广东省广州市黄埔区玉岩中学2024-2025学年高一下学期3月月考 数学试卷（含解析）

广州市玉岩中学2024-2025学年第二学期阶段性教学质量检测（3月）数学一、单选题（每题只有一个正确答案，请把选好的选项填涂到答题卡相应位置，每小题5分）1.若向量，，则=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据向量，得到其相反向量，然后与利用加法求解.【详解】因为向量，所以向量，又所以，故选：A.【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2.设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的条件是（）A B. C. D.且【答案】C【解析】【详解】若使成立，则选项中只有C能保证，故选C[点评]本题考查的是向量相等条件模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零向量，其模为0且方向任意.3.设，向量，，，且，，则＝A. B. C. D.10【答案】B【解析】【详解】试题分析：∵，∴，即，∵，∴，即，∴，∴，∴．考点：向量的垂直、平行的充要条件，向量的模．4.函数的部分图象如图所示，则的值分别是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据周期即可求解，代入最高点即可求解.【详解】由图象知函数周期，，把​代入解析式，得，即​.​又​故选：A5.是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】试题分析：设，，∴，，，∴.【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量数量积问题，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简.平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是将“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．6.点在所在的平面内，以下说法错误的是（）A.若，则点为的重心B.若，则点为的外心C.若，则点为的内心D.若，则点为的垂心【答案】C【解析】【分析】利用向量的线性运算即可判断A；根据模长相等结合外心的性质即可判断B，利用向量的数量积和外心的性质判断C，利用和向量的线性运算和垂心的性质判断D.【详解】对于A：设边，，的中点分别为，∴，∵，∴，∴，∴三点共线，即点在中线上，同理可得点在中线上，∴点是的重心，故A正确；

对于B：若，∴点为的外心，故B正确；对于C：设边，，的中点分别为，则，∴，∴为线段的垂直平分线，同理可得分别为线段的垂直平分线，∴为三角形三条边垂直平分线的交点，∴点为的外心，故C错误；对于D：由已知可得，即，∴点在边边上的高上，同理可得点在边边上的高上，点在边边上的高上，∴点是的垂心，故D正确.故选：C7.在平面直角坐标系中，，将向量按逆时针旋转后，得向量则点的坐标是A. B.C. D.【答案】A【解析】【详解】试题分析：设，再设，则，由题意可得，从而可得，故答案选A.考点：平面向量.8.已知向量，且．若，则的最小值为（）．A. B.26 C. D.24【答案】B【解析】【详解】作正方形，连接对角线，令、分别为对角线、边上一点，使得，，，.故.二、多选题（每题均不止一个正确选项，请把选好的选项填涂到答题卡相应位置，每小题6分）9.如图，正方形的边长为1，延长至，使，连接、，则下列各式正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根据给定条件，取定平面的一个基底，再利用向量运算逐项求解判断.【详解】在边长为1的正方形中，令，，对于A，，A正确；对于BD，，，，，因此，BD正确；对于C，，，C错误；故选：ABD10.以下各组向量中，可以作为平面向量的一组基底的是（）A.，B.，C.，D.，【答案】BC【解析】【分析】利用和差角的正余弦公式、二倍角的正弦公式，结合基底的意义逐项判断.【详解】对于A，，，A不是；对于B，，不共线，B是；对于C，，不共线，C；对于D，，，D不是.故选：BC11.已知，则下列结论正确的是（）A.的图象关于直线对称B.的图象可由向左平移得到C.若的定义域为，则值域为D.集合，若，且，则【答案】ACD【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数，再结合对称性、函数图象变换、最值及零点问题依次求解判断.【详解】依题意，，对于A，，的图象关于直线对称，A正确；对于B，，，B错误；对于C，由，得，，C正确；对于D，由，得，则或，因此，D正确.故选：ACD三、填空题：（每小题5分，请把答案填写在答题卡相应的位置）12.已知点，，则与向量同方向的单位向量的坐标是__．【答案】【解析】【分析】与向量同向的单位向量为，根据坐标形式求得向量及模长即可求得.【详解】点，，，可得，因此，与向量同方向单位向量为：故答案为：13.已知向量夹角为，且，则__________．【答案】【解析】【详解】试题分析：的夹角，，，，.考点：向量的运算.【思路点晴】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用.利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.14.函数的所有零点之和等于__________.【答案】60【解析】【详解】函数的零点，即为方程在区间上的解.等价于函数的图象与函数的图象，在区间上的交点的横坐标.因为函数的图象与函数的图象，均关于点（5，0）对称，且在区间上共有12个交点（6组对称点），每组对称点的横坐标之和为10，即这12个点横坐标之和为60.所以函数的所有零点之和等于60.四、解答题（共5题，请把详细计算和推理过程书写在答题卡相应的位置，超出答题框部分无效）.15.在平面直角坐标系中，已知，，.（1）若、、三点共线，求实数的值；（2）若，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量的坐标表示及共线向量的坐标表示，列式计算即得.（2）由（1）中信息，利用向量垂直的坐标表示列式求解.【小问1详解】依题意，，由、、三点共线，得，则，所以.【小问2详解】由，得，则，解得，则所以的面积为.16.已知向量，函数的最大值为.（Ⅰ）求；（Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象.求在上的值域.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）【解析】【详解】：（Ⅰ）因为的最大值为，所以（Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位，得到再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到因所以的最小值为最大值为所以在上的值域为【考点定位】本题通过向量运算形成三角函数问题，考查了向量的数量积运算、三角函数的图象变换、三角函数的值域等主干知识，难度较小17.从低压变压器输出的电路中，输送的是交流电，其电压变化规律符合三角函数，原理图如图（1）所示，线路为零线，线路、、均为火线.如图（2）则是变压器的简单模型，.其中，之间的电压等于之间的电压，记为，电压（单位：伏特）随着时间（单位：秒）的变化关系为：，以此类推，之间的电压等于之间的电压，记为，电压（单位：伏特）随着时间（单位：秒）的变化关系为：，之间的电压等于之间的电压，记为，电压（单位：伏特）随着时间（单位：秒）的变化关系为：交流电的频率一般是赫兹，即每秒变化次，其中频率是周期的倒数.（1）求的值；（2）之间的电压即之间的电压，可以理解为向量的模长；同理，之间的电压即之间的电压，可以理解为向量的模长；之间的电压即之间的电压，可以理解为向量的模长，其中向量、、的模长均为它们对应电压三角函数的最大值，用户张先生连接的家庭用电连接的是，用户李先生的工厂若连接的是，其中之间的电压等价于之间的电压，其大小为向量的模长.请分别求出张先生家庭电压最大值和李先生工厂电压的最大值.【答案】（1）（2）张先生家庭电压最大值和李先生工厂电压的最大值分别为、【解析】【分析】（1）求出交流电的最小正周期，结合正弦型函数的周期公式可求得的值；（2）由题意可得出张先生家庭电压的最大值，利用平面向量数量积的运算性质可求出的值，即可得出李先生工厂电压的最大值.【小问1详解】由题意可知，交流电的最小正周期为，则.【小问2详解】由题意可知，张先生家庭电压的最大值为，且，，所以，.故李先生工厂电压的最大值为.18.在中，为边的中点，为线段的中点.若，，设，.（1）把和分别用和表示；（2）求的最小值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）利用向量的线性运算，用，表示；（2）利用数量积运算求出，再利用基本不等式