广东省广州市天河区2025届高三上学期模拟数学试卷（含答案）

第第页广东省广州市天河区2025届高三上学期模拟数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若全集U=R，集合A={x|0≤x<3},B={x|x>1}，则A∪∁A．{x|x<3} B．{x|0≤x<1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|x≥0}2．已知数据x1,x2,x3A．平均数 B．中位数 C．极差 D．方差3．若x，y∈R，则“2x−2yA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知α为第一象限角，β为第四象限角，tanα−tanβ=3，tanαtanβ=−2，则sinα−βA．1010 B．−1010 C．35．大西洋鲑鱼每年都要逆游而上游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：ms）可以表示为v=12log3O100，其中O表示鲑鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为2m/s时耗氧量的单位数为UA．3 B．6 C．9 D．126．数列an中，a1>0，a1an=p21−nA．p110 B．p56 C．p4417．在平面直角坐标系xOy中，以x轴非负半轴为始边作角x和角x−π3，x∈0,2π，它们的终边分别与单位圆交于点M，N，设线段MN的中点P的纵坐标为y0，若A．π3,5π6 B．π3,π8．已知函数fx=ax3−3x2+4aa≠0A．(1,+∞) C．−∞,−1∪二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的部分分，有选错的得0分.9．以下说法正确的是（）A．两个变量的样本相关系数越大，它们的线性相关程度越强B．残差点分布在以横轴为对称轴的水平带状区域内，该区域越窄，拟合效果越好C．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2=4.881>3.841=x0.05，则依据α=0.05的独立性检验，可以认为“D．若随机变量X∼N(0,1)，Y∼N(2,4)，则P(X>1)<P(Y<1)10．设函数f(x)=cos(ωx+π3)(ω>0)，已知fA．fx在区间0,2π有且仅有2个极大值点 B．fx在区间C．fx在区间0,π4单调递减 D．11．已知函数fx的定义域为R，集合M={x0∈RA．存在fx，当m≠n时有fm=fnC．存在fx是奇函数 D．存在fx，使三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知函数fx=ln2x+1−mx，若曲线y=f(x)在x=1处的切线的斜率为−5，则实数13．若x+a2x−2x−3x−4x+b的展开式中，x5项的系数为14．袋子里有四张卡片，分别标有数字1，2，3，4，从袋子中有放回地依次随机抽取四张卡片并记下卡片上数字，则有两张卡片数字之和为5的概率是.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知数列an的前n项和公式为Sn=3n2（1）求数列an（2）若an=216．三角形ABC中，内角A，B，C对应边分别为a，b，c，面积S=3（1）求∠B的大小；（2）如图，若D为△ABC外一点，在四边形ABCD中，边长BC=2，∠DCB=∠B，∠CAD=30∘，求17．已知函数fx（1）若k=12，求证：当x>0时，（2）若x=0是fx的极大值点，求k18．小张参加某项专业能力考试.该考试有A，B，C三类问题，考生可以自行决定三类问题的答题次序，回答问题时按答题次序从某一类问题中随机抽取一个问题回答，若回答正确则考试通过，若回答错误则继续从下一类问题中再随机抽取一个问题回答，依此规则，直到三类问题全部答完，仍没有答对，则考试不通过.已知小张能正确回答A，B，C三类问题的概率分别为p1，p2，（1）若小张按照A在先，B次之，C最后的顺序回答问题，记X为小张的累计答题数目，求X的分布列；（2）小张考试通过的概率会不会受答题次序的影响，请作出判断并说明理由；（3）设0<p19．如果函数y=f(x)，x∈D满足：对于任意x1，x2∈Dx1≠x2，均有fx（1）判断fx=1（2）若gx=ax−1ex（3）已知函数y=ℎx在定义域R上具有“n级”性质，求证：对任意s，t∈R，当s<t时，都有2024

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：因为U=R，B={x|x>1}，所以∁U所以A∪∁故选：A.【分析】先根据补集的定义，求得∁U2．【答案】A【解析】【解答】解：由于x1<x2<⋯<原来和新数据的中位数均为x5去掉x1，x因此可能变大的是平均数，比如1,3,4,5,6,7,8,9,11,12，原数据的平均数为6.6，去掉1和12后，新数据的平均数为538，但53故选：A.【分析】由数据x13．【答案】B【解析】【解答】解：因为y=2x在由2x−2y>0，可得2x但无法保证x−y>1，故lnx−y由lnx−y>0，可得x−y>1，所以所以“2x−2y故选：B【分析】根据指数函数y=2x在x∈R上单调递增，得到x>y，由无法保证x−y>1，结合对数函数的性质，判定充分性不成立；再由lnx−y>0，得到4．【答案】C【解析】【解答】解；因为tanα−tanβ=3，tanαtanβ=−2，所以tanα−β=tanα−tanβ又α是第一象限角，β为第四象限角，故2mπ<α<π因此2m−2nπ<α−β<π+因此sinα−β>0，由于则sin2α−β=1−故选：C.【分析】由正切两角差的公式，求得tanα−β=−3，得到sinα−β=−3cosα−β，根据α是第一象限角，5．【答案】C【解析】【解答】解：根据题意，可得2=12log两式相减得1=12log所以2=log3W故选：C.【分析】根据题意，得到2=12log3U6．【答案】D【解析】【解答】解：依题意，a1>0，所以a12=所以T=p函数y=−x2+21x所以当n=10或11时，Tn取得最大值为p故选：D.【分析】根据题意，先求得an=p11−n，利用指数幂的运算和等差数列的求和公式，求得Tn7．【答案】B【解析】【解答】解：由题意可得，Mcos则y=3由y0>34可得解得π6即π3又x∈0,2π，则k=0时，π故选：B【分析】根据题意，得到点M,N的坐标，求得y0=12sin8．【答案】D【解析】【解答】解：因为fx=a当a>0时，由f'x=0，解得x=0或x=2a当x∈−∞,0，f'x当x∈0,2a，f'x当x∈2a,+∞，f'又x→−∞,fx→−∞当a<0时，令f'x=0，解得x=0或x=2a当x∈−∞,2a，f当x∈2a,0，f'x当x∈0,+∞，f'x<0又x→−∞所以fx仅有一个负数零点，所以a<0综上，a的取值范围是a>1或a<0．故选：D.【分析】根据题意，求得f'x=3xax−2分a>0和a<0，两种情况讨论，求得函数fx的单调区间和极值，结合f9．【答案】B,D【解析】【解答】对于A中，根据相关系数的定义，当r>0时，表明两个变量正相关；当r<0时，表明两个变量负相关，其|r|<1中，且当|r|越接近1时，相关程度越大；当|r|越接近0时，相关程度越小，故A错误.对于B中，残差点分布越窄，说明大部分预测值与实际值的偏离越小，拟合效果较好，故B正确.对于C中，χ2独立性检验的判断标准是，若计算得出的χ说明变量X与Y存在关联。因此，χ2意味着拒绝“X与Y没有关联”的零假设，故C错误.对于D中，对于X∼N(0,1)，则所以P(X>1)=P(X>0)−P(0<X<σ对于Y∼N(2,4)，则所以P(Y<1)=P(Y<2)−P(1<Y<2)=0.5−P(1<Y<2)>0.5−P(μ又P(μ1<X<故选：BD.【分析】由相关系数的概念及相关系数的意义，可判定A错误；由残差点分布越窄，拟合效果较好，可判定B正确；由独立性检验的概念和正态分布的概率公式，可判定C错误，D正确，即可求解.10．【答案】A,C【解析】【解答】解：由0≤x≤2πω>0，得0≤ωx≤2πω,由于fx=cos所以9π2≤2πω+π由上述分析可知π3所以对于A选项，由ωx+π3=2π即x=5π3ω或x=11π对于B选项，当2πω+ππ3由2512x+π即x=24π75或x=96π即只有2个极小值，所以B选项错误.对于D选项，由上述分析可知2512所以当0<x<π4时，所以fx在区间0,故选：AC.

【分析】根据fx在区间0,2π有且仅有5个对称中心，得出不等式9π2≤2πω+π3<11π2，可判定A正确，D错误；由2512x+π3=π11．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：对A中，构造函数fx此时M=−1,1，显然存在m,n∈−∞对D中，由A中函数可知，存在fx，使f对B中，若fx是增函数，则对任意x0∈R，都有x∈则M=R，所以B错误；对C中，构造函数fx易知，fx是奇函数，且M=故选：ACD【分析】根据题意，构造函数fx=1,x<−1x+3,−1≤x≤14,x>112．【答案】17【解析】【解答】解：由fx=ln2x+1由于曲线y=f(x)在x=1处的切线的斜率为−5，故f'1=故答案为：173【分析】根据题意，求得f'x=22x+1−m，根据曲线y=f(x)在13．【答案】1【解析】【解答】解：由x+a2又x−2x−3故x+a2x5可由x+a2,x+b,x3故x5项的系数为为x故−9+b+2a=−8，即b+2a=1，要使ab最大，则a,b需为正数，因此b+2a=1≥22ab，故ab≤18故答案为：18.

【分析】由多项式x−2x−3x−4=x3−9x214．【答案】49【解析】【解答】解：根据题意：有放回地依次随机抽取四张卡片可得所有情况有44任意两张卡片数字之和不为5的情况有：①1111，2222，3333，4444，都各有1种，②1112，1122，1222，有2C4③1113，1133，1333，有2C4④2224，2244，2444有2C4⑤3334，3344，3444有2C4故总的情况有4+4×14=60，故有两张卡片数字之和为5的概率是1−60故答案为：4964【分析】根据有放回地依次随机抽取四张卡片，求得基本事件的总数为4415．【答案】（1）解：（1）由Sn=3n2−2n故an当n=1时，a1故an（2）解：由an=2故n≥2时，bn−b相减可得12故12化简可得12bn当n=1时，b1故b​​​​​​​【解析】【分析】（1）由Sn=3n2−2n（2）由（1）知an=6n−5，根据an=2nb（1）由Sn=3n2−2n故an当n=1时，a1故an（2）由an=2故n≥2时，bn−b相减可得12故12化简可得12bn当n=1时，b1故b16．【答案】（1）解：因为S=34b所以−4⋅1所以tanB=因为B∈(0°,（2）解：在△ACD和△ABC中，由正弦定理可得CDsin设∠ACB=θ，0°<θ<60故两式相除可得2CDsin60°因此CD=3故当2θ−30°=0时，即θ=15°时，此时cos【解析】【分析】（1）根据题意，化简得到−4S=3a2+c（2）设∠ACB=θ，0°<θ<60°，根据正弦定理，化简得到（1）因为S=34b所以−4⋅1所以tanB=因为B∈(0°,（2）在△ACD和△ABC中，由正弦定理可得CDsin设∠ACB=θ，0°<θ<60故两式相除可得2CDsin60°因此CD=3故当2θ−30°=0时，即θ=15°时，此时cos17．【答案】（1）解：若k=12，则fx则ℎ'x=ex−1，当x>0时，所以ℎx在0,+∞上单调递增，即f'所以f'即fx在0,+∞上单调递增，所以（2）解：由题知f'令gx=f当k≤0时，g'(x)>0,f当k>0时，令g'x=0当x∈−∞,ln2k时，g'x所以f'(x)在区间−∞则当k≤0时，f'当x∈−∞,0时，f当x∈0,+∞时，f'所以x=0是函数fx当0<k<12时，ln2k<0，且当x∈ln2k,0时，f'x当x∈0,+∞时，f'所以x=0是函数fx当k=12时，则当x∈−∞,+∞时，所以fx当k>12时，ln2k>0，且当x∈−∞,0时，f当x∈0,ln2a时，f'x所以x=0是函数fx综上所述，k的取值范围是k>1【解析】【分析】（1）令ℎx=f'x，求得ℎ'x=ex−1，得到ℎ'x>0在（2）令gx=f'x=ex−2kx−1，求得g'x=ex−2k（1）若k=12，则fx则ℎ'x=ex−1，当x>0时，所以ℎx在0,+∞上单调递增，即f'所以f'即fx在0,+∞上单调递增，所以（2）由题知f'令gx=f当k≤0时，g'(x)>0,f当k>0时，令g'x=0当x∈−∞,ln2k时，g'x所以f'(x)在区间−∞则当k≤0时，f'当x∈−∞,0时，f当x∈0,+∞时，f'所以x=0是函数fx当0<k<12时，ln2k<0，且当x∈ln2k,0时，f'x当x∈0,+∞时，f'所以x=0是函数fx当k=12时，则当x∈−∞,+∞时，所以fx当k>12时，ln2k>0，且当x∈−∞,0时，f当x∈0,ln2a时，f'x所以x=0是函数fx综上所述，k的取值范围是k>118．【答案】（1）解：按A→B→C的顺序答题，X的可能取值为1,2,3，则PX=1=p1，所以X的分布列为：X123Pp1−1−（2）解：小张考试通过的概率不受答题次序的影响，理由如下：由题意，小张没有通过考试的情况只有三题全部答错，所以小张考试通过的概率均为1−（3）解：应按A→B→C的顺序答题，理由如下：设0<p3<p2若按A→B→C的顺序答题，设X1由（1）得E=3−2p若按A→C→B的顺序答题，设X2则PX所以E=3−2p则E=p则EX若按B→A→C的顺序答题，设X3同理可得EX若按B→C→A的顺序答题，设X4同理可得EXEX若按C→A→B的顺序答题，设X5同理可得EX若按C→B→A的顺序答题，设X6同理可得EXEX所以累计答题数目的均值最小的，是EX1、EXEXEX所以EXEX=3−=p所以EX所以最小的是EX所以应按A→B→C的顺序答题.【解析】【分析】（1）根据A→B→C的顺序答题，得到X的可能取值为1,2,3，分别求得相应的概率，列出分别，即可求解；（2）根据小张没有通过考试的情况只有三题全部答错，结合对立事件的概率计算公式，求得通过的概率，从而作出判断.（3）计算按B→A→C的顺序、B→C→A的顺序、C→A→B的顺序、C→B→A的顺序答题时，分别求得累计答题数目的均值，从而作出判断.（1）按A→B→C的顺序答题，X的可能取值为1,2,3，则PX=1=p1，所以X的分布列为：X123Pp1−1−（2）小张考试通过的概率不受答题次序的影响，理由如下：由题意，小张没有通过考试的情况只有三题全部答错，所以小张考试通过的概率均为1−（3）应按A→B→C的顺序答题，理由如下：设0<p3<p2若按A→B→C的顺序答题，设X1由（1）得E=3−2p若按A→C→B的顺序答题，设X2则PX所以E=3−2p则E=p则EX若按B→A→C的顺序答题，设X3同理可得EX若按B→C→A的顺序答题，设X4同理可得EXEX若按C→A→B的顺序答题，设X5同理可得EX若按C→B→A的顺序答题，设X6同理可