运算可得：CM⋅CN⋅又因为S1所以12xy=1−x则1+12xy≥2又因为xy>0，即0<xy≤2−2则S=1+故答案为：D.

【分析】设AM=x,AN=y,y∈12．【答案】B【解析】【解答】解：以点D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为

则Q0,0,52，A5,0,0,,C0,5,0，球心O52,52,52则R52,0,5DC⃗故DR⊥AQ，CD⊥AQ，又因为DR∩CD=D，DR,CD⊂平面CDRH，故AQ⊥平面CDRH，故当P位于平面CDRH与内切球O的交线上时，满足CP⊥AQ，此时O52,52又因为r=254−54故点P的轨迹为以5为半径的圆，故点P的轨迹长度为25故答案为：B.

【分析】利用已知条件建立空间直角坐标系，作出辅助线得到AQ⊥平面CDRH，由点到平面的距离和球的半径得到点P的轨迹为以5为半径的圆，再结合圆的周长公式得出点P的轨迹长度.13．【答案】1【解析】【解答】解：函数f(x)=3x,x≥13故答案为：12【分析】由0<lo14．【答案】7【解析】【解答】因为sinC=2sinA又因为b2=2ac，可得b2由余弦定理得cosA=故填：78【分析】利用已知条件结合正弦定理和余弦定理，从而得出cosA15．【答案】1【解析】【解答】解：由抛物线C:x2=2y设直线AB的方程为y=kx+12，、

联立y=kx+12x2=2y，消则x1由y=12x所以过点A作C的切线的斜率为x1故切线方程为y−12x令x=0，则y=−12x12即D1则DE=所以DE⋅故答案为：14.

【分析】设直线AB的方程为y=kx+12，Ax1,116．【答案】−【解析】【解答】解：函数f(x)=xex−m令f'(x)=0，则2m=x+1ex当x<0时，可得g'(x)>0，函数当x>0时，可得g'(x)<0，函数所以函数g(x)的极大值为g(0)=1，当且仅当x>−1时，g(x)>0，所以2m<1，可得m<12，如图所示：当m∈(0,12当x∈(x1,x2)所以f(x)在x=x当m<0时，m=x+12e当x∈(−∞,x0)时，所以f(x)在x=x综上可得，f(x)在x∈(−∞,0)所以f(x0)=2m解得x0=−3或x0故答案为：−e【分析】求导可得f'(x)=ex(x+1−2mex)，令f'(x)=0，得2m=x+1e17．【答案】（1）证明：当n=1时，2a1=由2a当n≥2时，2a两式相减得：2a整理得：an所以an+1=2a∴a（2）解：由（1）得an∴b∴T【解析】【分析】（1）利用an与Sn的关系式和分类讨论的方法，再结合等比数列的定义证出数列（2）利用（1）结合等比数列的通项公式和已知条件得出数列cn的通项公式，再结合裂项相消法求出数列cn的前n项和（1）当n=1时，2a1=由2a当n≥2时，2a两式相减得：2a整理得：an所以an+1=2a∴a（2）由（1）得an∴b∴18．【答案】（1）证明：在△ADB中，由余弦定理得：DB=AD2∵CD//AB，∵DB⊥AB,EB∩DB=B,EB,DB⊂平面EBD，

故AB⊥平面EDB，又因为AB⊂平面ABCD，∴平面EDB⊥平面ABCD.（2）解：由∠BAD=60∘，AB=1，AD所以BD⊥AB，AB//CD，所以CD⊥BD，由(1)知平面EDB⊥平面ABCD，

平面EDB∩平面ABCD=BD，CD⊂平面ABCD，故CD⊥平面EDB，ED⊂平面∴CD⊥ED，

又∵ED⊥AD,AD∩CD=D,AD,CD⊂平面ABCD，∴ED⊥平面ABCD，∵BD⊂平面ABCD，∴ED⊥BD，

又因为如图，以D为坐标原点，以DB,DC,DE所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系D−xyz，则D0,0,0,B3∵F是CE中点，∴F0,1,2设m→=x,y,zAB⃗m⋅AE=0令x=42得m设直线BF与平面ABE所成角大小为θ，则sinθ=所以直线BF与平面ABE所成角的正弦值为7035【解析】【分析】(1)先由余弦定理解出DB的值，再由勾股定理证出DB⊥AB，从而证出AB⊥平面EDB，进而证出平面EDB⊥平面BCD.(2)利用已知条件和余弦定理以及（1）中的面面垂直的性质定理，从而证出线面垂直，进而证出线线垂直，则建立空间直角坐标系，求出平面ABE的一个法向量，再结合数量积求向量夹角公式和诱导公式得出直线BF与平面ABE所成角的正弦值.（1）在△ADB中，由余弦定理DB=AD2∵CD//AB，∵DB⊥AB,EB∩DB=B,EB,DB⊂平面EBD，故AB⊥平面EDB，又AB⊂平面ABCD，∴平面EDB⊥平面ABCD.（2）由∠BAD=60∘，AB2所以BD⊥AB，AB//CD，所以CD⊥BD，又由(1)知平面EDB⊥平面ABCD，平面EDB∩平面ABCD=BD，CD⊂平面ABCD，故CD⊥平面EDB，ED⊂平面∴CD⊥ED，又∵ED⊥AD,AD∩CD=D,AD,CD⊂平面ABCD，∴ED⊥平面ABCD，∵BD⊂平面∴ED⊥BD，又BD⊥DC，如图，以D为坐标原点，以DB,DC,DE所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系D−xyz，则：D0,0,0A3∵F是CE中点，∴F0,1,2设m→=x,y,zAB⃗m⋅AE=0令x=42得m设直线BF与平面ABE所成角大小为θ，则sinθ=所以直线BF与平面ABE所成角的正弦值为703519．【答案】（1）解：由题意，样本中500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数为：t=10×所以，估计这500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数为49.（2）解：每天课外阅读平均时长在0,20的概率为：50500每天课外阅读平均时长在20,60的概率为：100+200500每天课外阅读平均时长在60,100的概率为：125+25500由题意，随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4，PX=0PX=2PX=3∴X的分布列为：X01234P0.010.120.420.360.09X的数学期望E【解析】【分析】（1）用该组区间的中点值为代表，根据平均数的计算公式估计出这500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数.（2）由题意得出随机变量X的可能取值，根据独立事件的概率乘法公式求出对应的概率，即可得出随机变量X的分布列，再结合随机变量的分布列求数学期望的方法得出随机变量X的数学期望.（1）由题意，样本中500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数t=10×所以估计这500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数为49.（2）每天课外阅读平均时长在0,20的概率为：50500每天课外阅读平均时长在20,60的概率为：100+200500每天课外阅读平均时长在60,100的概率为：125+25500由题意，随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4，PX=0PX=2PX=3∴X的分布列为：X01234P0.010.120.420.360.09X的数学期望EX20．【答案】（1）解：当a=2时，fx=xlnx−ax则f'注意到函数y=lnx与y=−1x均在又因为f'x在0，+∞上单调递增，

由f'1=0，得x∈1,+∞，f'x>0综上所述，fx的单调递增区间为1,+∞，单调递减区间为（2）解：令x=t>0，设函数g则函数fx有两个零点等价于函数g(1)当a≤0时，gt当t>1时，gt>0；当0<t<1时，当t=1时，gt∴gt在0，+∞上只有一个零点(2)当a>0时，g'(t)=2t(2lnt+1)−a，ℎ'(t)=2(2lnt+3)，令所以ℎt在(0,1e则ℎ(t)min=ℎ(1e32当t→+∞时，ℎ(t)→+由零点存在定理得存在t0∈(1所以，当t∈(0,t0)当t∈t0，当t→0+时，g(t)→a>0，t→+∞时，g(t)→+故当t0=1时，函数当t0≠1时，此时gt在(0,由ℎt在(1e所以，当a=2时，t0当(0,2)∪(2,+∞)时，综上所述，a的取值范围为(0,2)∪(2,+∞【解析】【分析】（1）代入a=2得出函数的解析式，再对fx求导判断出函数的单调性，从而得出函数f（2）令x=t>0，设函数gt=2t2lnt−at+a，将函数fx有两个零点等价于函数gt有两个零点，再对（1）当a=2时，fx=xlnx−af注意到函数y=lnx与y=−1x均在f'x在0，x∈0，1，f'xx∈1,+∞，f'x>0综上，fx的单增区间为1,+∞，单减区间为（2）令x=t>0，设函数g函数fx有两个零点等价于函数g(1)当a≤0时，gt当t>1时，gt>0；当0<t<1时，当t=1时，gt∴gt在0，+∞上只有一个零点(2)当a>0时，g'(t)=2t(2lnℎ'(t)=2(2lnt+3)，令ℎt在(0,1eℎ(t)min=ℎ(1e当t→+∞时，ℎ(t)→+由零点存在定理得存在t0∈(1所以t∈(0,t0)t∈t0，由t→0+时，g(t)→a>0，t→+∞时，g(t)→+故当t0=1时，函数当t0≠1时，此时gt在(0,由ℎt在(1e故当a=2时，t0当(0,2)∪(2,+∞)时，综上，a的取值范围为(0,2)∪(2,+∞21．【答案】（1）解：∵ca=∵l过坐标原点O,∴直线l的方程为y=b由y=12xx2∵AB∴b2=1故椭圆C的方程为x2（2）解：假设存在定点，Q2m,m,m∈0,1，

由题意，直线设直线l:y−1=kx−2，即y=kx+1−2k,A由y=kx+1−2kx2+4y2=4，

消去所以x1∴k∴====4∴当m2=1−m2时，即当∴存在定点Q1,12，使得直线QA与直线QB【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率公式和椭圆中a，b，c三者的关系式，从而求出a,b的关系式，联立直线与椭圆方程，再结合AB=10求出（2）设直线l:y−1=kx−2，Ax1,y1,Bx2,y2，（1）∵ca=∵l过坐标原点O,∴直线l的方程为y=b由y=12xx2∵AB∴b2=1故椭圆C的方程为x2（2）假设存在定点，Q2m,m,m∈0,1设直线l:y−1=kx−2，即y=kx+1−2k,A由y=kx+1−2kx2+4y2其中Δ>0x1∴k∴====4∴当m2=1−m2，即∴存在定点Q1,12，使得直线QA与直线QB22．【答案】（1）解：由曲线C的参数方程x=mt2y=mt消去参数t可得曲线C的普通方程为y2由直线l的极坐标方程得：22因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以直线l的直角坐标方程为x−y−4=0.（2）解：根据（1），直线的倾斜角为π4，且经过点M所以直线l的参数方程为x=6+22t因为M6,2为线段AB的三等分点，易得曲线C:y2直线l与曲线C:y2=mx联立得：t设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，

则t1因为M为线段AB的三等