陕西省西安市长庆二中2024-2025学年高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年陕西省西安市长庆二中高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设复数z满足(1+i)z=2i，则|z|=(

)A.12 B.22 C.2.已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE⋅BD=A.−2 B.6 C.2 D.−63.已知点O是△ABC所在平面内一点，点D为BC边的中点，且AO=2OD，mOA+OB+A.1 B.2 C.−1 D.−24.在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB=(1,−2)，AD=(2,1)，则AB⋅A.5 B.4 C.3 D.25.已知|a|=10，a⋅b=−530A.2m3 B.3π4 C.5π66.复数z在复平面内表示的点Z如图所示，则使得z2⋅z1是纯虚数的一个z1A.4+3i

B.3+4i

C.4−3i

D.3−4i7.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为a2+b2−c24A.1 B.2 C.3 D.48.已知a=(sinα,1−4cos2α)，b=(1,3sinα−2)，α∈(0,π2)，若aA.17 B.−17 C.29.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E是棱CC1A.存在点E，使得A1C1//平面BED1F

B.对于任意的点E，平面A1C1D⊥平面BED1F

C.10.已知AB⊥AC，|AB|=1t，|AC|=t，若点P是△ABCA.13 B.15 C.19 D.2111.已知向量OB=(1,0)，OC=(0,1)，CA=(cosθ,sinθ)，则|ABA.[1,2] B.[22,4] C.[12.如图所示，梯形A′B′C′D′是平面图形ABCD用斜二测画法画出的图形，A′D′=2B′C′=2，A′B′=1，则平面图形ABCD的面积为(

)A.2 B.22 C.3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知向量a=(−x,2x)，b=(3x,2)，若a与b的夹角是钝角，则x的取值范围是______．14.已知A(1,1)，B(5,3)，向量AB绕点A顺时针旋转π2到AC位置，则点C的坐标为______．15.若复数z满足3z+z=1+i，其中i是虚数单位，则z=______．16.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为______．三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

(Ⅰ)已知i为虚数单位，计算(1+i1−i)2013；

(Ⅱ)已知z是复数，z+3i−与z3−i均为实数18.(本小题14分)

△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，sin(A+π6)=2cosA．

(1)求A的值；

(2)若a=3，19.(本小题14分)

如图，已知矩形ABCD，AB=2，AD=3，点P为矩形内一点且|AP|=1，设∠BAP=α．

(1)当α=π3时，求证，PC20.(本小题14分)

已知正三棱锥的高为1，底面边长为26，其内有一个内切球，球心到该三棱锥的四个面的距离都相等.求：

(Ⅰ)棱锥的表面积；

(Ⅱ)球的半径R21.(本小题12分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a、b、c，已知a=(cosA,cosB)，b=(a,2c−b)，且a//b．

(Ⅰ)求角A的大小；

(Ⅱ)若b=3，△ABC的面积S△ABC=3参考答案1.C

2.C

3.A

4.A

5.C

6.C

7.A

8.B

9.C

10.A

11.C

12.C

13.(−∞,−114.(3,−3)

15.1416.3π417.解：(Ⅰ)(1+i1−i)2013=i2013=(i4)503⋅i=i；

(Ⅱ)设z=x+yi(x,y∈R)，

z+3i−=x−(y+3)i为实数，

18.解：(1)∵sin(A+π6)=2cosA，

∴sinA=3cosA，∴tanA=3，

∵0<A<π，∴A=π3．

(2)由已知，12×319.解：(1)建立如图所示的平面直角坐标系，

则A(0,0)，B(2,0)，C(2,3)，D(0,3)，

当α=π3时，P(12,32)，

则PC=(32,32)，PD=(−12,32)，

则PC⋅PD=32×(−12)+(320.解：(Ⅰ)因为正三棱锥的高为1，底面边长为26，

所以底面正三角形的中心到正三角形边的距离为13×32×26=2，

所以侧面三角形的斜高为12+(21.解：(Ⅰ)∵a//b，

∴(2c−b)⋅cosA−a⋅cosB=0，

∴cosA⋅(2sinC−sinB)−sinA⋅cosB=0，

即2cosAsinC−cosAsinB−sinA⋅cosB=0，

∴2c