高三文科数学第一轮复习经典习题集(含答案)

高中数学（文科）高考一轮复习

习题集（含答案）

目录

第一章集合............................................................1

第一节集合的含义、表示及基本关系...................................1

第二节集合的基本运算...............................................3

第二章函数............................................................5

第一节对函数的进一步认识...........................................5

第二节函数的单调性.................................................9

第三节函数的性质.................................................13

第三章指数函数和对数函数...........................................16

第一节指数函数...................................................16

第二节对数函数...................................................20

第三节幕函数与二次函数的性质.....................................24

第四节函数的图象特征.............................................28

第四章函数的应用....................................................32

第五章三角函数......................................................33

第一节角的概念的推广及弧度制.....................................33

第二节正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式.........................39

第三节正弦函数与余弦函数的图象及性质.............................42

第四节函数/（"）=Asin（卬x+/）的图象..............................45

第六章三角恒等变换..................................................50

第一节同角三角函数的基本关系.....................................50

第二节两角和与差及二倍角的三角函数...............................53

第七章解三角形......................................................56

第一节正弦定理与余弦定理.........................................56

第二节正弦定理、余弦定理的应用...................................59

第八章数列..........................................................60

第九章平面向量......................................................62

第十章算法..........................................................65

第一节程序框图...................................................65

第二节程序语句...................................................69

第十一章概率........................................................73

第一节古典概型...................................................73

第二节概率的应用.................................................75

第三节几何概型...................................................79

第十二章导数........................................................83

第十三章不等式......................................................85

第十四章立体几何....................................................88

第一节简单几何体.................................................88

第二节空间图形的基本关系与公理...................................92

第三节平行关系...................................................96

第四节垂直关系..................................................100

第五节简单几何体的面积与体积....................................104

第十五章解析几何..................................................108

第一节直线的倾斜角、斜率与方程..................................108

第二节点与直线、直线与直线的位置关系.............................111

第三节圆的标准方程与一般方程....................................114

第四节直线与圆、圆与圆的位置关系................................117

第五节空间直角坐标系............................................121

第十六章圆锥曲线..................................................123

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第一章集合

第一节集合的含义、表示及基本关系

A组

1.已知A={1,2},B={x\xlA},则集合A与B的关系为

解析：由集合B={x\xl*知，B={1,2}.答案：A=B

2.若比0[x\x2Na,a/?),则实数a的取值范围是.

解析：由题意知，炉£〃有解，故o.答案：o

3.已知集合庆=[y\y=x2-2x-l,x?R},集合B={x]-2#x8},则集合A与B

的关系是_______.

解析:y=x2-2x-l=(x-l)2-2>-2,.-.A={y|y>-2},.'.BEA.

答案：B^A

4.(广东卷改编)已知全集U=R,则正确表示集合M={-1,0,1}和N=

{x\x2+x=0}关系的韦恩(Venn)图是______.

①②③④

解析：由N={x\^+x=0},得/V={-1,0},则N号M.答案：②

5.(苏、锡、常、镇四市调查)已知集合/={x\x>5},集合8={x\x>a],若命题“x

是命题"尤夕的充分不必要条件，贝II实数8的取值范围是__.

解析：命题"旌4'是命题"XGBT的充分不必要条件，=/B,：.a<5.

答案：a<5

6.(原仓(1题)已知m^A,n^B,且集合A-{)\x-2a,aGZ},B={)^x=2a+1,aGZ},

又c={Mx=4a+1,aFZ},判断6+〃属于哪一个集合?

解：,.,/neZ,二设m=2ai,出WZ,又,.力W8,.,.设〃=2为+1,32Gz,:.m+n-

2(仇+力)+1,而为+52GZ,:.m+nG.B.

B组

abab

1.设a,6都是非零实数，片有+遢+百可能取的值组成的集合是_______.

ia因\3b\

解析：分四种情况：(l)a>0且b>0;⑵a>0且b<0;⑶然。且b>0;(4)a<0且

b<0,讨论得片3或片-1.答案：{3,-1}

2.已知集合力={-1,3,2m-1},集合8={3，加}.若比Z,则实数m=.

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解析:1住4,显然济丰-1且of■手口，故加=2m-1,gp（/77-1）2=0,：.m-1.

答案：1

3.设P,Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q={a+b\a^P,b^Qs,若P={0,2,

5},Q={1,2,6},则P+Q中元素的个数是______个.

解析：依次分别取a=0,2,5;6=l,2,6,并分别求和，注意到集合元素的互异

性，"+Q={1,2,6,3,4,8,7,11}.答案：8

4.已知集合M=凶炉=1},集合N={A|ax=1},若/V股，那么a的值是.

1

解析：例={况>=1或丫=-1},/V例，所以/V=。时，a=0;当a/0时，>=一=1

或或-1.答案：0,1,-1

5.满足{1}生力£{1,2,3}的集合力的个数是个.

解析：/中一定有元素1,所以/有{1,2},{1,3},Q,2,3}.答案：3

1b1c1

6.已知集合A=[^x=a+~,aeZ},B={^x=--~,6wZ},C^[）^x=~+~,ceZ）,

oz3zo

则4&C之间的关系是.

解析：用列举法寻找规律.答案：/窄8=C

7.集合/=3凶44,xER},B={^\x<a},则夕是"a>5"的.

解析：结合数轴若AQB^a>4,故"AQB'是"a>S"的必要但不充分条件.答案：

必要不充分条件

8.（江苏启东模拟）设集合例={可"=2",,且用<500},则M中所有元素的和为

解析：•••2"<500，，/7=0,1,2,3,4,5,6,7,8..•./中所有元素的和S=l+2

+22+...+28=511.答案:511

9.（北京卷）设Z是整数集的一个非空子集，对于住4如果八4且〃+1建4那么

称攵是4的一个“孤立元".给定5={1,2,3,4,5,6,7,8},由S的3个元素构成

的所有集合中，不含“孤立元"的集合共有_______个.

解析：依题可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含"孤立元"，这三个元素

一定是相连的三个数.故这样的集合共有6个.答案：6

10.已知/={x,xy,1g（功},8={0,,历，且/=6,试求x,y的值.

解：由lg（9知，xy>0,故胜0,xyjtO,于是由2=8得1g（枕）=0,xy-1.

1

・.乂={x,1,0},8={0,|M，p.

1

于是必有IM=1,-=胫1,故*=-1,从而y=-1.

X

11.已知集合Z=何必-3x-1040},

（1）若箔48={^m+l<x<2m-l},求实数m的取值范围；

（2）若2=6,B={x\m-6<x<2m-l},求实数6的取值范围；

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⑶若2=8,8=凶6-64X426-1},求实数m的取值范围.

解：由/=何解-3x-1040},得力=例-24x45},

(1)•.住力，.■.①若8=0,贝Um+l>2/77-1,gpm<2,此时满足BQA.

m+l<2m-1,

②若B",贝K-24/77+1,解彳导24/7743.

2m-1<5.

由①②得，)的取值范围是(-8,3].

2m-l>m-6,m>-5,

⑵若A&B,则依题意应有彳m-6<-2,解得，644,故34/7744,

2/77-1>5.m>3.

••.6的取值范围是[3,4].

m-6=-2,

(3)若A=B,则必有彳解得me。.,即不存在m值使得A=B.

2m-1=5,

12.已知集合/=例彦-3x+2<0},8=%-(a+l)x+a<0}.

(1)若A是8的真子集,求a的取值范围；

(2)若B是A的子集，求a的取值范围；

⑶若力=6,求a的取值范围.

解：由3x+2<0,即(x-1)(%-2)<0,得14X42,故/={况14壮2},

而集合8={M(x-l)(x-a)40},

⑴若力是8的真子集，即/B,贝！|此时B={A|1<X4a},故a>2.

⑵若B是A的子集，即BQA,由数轴可知14a42.

1G2

⑶若2=8,则必有a=2

第二节集合的基本运算

A组

1.(浙江卷改编)设〃=R,/={x\x>0},B={x|x>1},则uB=

解析：C"6=3辉1},uB={x\0<x<l}.答案:HO<X<1}

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2.（全国卷I改编）设集合Z={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集〃=ZU8,则集

合，4/n6中的元素共有_______个.

解析:Ad8={4,7,9},A\JB={3,4,5,7,8,9},［回向={3,5,8）.

答案：3

3.已知集合例={0,1,2},/V={x\x=2a,a?M},则集合Ml/V=.

解析：由题意知，2={0,2,4},故Ml/V={0,2}.答案：{0,2}

4.（原创题）设48是非空集合，定义且超，已知力={也4心

2},8=例户0},则Z⑧6=.

解析：>4U5=［0,+oo）,Af}B=［0,2］,所以力@8=（2,+oo）.

答案：（2,+8）

5.（湖南卷）某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项

运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为

解析：设两项运动都喜欢的人数为x,画出韦恩图得到方程

15-x+x+10-x+8=30nx=3，，喜爰篮球运动但不喜爰乒乓球运

动的人数为15-3=12（人）.答案：12

6.（浙江嘉兴质检）已知集合力=0人1},集合8=例侬旌6

+3}.

Q）当力=-1时，求，D8,/U8;

⑵若比4求m的取值范围.

解：⑴当加=-1时，8=仍-14X42},.乂08=例1<心2},4U8={Mm-1}.

（2）若BQA,则〃?>1,即〃?的取值范围为（1,+00）

B组

1.若集合M={xGR|-3<x<l},/V={xeZ|-14X42},贝！|"l/V=.

解析：因为集合/V={-1,0,1,2},所以肉/V={-1,0}.答案：{-1,0}

2.已知全集〃={-1,0,1,2},集合/={-1,2},8={0,2},则（［;uA］（\B=

解析：C^={0,1},故（CMns析0}.答案：{0}

3.（济南市高三模拟）若全集〃=R,集合M={M-2<x<2},N=凶*2-3x40},贝1|例（（

uN）=.

解析：根据已知得Ml（［uN）=*2<x<2}C}{^\x<0或x>3}=例-2<x<0}.答案：

例-2<x<0}

4.集合力={3,logza},B={a,为，若{2},贝1|4U8=.

解析:由得，二，从而二/

AHB={2}log2a=2a=46=2,UB={2,3,4）.

答案：{2,3,4}

5.（江西卷改编）已知全集中有m个元素，（［/l）U（C阂中有〃个元素.若41

8非空，则2D8的元素个数为.

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解析：中有6个元素，

,「(［M)U(［")=("416中有〃个元素，中有6-〃个

元素.答案：m-n

6.(重庆卷)设是小于9的正整数},/=是奇数},B

={/7G〃"是3的倍数},则］4/U6=.

解析：。={1,2,3,4,5,6,7,8},力={1,3,5,7},8={3,6},.dU8=

(1,3,5,6,7),

得［〃，0向={2,4,8}.答案：{2,4,8}

x

7.定义加B={2\z=xy+~,比4代用.设集合/={0,2},8={1,2},C={1},则

集合(2®邱。的所有元素之和为.

解析：由题意可求(206中所含的元素有0,4,5,则(力®期C中所含的元素有0,

8,10,故所有元素之和为18.答案：18

8.若集合{(x,M|x+y-2=0且x-2y+4=0}{(x,y}\y=3x+b},贝！］b=.

x+y-2=0,x=0,

解析：由＜点(0,2)在y=3x+6上,：.b=2.

x-2y+4=0.J=2.

9.设全集I={2,3,用+2a-3},A={2,|a+l|},C/={5},仍*=Iog2|a|},则集

合例的所有子集是_______.

解析:v/lUCCiA}=I,.-.{2,3,〃+2a-3}={2,5,\a+l\},.-.|a+l|=3,且#+

2a-3=5,解得a=-4aEa=2,：.M={log22,log2|-4|}={1,2}.

答案：。,{1},{2},{1,2}

10.设集合2={标-3x+2=0},8=3*+2(a+l)x+(a2-5)=0}.

Q)若Zn8={2},求实数a的值；

(2)若/U8=/,求实数a的取值范围.

解：由非-3x+2=0得x=l或x=2,故集合Z=Q,2}.

(I)r/n8={2},,268,代入8中的方程，得a2+4a+3=0=a=-1或9=-3;当

a=-1时，6=例*-4=0}={-2,2},满足条件；当a=-3时，8=例*-4x+4=0}

={2},满足条件；综上，a的值为-1或-3.

(2)对于集合8,△=4(a+l)2-4(a2-5)=8(a+3).-：A^B=A,：.B^A.

①当△<()，即a<-3时，8=。满足条件；②当△=()，即8=-3时，8={2}满足条

件；③当A>0，即a>-3时，8=2={1,2}才能满足条件，则由根与系数的关系得

1+2=-2(3+1)8=

、=彳2矛盾.综上，a的取值范围是a<-3.

1x2=#-5

二7,

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11.已知函数=、{言/1的定义域为集合，，函数=lg(-g+2x+m)的定义

域为集合8.

⑴当777=3时，求([:出；

⑵若AD8={M-1<X<4},求实数m的值.

解：/={4-1<%<5}.

(1)当利=3时，8=例-l<x<3},贝川RB=3辉-1或x>3},

={A|3<X<5}.

⑵・・•/={M-l<x<5},416={M-l<x<4},

,有-42+2x4+〃=0,解得8,止匕时B={M-2<x<4},符合题意.

12.已知集合/={XWRN-3x+2=0}.

⑴若/=。，求实数a的取值范围；

(2)若/是单元素集，求a的值及集合力;

(3)求集合M={a@RMw。}.

解:QM是空集,即方程*-3x+2=0无解.

2

若a=0,方程有一解x=",不合题意.

9

若8Ho，要方程a*2-3x+2=0无解，则4=9-8a<0,则a>~.

O

9

综上可知，若力=。，则a的取值范围应为a>~.

O

22

(2)当8=0时，方程a*-3x+2=0只有一根*=§，力=?符合题意.

9

当中0时,贝(jA=9-8a=0,即时，

O

44

方程有两个相等的实数根x=],则/={-}.

294

综上可知，当a=0时，/1={-};当a兀时，/1={-}.

2

⑶当a=0时，/={§}".当arO时，要使方程有实数根，

9

贝!!△=9-8a20,即a<~.

O

99

综上可知，a的取值范围是a<-,即M={aeR/")={a|a<-}

oo

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第二章函数

第一节对函数的进一步认识

A组

-\/-A2-3x+4

1.(江西卷改编)函数y=z-----------的定义域为

x

-*-3x+4>0,

解析今x[-4,0)U(0,l].答案：[-

*0,

4,0)U(0,1]

2.(绍兴第一次质检)如图，函数例的图象是曲线段OAB,其中点

1

O.A.B的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),则上6)的值等于

1

解析：由图象知何=1,侑)"1)=2.答案：2

3",x<l,

3.(北京卷)已知函数/W=若/W=2,则x=_______

-X,X>1.

解析：依题意得X<1时解*=2,.•.*=log32;

当41时，-x=2,x=-2(舍去).故x=log32.答案：log32

4.(黄冈市高三质检)函数f:{1,#}-{1,/}满足/[/(A)]>1的这样的函数个数有

_______个.

解析：如图.答案：1

5.(原创题)由等式/+为京+为X+<33=(X+1)3+A(X+1尸+⑦(X+1)

+仇定义一个映射犬为，力，㈤=(bl,⑦，甸，则42,1,-1)=

解析：由题意知2+2*+X-1=(X+1)3+bl(x+I)2+6(x+1)+%，

令X=-1得：-1=①；

-1=1+bi+bz+bi

再令x=0与x=1得,

3=8+4也+2笈+笈

解得bi=-1,bz=0.

答案：(-1,0,-1)

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1

1+一(%>1),

*1

6.已知函数的=321.—小⑴求仙-二—)4M-2)]｝的值；⑵

M+1(-14X41),yj2-1

、2x+3(x<-1).

3

求*3x-1);⑶若[a)=Q,求a.

解：为分段函数，应分段求解.

(1)力-^^=1-(#+1)=-#<-1,•«#)=-2^+3,

13

又"-2)=-1,M-2)]=小1)=2,-2)])=1+-=-.

213%

⑵若3x-l>l,即心力/(3x-l)=l+-~~7=~~~7；

DDX—XJz»一X

3

若-143X-1<1,EP0<x<~,l)=(3x-l)2+l=9*-6x+2;

若3x-1<-1,即x<0,43x-1)=2(3%-1)+3=6x+1.

3x2

iTT(叼'

=<2

9A2-6x+2(0<x<-),

、6x+l(x<0).

3

(3)-./(a)=-,，a>l或-14a41.

13

当a>l时，有1+-=j,，a=2;

a2

3A/2

当-l<a<l时,a2+l=-,:.a-±.

.,.a=2或壁.

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B组

1

1.(广东江门质检)函数y=I+lg(2x-1)的定义域是________

[3X-2

22

解析：由3x-2>0,2x-1>0，得x>~.答案：例%>£

-2x+1,(%<-1),

3

2.(山东枣庄模拟)函数例=(-3,(-14X42),贝II44l5)+5))=_.

、2x-1,(M>2),

33

解析：••・-14尹2,.■./(-)+5=-3+5=2,••--1<2<2，:仙)=-3,

・X-3)=(-2)x(-3)+l=7.答案：7

3.定义在区间(-1,1)上的函数4M满足2/W-/(-M=lg(x+1)，则/W的解析式为

解析：.对任意的xe(-1,1),有-xe(-1,1),

由2/W-4-M=lg(x+1),①

由2/J-M-4M=lg(-x+i),②

①X2+②消去，得34M=2lg(x+l)+lg(-x+1),

21

.MM=§lg(x+1)+-Ig(i-M,(-1<%<1).

21

答案：/W=§lg(x+i)+§lg(i-M,(-1<X<1)

4.设函数y=满足4x+1)=46+1,则函数y=KM与y=x图象交点的个数可能是

个.

解析：由依+1)=碗+1可得")=*析+1,]2)=*0)+2,[3)"0)+3，…本题

中如果/(0)=0,那么片例和片x有无数个交点；若大0片0,则y=仆)和片*有零个

交点.答案：0或无数

2(%>0)

5.设函数侬=…3，若仆4)=©，仆2)=2则例的解析式

为0)=关于X的方程⑨=X的解的个数为个.

解析：由题意得

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16-4b+c=c6二4

=>

4-2b+c=-2c=2

2(x>0)

*+4x+2(%<0)

由数形结合得=x的解的个数有3个.

2(x>0)

彦宏•43

口,[〃+4x+2(X40)

6.设函数/(M=logaMa>0,界1),函数=-*+bx+c,若储+#)-+1)

1

=-,的图象过点44,-5)及a-2,-5),则a=函数/[aM]的定义域

为.

答案：2(-1,3)

A2-4x+6,x>0

7.（天津卷改编）设函数0）=,则不等式0）>"）的解集是

x+6,x<0

解析：由已知，函数先增后减再增，当玲0,4D=3时，令4M=3,

解得x=l,x=3.故的解集为04x<l或Q3.

当x<0,x+6=3时，x=-3,故大M>[1）=3,解得-3Vx<0或;<>3.

综上，例>"）的解集为例-3<x<l或x>3}.答案：例-3<腔1或x>3}

log2(4-M,x<0,

8.（山东卷）定义在R上的函数/W满足八力=

lx-1)-&x-2),x>0,

则*3)的值为.

解析:"3)=彩)-仙)，又42)=4D-勒,=-40析"0)=log24=2,/.

的)=-2.答案：-2

9.有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻开始，5分

钟内只进水，不出水，在随后的15分钟内既进水，又出水，得到时间x与容器中的水量y

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之间关系如图.再随后，只放水不进水，水放完为止，则这段时间内(即%>20),产与x之

间函数的函数关系是.

解析：设进水速度为力升/分钟，出水速度

5为=20

为力升/分钟，则由题意得.

5仇+15(a-力)=35

31=4

得彳,贝II/=35-3(x-20)，得y=-3x+95,

力=3

95

又因为水放完为止，所以时间为x.,又知x>20,故解析式为片-3x+95(204*

9595

<—).答案：y=-3%+95(20<x<y)

10.函数/(x)=^(1-a2)x2+3(1-a)x+6.

Q)若/(x)的定义域为R,求实数。的取值范围；

(2)若“X)的定义域为域2,1],求实数a的值.

解：(1)①若1-用=0,即3=±1,

(i)若a=1时，4M=m，定义域为R,符合题意;

(ii)当8=-1时，⑨=正+6,定义域为[-1,+8),不合题意.

②若1-^0,则=(1-用)x2+3(1-a)x+6为二次函数.

由题意知成团20对xwR恒成立，

1-<^>0,-l<a<l,

•<•V

[△40,'1(<3-1)(113+5)40,

55

•---<a<l.由①②可得<a<l.

⑵由题意知，不等式(1->)〃+3(1-a)x+6>0的解集为[-2,1],显然1-于H0且

-2,1是方程Q-#)彦+3(1-a)x+6=0的两个根.

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"1-#<0,

'a<-1或a>l,

3(1-a)

-2+1=，a=2,

；.<a-±2.：a-2.

6

-2="~~2,5

1-aa<-77或a>1

、△=[3(1-a)]2-24(1-#)>0

11.已知f(x+2)=/(x)(x?R),并且当xw[-1,1]时，/(%)=-f+i,求当

x?[2k1,2Z+1](左？Z)时、/(x)的解析式.

解：由仙+2)=心)，可推知4M是以2为周期的周期函数.当%F[2^-1,24+1]

时，2k-l<x<2k+l,-l<x-2k<l.2同=-(x-2妒+1.

又[团=[x-2)=[x-4)=...=[x-2同，

"M=-U-2A)2+1,x^\2k-1,2k+1],kGZ.

12.在2008年11月4日珠海航展上，中国自主研制的ARJ21支线客机备受关注，接到

了包括美国在内的多国订单.某工厂有216名工人接受了生产1000件该支线客机某零部

件的总任务，已知每件零件由4个C型装置和3个H型装置配套组成,每个工人每小时能

加工6个C型装置或3个H型装置.现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种

装置，设加工C型装置的工人有x位，他们加工完C型装置所需时间为虱处,其余工人加

工完H型装置所需时间为力囚.(单位：h,时间可不为整数)

Q)写出,方⑶的解析式；

(2)写出这216名工人完成总任务的时间4M的解析式；

(3)应怎样分组，才能使完成总任务的时间最少？

20001000

解：(l)p(A)=--(0<x<216,XWN*),/?W=——(0<%<216,XGN*).

DXzlo-X

(2000

-T—(0<x<86,XGN*).

•Dzi

(2)4M=彳(3)分别为86、130或87、129.

1000

——(87<x<216,XGN*).

第二节函数的单调性

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A组

1.(福建卷改编)下列函数中，满足"对任意X1,A>F(0,+8),当％<W时，都有

/(%)>/(%)"的是--------

1

①AM=[②/W=(x-1)2③=④1M=ln(x+l)

解析：・•・对任意的M,尤w(0,+8),当M〈及时，都有

心1)>胱)，.心在(0,+8)上为减函数.答案：①

2.函数4M(XGR)的图象如右图所示，则函数=

川og,M(0<a<1)的单调减区间是

1

解析：；0<a<l,y=log/为减函数，；」ogaXW[0,习时，为减函数.

由0<logax<|y[a<x<l.答案:[\[a,1](或(艰,1))

3.函数)，=&+V15-4x的值域是

nn

解析：令x=4+sin2a,cre[0,~],片sina+y3cosa=2sin(a+]),.'.l<y<2.

答案：[1,2]

4.已知函数/W=怛，+曰(8£|<)在区间[0,1]上单调递增，则实数a的取值范围一.

解析：当a<0,且型+工“时，只需满足6。+飞“即可，则-14a<0;当a=0时，

QXpU

/w=IM=e*符合题意；当a>0时，/W=e*+勺，则满足他=e，-三。在问0,1]

上恒成立.只需满足a4(e2^min成立即可，故awl,综上-14awl.

答案：-1<3<1

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5.（原创题）如果对于函数/W定义域内任意的X,都有/w2M例为常数），称M为的

下界，下界例中的最大值叫做4用的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是

’1(^>0)

①例=sin%;②=1g%;③4力=e*;④例=<0(x=0)

「1(%<