陕西省石泉县高中数学 第四章 函数应用 4.2 实际问题的函数建模 4.2.1 用函数模型解决实际问题教学设计 北师大版必修1

陕西省石泉县高中数学第四章函数应用4.2实际问题的函数建模4.2.1用函数模型解决实际问题教学设计北师大版必修1科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）陕西省石泉县高中数学第四章函数应用4.2实际问题的函数建模4.2.1用函数模型解决实际问题教学设计北师大版必修1教学内容分析亲爱的小伙伴们，咱们今天要一起走进数学的奇妙世界，探索第四章函数应用的奥秘。今天的主要教学内容是4.2节“实际问题的函数建模”，特别是4.2.1部分——用函数模型解决实际问题。这节内容可是非常实用的哦，它将帮助我们把数学知识转化为解决实际问题的工具。

咱们这本书是北师大版必修1，在这一章里，我们已经学习了函数的基本概念和性质，今天就是要把这些知识用在实际问题中，就像把书本里的知识变成我们手中的金钥匙，去开锁解决问题。

还记得我们之前学过的直线方程和二次函数吗？今天咱们就用这些知识来建模，解决一些生活中的实际问题。比如，我们可能会遇到计算商品价格、预测运动轨迹、分析人口增长等问题。这些都是我们生活中常见的问题，通过学习这个部分，咱们不仅能学会如何建模，还能学会如何运用数学思维去解决这些问题。

让我们一起动手，把书本上的知识变成解决问题的利器吧！🌟📚💡核心素养目标本节课旨在培养学生的数学核心素养，具体包括：1.培养学生运用数学语言表达实际问题的能力，提高数学交流能力；2.培养学生运用函数模型解决实际问题的思维品质，增强数学应用意识；3.培养学生分析问题和解决问题的能力，提高逻辑推理和数学建模水平；4.培养学生的创新意识和实践能力，激发学生对数学学科的兴趣和探索精神。通过这些目标的实现，让学生在数学学习过程中，不仅掌握知识，更提升自身综合素质。教学难点与重点1.教学重点：

-函数模型的选择：重点在于引导学生根据实际问题选择合适的函数模型，如线性函数、二次函数等。

-模型建立过程：强调从实际问题中提取关键信息，建立数学模型的过程，包括确定变量、建立方程等。

-模型求解与解释：教授学生如何求解函数模型，并能够将求解结果解释到实际问题中，如求极值、解不等式等。

例如，在解决商品价格问题时，重点在于识别价格与数量之间的关系，选择线性函数作为模型，并能够根据模型求出特定数量的商品价格。

2.教学难点：

-问题抽象化：将实际问题转化为数学模型的过程，对于一些学生来说，抽象思维能力是难点。

-模型适用性判断：学生可能难以判断所选择的模型是否适用于实际问题，或者如何调整模型以适应问题。

-模型求解的复杂性：对于一些复杂的问题，求解模型可能涉及高阶数学知识，如积分、微分等，学生可能感到困难。

例如，在分析人口增长问题时，难点在于如何将人口增长的自然规律抽象为一个指数函数模型，并理解其背后的数学原理。此外，求解人口增长模型时，可能需要使用微积分知识，这对学生来说是一个挑战。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有北师大版必修1教材，特别是第四章函数应用部分。

2.辅助材料：准备与教学内容相关的图表、实例分析、实际应用案例的图片和视频，帮助学生更好地理解函数模型在现实中的应用。

3.实验器材：由于本节课不涉及实验操作，故无需实验器材。

4.教室布置：设置分组讨论区，提供白板或投影设备展示教学图表和模型，以便于学生互动和讨论。教学过程1.导入（约5分钟）

-激发兴趣：同学们，你们有没有想过，数学是如何帮助我们在生活中找到答案的？比如，我们去超市购物，如何快速计算商品总价？今天，我们就来学习如何用数学的方法来解决这样的实际问题。

-回顾旧知：在之前的课程中，我们学习了直线方程和二次函数，它们都是解决实际问题的重要工具。今天，我们将学习如何将这些问题转化为数学模型，并用函数来描述它们。

2.新课呈现（约30分钟）

-讲解新知：首先，我会详细讲解函数模型的基本概念，包括自变量、因变量、函数关系等。然后，我会介绍如何根据实际问题选择合适的函数模型，比如线性函数、二次函数等。

-举例说明：我会通过几个简单的例子，如商品价格与数量的关系、运动轨迹的分析等，展示如何建立函数模型，并解释模型的意义。

-互动探究：接下来，我会让学生分组讨论，尝试自己建立一个简单的函数模型来解决一个实际问题。我会走动在各个小组之间，提供必要的指导。

3.巩固练习（约20分钟）

-学生活动：在分组讨论的基础上，我会给出几个不同类型的实际问题，让学生独立完成函数模型的建立和求解。这些问题将包括线性函数、二次函数的应用，以及一些稍微复杂的问题。

-教师指导：在学生进行练习的过程中，我会及时巡视，观察他们的解题过程，并给予个别指导。对于共性问题，我会通过课堂提问或集体讲解的方式解决。

4.拓展延伸（约10分钟）

-我会提出一些更具挑战性的问题，鼓励学生运用所学知识进行思考。这些问题可能涉及多个函数的复合，或者需要用到微积分知识。

-学生展示：选几个小组展示他们的解题过程和结果，我会邀请其他学生进行评价和补充。

5.总结反馈（约5分钟）

-总结：我会简要回顾本节课的主要内容，强调函数模型在解决实际问题中的重要性。

-反馈：我会让学生填写反馈表，了解他们对本节课的理解程度和学习感受。根据反馈，我会对教学进行调整。

整个教学过程将结合多媒体演示、小组讨论、个人练习等多种教学手段，以确保学生能够充分理解和掌握函数模型的应用。学生学习效果学生学习效果

1.理解函数模型的基本概念：学生能够清晰地理解自变量、因变量、函数关系等基本概念，并能将其应用于实际问题中。

2.掌握函数模型的选择与建立：学生在教师的引导下，学会了如何根据实际问题的特点选择合适的函数模型，并能独立建立简单的数学模型。

3.提高实际问题解决能力：通过本节课的学习，学生能够运用所学的函数模型解决生活中的实际问题，如商品价格、运动轨迹等，提高了他们的实际问题解决能力。

4.增强数学应用意识：学生通过学习函数模型的应用，意识到数学在生活中的重要性，增强了他们的数学应用意识。

5.提升逻辑推理能力：在建立函数模型的过程中，学生需要运用逻辑推理能力分析问题、解决问题。本节课的学习有助于提高学生的逻辑推理能力。

6.培养团队合作精神：本节课采用小组讨论的方式，学生在讨论过程中学会了倾听、表达、协作，培养了他们的团队合作精神。

7.增强创新意识：在解决实际问题的过程中，学生需要不断尝试新的方法和思路，这有助于培养他们的创新意识。

8.提高自主学习能力：本节课的教学过程中，学生需要独立完成练习和问题解答，这有助于提高他们的自主学习能力。

9.增进对数学学科的兴趣：通过学习函数模型的应用，学生能够感受到数学的实用性和趣味性，从而增进对数学学科的兴趣。

10.提升数学素养：本节课的学习有助于学生提升数学素养，包括数学思维、数学表达、数学应用等方面的能力。内容逻辑关系①函数模型的概念

-自变量与因变量

-函数关系与对应法则

-定义域与值域

②函数模型的选择与建立

-实际问题中的变量识别

-选择合适的函数类型（线性、二次等）

-建立数学模型的基本步骤

③模型的应用与求解

-模型在解决问题中的应用

-求解模型的方法（代数运算、图形分析等）

-解读求解结果，与现实问题对应

④模型的评价与改进

-模型的适用性评估

-根据实际情况调整模型

-提高模型准确性和实用性典型例题讲解1.例题一：

已知某商品的原价为每件100元，为了促销，商家决定按原价的0.8倍出售，并承诺每件商品提供10元的折扣。求该商品的实际售价。

解答：实际售价=原价×0.8-折扣

=100元×0.8-10元

=80元-10元

=70元

2.例题二：

某城市的人口每年增长率为2%，若2010年该城市人口为100万人，求2020年该城市的人口数量。

解答：设2010年人口为P0，增长率为r，时间为t（单位：年），则人口数量P可表示为：

P=P0×(1+r)^t

代入数据：P=100万×(1+0.02)^10

≈100万×1.2187

≈121.87万

3.例题三：

一辆汽车从静止开始匀加速直线行驶，加速度为2m/s²，求汽车行驶10秒后的速度。

解答：根据匀加速直线运动的公式：

v=u+at

其中，v为末速度，u为初速度（此处为0），a为加速度，t为时间。

代入数据：v=0+2m/s²×10s

=20m/s

4.例题四：

一家工厂的月产量Q（单位：吨）与每天工作的小时数h之间存在以下关系：Q=50h+1200。求该工厂每天工作多少小时时，月产量达到800吨。

解答：将Q=800代入公式，得到：

800=50h+1200

解方程得：h=(800-1200)/50

=-400/50

=-8

由于工作时间不能为负数，因此需要检查是否有误。重新计算得：

h=(800-1200)/50

=-400/50

=-8

发现计算错误，正确解法应为：

h=(800-1200)/50

=-400/50

=-8

由于h不能为负数，因此此题无解。

5.例题五：

某班级有学生40人，男女生人数之比为3:2，求该班级男生和女生的人数。

解答：设男生人数为3x，女生人数为2x，则总人数为5x。

根据题意，5x=40

解方程得：x=40/5

=8

因此，男生人数为3x=3×8=24人，女生人数为2x=2×8=16人。教学反思今天这节课，我们一起探讨了函数模型在实际问题中的应用，说实话，我对这节课的教学效果还是蛮有感触的。

首先，我觉得学生在理解函数模型的概念上还是有些吃力的。虽然我在讲解时尽量用生活中的例子来解释，但有些抽象的概念还是让他们有些摸不着头脑。比如说，自变量和因变量的关系，他们可能能理解，但是如何将其应用到实际问题中，他们还是显得有些迷茫。这让我意识到，在今后的教学中，我需要更加注重概念的实际应用，通过更多的实例来帮助学生建立起概念与实际之间的联系。

其次，我发现学生在选择函数模型时，往往比较盲目。他们可能知道要选择合适的模型，但是具体如何判断，他们并不清楚。在课堂上，我尝试引导学生根据问题的特点来选择模型，但效果并不理想。我想，这可能是因为他们缺乏足够的实践经验。因此，我计划在接下来的教学中，增加一些实际问题解决的活动，让学生在实践中学会如何选择和建立函数模型。

再来说说课堂互动。今天我尝试让学生分组讨论，这个做法我觉得还是不错的。学生们在讨论中能够互相启发，共同解决问题。但是，我也发现一些学生比较内向，不太愿意参与讨论。这可能是因为他们对自己的数学能力没有信心，或者是对课堂讨论有一定的恐惧。针对这个问题，我打算在接下来的教学中，更多地鼓励学生表达自己的观点，同时也要注意保护他们的自尊心，让他们在尝试中逐渐克服恐惧。

此外，我还发现一些学生在解题时，容易忽略问题的实际意义。他们可能会按照公式一步一步计算，但是最后得到的答案却与实际问题不符。这让我意识到，在讲解解题步骤的同时，我需要更加注重对学生解题思维的培养，让他们明白数学不仅仅是计算，更是一种解决问题的思维方式。

最后，我想说的是，教学是一个不断反思和改进的过程。通过这节课，我发现自己还有很多需要提高的地方。比如，如何更好地激发学生的学习兴趣，如何更有效地进行课堂管理，如何更深入地了解学生的学习需求等。这些问题都需要我在今后的教学中不断探索和解决。教学评价与反馈1.课堂表现：

学生们在课堂上的表现总体上是积极的。大部分学生能够认真听讲，积极参与讨论，对于新知识的接受程度也较好。不过，也有少数学生在课堂上表现出注意力不集中，需要教师在课堂上进行更多的关注和引导。

2.小组讨论成果展示：

在小组讨论环节，学生们能够围绕实际问题进行有效的沟通和合作。他们能够提出自己的观点，也能够倾听他人的意见，并在讨论中达成共识。特别是对于那些较为复杂的问题，学生们能够通过集体的智慧找到解决方案。不过，部分小组在讨论过程中存在依赖个别成员的情况，需要加强团队协作能力的培养。

3.随堂测试：

随堂测试结果显示，学生对函数模型的概念和应用有了初步的理解。大部分学生能够正确选择合适的函数模型，并能够进行基本的求解。然而，部分学生在建立模型和解题过程中存在逻辑错误，需要教师在后续教学中加强逻辑推理能力的培养。

4.学生反馈：

学生们普遍认为本节课内容实用性强，能够帮助他们解决生活中的实际问题。同时，他们也表示，在函数模型的选择和求解过程中，还存在一些困难。学生们希望教师在今后的教学中能够提供更多的实例和练习，以便更好地掌握相关知识。

5.教师评价与反馈：

针对课堂表现，教师认为学生们在课堂上的参与度较高，但仍有提升空间。教师建议在今后的教学中，可以通过设置更具挑战性的问题，激发学生的学习兴趣，提高他们的课堂参与度。

针对小组讨论成果展示，教师认为学生们在讨论