江苏省怀仁中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试题（含解析）

江苏省怀仁中学高一数学月考（3月）考试试卷一､单项选择题（每小题5分，共40分）1.在中，已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据余弦定理，即可求解.【详解】在中，已知，，，由余弦定理，得.故选：A．2.若复数满足，则的虚部为（）A. B. C.4 D.【答案】C【解析】【分析】根据复数的乘法、除法运算以及复数的概念求解.【详解】因为，所以，所以的虚部为4，故选:C.3.在中，，则的外接圆的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据正弦定理计算可得外接圆的半径，再利用圆的面积公式计算即可.【详解】由正弦定理得的外接圆的半径，所以的外接圆的面积．故选:．4.已知，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】结合向量的夹角公式，以及向量的夹角的范围，即可求解；【详解】因为，设向量与的夹角为所以，又因为，所以故选：B.5.若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（）A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】根据基底满足条件逐一分析即可.【详解】对于：，所以为共线向量，不符合基底的定义，故错误；对于：，所以为共线向量，不符合基底的定义，故错误；对于：，所以为共线向量，不符合基底的定义，故错误；对于：设存在唯一的实数使，则，此方程无解，故能作为平面向量的基底.故正确.故选：.6.如图，在中，，E是的中点．设，．则正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用平面向量的线性运算逐个选项分析求解即可.【详解】对于A，利用三角形定则可得，故A错误，对于B，因为，故B错误，对于C，因为E是的中点，所以，故C错误对于D，因为，所以，故D正确.故选：D7.在中，内角，，所对边分别为，，，，，则下列说法错误的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则有两解 D.若，则有两解【答案】D【解析】【分析】根据正弦定理建立方程，利用每个选项中的条件，可得答案.【详解】由正弦定理，得，当时，，故A正确；当时，，故B正确；当时，，故B有两解，故C正确；当时，，得，仅有一解，故D错误.故选：D.8.已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用投影向量公式计算即可.【详解】因为，，所以在上的投影向量为故选：C.二､多项选择题（每小题6分，共18分）9.已知为复数，有以下四个命题，其中真命题的序号是（）A.若，则 B.若，则C D.若，则【答案】BCD【解析】【分析】利用复数的意义判断AD；由模的计算判断BC.【详解】对于A，是复数，如，由不全是实数的两个复数不能比较大小，A错误；设，对于B，由，得，则，因此，，B正确；对于C，，，C正确；对于D，由，得都是实数，因此，D正确.故选：BCD10.下列说法中正确的是（）A.在中，，则的面积为B.已知向量，则C.在中，若，则是等腰三角形D.已知向量与的夹角为钝角，则的取值范围是【答案】AC【解析】【分析】由三角形面积公式直接求解可判断A；根据向量坐标运算求解可判断B；记的中点为D，根据向量加法运算结合已知可得中线垂直于，然后可判断C；考虑与反向时不满足条件即可判断D.【详解】，故A正确；，故B错误；记的中点为D，由于，因此中线垂直于，所以是等腰三角形，故C正确；与的夹角为钝角，且，故D错误.故选：AC.11.在中，角所对的边分别为，下列说法中正确的是（）A.若，则是等腰三角形B.若，则符合条件的有两个C.若，则为等腰三角形D.若，则为直角三角形【答案】ABD【解析】【分析】对于A，使用正弦定理即可证明；对于B，使用余弦定理解出全部的即可证明有两解；对于C，给出一组反例即可否定；对于D，使用和差化积以及积化和差公式即可证明或.【详解】对于A，由已知有，故，所以，故A正确；对于B，我们只需要确定满足条件的的个数，由余弦定理知满足的方程是，即，而该方程有两个解，故B正确；对于C，若，，，则，但不是等腰三角形，故C错误；对于D，若，则有.故，从而.这表明或，即或，故D正确.故选：ABD三､填空题（每小题5分，共15分）12.已知向量，，且，则实数___．【答案】或【解析】【分析】利用平面向量共线的坐标表示可得出关于的等式，进而即可解得的值．【详解】由向量，，且，则，整理得，解得或．故答案为：或．13.中，角的平分线交边于点，则角平分线的长为______．【答案】##【解析】【分析】利用等面积列出方程求解即得.【详解】依题意，设，,由,可得，，解得:.故答案为：.14.的面积为，角的对边分别为，若，则______.【答案】【解析】【分析】根据三角形面积公式和余弦定理代入化简计算即可得.【详解】易知，即，则.故答案为：.四､解答题（共77分）15.已知内角的对边分别为，设.（1）求；（2）若的面积为，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化进行化简，结合余弦定理即可得到结果；（2）根据题意，由三角形的面积公式可得，结合余弦定理即可得到结果.【小问1详解】原式化简可得：，整理得：，由正弦定理可得：，因此三角形的内角；【小问2详解】，，，.16.已知复数，（为虚数单位）满足__________.在①，②这两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并解答下列问题.（1）若，求复数以及；（2）若是实系数一元二次方程的根，求实数的值.注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）选条件①，利用共轭复数的意义及复数乘法运算求出，再利用复数除法运算及模的意义求解；选条件②，利用复数乘法运算及复数的意义求出，再利用复数除法运算及模的意义求解.（2）利用实系数一元二次方程的虚根成对出现，再借助韦达定理计算即得.【小问1详解】选条件①，，由，得，因此，即，又，解得，所以，.选条件②，，由得，因此，解得，所以，.【小问2详解】是实系数一元二次方程的根，则也是该方程的根，于是，则实数，所以实数的值为.17.如图，在正方形中，点是边上中点，点在边上上.（1）若点是上靠近的三等分点，设，求的值.（2）若，当时，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）用为基底表示向量，再根据向量相等即可得答案；（2）用为基底表示向量，再根据得点在边上的位置，进而根据向量的夹角公式计算即可.【详解】解：（1）因为点是上靠近的三等分点，点是边上中点，所以，所以，，所以（2）因为在正方形中，，设，所以，，，所以，解得.所以，所以，所以.18.在中，角的对边分别为，且向量，向量．（1）求角；（2）若，求周长的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算可得，即可由余弦定理求解，（2）根据余弦定理以及基本不等式即可求解，进而根据三角形三边关系即可求解.【小问1详解】∵，∴，化简得，∴∵，∴．【小问2详解】由余弦定理得．∵∴，当且仅当时等号成立．∴，∴，当且仅当时等号成立．∴,又∵，∴．∴周长的取值范围为．19.如图，在平面四边形中，点与点分别在的两侧，对角线与交于点，（1）的内角的对边分别为的面积，，，求和的值;（2）若，且，，求对角线的最大值和此时的值.【答案】（1），（2），最大值【解析】【分析】（1）利用三角形的面积公式以及余弦定理可求出的值，结合的取值范围可求得