高中数学复习教案3章-6章

第三章I一元函数的导数及其应用

第一节导数的概念及运算

课程标准

1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景,

知道导数是关于瞬时变化率的数学表达.通过函数图象直观理解导数的几何意义.

2.能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x\j=py=W的导数.

3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能

求简单的复合函数（限于形如式ax+b））的导数，会用导数公式表.

基础扎牢基础不牢•地动山摇

［由教材回扣基础］

1.函数y=/（x）在x=xo处的导数

如果当Ax-O时，平均变化率非无限趋近于一个确定的值,即含有极限，则

定义

称y=/U）在x=x«处可导,并把这个确定的值叫做y=/（x）在x=xo处的导数（也

称瞬时变化率）

z,一,,口口/Av届+Ar)-

记法记作,r(Xo)或V|10,即，(xo)l-irya篇一史lim二

函数y=/lx）在X=XO处的导数/'（xo）就是过该点切线的斜率ko,即ko=!照

几何

意义*x"（）+AAxx）一心）o

2.基本初等函数的导数公式

基本初等函数导函数

f（x）=c（c为常数）f'(x)=0

式x)=F(aGQ*)f(x)=axi2

«r)=sinxf(x)=cos_x

fix)=cosXf'(x)="sin_x

八x)=e，ra)=e

x

f(x)=a(a>09aWl)f(x)=aHn_n

f(x)=lnxf

/lx)=log<,x(a>0,aWl)，(x)-xlnfl

3.导数的运算法则

(i)[/u)士g(x)r=f(x)±g,(X)；

(2)[Ax)-g(x)]/=f'(x)g(x)+=x)j?‘(x)；

,f'(x)g(x)—f(x)g'(x)

(R(X)WO).

lg(x,)|2

4.复合函数的导数

复合函数y=Ag(x))的导数和函数“=g(x)的导数间的关系为=y"'如'，

即y对x的导数等于v对"的导数与〃对x的导数的乘积.

澄清微点•熟记结论

(1»‘(Xo)代表函数八*)在X=Xo处的导数值；(A*o))'是函数值_/(xo)的导数，且(/Uo))'

=0.

(2)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.周期函数的导数还是周期函数.

阚一斓

(4)曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个

公共点.

(5)函数y=/(x)的导数/'(x)反映了函数人外的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方

向，其大小,(灯|反映了变化的快慢，/(刈越大，曲线在这点处的切线越“陡峭”.

(6)在复合函数求导中要分清每一步求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆.

［练小题巩固基础］

一、准确理解概念(判断正误)

(1/(Xo)是函数y=/a)在X=xo附近的平均变化率.()

(2y(x)=sin(—x)的导数为(x)=cosx.()

(3)求/'(xo)时，可先求HM，再求/'(xo).()

⑷曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.()

答案：(1)X(2)X(3)X(4)7

二'练牢教材小题

1.(苏教版选择性必修①Pl93T2改编)若函数八x)=5(e是自然对数的底数)，则其导函

数/'(x)=()

1+x1-X八.

A.——B.——C.1+xD.1—x

ex

答案：B

2.(人数A版选择性必修②P8n3改编)已知_/(x)=13-8x+2x2,f(x0)=4,则x0=

解析：(x)=-8+4x,：.f(xo)=-84-4x0=4,解得x(>=3.

答案：3

2

3.(人教A版选择性必修②P78T3改编)曲线y=l一一^在点(一1,一1)处的切线方程为

XI/

2

解析：=.+2)2,k-1=2.故所求切线方程为2x—j+l=0.

答案：2x—j+l=0

4.(人教B版选择性必修③P87T2改编)已知函数4x)的导函数为/'(x),且满足/)=

2xf(l)+lnx,则，⑴二.

答案：一1

三'练清易错易混

1.(混淆求导公式)(多选)下列导数的运算中正确的是()

A.(3*)'=3xln3

B.(x2lnx)'=2xlnx+x

/cosx\,xsinx-cosx

cE=P

D.(sinxcosx)r=cos2x

A.一，fcosx\,—xsinx-cosx一.一4Aq、

解-析：选ABD因为(「J'=---------J---------,所以C项错误，其余都正确.

2.(混淆点尸处的切线和过尸点的切线)函数八*)=*2+5的图象在点(1,41))处的切线方

程为()

A.x-j+l=0B.3x-j-l=0

C.x—y—1=0D,3x—j+l=0

解析：选A函数｛x)=*2+；的导数为，(x)=2x-5,可得图象在点(1,AD)处的切线

斜率为4=2—1=1,切点为(1,2),可得图象在点(1,犬1))处的切线方程为》—2=*—1,即x

—y+l=0.故选A.

考法研透——方向不对•努力白费

命题视角一导数的运算(自主练通)

1.(多选)下列结论中正确的是()

A.若了=85p则<=±sin1

B.若〉=$加^2,则y'=2xcosx2

C.若y=ln5x,则/=.

D.若》=63贝!|y'=e2r

解析：选AB对于A,y'=—sin/O'=&inA正确；对于B,y'=cosx2-(x2)'

=2xcosx2,B正确；对于C,y'=^(5x)'=；,C错误；对于D,y'=6儿(2X)'=2e2x,

D错误.

2.(2022•长■沙一桃)等比数列｛斯｝中，访=2,a»—4,函数/(x)=x(x—ai)(x—⑸…(工―。8),

则/'(0)=()

A.26B.29

C.212D.215

解析：选C/'(x)=(x—«h)(x—。2)…(x—a8)+x[(x—ai)(x—。2)。8)]',所以/'(0)

=41。2a3…48=(41a8/=(2><4)4=212.故选C.

3.已知函数式x)=In(2x-3)+axer,若/'(2)=1,则。=.

1__2

解析：f(x)=r__-；'(2x—3)'+ae*+ax・(ex)'=z~_~^+aeX-axex,故f(2)=2

ZtXJZ/X<5

2

+加一2—2优一2=2—ae-2=1,则^=e.

答案：e?

x2lnx-1

4.若fw=-----------□-，---则---.--r--(x)=

21122

解析：由已知人x)=x-lnx+(—?•故，(x)=l-p+^5.

答案:T-V+V

L"点”就过］

(1)求导之前，应利用代数运算、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，尽量避免不

必要的商的求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错.

(2)①若函数为根式形式，可先化为分数指数霹，再求导.②复合函数求导，应由外到内

逐层求导，必要时可进行换元.

命题视角二导数的几何意义及应用

考法(一)求切线方程

［例1］(1)若经过点P(2,8)作曲线y=7的切线，则切线方程为()

A.12x-j-16=0

B.3x-j+2=0

C.12x-y+16=0或3*—7一2=0

D.12x-y-16=0或3x-y+2=0

2x—1

⑵(2021•全国甲卷)曲线产My在点(一1,一3)处的切线方程为.

(3)若直线j=x+l与曲线相切于点Af(l,2),则b+2c—;该曲

线上斜率最小的切线方程为.

I解析］(1)设切点为A(xo,则)，由定义可求得切线的斜率为4=3而在曲线上，.•.则

=x8,故切线方程为y—就=3xd(x-xo).又点P(2,8)在切线上，；.8—疝=3xd(2—xo),即就一

3蝴+4=0,；.(xo+l)(xo—2)2=(),解得x()=—1或孙=2.当xo=2时，所求切线的方程为y

-8=12(x-2),即12x-j-16=0;当x0=-l时，所求切线方程为j+l=3(x+l),即3x

一y+2=0.故选D.

...2x—12(x+2)—(2x—1)5.,,

(2)因为y=不懑•，所以y=-A~~(x+；)2=讲方•当*=-1时，>=-3,y=5,

所以切线方程为y+3=5(x+l),即5x-y+2=0.

(3)由题可得，y'=3X2+25X.因为直线y=x+l与曲线y=x3+b/+c相切于点M(l,2),

所以4=1=3+23,解得占=一1.因为点M(l,2)在曲线上，所以2=1—1+c,解得c=2.所以

Z>+2c=3.因为y'=3*2—2x=3(x—余一；》一；，所以当x=；时，导数取到最小值一；，此

时切点为Q,引，所以斜率最小的切线方程为y—■=一〈(X—即为9x+27y—55=0.

［答案］(1)D(2)5x-j+2=0(3)39x+27j-55=0

［方法技巧］

(1)求曲线在点P(xo,%)处的切线，则表明尸点是切点，只需求出函数在尸处的导数，

然后利用点斜式写出切线方程，若在该点P处的导数不存在，则切线垂直于X轴，切线方程

为X=Xo»

(2)求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.切点不知道，要设

出切点，根据斜率相等建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键.

考法(二)求参数值或范围

［例2］(1)已知曲线^=优*+*111丫在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,贝U()

A.a=e,b——1B.a=e,b=l

li

C.a=e~,b=lD.a=e~9b=-l

(2)(2022•淄博联考诺函数於)=加x+2x2^ax的图象上存在与直线2x—j=0平行的切

线，则实数〃的取值范围是.

［解析］=碇"+加x+1,；・切线的斜率土=y'|x=i=ae+l,・•・切线方程为y—ae

ae+l=2,

=(〃e+l)(x—1),即y=(ae+l)x—L又,・,切线方程为y=2x+A,/•］即a=e-1,

S=T,

⑵直线2x-y=0的斜率A=2,又曲线/U)上存在与直线2x-y=0平行的切线，(x)

=：+4x—〃=2在(0+8)内有解，则a=4x+；—2,x>0.又4x+；2244M=4,当且仅当

时取“=”.2=2.，Q的取值范围是［2,+°°).

［答案］(1)D(2)［2,+~)

［方法技巧］

利用导数的几何意义求参数的基本方法

利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的

不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围.

提醒：(1)注意曲线上横坐标的取值范围；

(2)谨记切点既在切线上又在曲线上.

［针对训练］

1.若曲线y=e，在x=0处的切线也是曲线y=Inx+Z)的切线，则》=()

A.-1B.1C.2D.e

解析：选C令y=_A*)=eS：.f(x)=e,：.f(0)=1,；A0)=1,.•.曲线旷=^在x

=0处的切线方程为y=x+l.设切线y=x+l与曲线y=lnx+Z＞的切点坐标为(》i,,〃+1),

:

*'y'=~,.".y'\x=m=~=l,.,.机=1,；.切点坐标为(1,2),：.2=lnl+瓦:.b=2.

2.(2022•★岛楔拟)(多选)若直线尸&+b是函数八x)图象的一条切线，则函数段)可以

是()

A.yu)=:B._/u)=*4

C./(x)=sinxD.f[x)=ex

解析：选BCD直线的斜率为4=g,由/(x)=1的导数为/'(x)=一占即切

线的斜率小于o,故A不正确；由於)=炉的导数为尸(幻=4号而叱招，解得工=3，故

B正确；由/(x)=siiix的导数为/'(x)=cosx,而cosx=；有解，故C正确；由,人工)=0”的

导数为/'(x)=e，，而e*=；,解得了=一加2,故D正确，故选B、C、D.

3.已知直线＞=履+1与曲线3=必+°工+)相切于点4(1,3),贝!|2。+)=.

解析：由题意知，y=x3+or+力的导数y'=3x2+a,

li+a+b=3,k=2,

则，3Xl2+a=k,解得，a=—l,：.2a+b=l.

、A+1=3,力=3.

答案：1

4.已知r(x),g'(x)分别是二次函数八幻和三次函数g(x)的导函数，ytgXx)

且它们在同一直角坐标系内的图象如图所示.

(1)若#1)=1,则八-1)=.-JkTi

(2)设函数Mx)=,/U)—g(x),则ft(-l),M0),〃(1)的大小关系为

(用“V”连接).

解析：(1)由题图可得(x)=x,(x)=x2,设大幻=0工2+力x+c(a#o),g(x)=dx3+ex2

22

+s+〃(d#0),则(x)=2ax+b=x9g'(x)=3dx+2ex+m=x,故〃=；,8=0,

e=，〃=0,.\")=%+<：3)=率3+”.由犬1)=1,得0=3.则兀0=$2+3,：.f(-l)=l.(2)h(x)

23

=f(x)—g(x)=^x-^x+c-n9则有/i(—l)=7+c-zi,h(0)=c—n,A(l)=；+c—〃•故/z(0)

/DOO

</l(l)</l(-l).

答案：(1)1(2)6(0)VEl)VA(T)

思维激活——灵活不足•难得高分

一题多变•练发散思维——两曲线的公切线问题

［典型母题］

若直线y=kx+b是曲线y=\nx+2的切线，也是曲线y=ln(x+l)的切线，则b=

［解题观摩］y=lnx+2的切线方程为y=；x+lnxi+1(设切点横坐标为xi),j=ln(x+

1）的切线方程为y=-x+ln（X2+1）—_（设切点的横坐标为X2）,...

X2I1X2I1

Xz+l*

解得xi=5,必=-5,/.6=lnxi+l=l-In2.

In尤1+1=加（必+1）—士立,

［发掘训练］

1.(变条件、变结论)已知直线是曲线y=e”的切线，也是曲线y=lnx+/n的切线，

则实数m=.

解析：对于y=e)设切点为(麓，ert),因为=ex,所以切线斜率A=e〃，故切线方程

为y—e〃=e"(x—〃)，由已知得切线过点(0,0),所以一e〃=e〃(一〃)，故〃=1,所以左=e.对于y

=lnx+m9y'=1,设切点为(c,Inc+/〃)，由切线为产ex,得V+=c=：=e,所以c=；,

所以切点为Q,1),代入y=lnx+"z,得1=加1+机，所以m=2.

答案：2

2.(变条件)若本例条件“曲线y=lnx+2与曲线y=ln(x+l)”分别变为“曲线y=lnx

+3和y=ln(x+2)”，其他条件不变，则实数〃=.

解析：设切点坐标分别为(xi,Inxi+3),(X2,111(x2+2)),令.x)=lnx+3,g(x)=ln(x

+2),则/'(x)=［,/(x)=*I，可知：=孙；2'即力=必+2.过切点(xi,Inxi+3)表示

的切线方程为j—InXi-3=~(x—Xi),即j=~x+lnxi+2;过切点(必，ln(“2+2))表示的切

人■1•*,1

线方程为y—加(必+2)=工^工(X—必)，即乃；2“一X；2++刀2+2)=3-^：2+mX|,故

X,42

-T^=-2,解得M=-Q,故6=2+加(必+2)=2+111T.

X2I/QJ

答案：2+ln1

[升维训练]

3.曲线了=-5*<0)与曲线y=lnx的公切线的条数为()

A.1B.2C.3D.0

解析：选A设(xi,yi)是公切线和曲线y=一1的切点，则切线斜率Ai=(一3,Ixr[=

点切线方程为y+]=%x—xi),整理得产治一嘉设(如,2)是公切线和曲线产加x的切

点，则切线斜率A2=(lnx)'\X=X2=~^~~9切线方程为y—lnx2='(x—M),整理得y=—・x+ln

**2*2*2

11222

*2-1.令；^=；7,——=lnx—1,消去X2得一；7=lnR-L设t=-xi>0,即Zlnf-]—1=0,

X]X2Xl2X\I

2

只需探究此方程解的个数.易知函数/U)=2】nx-嚏一1在(0,+8)上单调递增，大1)=一3<0,

2

/(e)=l—：>0,于是/(x)=0有唯一解，于是两曲线的公切线的条数为1.

4.已知/(x)=ex(e为自然对数的底数)，g(x)=lnx+2,直线，是/U)与g(x)的公切线，

则直线I的方程为.

解析：设/与/(x)=ex的切点为(xi,exi),与g(x)=lnx+2的切点为(》2,In刈+2),因

,..1..1lnxz+2—exi1加处+2也

为/(幻=*g'(x)=",所以叱1=二=——---,即工=,整理得(工2-1)(加

XX2X2X\X2X24十dInX2

M+1)=(),所以*2=1或X2=E♦当X2=l时，切线方程为y—2=X—1,即y=x+l;当X2=：

时，切线方程为y—l=e(x—普，即7=6丫.综上，直线/的方程为y=ex或y=x+l.

答案：y=ex或y=x+l

[融会贯通]

解决单一曲线的切线问题相对比较简单，但对于两条曲线的公切线问题的求解，显然就

比单一曲线的切线问题要复杂得多，灵活得多，难度也大得多，具体的求解方法如下：

一是利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；二是设公切线

/在曲线y=/U)上的切点为Pi(xi,人修))，在曲线y=g(x)上的切点为尸2(M，g(M)),则/'(处)

.、f(.Xl)—g(X2)

=g'(X2)=—~—,再解决相关问题.

X1—X2

［课时跟踪检测］

一、综合练——练思维敏锐度

1.(2022•长沙长郡中学期中)若函数_/U),g(x)满足犬x)+xg(x)=*2—1,且川)=1,则/'⑴

+g'(1)=()

A.1B.2C.3D.4

解析：选c因为函数1Ax),g(x)满足Ax)+xg(x)=*2-i,且｛1)=1,所以yu)+g(i)

=#—1=0,则g(l)=—1.对/(x)+xg(x)=x2—1两边求导，得/'(x)+g(x)+xg'(x)=2x,

所以/'(l)+g(l)+g'(1)=2,所以，(l)+g‘(1)=3.故选C.

2.已知函数/U)的导函数为/'(x),且满足关系式H工)=/+30(2)+lnx,则/'(2)

=()

99

A.-2B.2C.一彳D，

解析：选C因为於)=必+3城(2)+lnx,所以，(x)=2x+"⑵+匕所以/'⑵

19

=2X2+3f(2)+2,解得7•'(2)=一亍

3.(2022•郴州质量检测)随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、

航天等众多领域，并取得了显著的经济效益.假设在放射性同位素社234的衰变过程中，其

含量M单位：贝克)与时间f(单位：天)满足函数关系N(f)=No2S,其中No为1=0时铳234

的含量.已知，=24时，牡234含量的瞬时变化率为-81n2,则N(96)=()

A.12贝克B.24贝克

C.121n2贝克D.241n2贝克

解析：选B由N(t)=N02《可得N'(t)=N02sXln2X(-g,当t=24时，N'(24)

=M2头Xln2X(-g=-81n2,解得No=2X8X24=384.所以N(f)=384X2会，当f=96

时，N(96)=384X2一二=384X2-4=24.故选B.

4.已知函数./U)=$2+cosx,则其导函数，(X)的图象大致是()

=77—1<0,排除C,故选A.

5.已知,/i(x)=sinx+cosx，4+i(x)是人(x)的导函数，即方(用=力'(x),力(x)=//(x),…,

r

Mx)=fn(x),neN*,则6021口)=()

A.—sinx—cosxB.sinx-cosx

C.-sinx+cosxD.sinx+cosx

/

解析：选DV/i(x)=sinx+cosx9."./2(x)=/i(x)=cosx—sinx,f^x)=f2(x)=-sin

，

x-cosx9/4(x)=/3(x)=-cosx+sinx,fs(x)=f^(x)=sinx+cosx,•••,工工白)的解析式

以4为周期重复出现，V2021=4X505+1,J.fio2i(x)=/i(x)=sinx+cosx,故选D.

6.(2020•全国I卷)函数大幻=/一2x3的图象在点(1,大1))处的切线方程为()

A.y=—2x—lB.y=-2x+l

C.j=2x-3D.y=2x+l

解析：选BV/(x)=x4-2x3,：.f(^)=4^-6^2,：.f(1)=一2.又八1)=1一2=—1,

・,.所求的切线方程为j+l=-2(x—1),即y=—2x+l.故选B.

7.已知直线y=or是曲线y=lnx的切线，则实数。=()

解析：选C设切点坐标为(xo,Inxo),由y=lnx的导函数为=；知切线方程为y—

，nL*r。)，即T+mXLI.由题意可知、。’解得T.故选C.

Jn1=0,

8.已知曲线y=含在点尸(2,4)处的切线与直线I平行且距离为2下,则直线/的方程

为()

A.2x+j+2=0

B.2x+y+2=0或2x+y-18=0

C.2x-j-18=0

D.2x-y+2=0或2x-y-18=0

2(x^-2x22

解析：选Byr=-(X—])2_y'k=2=­(2—1)2=-2,因此A/=_2,设

12X2+4—l

直线/方程为了=-21+儿即2x+j-5=0,由题意得^——诋——[=2下,解得力=18或8

=-2,所以直线/的方程为2x+y-18=()或2x+y+2=0.故选B.

9.过曲线y=*2-2x+3上一点P作曲线的切线，若切点尸的横坐标的取值范围是[1,I],

则切线的倾斜角的取值范围是()

A.[o,B.0,JC.[0,it)D胃，K)

3

解析:选B因为y'=2x—所以0W2x—2W1.设切线的倾斜角为“，则OWtan

jr

aWl.因为OWaWn,所以04(24不故选B.

10.若曲线y=Ax)=ln*+"始("为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范

围是()

A.(一/+°°)B[—/+~)

C.(0,+8)D.[0,+°=>)

12ux^4~1

解析：选D，(")=1+2仆=---(x>0),根据题意有，(x)20(x>0)恒成立，所以

2好2+120(》>0)恒成立，即2〃2一恒成立，所以。20,故实数a的取值范围为[0,

+°°).故选D.

11.我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用

正〃边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率元的精度较高的近似值，这是我国最优秀的

传统科学文化之一.借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切

线近似代替在切点附近的曲线来近似计算.设./(x)=ln(l+x),则曲线y=/(x)在点(0,0)处的切

线方程为,用此结论计算In2022-ln2021七.

解析：函数八x)=ln(l+x),则/'(x)=*pf(0)=1,1Ao)=0,.,.切线方程为y=x.

.•.ln2022—ln2O21=ln(l+J^0=/(tt[),根据“以直代曲"，x=J亓也非常接近切点

x=0..\可以将x=矗代入切线近似代替J(患)，即

答案：y=x2021

12.请写出与曲线/(工)=/+1在点(0,1)处具有相同切线的一个函数(非常数函数)的解析

式为g(x)=.

解析(幻=3X2/(0)=0,曲线式丫)=/+1在点(0,1)处的切线方程为y=l.故在点(0,1)

处的切线方程为y=l的函数都是正确答案，如g(x)=*2+L

答案：/+1(答案不唯一)

13.曲线尸加(2*—1)上的点到直线2x-j+3=0的最短距离为.

解析：设曲线上过点P(xo,/)的切线平行于直线2x—y+3=0,即斜率是2,则y'|x=

2

x0=._,=2,解得xo=l,所以#=0,即点P(l,0).又点尸到直线2x-y+3=0的距离为

所以曲线y=ln(2x-l)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是港.

答案：V5

14.（2022•长沙期末）已知a,b为正实数，直线y=x-a+2与曲线_y=e”，-1相切，则

:+卷的最小值为.

解析：由y=x—。+2,得直线的斜率为1,由y=ex+"-1,得y'=e”乙因为直线y=x

—a+2与曲线y=e”，-1相切，令e-'=l,则x=一方，代入1,得y=0,所以切

点为（一仇0）,则一力一a+2=0,所以a+b=2.故，+）=；（4+。）・（：+哲=1+?+袅21+

2、医嘉=2,当且仅当。=5=1时等号成立，此时取得最小值2・

\lJLU乙。UD

答案：2

15.设函数八工）=蹂一%曲线＞=＞/□）在点（2,彤））处的切线方程为7x-4y—12=0.

（1）求人x）的解析式；

（2）证明曲线式幻上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，

并求此定值.

*71h

解：（1）方程7x—4y—12=0可化为）=产-3,当x=2时，y=,•又因为，（%）=a+p,

a=1,3

解得所以大幻=工一,

2=3,

⑵证明：设尸（xo,yo）为曲线y=/U）上任一点，由＜=1+得知曲线在点P（xo,#）处的

切线方程为y-yo=（l+§（x—xo）,即y一^。一言）=（1+看）（工一"0）・令x=0,得丁=一£，

所以切线与直线x=0的交点坐标为（o,—0,令y="，得y=x=2xo,所以切线与直线＞=^

的交点坐标为（2x（）,2xo）.所以曲线y=，/（x）在点P（xo,加）处的切线与直线x=0和y=x所围成

的三角形的面积S=；|2xo|=6.故曲线y=/U）上任一点处的切线与直线x=0和y=x所

围成的三角形面积为定值，且此定值为6.

16.已知函数,小0=⑪3+加；2+"在x=±l处取得极值，且在工=0处的切线的斜率为一

3.

（1）求Ax）的解析式；

（2）若过点4（2,"?）可作曲线y=/U）的三条切线，求实数机的取值范围.

解：（1/（x）=3ax2+2〃x+c,

依题意F⑴=3a+23+c=。，f^O,

'lr（―l）=3a—2b+c=0[3a+c=0.

又/'(0)=-3,所以c=-3,所以a=l,所以,八⑹二必一？*.

(2)设切点为(xo,就一3xo),因为/'(x)=3*2—3,所以/'(xo)=3xd—3,所以切线方程为

y一(端一3xo)=(3蟠-3)(x—xo),又切线过点A(2,m),所以”?一(蛭-3xo)=(3x«-3)(2—xo),

所以,〃=—2H+6x9一6.令g(x)=­2/+63一6,则g'(x)=—6x2+12x=—[

6x(x—2),由g'(x)=0得x=()或x=2,g(x)“，M»=g(O)=-6,g(x)机大＜t=g(2)―甘襦--5

=2,画出g(x)的草图知，当一6＜机＜2时，g(x)=-2V+6x2—6有三个解，所W\

以m的取值范围是(一6,2).

二、自选练——练高考区分度

1.(2022•广州模拟)已知函数人x)在R上连续可导，/'(x)为其导函数，且yU)=ex+e-*

一/(1方(—),则/'(2)+/'(—2)一/‘(0)/'(1)=()

A.4e2+4e-2B.4e2—4e-2

C.0D.4e2

解析：选C由题知f(—x)=e~x+ex—f(iy(—x)"(e-x—ex)=f(x),即函数,/(x)是偶函

数.等式八一x)=Ax)两边同时对x求导得一/'(一x)=/'(x),即/'(一x)=-f(x),则/'(x)

是R上的奇函数，则/'(0)=0,f(-2)=-/(2),即/'(2)+/'(—2)=0,所以/'(2)+

，(-2)—『(0»'(1)=().故选C.

2.(2022•石家庄质检)已知函数八*)=4焉，曲线y=/(x)上存在两个不同点，使得曲

线在这两点处的切线都与y轴垂直，则实数”的取值范围是()

A.(―e2,+°°)B.(―e2,0)

C(-£+°°)D.(T，())

解析：选D:曲线y=Ax)上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂

直，:(x)=a+(x—1)£一*=0有两个不同的解，即a=(l—X圮-”有两个不同的解.设y=(l

—x)ex,贝4=(x—2)ex,・••当x<2时，y'<0,当x>2时，yr>0,贝1y=(l—%足一，在(一

8,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增，.・・x=2时，函数y取得极小值一e-2.又・・•当%>2

时总有y=(l-x)er<0且八0)=1>0,...可得实数a的取值范围是(一土，0).故选D.

3.已知曲线与_y=*2恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围是()

A.[21n2-2,+~)B.(21n2,+~)

C.(-8,21n2-2]D.(-°0,21n2-2)

y=kx+b9

解析：选D由题意可设直线y=h+b(A>0)为它们的公切线，联立，可得

y=x2

2+

x-kx—b=()9由4=0,得42+4)=0①.对y=ex+"求导可得y'=^°,令e”"=A,可得

x=lnk—a9・工切点坐标为(InA—〃，kink—ak+b),代入y=e*+。可得A=AIn%—②.

2

联立①②可得k-{-4k+4ak-4k\n4=0,化简得4+4a=41n土一4.令g(A)=41nk—k9则g'(A)

4

=工一1,令g’(的=0,得4=4,令/(6>0,得0vk4,令g‘(A)v0,得*>4・，g(的在(0,4)

内单调递增，在(4,+8)内单调递减，・・・g(A)max=g(4)=41n4—4,且无时,g(A)-8,

A—+8时，g(A)f—8.二•有两条公切线，工方程4+4a=41nA—k有两解,.\4+4a<41n4

-4,/.a<21n2—2.故选D.

4.(多选)已知Inxi一由一yi+2=0,处+272—4—21n2=0,记M=(X]—X2)2+(yi—以>，

则()

A.M的最小值为|B.当M最小时，必=学

C.M的最小值为玄

D.当M最小时，X2=

解析：选BC由加xi一1一yi+2=0,得yi=lnxi-xi+2,M=(xi—X2)2+(yi—ya)2的

最小值可转化为函数j=lnx—x+2图象上的点到直线x+2j—4—21n2=0上的点的距离的

最小值的平方.由y=lnX—x+2得y'=1—1,与直线x+2y—4—2加2=0平行的直线的斜

率为一；，则令:-1=一;，解得x=2,切点坐标为(2,In2),...点(2,1112)到直线工+2/

/X/

|2+21n2-4-21n2|2^5

-4-21n2=0的距离d=,,即函数y=lnx—x+2图象上的点到直

，1+4―5

线x+2y—4—21n2=0上的点的距离的最小值为邛^,.•.M的最小值为/=点过点(2,In2)

与直线x+2j-4-21n2=0垂直的直线为j-ln2=2(x-2),即2x-j-4+ln2=0.由

x+2j—4-21n2=0,1212

解得工=M，即当M最小时，X2=M•故选B、C.

2x—y—4+ln2=0,

第二节导数在研究函数中的应用

课程标准

1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，

能求不超过三次的多项式函数的单调区间.

2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；能利用导数求某些函数的极大值、

极小值以及给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值；体会导数与单调性、极

值、最大(小)值的关系.

第1课时系统知识牢基础——导数与函数的单调性、极值与最值

知识点一利用导数研究函数的单调性

［由教材回扣基础］

1.函数/(X)在某个区间m,内的单调性与/'(X)的关系

(1)如果如(x)>0,那么函数3>=1Ax)在区间上单调递增.

(2)如果如那么函数〉=人幻在区间上单调递减.

(3)如果/•'(x)=0,那么函数y=_Ax)在区间内是常数.

2.利用导数判断函数单调性的一般步骤

⑴确定函数的定义域;

(2)求出导数/'(x)的零点;

(3)用，(x)的零点将八*)的定义域划分为若干个区间，列表给出/'(x)在各区间上的正

负，由此得出函数)，=/(》)在定义域内的单调性.

3.用充分必要条件诠释导数与函数单调性的关系

(1)/'(幻>0(<0)是在区间(a,b)内单调递增(减)的充分不必