高三数学第一轮复习基础练习AB

高三数学第一轮复习基础练习ABC

第一章集合

第一节集合的含义、表示及基本关系

A组

1.已知/={1,2},8={x|xCN},则集合N与8的关系为.

解析：由集合B={MxG/}知，5={1,2}.答案：A=B

2.若a6R},则实数。的取值范围是.

解析：由题意知，有解，故q》0.答案：420

3.已知集合”=04y=x2-2x-l,xGR},集合8={x|-2Wx<8},则集合4与

B的关系是.

解析：y=x2-2x-1=(x-I)2-2^-2,.".A={y[y^-2],:.B坛A.

答案：B坛A

4.(2009年高考广东卷改编)已知全集。=R,则正确表示集合”={-1,0,1}和N

={xF+x=O}关系的韦恩(Venn)图是.

①②③④

解析：由N={x|f+x=0},得N={-l,0},则“EM答案：②

5.(2010年苏、锡、常、镇四市调查)已知集合4={小>5},集合8={小>“},

若命题“xG/”是命题"xGB”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是

解析：命题“xd/”是命题“xCB”的充分不必要条件，.../B,：.a<5.

答案：a<5

6.(原创题)已知加£4〃£5,且集合4={冲尸=2。,。£2},3={冲:=20+1,4£2},

又C={x|x=4a+1,aS],判断加+〃属于哪一个集合？

解：・,•设加=2。],a\GZ,又,：nGB,工，殳〃=2内+1，a2GZ,

•\m+n=2ml+。2)+1，而mJ.m+nGB.

B组

1.设a,人都是非零实数，y=裾+1+系可能取的值组成的集合是.

解析：分四种情况：(l)a>0且b>0;(2)a>0且b<0;(3)a<0且b>0;(4)a<0

且b<0,讨论得y=3或y=-1.答案：{3,—1}

2.已知集合4={-1,3,2加-1},集合B={3,m2}.若BQA,则实数m=______.

解析：•.•BGZ,显然病w-i且/W3,故毋=25-1,即(机-1)2=0,.•.机

=1.答案：1

3.设P,。为两个非空实数集合，定义集合尸+Q={a+6|aGP,b^Q},若产

={0,2,5},0={1,2,6},则尸+0中元素的个数是个.

解析：依次分别取。=0,2,5;6=1,2,6,并分别求和，注意到集合元素的互

异性，：.P+Q={1,2,6,3,4,8,7,11}.答案：8

4.已知集合{x*=1},集合N={x|ox=1},若NA/,那么。的值是.

解析：M={x|x=1或x=-1},NM,所以N=。时，4/=0；当时，x

=：=1或T,；.a=1或-1.答案:0,1,—1

5.满足{1}呈/={1,2,3}的集合4的个数是个.

解析：/中一定有元素1,所以力有{1,2},{1,3},{1,2,3}.答案：3

6.已知集合4={x[x=a+]q£Z},B={x\x=^—^bGZ),C={x|x=1+|,

c£Z},贝IJ4、B、C之间的关系是.

解析：用列举法寻找规律.答案:用B=C

7.集合/={x||x|W4,x€R},B^[x\x<a},则“集是"a>5”的.

解析：结合数轴若4=8㈡心4,故“4CB”是“a>5”的必要但不充分条

件.答案：必要不充分条件

8.(2010年江苏启东模拟)设集合〃={刑加=2",“6N,且胆<500},则〃中所

有元素的和为.

解析：V2"<500,."=0,1,2,3,4,5,6,7,8.中所有元素的和S=1+2+2?

+…+2s=511.答案：511

9.(2009年高考北京卷)设/是整数集的一个非空子集，对于左右4如果％—

A,且％+1阵4那么称卜是Z的一个“孤立元”.给定S={1,2,3,4,5,6,7,8},由

S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个.

解析：依题可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这

三个元素一定是相连的三个数.故这样的集合共有6个.答案：6

10.已知/={x,xy,lg(xy)},8={0,|x|,y],且4=8,试求x,y的值.

解：由IgQy)知，xy>0,故xKO,xy^O,于是由4=8得1g(孙)=0,xy=\.

：.A={x,l,0},B={0,|x|,

于是必有|x|=1,fnxNU,故x=-1,从而y=-1.

11.已知集合4={X|X2-3X-10W0},

(1)若8={X|/M+1WXW2M-1},求实数机的取值范围；

(2)若4=8,B={x\m-6^x^2m-l},求实数机的取值范围；

(3)若4=8,3={x|〃?-6WxW2〃?一l},求实数切的取值范围.

解：由力={x|?-3x-10W0},得/={x|-2WxW5},

二①若8=0,则机+1>2加-1,即机<2,此时满足8U4

m+1W2m-1)

②若5W。，贝4-2〈根+1,解得2〈加W3.

2tn-1W5.

由①②得，加的取值范围是(-8,3].

21n-1>m-6,m>-5,

(2)若4GB,则依题意应有,加-6W-2,解得<加W4,故3WmW4,

2m-125.、加23.

••m的取值范围是[3,4].

Iw_6=_2>

(3)若4=8,则必有彳解得“£。.，即不存在〃?值使得/=8.

2m-1=5,

12.已知集合力={x|f—3x+2W0},B={X|X2-(6/+l)x+a<0}.

(1)若/是8的真子集，求a的取值范围；

(2)若8是4的子集，求。的取值范围；

(3)若4=8,求“的取值范围.

解：由f-3x+2W0,即a-l)(x-2)W0,得1WXW2,故/={x|lWxW2},

而集合B={x|(x-l)(x-a)WO},

(1)若/是8的真子集,即4B,则此时8={RlWx<a},故a>2.

(2)若8是N的子集，即8=4,由数轴可知lWaW2.

1G2

(3)若A=B,则必有a=2

第二节集合的基本运算

A组

1.(2009年高考浙江卷改编)设U=R,/={x|x>0},8={x|x>l},则/。[述=.

解析：luB={x|x<l},A(述={x[0<xWl}.答案：{x|0<rWl}

2.(2009年高考全国卷I改编)设集合Z={4,5,7,9},8={3,4,7,8,9},全集U=

AUB,则集合CM/n8)中的元素共有个.

解析：J05={4,7,9},ZU8={3,4,5,7,8,9},[江/08)={3,5,8}.答案:3

3.已知集合/={0,1,2},N={x|x=2a,a^M},则集合MCN=.

解析：由题意知，N={0,2,4},故MCN={0,2}.答案:{0,2}

4.(原创题)设“，8是非空集合，定义/⑧5={x|xCZU8且已知4

={x|0WxW2},8={Xy》0}，则/⑧8=.

解析：AUB=[0,+8),/AB=[0,2],所以/⑧8=(2,+°°).

答案：(2,+°°)

5.(2009年高考湖南卷)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓

球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人

数为.

解析：设两项运动都喜欢的人数为x,画出韦恩图

得到方程15-x+x+10-x+8=30=>x=3,...喜爱篮球运动但

不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12(人).答案：12

6.(2010年浙江嘉兴质检)已知集合4=任卜>1},集

合B={X]»?WX<M+3}.

(1)当加=一1时，求ZC8,AUB；

(2)若8=",求用的取值范围.

解：(1)当m=—\时，8={x|—1,.'.4。8={x|1〈启2},AUB=

(2)若任/,则於1,即R的取值范围为(1,+8)

B组

I.若集合加={xGR|-3Vx<1},N={xCZ|-lWxW2},贝I」A/CIN=.

解析：因为集合汽={-1,0,1,2},所以〃nN={-i,O}.答案：{-1,0}

2.已知全集。={一1。1,2},集合/={-1,2},8={0,2},则.

解析：CM={0,1}，故K〃)C8={O}.答案：{0}

3.(2010年济南市高三模拟)若全集U=R,集合”={x|-2WxW2},N={xM

-3xW0},则〃n([网=.

解析：根据已知得A/D([M={x]-2WxW2}A{x|x<0或x>3}={x|-

2Wx<0}.答案：{x|-2Wx<0}

4.集合/={3,log2。},B={a,h},若4n8={2},贝lJ/U8=.

解析：由ZC8={2}得log2〃=2,；.a=4,从而6=2,UB={2,3,4).

答案：{2,3,4}

5.(2009年高考江西卷改编)已知全集U=/U8中有机个元素，((〃)U([u8)中

有"个元素.若4C8非空，则4nB的元素个数为.

•.•((〃)1^。4)=[认/08)中有〃个元素，；.工门8中有/X、

〃个元素.答案：m-nAIIB

6.(2009年高考重庆卷)设U={n\n是小于9的正整数},A\

={〃^5〃是奇数},5=5〃是3的倍数},则CM/U8)、—/：'、

解析：U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5,7},8={3,6},：.AUB={1,3,5,6,7},

得{2,4,8}.答案：{2,4,8}

Y

7.定义/®8={Z|Z=Q+JJ,X^A,y&B}.设集合/={0,2},8={1,2},C={1},

则集合(Z®8)®C的所有元素之和为.

解析：由题意可求(N38)中所含的元素有0,4,5,则(/®8)®C中所含的元素有

0,8,10,故所有元素之和为18.答案：18

8.若集合{(x,y)|x+y—2=0且x—2y+4=0}{(x,y)[y=3x+6},则b—.

x+y-2=0,[x=0,

解析：由彳=>点(0,2)在y=3x+6上，：.h=2.

x-2y+4=0.[y=2.

9.设全集/={2,3,a+2a~3],A={2,|a+l|},。/={5},Af={x|x=log2|a|),

则集合M的所有子集是.

解析：•.,/”[//)=/,二{2,3,/+2。-3}={2,5,\a+1|},：.\a+\\=3,且

a2+2a-3=5,解得°=-4或q=2,.,.M={log22,log2|-4|}={1,2}.

答案：0,{1},{2},{1,2}

10.设集合Z={xF—3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)X+(«2-5)=0}.

(1)若"nB={2},求实数。的值；

(2)若4U8=4,求实数a的取值范围.

解：由d-3x+2=0得x=1或x=2,故集合/={1,2}.

(1)：/C8={2},：.26B,代入8中的方程，得/+4°+3=0=>。=-1或

a=-3;当〃=-1时，B={x\x2-4=0}={-2,2},满足条件；当“=-3时，B

={x\x2-4x+4=0}={2},满足条件；综上，a的值为-1或-3.

(2)对于集合8,4=4(。+l)2-4(/-5)=8g+3).'：A^B=A,：.BQA,

①当A<0,即a<-3时，8=0满足条件；向当A=0,即a=-3时，3={2}

满足条件；③当A>0,即a>-3时，8=4={1,2}才能满足条件，则由根与系数

的关系得

s

[1+2=-2(。+1)q=-不，

,=412矛盾.综上，4的取值范围是aW-3.

[12=6Z--5

X142=7r,

ii.已知函数兀v)=的定义域为集合力,函数g(x)=ig(一刀之+比+”)

的定义域为集合B.

(1)当机=3时，求4n(CR8)；

(2)若2nB={x|-14<4},求实数，〃的值.

解：A={x\-l<x^5}.

⑴当加=3时,5={x|-l<x<3},则(R3={x|xW-1或x=3},

."0")={x|34W5}.

(2Y：A={x|-l〈xW5},AHB={x\-l<x<4},

.*.<-42+2X4+W=0,解得〃7=8,此时8={x|-2<x<4},符合题意.

12.已知集合4={xCR|办2-3》+2=0}.

(1)若/=0,求实数。的取值范围；

(2)若X是单元素集，求。的值及集合小

(3)求集合M={aeR|/#0}.

解：⑴/是空集，即方程"2-3x+2=0无解.

2

若4=0,方程有一解x=?不合题意.

9

若。#0,要方程办2-3x+2=0无解，则△=9-8。<0,则a>d.

O

9

综上可知，若4=0,则。的取值范围应为

o

22

(2)当Q=0时，方程af-3x+2=0只有一根x=],A={]}符合题意.

9

当aNO时，贝IJA=9-8Q=0,即4=不时，

O

方程有两个相等的实数根X=g,则％={$.

综上可知，当4=0时，J={1}；当4=时，A=

⑶当0=0时，八{|}#。.当々W0时，要使方程有实数根，

9

则A=9-8-20,即a^Q.

O

综上可知，a的取值范围是。吗，即A/={a£R|4W0}={冰?，}

第二章函数

第一节对函数的进一步认识

A组

1.（2009年高考江西卷改编）函数y='—'13x+4的定义域为

-x2-3x+420,

解析：」=>xe［-4,0）U（0,l］

答案：［—4,0）U（0,1］

2.（2010年绍兴第一次质检）如图，函数“x）的图象是曲线

段。其中点O,A,8的坐标分别为（0,0）,（1,2）,（3,1）,

则X志）的值等于.

解析：由图象知/（3）=1,/（彳夯）=<1）=2.答案：2

3。xWl,

3.（2009年高考北京卷）已知函数兀v）=若於）=2,则x=________.

—X,X>1.

X

解析：依题意得时，3=2,Ax=Iog32;

当x>l时，-x=2,x=-2(舍去).故x=log32.答案：log32

4.（2010年黄冈市高三质检）函数/：{1,6}f{l,也}满

足力/）］>1的这样的函数个数有个—

解析：如图.答案：1

5.（原创题）由等式1+<7透2+°2》+。3=。+1）3+/>1（%+1）2+

0（x+D+O定义一个映射a2,俏）=（伉，出，出）,则

人2,1，-1)=.

解析:由题意知x3+2x2+x-1=(x+I)3+b\(x+1)2+b2a+1)+岳,

令x=-1得：-1=①；

_]=]+仇+岳+①

再令x=0与1得

13=8+4仇+2bz+b3

解得仇=-1,bi=0.

答案:(—1,0,—1)

f1+^(x>l)，

6.已知函数4丫)=《》2+](TWxWl),（1）求负1一：^;［），/{小-2）］}的值；

、2x+3(x<-1).

3

(2)求人3x-1)；(3)若/3)=,求a.

解：小)为分段函数，应分段求解♦

(1)V1-^-j-=l-(V2+l)=-啦<-1,.X-啦)=-2啦+3,

13

又・・7(-2)=-1,./[/(-2)]=/(-1)=2,.VW-2)]}=1+2=2-

213x

(2)若3x-1>1,即X>T,/3x-1)=1+-----r=-----r;

J八3x-13x-1

3

若-1W3x-1Wl,即OWxW],y(3x-1)=(3x-1)2+1=9x2-6x+2;

若3x-1v-1,即x<0,J(3x-1)=2(3冗-1)+3=6x+1.

r3%

・・・,/(3x-1)=

9x2-6x+2(OWxW2§),

L6x+1(x<0).

3

(3),・7(a)=》・・・Q>1或-IWaWl.

i3

当a>l时，有1+£=/，.*.47=2；

当-11时，+1=I，，。=土坐.

:.a=2或土坐

B组

(2010年广东江门质检)函数二+lg(2x-l)的定义域是

1.

解析：由3x-2>0,2x-1>0,得答案：｛小>|7

—2x+1,(x<—1),

2.(2010年山东枣庄模拟)函数/(x)=—3,(—1WXW2),则刎|)+5))=一.

2x—1,(x>2),

解析：•.•-*1♦，.,6)+5=-3+5=2,；-1W2W2,.7/(2)=-3,

•7/(-3)=(-2)X(-3)+1=7.答案:7

3.定义在区间(-1,1)上的函数<x)满足贺x)-/(-x)=Ig(x+l),则兀0的解析式

为.

解析：：对任意的xW(-1,1),<-xG(-1,1),

由2/(x)-X-x)=lg(x+1),@

dj2/(-x)-fix)=lg(-x+1),②

①X2+②消去火-x),得训x)=21g(x+l)+lg(-x+1),

・7/(x)=]lg(x+1)+|lg(l-x),(-1<X<1).

21

答案：y(x)=jig(x+i)+jig(i—x),(—i<x<i)

4.设函数y=/(x)满足/(x+l)=/(x)+l,则函数y=/a)与y=x图象交点的个数可

能是个.

解析：由"+1)=外)+1可得次1)=/(O)+l，X2)M0)+2,/3)=/(0)+3,・・・

本题中如果/(o)=o,那么y和y=x有无数个交点；若/(o)wo,则y=7U)

和》=%有零个交点.答案：0或无数

(2(x>0)

5.设函数人工)=2,人工/七八、，若次—4)=/(0),/-2)=-2,则人工)

[x+bx+c(xWO)

的解析式为外)=，关于％的方程兀0=%的解的个数为个.

解析：由题意得

J16-4ft+c=c=4

14-2b+c=-2[c=2'

(2(x>0)

+4x+2(xWO)

由数形结合得/(x)=x的解的个数有3个.

-12(x>0)

答案.3

X2+4X+2(X〈O)

6.设函数/x)=k)gM3>0,QWI),函数g(x)=—f+bx+c,若人2+啦)一/(市

+l)=；，g(x)的图象过点4(4,-5)及8(—2,—5),贝ija=，函数/[烈切

的定义域为.

答案：2(-1,3)

X2—4x+6,X20

7.(2009年高考天津卷改编)设函数“八，则不等式几)次1)

x+6,x<0

是

集

解

析：由已知，函数先增后减再增，当工20,外)次1)=3时，令")=3,

解

得.故次的解集为或

当x=1,x=3/(x)1)x>3.

A-<：O,x+6=3时，x=-3,故/(x)刁(1)=3,解得-3vx<0或x>3.

综上，7(x)次1)的解集为｛x|-3<x〈l或x>3｝.答案：国一3<r<l或x>3｝

8.(2009年高考山东卷)定义在R上的函数加)满足兀v)=

[log2(4—x),xWO,

1/(工一1)一加一2),则/(3)的值为

x>0,

解析：*.•火3)=火2)-/(1),又｛2)=/(1)-人0)，...火3)=-<0)，♦・/0)=log24

=2,.♦./(3)=-2.答案：-2

9.有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻

开始，5分钟内只进水，不出水，在随后的15分钟内既进水，乂包水，得到时

间x与容器中的水量y之间关系如图.再随后，只放水不进水，水放完为止，则

这段时间内(即x220),y与x之间函数的函数关系是.

升/分钟，则由题意得

5巧=2067]=4

50+153-6)=35'得则歹=35-3。-20),得歹=-3工+95,又

672=3

因为水放完为止，所以时间为竽，又知x220,故解析式为y=-3x+

95(2O0Wy).答案：尸一3x+95(20WxW亍)

10.函数/(x)=y(l_〃)x2+3(l_a)x+6.

(1)若｛x)的定义域为R,求实数。的取值范围；

(2)若大功的定义域为［-2,1］,求实数。的值.

解：⑴①若1-/=0,即。=±1,

(i)若a=1时，=定义域为R,符合题意；

(ii)当a=-1时，«x)=76x+6,定义域为［-1,+°°),不合题意.

②若1-J/。，贝"g(x)=(1-a2)x2+3(1-a)x+6为二次函数.

由题意知g(x)2O对%6R恒成立，

1-a2>0,-l<a<l,

•,|AWO,l)(lla+5)W0,

-卡•《.由①②可得-卡WaWl.

(2)由题意知，不等式(1-/裙+3(1-a)x+610的解集为［-2,1］,显然1-

且-2,1是方程(1-。2•2+3(1-0x+6=O的两个根.

1-t?2<0,

ra<-1或。>1,

二、,­*-Sa=±2.：.a=2.

-2=._2,5

a〃<-五或4>1

<A=[3(1-a)]2-24(l-a2)>0'

11.已知/(x+2)=/(x)(xeR),并且当xe[7,l]时，/(x)=-f+],求当xG[2%

-1,2左+l]aeZ)时、/)的解析式.

解：由义x+2)=/(x),可推知；(x)是以2为周期的周期函数.当xe[2左-1,2左

+1]时,2k-14W2k+l,-lWx-2%Wl..\/(x-2A)=-(x-2%产+1.

又危)=/x-2)=fix-4)----fix-2k),

•,•7(^)=-(x-2A)2+1,x^[2k-1,2k+1],A-eZ.

12.在2008年11月4日珠海航展上，中国自主研制的ARJ21支线客机备受关

注，接到了包括美国在内的多国订单.某工厂有216名工人接受了生产1000件

该支线客机某零部件的总任务，已知每件零件由4个C型装置和3个H型装置

配套组成，每个工人每小时能加工6个C型装置或3个H型装置.现将工人分

成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，设加工C型装置的工人有x位，

他们加工完C型装置所需时间为g(x),其余工人加工完H型装置所需时间为

力(x).(单位：h,时间可不为整数)

(1)写出g(x),〃(x)的解析式；

(2)写出这216名工人完成总任务的时间4x)的解析式；

(3)应怎样分组，才能使完成总任务的时间最少？

解：(1)g(x)=2，°(0<X<216,xeN*),h(x)=(0<x<216,xeN*).

<2000

MF(0<x<86,xEN*).

(2)/(x)=jio。。(3)分别为86、130或87、129.

I216-x(87^x<216,xeN*).

第二节函数的单调性

A组

1.(2009年高考福建卷改编)下列函数危)中，满足“对任意勺，X2d(0,+8),

当不a2时，都有/(XDMM)”的是.

①/(x)=F②/a)=(x-l)2③Ax)=e*④Ax)=ln(x+1)

解析：•.,对任意的Xi，%2G(0，+8),当X|<X2

时，都有｛ri)>/a2)，在(0,+8)上为减函数.答

案：①

2.函数./(x)(xeR)的图象如右图所示，则函数g(x)

=/(1ogd)(0q<l)的单调减区间是.

解析：V0<a<l,y=log亦为减函数，/.log^^［0,方时，g(x)为减函数.

由OWlogaxW］gWxWl.答案：［g,1］(或(W，1))

3.函数4+，15—3x的值域是.

解析：令x=4+sin%,a£［0,市，y=sin。+小cosa=2sin(a+：),，1

答案：［1,2］

4.已知函数次》)=同+白(〃62在区间［0,1］上单调递增，则实数。的取值范围

解析：当好0,且e，+/20时，只需满足e°+$20即可，则-1W“<O;当

°=0时，/)=|e1=e*符合题意；当a>0时，y(x)=e*+*则满足/(x)=e*-g

20在xd［0』］上恒成立.只需满足aW(eZ')min成立即可，故1,综上TWaW1.

答案：一IWaWl

5.(原创题)如果对于函数道x)定义域内任意的x,都有为常数)，称M

为负x)的下界，下界〃中的最大值叫做人x)的下确界，下列函数中，有下确界的

所有函数是.

'1(x>0)

Q/(x)=sinx；(2^(x)=lgx；(§Xx)=e':(?)/(x)=<0(x=0)

-1(x<—1)

解析：•.•sinx>-1,=siiu•的下确界为-1,即./(x)=siiu•是有下确界

的函数；••7(x)=lgx的值域为(-8,+oo),.\/(x)=lgx没有下确界；=ev

的值域为(0,+8),.；危)=F的下确界为0,即/(x)=e*是有下确界的函数；

'1(x>0)fl(x>0)

'-"Ax)='0(x=°)的下确界为-l..\/(x)=<0(x=0)是有下确界的

、-1(x<-1)「1(x<-1)

函数.答案：①③④

6.已知函数4x)=d,g(x)=x—1.

(1)若存在xCR使/(x)</rg(x),求实数b的取值范围；

(2)设F(x)=/x)-wg(x)+1-m-nf,且尸(x)|在［0,1］上单调递增，求实数m

的取值范围.

解：⑴Hx)</rg(x)xeR,x2-bx+b<0A=(-ft)2-4b>0b<0

或6>4.(2)F(x)=x2~mx+1-m~,A=w3-4(1-m2)=5m~-4,

①当AW0即-乎时，则必需

9。

-半WmWO.

.芈内平

②当A>0即m<-,设方程&r)=0的根为Xi，X2(X|<%2)»若

tn

■y'l,则X]WO.

2/

〃?22.

F(0)=1-,/wo

m

若'WO,则％2<0，

mr-

^WO2A/5、、、

-1Wzwv.综上所述：-1W/wWO或zw22.

F(O)=l"2O

B组

1.(2010年山东东营模拟)下列函数中，单调增区间是(一8,0］的是.

®y=--®y=—(x—\)③y=d—2®y=—\x\

解析：由函数y=-|川的图象可知其增区间为(-8,0］.答案：④

2.若函数/a)=bg2(f—QX+30在区间［2,+8)卜.是增函数，则实数。的取值

范围是.

解析：令g(x)=f-办+3〃，由题知g(x)在［2,+8)上是增函数，且g(2)>0.

,3W2，.…

.,•一4<oW4.答案：一4<oW4

.4-2a+3。>0,

3.若函数_Ax)=x+，(a>0)在(%+8)上是单调增函数，则实数。的取值范围_.

解析：=Ax)=x+f(a>0)在(犯，+8)上为增函数，Ov〃W卷

答案：(0,磊］

4.(2009年高考陕西卷改编)定义在R上的偶函数人x),对任意x”念6［0,+

8)(xiWX2),有«淳)二」且)<0,则下列结论正确的是

必一修

①/(3)y-2)勺(1)②/(I)4一2)勺(3)

⑧A—2)勺(1)勺(3)(4)/(3)</(l)<A-2)

解析：由已知"£等<0,得危)在xe[0,+8)上单调递减，由偶函数性

质得寅2)=次-2)，即手3)勺(-2)饮1).答案：①

/(x<0),

5.(2010年陕西西安模拟)已知函数兀v)=,八一,…满足对任意

(a-3)x+4a(x20)

x^x2,都有画?@<0成立，则。的取值范围是________

X\~X2

0<a<l,

解析：由题意知，/(x)为减函数，所以<。-3<0,解得0<aw".

.a°，(a-3)X0+4“，

6.(2010年宁夏石嘴山模拟)函数人劝的图象是如下图

所示的折线段。N8,点/的坐标为(1,2),点8的坐标

为(3,0),定义函数g(x)=Xx>(x-l),则函数g(.t)的最

大值为•

[2x(x-1)(0^x<l),

解析：g(x)[(r+3)(x7)(14W3),

当0Wx<l时，最大值为0;当1WXW3时，

在x=2取得最大值1.答案：1

7.(2010年安徽合肥模拟)已知定义域在[—1,1]上.的函数y=/(x)的值域为[—2,0],

则函数夕=/(8n及)的值域是.

解析：cos^/xG[-1,1],函数y=/)的值域为[-2,0],.,.y=/(cos也)的值

域为[-2,0].答案：[-2,0]

8.已知./(x)=logK+2,xW[l,9],则函数尸监)?+/")的最大值是.

解析：；函数y=[/(x)]2+加2)的定义域为

“WxW9,

屋々.*.xe[l,3]>令logjr=/,

[IWx?W9,

.\y=(f+2)2+2/+2=(f+3)2-3,.•.当f=1时，j^ax=13.答案：13

9.若函数加)=logQ2+x)(a>0,aWl)在区间(0,5内恒有.危)>0,则於)的单

调递增区间为.

解析：令〃=2?+羽当xd(0,3时，〃6(0,1)，而此时危)>。恒成立，

"=2（x+；）2-则减区间为（-8,而必然有2¥+%＞0,即x＞0或xv

-呆必）的单调递增区间为（-8,-1）.答案：（一8,一；）

10.试讨论函数y=2（lo羲）2—2log1x+1的单调性.

解：易知函数的定义域为（0,+8）.如果令u=g（x）=log^x,y=j{u}=hr

~2u+1,那么原函数y=/[g（x）]是由g（x）与九。复合而成的复合函数，而〃=10房

%在x£（0,+8）内是减函数，y=2〃2-2〃+1=2（〃-畀在〃右（一8,3）上是

减函数，在〃+8）上是增函数.又〃弓，即10羲弓，得Q乎；

上单调递增.

11.（2010年广西河池模拟）已知定义在区间（0,+8）上的函数/）满足姆）=火修）

x2

一危2）,且当41时，加）＜0.

（1）求人1）的值；（2）判断道X）的单调性；（3）若＜3）=-1,解不等式人博）＜一2.

解：⑴令xi=X2＞0,代入得＜1）=於1）-/|）=0,故/1）=0.

（2）任取X],x2e（0,+8）,且X1＞X2，则空》1,由于当x＞l时，y（x）vo,

所以媛）＜。，即加）-脏）＜。，因此仙）切）,

所以函数/（X）在区间（0,+8）上是单调递减函数.

⑶由姆)=加)-加2)得忌寸9)一次3),而寅3)=7,所以49)-2.

A2D

由于函数於)在区间(0,+8)上是单调递减函数，

由父凶)勺(9)，得冲>9,，x>9或x<-9.因此不等式的解集为｛x\x>9或-9｝.

X2+qx+b

12.已知：/(x)=log3—:—,xe(0,+oo),是否存在实数mb,使40同时

满足下列三个条件：(1)在(0,1］上是减函数，(2)在［1,+8)上是增函数，(3)危)

的最小值是1.若存在，求出。、6；若不存在，说明理由.

解：・・7(x)在(0,1］上是减函数，［1,+8)上是增函数，・・/=1时，｛x)最小，

5一，c+g+bX2+ax?+b、一

役0cxi<乃《1，则火修)>小：2>即----!—>-----'—，恒(成立.

AjA2

由此得自口幽2>0恒成立.

RM

Vxi-X2<0,X\X2>0,.♦.XIM一6<0恒成立，，b》l.

设1WX3<&,则X%)<人工4)恒成立.•,J."'"/［.―。)<o恒成立.

3X3A4

V%3-X4<0,xyX4>0,.•・工K4>6恒成立・•'.bWl.由621且bWl可知6=1,

・"=1.，存在4、b,使於)同时满足三个条件.

第三节函数的性质

A组

1.设偶函数Xx)=log„|x-6|在(一8,0)上单调递增，则人。+1)与义6+2)的大小

关系为.

解析：由危)为偶函数，知b=0,.\Xx)=lo&|x|,又加)在(-8,0)上单调

递增，所以0<a<l,l〈a+1<2,则./(X)在(0,+8)上单调递减，所以/(«+l)>/(fe

+2).答案：%+1)次6+2)

2.(2010年广东三校模拟)定义在R上的函数/(x)既是奇函数又是以2为周期的

周期函数，则犬1)+/(4)+｛7)等于.

解析：7(x)为奇函数，且xdR,所以负0)=0,由周期为2可知，<4)=0,火7)

=*1),又由於+2)=/(x),令x=-1得<1)=<-1)=一｛1)=次1)=0,所以大1)

+/(4)+.*7)=0.答案：0

3.(2009年高考山东卷改编)已知定义在R上的奇函数")满足次x-4)=-/(x),

且在区间［0,2］上是增函数，则八一25)、人11)、人80)的大小关系为.

解析：因为/(x)满足,/-4)=-/)，所以./(X-8)=/(x),所以函数是以8为

周期的周期函数,则火-25)=寅-1),火80)=｛0),41)=人3),又因为兀0在R

上是奇函数，<0)=0,<^80)=/0)=0,X-25)-1)=-/I).而由於一4)

=--)得<11)=/(3)=-/-3)=-7(1-4)=7(1),又因为火x)在区间［0,2］上是增

函数，所以义1)次0)=0,所以一｛1)<0,即X-25)/80)饮11).

答案：负一25)勺(80)勺(11)

4.(2009年高考辽宁卷改编)已知偶函数.危)在区间［0,+8)上单调增加，则满

足寅2x-1)勺4)的x取值范围是.

解析：由于/(x)是偶函数，故=由/(|2x-1|)勺右)，再根据/(X)的单

调性得|2x-l尚解得我』答案：(；，|)

5.(原创题)已知定义在R上的函数外)是偶函数，对xdR,义2+x)=H2—x),

当人-3)=—2时，42011)的值为.

解析：因为定义在R上的函数y(x)是偶函数，所以y(2+x)=y(2-x)=_/(x-2),

故函数/(x)是以4为周期的函数，所以<2011)=加+502X4)=加)=人-3)=-

2.答案：一2

6.已知函数y=/(x)是定义在R上的周期函数，周期7=5,函数y=/(x)(-IWxWl)

是奇函数，乂知y=_/(x)在［0,1］上是一次函数,在［1,4］上是二次函薮，且在x—2

时函数取得最小值-5.(1)证明:负1)+<4)=0：(2)求y=/(x),xG［l,4］的解析式;

(3