陕西省石泉县高中数学 第一章 计数原理 1.5.2 二项式系数的性质教学设计 北师大版选修2-3

陕西省石泉县高中数学第一章计数原理1.5.2二项式系数的性质教学设计北师大版选修2-3主备人备课成员教材分析哎呀，同学们，咱们今天要学习的是第一章的计数原理，重点落在1.5.2这个部分，就是“二项式系数的性质”。这可是北师大版选修2-3里的重要内容哦！咱们要一起探索二项式系数的秘密，看看它有哪些神奇的性质，这可是在数学世界里的大发现呢！😊核心素养目标学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：

同学们在之前的学习中，已经接触过组合数和排列数的概念，对二项式定理也有一定的了解。这意味着他们对计数原理有一定的认识基础，能够理解基本的数学符号和公式。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

咱们班的学生对数学普遍抱有浓厚的兴趣，尤其是对那些能揭示事物内在规律的数学问题。他们在解决问题时，既有较强的逻辑思维能力，也有一定的动手操作能力。在学习风格上，有的同学喜欢通过图形来理解抽象概念，有的则更倾向于通过公式推导来掌握知识。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

部分同学在理解二项式系数的性质时可能会感到困难，因为这部分内容涉及到了组合数学的深入探讨。此外，对于一些抽象的数学概念，如组合数的递推关系，部分同学可能难以从直观上理解。同时，学生在应用二项式系数的性质解决实际问题的时候，可能会遇到如何选择合适的公式和如何处理复杂问题的情况。这些都是我们需要在教学过程中特别关注和引导的地方。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学资源-多媒体教学设备：电脑、投影仪、电子白板

-教学软件：数学教学软件、几何画板

-课程平台：学校内部教学平台

-信息化资源：二项式系数性质相关的教学视频、在线习题库

-教学手段：实物教具（如骰子、扑克牌等用于演示组合情况）、黑板、粉笔教学流程1.导入新课

详细内容：

-首先回顾上一节课的内容，提问学生对于二项式定理的掌握情况。

-展示一些生活中常见的组合现象，如扑克牌游戏、体育比赛等，引发学生对组合数应用的兴趣。

-提出问题：“如何计算在一定条件下的事件发生的可能性？”以此引出本节课的主题——二项式系数的性质。

用时：5分钟

2.新课讲授

详细内容：

-第一条：介绍二项式系数的定义，展示其与组合数的关联。

-展示例子：计算组合数\(C_n^k\)，让学生观察二项式系数的排列规律。

-提问学生：如何计算\(C_n^k\)？引导学生使用组合数的性质进行计算。

-第二条：讲解二项式系数的性质，如对称性、递推关系等。

-展示例子：计算\(C_n^k\)和\(C_n^{n-k}\)的关系，让学生发现对称性。

-提问学生：如何根据\(C_n^k\)的递推关系计算\(C_{n+1}^k\)？

-第三条：应用二项式系数的性质解决实际问题。

-展示例子：计算某次考试的及格人数可能性，引导学生将实际问题转化为二项式系数的计算。

-提问学生：如何根据实际情况选择合适的二项式系数性质进行计算？

用时：20分钟

3.实践活动

详细内容：

-第一条：分组进行小组练习，让学生应用二项式系数的性质解决实际问题。

-每组发放练习题，包括计算题和应用题，让学生在规定时间内完成。

-巡视指导，解答学生疑问，确保每个学生都能跟上进度。

-第二条：展示学生的练习成果，分享解题思路和方法。

-每组选派代表展示解题过程，其他学生进行点评和补充。

-老师点评，总结解题要点，强调二项式系数性质的应用。

-第三条：组织课堂讨论，让学生探讨二项式系数性质在其他数学领域的应用。

-提出问题：“二项式系数的性质在概率论、统计学等领域有哪些应用？”

-引导学生思考，激发他们对数学知识的探究欲望。

用时：10分钟

4.学生小组讨论

详细内容：

-第一方面：讨论如何将实际问题转化为二项式系数的计算问题。

-举例回答：如计算在一次投篮中命中目标的概率，可以将投篮次数视为试验次数，命中次数视为成功次数，从而将问题转化为二项式系数的计算。

-第二方面：讨论二项式系数的性质在实际生活中的应用。

-举例回答：如计算生日悖论中的概率问题，利用二项式系数的性质可以快速计算出在多少人中至少有两个人生日相同的概率。

-第三方面：讨论如何将二项式系数的性质与其他数学知识相结合。

-举例回答：如将二项式系数的性质与二项式定理结合，推导出二项式定理的证明过程。

用时：10分钟

5.总结回顾

内容：

-回顾本节课所学的二项式系数的性质，强调其在数学学习和实际问题中的应用价值。

-总结学生在实践活动中的表现，指出优点和不足，鼓励学生继续努力。

-布置课后作业，巩固所学知识，布置思考题，引导学生思考二项式系数性质在更广泛领域的应用。

用时：5分钟

总用时：45分钟教学资源拓展1.拓展资源：

-二项式定理的应用：介绍二项式定理在物理、化学、生物等学科中的应用实例，如气体分子的分布、化学反应的平衡常数计算等。

-组合数学的实际应用：介绍组合数学在计算机科学、密码学、经济学、社会学等领域的应用，如组合优化问题、数据加密、市场分割策略等。

-排列组合在实际生活中的应用：通过案例展示排列组合在日常生活中如何帮助我们解决问题，如旅游路线设计、广告宣传效果评估等。

2.拓展建议：

-鼓励学生阅读有关组合数学和二项式定理的科普书籍，如《数学之美》、《数学的乐趣》等，以拓宽他们的数学视野。

-建议学生利用网络资源，如数学论坛、教育网站等，寻找与二项式系数性质相关的讨论和解答，提高他们的自学能力。

-推荐学生参加数学竞赛或挑战，如美国数学竞赛（AMC）、国际数学奥林匹克（IMO）等，通过实战演练提升解题技巧。

-鼓励学生参与数学研究项目，与教师或同学合作，探讨二项式系数性质在特定领域的应用，培养他们的科研兴趣和能力。

-建议学生通过实验探究二项式系数的性质，如设计实验验证二项式系数的递推关系，增强他们的实践操作能力。

-建议学生利用编程语言（如Python、MATLAB等）对二项式系数的性质进行模拟和分析，提高他们的计算机应用能力。

-鼓励学生参加数学俱乐部或社团，与志同道合的同学一起学习交流，共同进步。课堂1.课堂评价

-提问：在课堂教学中，我会通过提问的方式来检验学生对二项式系数性质的理解程度。例如，我会问：“谁能解释一下二项式系数的对称性是如何体现的？”通过学生的回答，我可以了解他们对这一性质的理解是否准确。

-观察：我会仔细观察学生在课堂上的参与度，比如他们是否能够积极回答问题，是否能够独立完成练习题，以及他们是否能够与其他同学进行有效的合作。

-测试：在课程结束后，我会设计一些小测验来评估学生对二项式系数性质的记忆和应用能力。这些测试可以是选择题、填空题或简答题，旨在检验学生对知识点的掌握情况。

-举例：在讲解完二项式系数的递推关系后，我会让学生尝试自己推导\(C_{n+1}^k\)的表达式，并观察他们的推导过程。如果学生能够正确推导出公式，那么说明他们对这一性质的理解是扎实的。

2.作业评价

-批改：我会对学生的作业进行认真批改，确保每个学生的作业都得到了细致的反馈。在批改过程中，我会注意学生的解题思路是否清晰，计算是否准确，以及他们是否能够灵活运用所学知识解决实际问题。

-点评：在作业的评语中，我会针对学生的具体表现进行点评，既指出他们的优点，也指出需要改进的地方。例如，如果学生在应用二项式系数的性质解决实际问题时出现错误，我会指出错误的原因，并提供正确的解题方法。

-反馈：我会及时将作业批改结果反馈给学生，让他们知道自己的学习效果，并鼓励他们在接下来的学习中继续努力。对于表现优异的学生，我会给予表扬，以增强他们的学习动力；对于表现不佳的学生，我会提供个性化的辅导，帮助他们克服学习中的困难。

-举例：在作业中，我会要求学生计算一个具体的二项式系数问题，并解释他们的解题过程。例如，计算\(C_5^2\)的值，并说明如何使用二项式系数的性质来简化计算。在批改作业时，我会检查学生是否正确应用了组合数的递推关系，以及他们是否能够解释自己的计算步骤。板书设计①知识点

-二项式系数的定义

-组合数的性质：对称性、递推关系

-二项式定理及其应用

②词句

-“二项式系数”的定义：从n个不同元素中，任取r个元素的组合数记作\(C_n^r\)或\(\binom{n}{r}\)。

-“对称性”表述：\(C_n^k=C_n^{n-k}\)。

-“递推关系”表述：\(C_{n+1}^k=C_n^{k}+C_n^{k-1}\)。

③知识点

-二项式定理的表达式

-二项式定理的证明思路

-二项式定理在解决问题中的应用

②词句

-“二项式定理”表达式：\((a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}C_n^ka^{n-k}b^k\)。

-“证明思路”概述：利用数学归纳法证明二项式定理。

-“应用实例”举例：计算多项式展开的特定项的系数。典型例题讲解例题1：计算\(C_5^2\)的值。

解答：根据组合数的定义，\(C_5^2\)表示从5个不同元素中取出2个元素的组合数。根据组合数的计算公式，我们有：

\[C_5^2=\frac{5!}{2!(5-2)!}=\frac{5\times4}{2\times1}=10\]

例题2：证明\(C_n^k=C_n^{n-k}\)。

解答：根据组合数的定义，我们有：

\[C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}\]

\[C_n^{n-k}=\frac{n!}{(n-k)!k!}\]

由于\(n!=n\times(n-1)!\)，我们可以将\(C_n^k\)和\(C_n^{n-k}\)中的\(n!\)相消，得到：

\[C_n^k=C_n^{n-k}\]

例题3：计算\((2x+3y)^4\)展开后\(x^3y\)的系数。

解答：根据二项式定理，\((2x+3y)^4\)的展开式中\(x^3y\)的系数为\(C_4^1\times2^3\times3^1\)。计算如下：

\[C_4^1\times2^3\times3^1=4\times8\times3=96\]

因此，\(x^3y\)的系数为96。

例题4：在5个人中选出3个人担任队长、副队长和队员，有多少种不同的组合方式？

解答：这是一个排列问题，因为队长的角色和副队长的角色是不同的。我们需要计算\(A_5^3\)的值。计算如下：

\[A_5^3=5\times4\times3=60\]

因此，有60种不同的组合方式。

例题5：在一个班级中，有10名男生和15名女生，要从中选出5名学生参加比赛，至少要有2名女生参加，有多少种不同的组合方式？

解答：这是一个组合问题，我们需要计算在至少有2名女生参加的情况下，所有可能的组合方式。可以分为以下三种情况：

-2名女生和3名男生

-3名女生和2名男生

-4名女生和1名男生

计算每种情况的组合数，然后相加：

\[C_15^2\timesC_{10}^3+C_{15}^3\timesC_{10}^2+C_{15}^4\timesC_{10}^1\]

\[=\frac{15\times14}{2\times1}\times\frac{10\times9\times8}{3\times2\times1}+\frac{15\times14\times13}{3\t