贵州省贵阳市北大新世纪贵阳实验学校2024-2025学年高一下学期4月月考 数学试题（含解析）

北大新世纪贵阳实验学校2024-2025学年第二学期高一年级4月月考一、单选题（每小题5分）1.向量（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用平面向量加法的三角形法则计算.【详解】根据平面向量加法的三角形法则，可得.故选：A.2.已知复数，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用复数的运算法则化简复数，进而可求其模长.【详解】∴故选：3.已知是虚数单位，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数的四则运算进行化简，结合复数的几何意义进行判断即可．【详解】.在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D.4.已知向量,则的充要条件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】因为向量,则，故其充要条件是选D5.在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，那么该三角形解的情况为（）A.无解 B.恰有一解 C.恰有两解 D.不能确定【答案】C【解析】【分析】由三角形内角的性质得，结合的大小关系，即可判断三角形个数.【详解】中，则，而，，所以，显然满足的三角形恰有两个.故选：C6.在中，已知，，，则的面积S为()A. B. C. D.6【答案】A【解析】【分析】由已知的等式分解因式，求出b与c的关系，用c表示出b，然后根据余弦定理表示出，把a与的值代入即可得到b与c的关系式，将表示出的含c的式子代入即可得到关于b的方程，求出方程的解即可得到b的值，从而求得c的值，即可求得的面积.【详解】由，得(舍去).

又根据余弦定理得:，化简得:，

将代入可得，计算得出:或(舍去)，则，故.

由，且，可得，故的面积为.故选：A7.如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】平面内三点共线的充要条件为：存在实数，使，且.求得，从而可得结果.【详解】由，可得，所以，又三点共线，由三点共线定理，可得：，，故选C.【点睛】本题主要考查平面向量共线定理的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题.8.如图，复数z对应向量为，且|z-i|=5，则向量在向量上的投影向量的坐标为（）A. B. C.(6.5) D.【答案】D【解析】【分析】首先根据复数的几何意义设出复数，再根据复数模的公式，即可求解，再代入向量的投影公式，即可求解.【详解】由题图可知，，则，解得（舍去），所以，，则向量在向量上的投影向量为，所以其坐标为．故选：D二、多选题（每小题6分）9.在中，角，，所对的边分别为，，，下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】分析】在选项中，由余弦定理可得正确；在选项中，由正弦定理可得结论，正确；在选项中由余弦定理整理得，可得正确；在选项中，由余弦定理可得错误，即可得解.【详解】由在中，角，，所对的边分别为，，，知：在选项中，由余弦定理得：，故正确；在选项中，由正弦定理得：，，故正确；在选项中，，由余弦定理得：，整理，得，故正确；在选项中，由余弦定理得：，故错误.故选：.【点睛】本题主要考查正弦定理与余弦定理的应用，利用正弦定理与余弦定理进行边角转化，意在考查学生对定理的掌握与应用，属于基础题.10.已知i为虚数单位,下列命题中正确的是A.若x,,则的充要条件是B.是纯虚数C.若,则D.当时,复数是纯虚数【答案】BD【解析】【分析】选项A：取,满足方程，所以错误；选项B：,恒成立，所以正确；选项C：取,,，所以错误；选项D：代入，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取,,则,但不满足,故A错误；,恒成立,所以是纯虚数,故B正确；取,,则,但不成立,故C错误;时，复数是纯虚数,故D正确.故选:BD【点睛】本题考查复数有关概念的辨析，特别要注意复数的实部和虚部都是实数，解题时要合理取特殊值，属于中档题.11.给出下列命题，其中正确的选项有A.非零向量、满足，则与的夹角为B.若，则为等腰三角形C.若单位向量的、的夹角为，则当取最小值时，D.若，，，为锐角，则实数的取值范围是【答案】ABC【解析】【分析】直接利用向量的线性运算，向量的夹角的运算，向量的模，向量的夹角运算判断、、、的结论．详解】解：对于：非零向量、满足，令：，，则，，由于，如图所示：所以四边形为菱形，且为等边三角形；所以，，则与的夹角为，故正确．对于：由于，所以，所以为等腰三角形，故正确．对于：若单位向量的、的夹角为，则当取最小值时，即，当时，的最小值为，故正确；对于，，，由于为锐角，所以且与不同向，即则且，故不正确．故选：．三、填空题（每小题5分）12.______.【答案】【解析】【分析】直接按向量的运算法则进行计算即可.【详解】.故答案为：13.若等边三角形的边长为，平面内一点满足，则______.【答案】-2【解析】【详解】试题分析：以点为原点，以所在直线为轴建立直角坐标系，可得，所以，所以，所以，所以，所以.考点：向量的坐标运算.14.已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则______；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为______．【答案】①.②.【解析】【分析】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值.【详解】解法一：因为，即，则，可得，所以；由题意可知：，因为为线段上的动点，设，则，又因为为中点，则，可得，又因为，可知：当时，取到最小值；解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则，可得，因为，则，所以；因为点在线段上，设，且为中点，则，可得，则，且，所以当时，取到最小值为；故答案为：；.三、解答题15.计算:(1)；(2).【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】根据复数的四则运算法则计算即可得到结果.【详解】(1)(2)【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题.16.已知平面向量，，，且.（1）求；（2）若，，求及与的夹角的大小.【答案】（1）12（2），与的夹角的大小为【解析】【分析】（1）根据的坐标运算可得答案；（2）由坐标计算出与，由向量数量积的坐标表示及向量夹角公式即可求解.【小问1详解】，，，，解得.【小问2详解】由（1）知，，，，，，，，.，，即与的夹角的大小为.17.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且．（1）求B；（2）若，且的面积为，求b.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理和余弦定理求出，从而求出；（2）由三角形面积公式求出，结合，求出，由余弦定理求出答案.【小问1详解】，由正弦定理得，即，由余弦定理，得.因为，所以.【小问2详解】由（1）得，所以的面积为，得，由及正弦定理，得，所以.由余弦定理，得，所以.18.如图，四边形的三边，对角线AC交BD于O．（1）若，求的值；（2）求的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）通过建系，求出的坐标，代入等式列出方程组求解即得；（2）将理解为，利用两向量夹角的坐标公式即可求得.【小问1详解】如图，以为坐标原点，为轴，为轴建立直角坐标系，由题意，易得，,过点作轴于点，则,故,则又，则故得，，解得，故．【小问2详解】由图知，，即的余弦值为.19.在中，角的对边分别为，已知向量与向