2025版高考数学一轮复习坐标系与参数方程第二节参数方程学案理含解析新人教A版选修4-4

PAGEPAGE6其次节参数方程2024考纲考题考情1．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，假如曲线上随意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ft，,y＝gt。))①并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，t叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，干脆给出点的坐标间关系的方程叫做一般方程。2．直线的参数方程过定点P0(x0，y0)且倾斜角为α的直线的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y0＋tsinα))(t为参数)，则参数t的几何意义是有向线段eq\o(P0P,\s\up16(→))的数量。3．圆的参数方程圆心为(a，b)，半径为r，以圆心为顶点且与x轴同向的射线，按逆时针方向旋转到圆上一点所在半径形成的角α为参数的圆的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝a＋rcosα，,y＝b＋rsinα))(α为参数)α∈[0,2π)。4．椭圆的参数方程以椭圆的离心角θ为参数，椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝acosθ，,y＝bsinθ))(θ为参数)，θ∈[0,2π)。1．将参数方程化为一般方程时，要留意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必需依据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围。2．直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离。一、走进教材1．(选修4－4P26T4改编)在平面直角坐标系中，曲线C：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋\f(\r(2),2)t，,y＝1＋\f(\r(2),2)t))(t为参数)的一般方程为________。解析消去t，得x－y＝1，即x－y－1＝0。答案x－y－1＝02．(选修4－4P37例2改编)在平面直角坐标系xOy中，若直线l：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t，,y＝t－a))(t为参数)过椭圆C：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3cosφ，,y＝2sinφ))(φ为参数)的右顶点，求常数a的值。解直线l的一般方程为x－y－a＝0，椭圆C的一般方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，所以椭圆C的右顶点坐标为(3,0)，若直线l过(3,0)，则3－a＝0，所以a＝3。二、走出误区微提示：①不留意互化的等价性致误；②直线参数方程中参数t的几何意义不清致误；③交点坐标计算出错致错。3．若曲线C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋cos2θ，,y＝sin2θ))(θ为参数)，则曲线C上的点的轨迹是()A．直线x＋2y－2＝0B．以(2,0)为端点的射线C．圆(x－1)2＋y2＝1D．以(2,0)和(0,1)为端点的线段解析将曲线C的参数方程化为一般方程得x＋2y－2＝0(0≤x≤2,0≤y≤1)。故选D。答案D4．已知直线eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋at，,y＝y0＋bt))(t为参数)上两点A，B对应的参数值是t1，t2，则|AB|＝()A．|t1＋t2| B．|t1－t2|C.eq\r(a2＋b2)|t1－t2| D.eq\f(|t1－t2|,\r(a2＋b2))解析依题意，A(x0＋at1，y0＋bt1)，B(x0＋at2，y0＋bt2)，则|AB|＝eq\r([x0＋at1－x0＋at2]2＋[y0＋bt1－y0＋bt2]2)＝eq\r(a2＋b2)|t1－t2|。故选C。答案C5．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。曲线C1的极坐标方程为ρ(cosθ＋sinθ)＝－2，曲线C2的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t2，,y＝2\r(2)t))(t为参数)，则C1与C2交点的直角坐标为________。解析由ρ(cosθ＋sinθ)＝－2，得x＋y＝－2①。又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t2，,y＝2\r(2)t))消去t，得y2＝8x②。联立①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－4，))即交点坐标为(2，－4)。答案(2，－4)考点一参数方程与一般方程的互化【例1】把下列参数方程化为一般方程。(1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(1,2)t，,y＝5＋\f(\r(3),2)t))(t为参数)。(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝sinθ，,y＝cos2θ))(θ为参数，θ∈[0,2π))。解(1)由已知得t＝2x－2，代入y＝5＋eq\f(\r(3),2)t中得y＝5＋eq\f(\r(3),2)(2x－2)。即它的一般方程为eq\r(3)x－y＋5－eq\r(3)＝0。(2)因为sin2θ＋cos2θ＝1，所以x2＋y＝1，即y＝1－x2。又因为|sinθ|≤1，所以其一般方程为y＝1－x2(|x|≤1)。将曲线的参数方程化为一般方程的关键是消去其中的参数，此时要留意其中的x，y(它们都是参数的函数)的取值范围，即在消去参数的过程中肯定要留意普通方程与参数方程的等价性。参数方程化一般方程常用的消参技巧有：代入消元、加减消元、平方后相加减消元、整体消元等。【变式训练】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)sinα－cosα，,y＝3－2\r(3)sinαcosα－2cos2α))(α为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)m。(1)求曲线C1的一般方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)若曲线C1与曲线C2有公共点，求实数m的取值范围。解(1)由曲线C1的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)sinα－cosα，,y＝3－2\r(3)sinαcosα－2cos2α))(α为参数)，可得其一般方程为y＝x2(－2≤x≤2)，由曲线C2的极坐标方程为ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)m，可得其直角坐标方程为x－y＋m＝0。(2)联立曲线C1与曲线C2的方程，可得x2－x－m＝0，所以m＝x2－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2－eq\f(1,4)，因为－2≤x≤2，曲线C1与曲线C2有公共点，所以－eq\f(1,4)≤m≤6。考点二直线参数方程的应用【例2】(2024·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝4sinθ))(θ为参数)，直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋tcosα，,y＝2＋tsinα))(t为参数)。(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率。解(1)曲线C的直角坐标方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,16)＝1。当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y＝tanα·x＋2－tanα，当cosα＝0时，l的直角坐标方程为x＝1。(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0①。因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0。又由①得t1＋t2＝－eq\f(42cosα＋sinα,1＋3cos2α)，故2cosα＋sinα＝0，于是直线l的斜率k＝tanα＝－2。1．直线的参数方程有多种形式，只有标准形式中的参数才具有几何意义，即参数t的肯定值表示对应的点到定点的距离。2．依据直线的参数方程的标准形式中t的几何意义，有如下常用结论：(1)若直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t1，t2，则弦长l＝|t1－t2|。(2)若定点M0(标准形式中的定点)是线段M1M2(点M1，M2对应的参数分别为t1，t2，下同)的中点，则t1＋t2＝0。(3)设线段M1M2的中点为M，则点M对应的参数为tM＝eq\f(t1＋t2,2)。【变式训练】(2024·西安八校联考)以平面直角坐标系的坐标原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。已知直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2－3t，,y＝－1＋2t))(t为参数)，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ。(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|。解(1)由ρsin2θ＝4cosθ，可得ρ2sin2θ＝4ρcosθ，所以曲线C的直角坐标方程为y2＝4x。(2)将直线l的参数方程代入y2＝4x，整理得4t2＋8t－7＝0，所以t1＋t2＝－2，t1t2＝－eq\f(7,4)，所以|AB|＝eq\r(－32＋22)|t1－t2|＝eq\r(13)×eq\r(t1＋t22－4t1t2)＝eq\r(13)×eq\r(4＋7)＝eq\r(143)。考点三圆与椭圆参数方程的应用【例3】(2024·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3cosθ，,y＝sinθ))(θ为参数)，直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝a＋4t，,y＝1－t))(t为参数)。(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为eq\r(17)，求a。解(1)曲线C的一般方程为eq\f(x2,9)＋y2＝1。当a＝－1时，直线l的一般方程为x＋4y－3＝0。由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋4y－3＝0，,\f(x2,9)＋y2＝1))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(21,25)，,y＝\f(24,25)。))从而C与l的交点坐标为(3,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(21,25)，\f(24,25)))。(2)直线l的一般方程为x＋4y－a－4＝0，故C上的点(3cosθ，sinθ)到l的距离为d＝eq\f(|3cosθ＋4sinθ－a－4|,\r(17))＝eq\f(|5sinθ＋φ－a－4|,\r(17))，其中sinφ＝eq\f(3,5)，cosφ＝eq\f(4,5)。当a≥－4时，d的最大值为eq\f(a＋9,\r(17))。由题设得eq\f(a＋9,\r(17))＝eq\r(17)，所以a＝8；当a<－4时，d的最大值为eq\f(－a＋1,\r(17))。由题设得eq\f(－a＋1,\r(17))＝eq\r(17)，所以a＝－16。综上，a＝8或a＝－16。椭圆的参数方程实质是三角代换，有关椭圆上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用椭圆的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解。【变式训练】(2024·安徽质检)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为ρ2－2eq\r(2)ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))－2＝0，曲线C2的极坐标方程为θ＝eq\f(π,4)(ρ∈R)，C1与C2相交于A，B两点。(1)把C1和C2的极坐标方程化为直角坐标方程，并求点A，B的直角坐标；(2)若P为C1上的动点，求|PA|2＋|PB|2的取值范围。解(1)由题意知，C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，C2：x－y＝0。联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋12＋y－12＝4，,x－y＝0，))解得A(－1，－1)，B(1,1)或A(1,1)，B(－1，－1)。(2)设P(－1＋2cosα，1＋2sinα)，不妨设A(－1，－1)，B(1,1)，则|PA|2＋|PB|2＝(2cosα)2＋(2sinα＋2)2＋(2cosα－2)2＋(2sinα)2＝16＋8sinα－8cosα＝16＋8eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))，所以|PA|2＋|PB|2的取值范围为[16－8eq\r(2)，16＋8eq\r(2)]。考点四求曲线的参数方程【例4】在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝sinθ))(θ为参数)，过点(0，－eq\r(2))且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点。(1)求α的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程。解(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1。当α＝eq\f(π,2)时，l与⊙O交于两点。当α≠eq\f(π,2)时，记tanα＝k，则l的方程为y＝kx－eq\r(2)。l与⊙O交于两点当且仅当eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),\r(1＋k2))))<1，解得k<－1或k>1，即α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))或α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))。综上，α的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))。(2)l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tcosα，,y＝－\r(2)＋tsinα))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t为参数，\f(π,4)<α<\f(3π,4)))。设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tp＝eq\f(tA＋tB,2)，且tA，tB满意t2－2eq\r(2)tsinα＋1＝0。于是tA＋tB＝2eq\r(2)sinα，tP＝eq\r(2)sinα。又点P的坐标(x，y)满意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tPcosα，,y＝－\r(2)＋tPsinα，))所以点P的轨迹的参数方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(2),2)sin2α，,y＝－\f(\r(2),2)－\f(\r(2),2)cos2α))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α为参数，\f(π,4)<α<\f(3π,4)))。求曲线的参数方程最为关键的一点是依据题意合理恰当地选择参数，比如本题选择了直线的倾斜角α为参数，并且也要留意参数的取值范围。【变式训练】如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x2＋y2－x＝0的参数方程。解圆的半径为eq\f(1,2)，记圆心为Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，连接CP，则∠PCx＝2θ，故xP＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)cos2θ＝cos2θ，yP＝eq\f(1,2)sin2θ＝sinθcosθ(θ为参数)。所以圆的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cos2θ，,y＝sinθcosθ))(θ为参数)。eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(老师备用题))1．(协作例2运用)已知直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋\f(\r(2),2)t，,y＝1＋\f(\r(2),2)t))(t为参数)，以直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))。(1)求直线l的一般方程与圆C的直角坐标方程；(2)设圆C与直线l交于A，B两点，若P点的直角坐标为(2,1)，求||PA|－|PB||的值。解(1)易得直线l的一般方程为y＝x－1。因为曲线C的极坐标方程为ρ＝4eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝4sinθ＋4cosθ，即ρ2＝4ρsinθ＋4ρcosθ，所以圆C的直角坐标方程为x2＋y2－4x－4y＝0(或写成(x－2)2＋(y－2)2＝8)。(2)点P(2,1)在直线l上，且在圆C内，把eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋\f(\r(2),2)t，,y＝1＋\f(\r(2),2)t))代入x2＋y2－4x－4y＝0，得t2－eq\r(2)t－7＝0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝eq\r(2)，t1t2＝－7<0，即t1，t2异号，所以||PA|－|PB||＝||t1|－|t2||＝|t1＋t2|＝eq\r(2)。2．(协作例3运用)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t，,y＝m＋t))(t为参数，m∈R)，以原