方向导数与梯度课件2

方向导数与梯度

上页下页铃结束返回首页一、方向导数下页

设函数z

f(x,

y)在点P0(x0

y0)的某一邻域U(P0)内有定义

l是xOy平面上以P0(x0

y0)为始点的一条射线

与l同方向的单位向量为el

(cos

cos

)

提示

即极限

取P(x0

tcos

y0

tcos

)

U(P0)

如果极限方向导数一、方向导数下页

设函数z

f(x,

y)在点P0(x0

y0)的某一邻域U(P0)内有定义

l是xOy平面上以P0(x0

y0)为始点的一条射线

与l同方向的单位向量为el

(cos

cos

)

存在,

则称此极限为函数f(x,

y)在点P0沿方向l的方向导数,记为

取P(x0

tcos

y0

tcos

)

U(P0)

如果极限方向导数一、方向导数下页

设函数z

f(x,

y)在点P0(x0

y0)的某一邻域U(P0)内有定义

l是xOy平面上以P0(x0

y0)为始点的一条射线

与l同方向的单位向量为el

(cos

cos

)

方向导数

方向导数就是函数f(x

y)在点P0(x0

y0)处沿方向l的变化率

一、方向导数

设函数z

f(x,

y)在点P0(x0

y0)的某一邻域U(P0)内有定义

l是xOy平面上以P0(x0

y0)为始点的一条射线

与l同方向的单位向量为el

(cos

cos

)

方向导数

如果函数z

f(x,

y)在点P0(x0

y0)可微分,

那么函数在该点沿任一方向l(el

(cos

cos

))的方向导数都存在,

且有定理(方向导数的计算)下页>>>

讨论

函数f(x,y)在点P沿x轴正向和负向,沿y轴正向和负向的方向导数如何?提示

下页

函数f(x,

y)在点P0沿方向l(el

(cos

cos

))的方向导数

例1

求函数z

xe2y在点P(1,0)处沿从点P到点Q(2,

1)的方向的方向导数.

解

所以所求方向导数为下页

函数f(x,

y)在点P0沿方向l(el

(cos

cos

))的方向导数

因为函数可微分

且下页

对于三元函数f(x

y

z)来说

它在空间一点P0(x0

y0

z0)沿el

(cos

cos

cos

)的方向导数为

如果函数f(x

y

z)在点(x0

y0

z0)可微分,

则函数在该点沿着方向el

(cos

cos

cos

)的方向导数为

例2

求f(x

y

z)

xy

yz

zx在点(1

1

2)沿方向l的方向导数

其中l的方向角分别为60

45

60

解

与l同向的单位向量为

因为函数可微分

且

所以fx(1

1

2)

(y

z)|(1

1

2)

3

fy(1

1

2)

(x

z)|(1

1

2)

3

fz(1

1

2)

(y

x)|(1

1

2)

2

首页二、梯度梯度的定义下页

设函数z

f(x,

y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数,

则对于每一点P0(x0

y0)

D,

都可确定一个向量fx(x0

y0)i

fy(x0

y0)j

这向量称为函数f(x,

y)在点P0(x0

y0)的梯度,

记作gradf(x0

y0),即gradf(x0

y0)

fx(x0

y0)i

fy(x0

y0)j

二、梯度梯度的定义下页

函数z

f(x,

y)在点P0(x0

y0)的梯度:

gradf(x0

y0)

fx(x0

y0)i

fy(x0

y0)j

梯度与方向导数

如果函数f(x

y)在点P0(x0

y0)可微分

el

(cos

cos

)是与方向l同方向的单位向量,

则

gradf(x0

y0)

el

|gradf(x0

y0)|

cos(gradf(x0

y0),^el)

二、梯度梯度的定义下页

函数z

f(x,

y)在点P0(x0

y0)的梯度:

gradf(x0

y0)

fx(x0

y0)i

fy(x0

y0)j

梯度与方向导数

|gradf(x0

y0)|

cos(gradf(x0

y0),^el)

可以看出方向导数就是梯度在射线l上的投影,当方向l与梯度的方向一致时,方向导数取得最大值.所以沿梯度方向是函数f(x,

y)在这点增长最快的方向.

如果函数f(x

y)在点P0(x0

y0)可微分

el

(cos

cos

)是与方向l同方向的单位向量,

则

函数在一点的梯度是这样一个向量,它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值.下页二、梯度梯度的定义

函数z

f(x,

y)在点P0(x0

y0)的梯度:

gradf(x0

y0)

fx(x0

y0)i

fy(x0

y0)j

梯度与方向导数

|gradf(x0

y0)|

cos(gradf(x0

y0),^el)

如果函数f(x

y)在点P0(x0

y0)可微分

el

(cos

cos

)是与方向l同方向的单位向量,

则提示

下页梯度与等值线的关系

对于二元函数z

f(x

y)

xOy面上的曲线f(x,

y)

c称为函数z

f(x,

y)的等值线

等值线f(x

y)

c是曲面z

f(x

y)被平面z

c所截得的曲线在xOy面上的投影

若fx

fy不同时为零

则等值线f(x

y)

c上任一点P0(x0

y0)处的一个单位法向量为下页这表明梯度grad

f(x0

y0)的方向与等值线上这点的一个法线方向相同,

对于二元函数z

f(x

y)

xOy面上的曲线f(x,

y)

c称为函数z

f(x,

y)的等值线

若fx

fy不同时为零

则等值线f(x

y)

c上任一点P0(x0

y0)处的一个单位法向量为梯度与等值线的关系而沿这个方向的方向导数等于|grad

f(x0

y0)|

于是下页梯度与等值线的关系

函数在一点的梯度方向与等值线在这点的一个法线方向相同

它的指向为从数值较低的等值线指向数值较高的等值线

梯度的模就等于函数在这个法线方向的方向导数

三元函数的梯度下页

设函数f(x,

y,

z)在空间区域G内具有一阶连续偏导数,

函数f(x,

y,

z)在点P(x

y

z)的梯度gradf(x

y

z)定义为gradf(x

y

z)

fx(x

y

z)i

fy(x

y

z)j

fz(x

y

z)k

三元函数的梯度是这样一个向量,它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值.

函数f(x,y,z)在点P的梯度的方向与过点P的等量面f(x,y,z)

c在这点的法线的一个方向相同,且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面,梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数.提示

曲面f(x,y,z)

c称为函数u

f(x,y,z)的等量面.下页于是gradf(1,

1,2)

例4

设f(x,

y,

z)

x2

y2

z2,

求gradf(1,

1,2)

解

gradf

(fx,

fy,

fz)

(2x,2y,2z),

(2,

2,4)

数量场与向量场如果对于空间区域G内的任一点M,都有一个确定的数量f(M),则称在这空间区域G内确定了一个数量场.

如果对于空间区域G内的任一点M,都有一个确定的向量F(M),则称在这空间区域G内确定了一个向量场.下页

一个数量场可用一个数量函数f(M)来确定.

一个向量场可用一个向量函数F(M)来确定,而F(M)

P(M)i

Q(M)j

R(M)k,其中P(M),Q(M),R(M)是点M的数量函数.势与势场向量函数gradf(M)确定了一个向量场(梯度场),它是由数量场f(M)产