广东省深圳市龙岗区华附集团校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（含答案）

第第页广东省深圳市龙岗区华附集团校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题一、选择题（本大题共10小题，共30分）1．中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（）A． B．C． D．2．下列各数中，能使不等式12A．6 B．5 C．4 D．33．下列多项式中，可以使用平方差公式进行因式分解的是（）A．−x2−1 B．−x2+14．等腰三角形的一边长为4cm，另一边长为2cm，则它的周长为（）A．6cm B．8cm C．10cm D．8cm或10cm5．在平面直角坐标系中，将点P(−1，5)向左平移3个单位，再向下平移1个单位得到P1，则点PA．(−1，5) B．(2,6) C．(−4,6．如图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，若想建立一个货物中转仓，使其到A、B、C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（）A．三边中线的交点 B．三边上高的交点C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 第6题图 第10题图7．下列说法中正确的是（）A．斜边相等的两个直角三角形全等 B．腰相等的两个等腰三角形全等C．有一边相等的两个等边三角形全等 D．两条边相等的两个直角三角形全等8．下列算式不正确的是（）A．999×1001=B．80C．25D．1999．关于x的不等式组x−a≥1x−b<2①若不等式组无解，则b−a<−1；②若b=3时，不等式组的整数解有5个，则−2<a≤−1；③若不等式x−a≥1至少有5个负整数解，则−7<a≤−6；A．② B．①② C．①③ D．②③10．如图，已知在△ABC中，BA=BC=10，AC=12，将△ABC绕点A逆时针旋转．得到△A'B'C'．点D是边AC的中点，点E为边BC上的动点，在△ABC绕点A逆时针旋转的过程中，点A．365 B．545 C．72二、填空题（本大题共5小题，共15分）11．分解因式：ab2−a12．“a的3倍与1的和比b小”用不等式表示为．13．如图，函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x≥ax+4的解集为． 第13题图 第14题图 第15题图14．如图，∠AOP＝∠BOP，PC∥OA，PD⊥OA，若∠AOB＝45°，PC＝6，则PD的长为．15．如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=5，将直角三角形ABC沿BC方向平移2个单位长度得到直角三角形EFG，EF与AC交于点H，且AH=2，则图中阴影部分的面积为．三、解答题（本大题共7小题，共55分。其中，第16题8分，第17、18题6分，第19、20题8分，第21题9分，22题10分）16．解不等式组6−3x>−2x−217．如图，线段AB的两个端点的坐标分别为A1,−1、B3,1，将线段AB绕点O逆时针旋转90°到对应线段（1）请在图中画出线段CD；（2）请直接写出点A、B的对应点的坐标C（______，______）、D（______，______）；（3）在x轴上求作一点P，使△PCD的周长最小，并直接写出P点坐标为（______，______）．18．某电子产品店两次购进甲和乙两种品牌耳机的数量和总费用如下表：第一次第二次甲品牌耳机（个）2030乙品牌耳机（个）4050总费用（元）1080014600（1）甲、乙两种品牌耳机的进价各是多少元？（2）商家第三次进货计划购进两种品牌耳机共200个，其中甲品牌耳机数量不少于30个，在采购总价不超过35000元的情况下，最多能购进多少个甲品牌耳机？19．如图，在△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D,∠ADC的平分线交AC于点E，DE∥BC．（1）证明：△DBC是等腰三角形；（2）若BC=2CE，求∠ADE的度数．20．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成a2+b解决问题：（1）①已知29是“完美数”，请将它写成a2+b②若x2−6x+5可配方成x−m2+n探究问题：（2）①已知x2+y2②已知S=x拓展结论：（3）已知实数x、y满足−x2+21．如图，△ABC中，BA=BC，CO⊥AB于点O，AO=6，BO=9．（1）求BC，AC的长；（2）若点D是射线OB的一个动点，作DE⊥AC于点E，连结OE．①当点D在线段OB上时，若△AOE是以AO为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的OD的长．②设直线DE交直线BC于点F连结OF、CD，若S△OBF:S

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：A、绕某一点旋转180°后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意；B、绕某一点旋转180°后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意；C、绕某一点旋转180°后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意；D、绕某一点旋转180°后，能够与原图形重合，故是中心对称图形，故符合题意；故答案为：D．

【分析】把一个图形绕某一点旋转180°后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，再对各选项逐一判断即可.2．【答案】D【解析】【解答】解：移项得：12系数化为1得：x<4．观察四个选项，能使x＜4成立的是3．故答案为：D．【分析】本题考查了解一元一次不等式．熟知解一元一次不等式的步骤是解题关键.

解一元一次不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，根据将诶一元一次不等式的步骤，通过移项、系数化为1的步骤解出x的范围，根据x的取值范围，依次判断各个选项即可．3．【答案】B【解析】【解答】解：A、−xB、−xC、x2D、x2故答案为：B．【分析】此题考查平方差公式因式分解．熟知平方差公式是解题关键.

根据平方差公式：a24．【答案】C【解析】【解答】解：当腰长为2cm时，则等腰三角形的三边分别为2cm，2cm，4cm，根据三角形三边关系可知：2+2=4，∴此时不能组成三角形，不符合题意；当地长为2cm的边为底时，则等腰三角形的三边分别为2cm，4cm，4cm，根据三角形三边关系可知：2+4>4，∴此时这三边能组成三角形，∴该等腰三角形的周长为2+4+4=10cm故答案为：C．【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义．根据等腰三角形的定义：两腰相等，可根据题意：分2cm是腰长和底边长两种情况讨论，再结合三角形三边的关系：两边之和大于第三边可判断出：这个等腰三角形的三边为：2cm、4cm、4cm，最后根据三角形周长计算公式：三角形周长=三边相加，代入数据计算即可得出答案．5．【答案】C【解析】【解答】解：P(−1，5)向左平移3个单位为(−4，5)，再向下平移1个单位得到P1−4,4.

故选：C.6．【答案】D【解析】【解答】解：∵中转仓到A、B、C三地的距离相等，∴应建在三边的垂直平分线上

即：中转仓即为三条垂直平分线的交点，故答案为：D．【分析】本题主要考查了三角形垂直平分线的性质，熟知三角形垂直平分线的性质是解题关键.根据垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，即三角形三条垂直平分线的交点到三个顶点距离相等.

对于选项A：三角形三边中线的交点是三角形的重心。重心的性质是将每条中线都分成2：1的两段，它到三角形三个顶点的距离并不相等，所以该选项错误；

对于选项B：三角形三边上高的交点是垂心，垂心的位置会因三角形的形状不同而有所变化，且重心到三角形的三个顶点的距离也不相等，所以该选项错误；

对于选项C：三角形三条角平分线的交点是内心，内心是三角形内切圆的圆心，它到三角形三边的距离相等，而不是到三个顶点的距离相等，所以该选项错误；

对于选项D：根据垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，即三角形三条垂直平分线的交点到三个顶点距离相等，这个交点也叫三角形的外心，所以该选项正确，由此判断出答案.7．【答案】C【解析】【解答】A．斜边相等的两个直角三角形不一定全等，故该选项错误；B．腰相等的等腰三角形，能推论两条边相等，不能证明两个三角形全等，故错误；C．一边相等的两个等边三角形一定全等，故该选项正确；D．两条边相等的两个直角三角形不一定全等，故该选项错误；故答案为：C．【分析】本题考查三角形全等的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题关键．

对于选项A：全等三角形需要满足对应边和对应角相等。对于两个直角三角形，仅斜边相等，缺少其他边或角的条件，无法确定它们全等；故该选项错误；

对于选项B：两个等腰三角形腰相等，但是它们的底边长度以及顶角的大小可能不同，故该选项错误；

对于选项C：等边三角形的三条边都相等，如果两个等边三角形由一边相等，那么根据等边三角形的性质：它们的三条边都对应相等，根据全等三角形的判定定理SSS可得出这两个等边三角形全等，故该选项正确；

对于选项D：两个直角三角形两条边相等，存在多种情况，比如一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，另一个直角三角形一条直角边为3，斜边为4，虽然有两条边数值相等，但这两个直角三角形不全等，故该选项错误；由此可判断出答案；8．【答案】D【解析】【解答】解：A、999×1001=1000−1B、802C、257D、1992故答案为：D．【分析】本题主要考查了运用平方差公式和完全平方公式进行简便运算，灵活运用平方差公式和完全平方公式是解题关键．平方差公式：a2−b2=a+ba−b，完全平方公式：a2−2ab+b2=a−b2，幂的乘方：amn9．【答案】A【解析】【解答】解：x−a≥1①x−b<2②

由①得：x≥a+1；

由②得：x<b+2①若不等式组无解，则b+2≤a+1，∴b−a≤−1，故①错误；②若b=3时，x＜5

不等式组的整数解有5个，则不等式组的解集为a+1≤x<5，则整数解分别是0，1，2，3，4这5个解，∴−1<a+1≤0，即−2<a≤−1，故②正确；③若不等式x−a≥1至少有5个负整数解，即x≥a+1至少有5个负整数解，∴a+1≤−5，∴a≤−6，故③错误；故正确的只有②，故答案为：A．【分析】本题考查了解一元一次不等式组及不等式解集的整数解，根据解集的情况确定参数的取值范围是解题关键；

①先求出每个不等式的解集，再根据不等式组无解可知：b+2≤a+1，移项可得：b-a≤-1，而不是b-a＜-1，故①错误；

②根据不等式组整数解的个数可得：−1<a+1≤0；解出a的范围即可判断出②正确；

③根据x−a≥1的解集及整数解个数可得出a+1≤−510．【答案】C【解析】【解答】解：如图，连接BD，作AH⊥B'C'于H，B'∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△A'B'C'，∴点D的对应点是点D'，B∴AC'=AC=12又∵点D是边AC的中点，∴BD⊥AC，AD=∴B'∵S△A∴AH=A在旋转过程中，当点E'与E″重合时，DE当点E'与C″重合时，DC∴线段DE'长度的最大值与最小值的差是：故答案为：C．【分析】如图，连接BD，作AH⊥B'C'于H，B'D'⊥AC'于D'．根据等腰三角形的性质推论：三线合一可知：AD=12AC=6，根据勾股定理可知：B'11．【答案】a（b+1）（b﹣1）【解析】【解答】解：原式=a(b2−1)=a（b故答案为：a（b+1）（b﹣1）．

【分析】先用提公因式法、再用公式法因式分解。12．【答案】3a+1<b【解析】【解答】解：由题意得：3a+1<b．故答案为：3a+1<b．

【分析】

本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，找出不等关系是解题的关键．

根据倍数的定义：a的3倍可表示为：3a，那么“a的3倍与1的和”可表示为：3a+1；“比b小”意味着前面的表达式小于b，即可列出不等式：3a+1<b，由此即可得出答案．13．【答案】x≥1.5【解析】【解答】解：∵函数y＝2x过点A（m，3），∴2m＝3，∴m=∴A3∴不等式2x≥ax+4的解集为x≥1.5．故答案为：x≥1.5【分析】

本题考查了一次函数与一次不等式的关系，熟知一次函数图象和性质是解题关键.由题意可知：点A在函数y=2x上，利用待定系数法可得：m=32，即点A坐标为A3214．【答案】32【解析】【解答】解：如下图，过P作PE⊥OB于点E，

∵∠AOP=∠BOP，∠AOB=45°，

∴∠AOP=∠BOP=22.5°，

∵PC∥OA，

∴∠OPC=∠AOP=22.5°，

∴∠PCE=∠CPO+∠COP=45°，

∵PE⊥OB

∴∠OEP=90°

∴∠EPC=90°-∠PCE=45°∵PC=6

∴PE=2∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，

∴PD=PE=32故答案为：3【分析】

本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟知角平分线的性质是解题关键.过P作PE⊥OB，根据角平分线的定义可知：∠AOP=∠BOP=22.5°，由平行线的性质：两直线平行，内错角相等可知：∠OPC=∠AOP=22.5°，由三角形外角的性质：三角形的外角=不相邻的两内角之和可知：∠PCE=∠CPO+∠COP=45°，根据直角三角形中45°角所对的直角边=斜边的22倍，易得出PE=32，再根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等可知：PD=PE=3215．【答案】8【解析】【解答】解：∵Rt△ABC沿BC的方向平移BF距离得△EFG，∴EG=AC=5，S△∴S△EFG∴S梯形∵CH=AC−AH=5−2=3,CG=BF=2,EG=5，∴S梯形∴S梯形即图中阴影部分的面积为8．故答案为：8．【分析】本题考查了平移的基本性质，以及梯形的面积公式，其中平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，根据平移的性质，得到S△EFG=S△ABC，结合阴影部分的面积16．【答案】解：由①得：6-3x＞-2x+4

-3x+2x＞4-6

-x＞-2

x<2，由②得：x-1-3＜3x

x-3x＜1+3

-2x＜4

x>−2，把解集在数轴上表示出来为：∴该不等式组的解集为：−2<x<2．【解析】【分析】本题考查解一元一次不等式组，根据各个不等式的解集求不等式组的解集是解题关键．

解一元一次不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1；

根据解一元一次不等式的步骤先把不等式①②的解集求出来，然后把两个解集画在数轴上，写出不等式组的解集即可得出答案．17．【答案】（1）​解：如下图，线段CD为所求的线段

​（2）1，1；−1，3（3）12，【解析】【解答】解：（2）根据（1）中图像可得：点C1,1，点D（3）如图，P即为所求作的点，

∵点C坐标为（1，1），∴设直线CE的解析式为y=kx+b，∴−k+b=−3k+b=1，解得：k=2∴直线CE得解析式为y=2x−1，当y=0时，2x-1=0，∴x=1∴P1【分析】

本题考查的是画旋转图形，坐标与图形，轴对称的性质，一次函数的应用，掌握旋转的性质并进行画图是解题关键．（1）根据点绕原点逆时针旋转90°的坐标变换规律，即点（x，y)绕原点O逆时针旋转90°后得到点

（-y，x）先写出点A点B旋转后的对应点CD的坐标，再在坐标系中找到这两个点并连接成线段CD，即可得出答案；（2）依据点绕原点逆时针旋转90°的坐标变换规律，将点A（1，-1）点B(3，1)的横纵坐标按规则进行变换，从而得到点C，D的坐标，即可得出答案；（3）由题意知：CD的长度是固定的，要使△PCD的周长最小，只需PC+PD最小即可，作点D关于x轴的对称点E，根据对称点的性质，PD=PE，那么PC+PD=PC+PE，此时问题转化为求PC+PE的最小值即点P、C、E三点共线时，线段和最小，根据两点之间线段最短，连接CE，CE与x轴的交点即为P点，再求解CE的解析式，令y=0，求出直线与x轴交点的横坐标，即为点P的横坐标，进而得到点P坐标，即可得出答案.18．【答案】（1）解：设甲品牌耳机的进价是x元，乙品牌耳机的进价是y元，由题意得：20x+40y=1080030x+50y=14600解得x=220y=160答：甲品牌耳机的进价是220元，乙品牌耳机的进价是160元．（2）解：设第三次购进甲品牌耳机m个，则购进乙品牌耳机200−m个，

由题意得：m≥30220m+160(200−m)≤35000，

解得30≤m≤50，

∴m的最大值为50．

【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，根据题意准确找到等量关系是解题关键；（1）根据公式“总价=单价×数量”，和表格数据：第一次购进甲品牌耳机20个，乙品牌耳机40个，总费用是10800可得：等量关系为：20×甲品牌耳机单价+40×乙品牌耳机单价=10800；第二次购进甲品牌耳机30个，乙品牌耳机50个，总费用是14600可得：等量关系为：30×甲品牌耳机单价+50×乙品牌耳机单价=14600；根据两个等量关系式列出关于x，y的二元一次方程组，解得xy的值即可得出答案；（2）根据总价不超过35000，甲品牌耳机数量不少于30个，列出关于m的不等式组，求出m的范围，即可得出答案．19．【答案】（1）证明：∵CD平分∠ACB,ED平分∠ADC，∴∠DCB=∠ECD,∠ADE=∠CDE．∵DE∥BC，∴∠DCB=∠CDE,∠ADE=∠B，∴∠DCB=∠B，∴DB=DC．∴△DBC是等腰三角形；（2）解：取BC的中点F，连接DF．∵BC=2CE，∴BF=FC=EC，在△DFC和△DEC中，FC=EC∴△DFC≌△DECSAS∴∠FDC=∠EDC．∵DB=DC,DF是BC边上的中线，∴DF平分∠BDC，

∴∠BDF=∠CDF．∴∠BDF=∠CDF=∠CDE=∠ADE．∵∠BDF+∠CDF+∠CDE+∠ADE=180°，∴4∠ADE=180°，解得∠ADE=45°【解析】【分析】

本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟知等腰三角形性质定理的推论三线合一是解题关键．（1）由角平分线的定义可知：∠DCB=∠ECD,∠ADE=∠CDE，由平行线的性质：两直线平行，内错角相等可知：∠DCB=∠CDE,∠ADE=∠B，等量代换可得出：∠DCB=∠B，再由等腰三角形的判定定理：等角对等边可知：DB=DC，即△DBC为等腰三角形，即可证得结论；（2）取BC的中点F，连接DF．由全等三角形判定定理SAS可证得：△DFC≌△DEC，由全等三角形的性质：对应角相等可知：∠FDC=∠EDC，再结合等腰三角形性质定理推论：三线合一可知：DF平分∠BDC，即∠BDF=∠CDF，等量代换得：∠BDF=∠CDF=∠CDE=∠ADE，再由角度和差运算和平角的定义可知：∠BDF+∠CDF+∠CDE+∠ADE=180°，等量代换即可求出∠ADE的度数，即可得出答案．20．【答案】（1）①29=22+5（2）①−1；

解：②当k=13时，S为“完美数”，理由如下：

S=x2+4y2+4x−12y+k

=x2+4x+4+4y2−12y+9+k−4−9

=x+22+2y−32+k−13，

∵S是”完美数“

∴k-13=0

∴k=13

∴当k=13时，S为”完美数“；

【解析】【解答】解：（1）①根据题意得：29=2故答案为：22②根据题意得：x2∴m=3，n=−4，∴mn=−4×3=−12；故答案为：−12；（2）①∵x2∴x2∴x−12∵x−12≥0∴x−1=0，y+2=0，解得：x=1，y=−2，∴x+y=1−2=−1；故答案为：−1；

【分析】

本题考查了配方法的应用，非负数的性质，熟知完全平方公式是解题的关键．完全平方公式：a2−2ab+b2=a−b2

（1）①把29分为两个整数的平方即可；②根据完全平方公式将原式配后，对应相等可确定出m与n的值，即可求出mn的值，即可得出答案；

（2）①根据完全平方公式对等式配方后，根据平方数具有非负数，要使两个平方数和为0，则x−1=0，y+2=0，求出x与y的值，即可求出x+y的值；

②21．【答案】（1）解：∵AO=6，BO=9，

∴AB=AO+BO=15，

∵BA=BC

∴BC=15，

∵CO⊥AB，

∴∠AOC=∠BOC=90°，

∵OB=9

∴在Rt△BOC中，CO=B（2）解：①分两种情况：

i）当AO=OE=6时，过点O作ON⊥AC于点N，如图1所示：

∴AN=EN，

∵DE⊥AC，

∴ON∥DE，

∴ON是△ADE的中位线，

∴OD=AO=6；

ii）当AO=AE=6时，如图2所示：

在△CAO和△DAE中，

∠A=∠AAO=AE∠AOC=∠AED=90°，

∴△CAO≌