2024八年级数学下册第十九章一次函数小专题十一一次函数与方程不等式的应用练习新版新人教版

PAGEPAGE7小专题(十一)一次函数与方程、不等式的应用某长途汽车客运公司规定旅客可免费携带肯定质量的行李，当行李的质量超过规定时，需付的行李费y(元)是行李质量x(kg)的一次函数．已知行李质量为20kg时需付行李费2元，行李质量为50kg时需付行李费8元．(1)当行李的质量x超过规定时，求y与x之间的函数关系式；(2)求旅客最多可免费携带行李的质量．解：(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b.将(20，2)，(50，8)代入y＝kx＋b，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20k＋b＝2，,50k＋b＝8，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,5)，,b＝－2.))∴当行李的质量x超过规定时，y与x之间的函数关系式为y＝eq\f(1,5)x－2.(2)当y＝0时，eq\f(1,5)x－2＝0，解得x＝10.答：旅客最多可免费携带行李10kg.甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校内绿化养护服务的收费方案．甲公司方案：每月的养护费用y(元)与绿化面积x(平方米)是一次函数关系，如图所示．乙公司方案：绿化面积不超过1000平方米时，每月收取费用5500元；绿化面积超过1000平方米时，每月在收取5500元的基础上，超过部分每平方米收取4元．(1)求如图所示的y与x的函数解析式；(2)假如某学校目前的绿化面积是1200平方米，试通过计算说明：选择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少．解：(1)设y＝kx＋b，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝400，,100k＋b＝900，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝5，,b＝400，))∴y＝5x＋400.(2)当绿化面积是1200平方米时，甲公司的费用为6400元，乙公司的费用为5500＋4×200＝6300(元)，∵6300＜6400，∴选择乙公司的服务，每月的绿化养护费用较少．某蔬菜加工公司先后两批次收购蒜薹共100吨．第一批蒜薹价格为4000元/吨；因蒜薹大量上市，其次批价格跌至1000元/吨．这两批蒜薹共用去16万元．(1)求两批次购进蒜薹各多少吨？(2)公司收购后对蒜薹进行加工，分为粗加工和精加工两种：粗加工每吨利润400元，精加工每吨利润1000元．要求精加工数量不多于粗加工数量的三倍．为获得最大利润，精加工数量应为多少吨？最大利润是多少？解：(1)设第一批购进蒜薹x吨，其次批购进蒜薹y吨．由题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝100，,4000x＋1000y＝160000，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝20，,y＝80.))答：第一批购进蒜薹20吨，其次批购进蒜薹80吨．(2)设精加工m吨，总利润为w元，则粗加工(100－m)吨．由m≤3(100－m)，解得m≤75，利润w＝1000m＋400(100－m)＝600m＋40000，∵600>0，∴w随m的增大而增大．∴m＝75时，w有最大值为85000元．4．某工厂生产一种产品，当产量至少为10吨，但不超过55吨时，每吨的成本y(万元/吨)与产量x(吨)之间是一次函数关系，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x(吨)102030y(万元/吨)454035(1)求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(2)市场调查发觉，这种产品每月销售量m(吨)与销售单价n(万元/吨)之间满意如图所示的函数关系．该厂第一个月按同一销售单价卖出这种产品25吨，恳求出该厂第一个月销售这种产品获得的利润．(注：利润＝售价—成本)解：(1)设y关于x的函数解析式为y＝kx＋b，将(10，45)，(20，40)代入解析式，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10k＋b＝45，,20k＋b＝40，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－0.5，,b＝50.))∴y＝－0.5x＋50(10≤x≤55)．(2)设每月销售量m(吨)与销售单价n(万元/吨)之间的函数解析式为m＝k1n＋b1，把(40，30)，(55，15)代入解析式得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(40k1＋b1＝30，,55k1＋b1＝15，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1＝－1，,b1＝70.))∴m＝－n＋70，当m＝25时，n＝45，在y＝－0.5x＋50(10≤x≤55)中，当x＝25时，y＝37.5，∴利润为25×(45－37.5)＝187.5(万元)．5．(2024·铜仁)学校打算购进一批甲、乙两种办公桌若干张，并且每买1张办公桌必需买2把椅子，椅子每把100元，若学校购进20张甲种办公桌和15张乙种办公桌共花费24000元；购买10张甲种办公桌比购买5张乙种办公桌多花费2000元．(1)求甲、乙两种办公桌每张各多少元？(2)若学校购买甲、乙两种办公桌共40张，且甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的3倍，请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需费用．解：(1)设甲种办公桌每张x元，乙种办公桌每张y元．依据题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20x＋15y＋7000＝24000，,10x－5y＋1000＝2000，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝400，,y＝600.))答：甲种办公桌每张400元，乙种办公桌每张600元．(2)设甲种办公桌购买a张，则乙种办公桌购买(40－a)张，购买的总费用为y元，则y＝400a＋600(40－a)＋2×40×100＝－200a＋32000，∵a≤3(40－a)，∴a≤30.∵－200＜0，∴y随a的增大而减小．∴当a＝30时，y取得最小值，最小值为26000元．答：购买甲、乙两种办公桌分别为30张、10张时，费用最少，为26000元．6．(教材P100习题T15变式)江汉平原享有“中国小龙虾之乡”的美称，甲、乙两家农贸商店，平常以同样的价格出售品质相同的小龙虾．“龙虾节”期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，付款金额y甲，y乙(单位：元)与原价x(单位：元)之间的函数关系如图所示．(1)干脆写出y甲，y乙关于x的函数关系式；(2)“龙虾节”期间，如何选择甲、乙两家商店购买小龙虾更省钱？解：(1)y甲＝0.8x.y乙＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x（0<x<2000），,0.7x＋600（x≥2000）.))(2)当0<x<2000时，0.8x<x，到甲商店购买更省钱；当x≥2000时，若到甲商店购买更省钱，则0.8x<0.7x＋600，解得x<6000；若到乙商店购买更省钱，则0.8x>0.7x＋600，解得x>6000；若到甲、乙两商店购买一样省钱，则0.8x＝0.7x＋600，解得x＝6000.故当购买金额按原价小于6000元时，到甲商店购买更省钱；当购买金额按原价大于6000元时，到乙商店购买更省钱；当购买金额按原价等于6000元时，到甲、乙两商店购买一样．赛龙舟是端午节的主要习俗，某市甲、乙两支龙舟队在端午节期间进行划龙舟竞赛，从起点A驶向终点B，在整个行程中，龙舟离开起点的距离y(米)与时间x(分钟)的对应关系如图所示，请结合图象解答下列问题：(1)起点A与终点B之间相距多远？(2)哪支龙舟队先动身？哪支龙舟队先到达终点？(3)分别求甲、乙两支龙舟队的y与x的函数关系式；(4)甲龙舟队动身多长时间时两支龙舟队相距200米？解：(1)由图可得，起点A与终点B之间相距3000米．(2)由图可得，甲龙舟队先动身，乙龙舟队先到达终点．(3)设甲龙舟队的y与x的函数关系式为y＝kx.把(25，3000)代入，可得3000＝25k，解得k＝120.∴甲龙舟队的y与x的函数关系式为y＝120x(0≤x≤25)．设乙龙舟队的y与x函数关系式为y＝ax＋b.把(5，0)，(20，3000)代入，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＝5a＋b，,3000＝20a＋b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝200，,b＝－1000.))∴乙龙舟队的y与x的函数关系式为y＝200x－1000(5≤x≤20)．(4)令120x＝200x－1000，可得x＝12.5.即当x＝12.5时，两龙舟队相遇．当x＜5时，令120x＝200，则x＝eq\f(5,3)(符合题意)；当5≤x＜12.5时，