高三年级上册期中数学真题分类汇编（新高考）专题15圆锥曲线压轴大题（十大题型）

专题15圆锥曲线压轴大题

|题型

01I相关点法求轨迹方程

1.（江苏省淮阴中学、海门中学、姜堰中学20222023学年高三上学期期中）已知双曲线C的方程

为2?一「=2.

（1）直线夕=》+加截双曲线C所得的弦长为48，求实数他的值；

（2）过点（2,7）作直线交双曲线C于尸、0两点，求线段尸。的中点M的轨迹方程.

【答案】（1）"7=±1

（2）2x2-y2-4x-y=0

【分析】（1）联立直线与双曲线方程，得到韦达定理式，利用弦长公式即可求出加值；

（2）设网弓,“）,。区,外）,“（羽了），/（2,-1）,利用点差法结合中点公式即可得到；=二，化简

即可.

…，、fV=x+m,

【详解】（1）联立（22。，得--2加%-加2-2=0，

\2x-y=2

•・•直线>=%+冽被双曲线。截得的弦长为4VL.，.A=4/+4/+8>o,

设直线与双曲线交于4（再,M）乃（乙,力）,

2

贝!!西+/-2m,xlx2=-m-2,

由弦长公式得4A/2=V2-不4m2+4（士+2）,

解得m=±l.

（2）设尸（王,必）,0（X2，%）,"（X/）,力（2,-1）,则

xr+x2=2x,必+%=2〉，

2x；--2,-y\~2,

上式作差得4x（%i-％2）-2歹（必-%）=0,

当直线尸。的斜率不存在时，根据双曲线对称性知"（2,0）,

当直线尸。的斜率存在时，但必+%=。时，此时直线尸。为直线。儿根据双曲线对称性知M（0,0）,

当直线尸。的斜率存在时，且必+%*0时，⑥72=江Vi-^Vo=一2x，

国一马y

'•'kAM=＞-'•—=，化简得2x2-/一4x-y=0,其中》片2,k0,

x—2yx—2

而点（2,0）,（0,0）适合上述方程，

则线段尸。的中点M的轨迹方程是2x2-y2-4x-y=Q.

2.（2022秋・河北唐山・高三开滦第一中学校考期中）已知N是圆。：/+产=4上一动点，过点/作

ABLx轴，垂足为2,动点。满足丽=也焉.

2

（1）求动点。的轨迹C的方程；

（2）垂直于x轴的直线M交轨迹C于初、N两点，点P（3,0）,直线与轨迹C的另一个交点

为。.问：直线N0是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.

【答案】（1）；+：=1；（2）直线N。恒过定点［*（）］

【分析】（1）设。（无，＞）,用尤/表示出A点坐标，代入圆。方程化简即可得。的轨迹方程；

（2）设直线9斜率为后,“（石,耳）,。（%,%）,根据根与系数的关系得出河,。的坐标关系，利用两

点式表示出直线N。的方程，化简即可得出结论.

【详解】⑴设小，历,

代入圆O的方程可得：/+夕==4,即《+广=1.

343

动点。的轨迹C的方程是：—+^=1.

43

⑵设直线尸用■的方程为＞=植-3）,

y=k（x-3'）

联立方程组｛一/,消元得：（3+4R）N-24产x+361-12=0,

---1---=1

I43

3

•••△=576父-4（3+4左2）（36左2-12）>0,解得：k2<~.

设Mx/，。（%2，⑶，则M］/,-»/），

由根与系数的关系可得：X/+X2=*；36k2-n

X1X2=

3+4/3+4〃

了+必X-Xy

直线NQ的方程为:

x2-%1

即（X2-xi）y-（yi+y2）x+x2yi+xiy2=0,

***yi+y2=k(xi-3)+左(%2-3)=k(x/+%2)~6k=--6k=，

7/।j,c、__.ci,、_^736左2—12c724k2—24左

X2yi~^~xiy2X2K[X]~3)~^XIK(X2~3)2kxiX2~3k(x/+%2)2k*———4k?----3k•q—4k2~~—4k29

・士心、工口乂一18左24k、18左(4、

••直线N。万程为：(%2-X/)y+22=0，BnnPz(X2-X/)y+pX--=0,

DI/VJIIrvJII\JJ

4

.•.直线N0恒过定点(^，0).

【点睛】本题考查了轨迹方程的求解，考查直线与椭圆的位置关系，属于中档题.

3.（湖南省衡阳市第一中学20222023学年高三上学期期中数学试题）在直角坐标系为。了中，线段

|MN|=4,且两个端点M、N分别在x轴和〉轴上滑动.

（1）求线段MN的中点。的轨迹方程；

（2）若直线/:（2m+l）x+（m+l）_y-3m-2=0.

①证明直线/与曲线C恒有两个不同交点；

②求直线/被曲线C截得的最短弦长.

【答案】（1）/+/=4

⑵①证明见解析；②2行

【分析】（1）根据点C到原点的距离为定值2,得出点C在以原点为圆心，2为半径的圆上，写出

圆的方程即为点C的轨迹方程；

（2）①先求解直线所过定点的坐标，再判断定点在圆内可得出结论；

②根据动直线与圆相交得最短弦长的条件（直线所过定点与圆心的连线和直线垂直）确定弦心距的

长，再计算弦长即可.

【详解】（1）设线段跖V的中点C（xj）,当点。运动时，它到原点。的距离为定长，

即Rt^MON的斜边上的中线长，

因为|儿困=4,所以|OC|=2,

所以点C的轨迹是以。为圆心，2为半径的圆，

所以点C的轨迹方程是V+产=4.

(2)①直线/:(2加+1)》+(加+1)了一3加一2=0可整理为

m(lx+y-3)+x+y-2=Q,

2x+y—3—0(x=1

方程组的解为，

x+y-2=0Lv=i

所以直线/恒过定点。(1,1),

将点(1,1)代入圆C的方程有仔+F=2<4，所以点。(1,1)在圆C的内部，

所以直线/与曲线C恒有两个不同交点.

②由①知，当直线/垂直于OD时被截得的弦长最短，

又|。回=0所以此时弦长为=2后，

所以直线/被曲线C截得的最短弦长为20.

4.(福建省泉州市晋江二中、鹏峰中学、广海中学、泉港五中2023届高三上学期10月期中)已知

圆。：》2+/=4,点尸(2,2).

(1)直线/过点p且与圆c相交于3两点，若E5.在=0，求直线/的方程；

(2)若动圆。经过点尸且与圆C外切，求动圆的圆心D的轨迹方程；

(3)是否存在异于点P的点0,使得对于圆C上任意一点均端=彳有为常数？若存在，求出

\MQ\

点。坐标和常数2的值；若不存在，也请说明理由.

【答案】(1)(2+6口一了一2-2道=0或(2-百)无一了一2+2道=0

(2)2x+2y-2xy-1=0

⑶存在。(1,1),4=/

【分析】(1)设直线/方程为了-2="。-2),由B・方=0,结合C/=C3可得圆心到直线的距离

为行，从而可求的左，即可得解；

(2)设动圆的圆心。的坐标为(xj),由动圆D经过点P且与圆C外切，可得CD=2+PD,从而

可得出所求；

(3)设由点。异于点尸，得根据两点之间的距离公式及已知化简整理

即可得出结论.

【详解】(1)由题意知，直线/的斜率必存在，设为左，

贝IJ直线/方程为>_2=左(无-2)n质_y_24+2=0,

---------»兀

"CACB^O,：.ZACB=-,

又CA=CB,则圆心到直线的距离为血，

贝1]L/2.+2।=血=>左=2±百，

贝U直线/的方程为(2+®c-y-2-2G=0或(2-扬》->-2+26=0；

(2)设动圆的圆心。的坐标为(x,y),

由题意知CD=2+P。，/.^x2+y2=2+7(x-2)2+(y-2)2，

2r-1

化简得：2x+2y-2xy-l=0,即

2x-2

2x-1

由于CQ>尸。，所以y>—%+2,所以->—X+2,解得%>1,

2x-2

所以动圆的圆心D的轨迹方程为2x+2y-2肛-1=0(x>1)；

(3)设M(W),0(XQJ,贝Ij£2+y2=4,

因为点0异于点尸，则

_-4£—4了+12

-2x'X]-+X：+y；+4

-4-412o

•••力为常数且M为任意一点，则丁=丁=2,2：=外,.•.士=%=苗,

2

-2%!-2yiX]+必+42

则当。的坐标为(1,1)时，为常数几=万.

5.(江苏省徐州市20222023学年高三上学期期中)已知在平面直角坐标系中，坐标原点为。，点

_.1__

/(-30,0)(。＞0),B、C两点分别在V轴和X轴上运动，并且满足/4。=0,BC=-CQ,动点。

的轨迹为曲线

(1)求动点。的轨迹方程；

(2)作曲线M的任意一条切线(不含y轴)I,直线x=-2p与切线/相交于£点，直线X=2p与切

线/、x轴分别相交于下点与。点，试探究一?一的值是否为定值,若为定值请求出该定值；

OD2

若不为定值请说明理由.

【答案】(1)y2-4px(p＞Q)(2)2

【分析】⑴先设O(xj),2(0,%),c(x0,o),求出配，函的坐标，根据就=5函，得到

y0="1＞再根据海•苑=0,即可求出结果；

（2）先由题意设切线/的方程为＞=履+6,与抛物线方程联立，根据判别式为0,得到祐=。，再

根据题设及直线/方程易得£（-2°,6-2切），F（2p,b+2kp）,D（2p,0）,进而可得出以非的

结果.

【详解】（1）设0（x/）,3（0,%）,C（xo,O）,

则8C=（/,一%），C0=（x-%,y）,

,：BC=^CQ,

（毛，一%）=；（彳一//）,

又海•苑=0,

y2=4px（p>0）,

J。点的轨迹方程为歹2=4px（p〉0）.

（2）DE。一，尸的值为定值2.

OD2

求解如下：由题可知切线/的斜率存在，

设切线/的方程为了=区+6,代入/=4.可得

k2x2+^2kb-4p^x+b2=0,

由△=（）可得泌=p.

由题设及直线/方程易得£（-2°力-2粒），F（2p,b+2kp）,。（2”0）,

DE2-DF2=（4p）2+（b-2kp）2-（b+2kp^=16p2-Skpb.

又kb=p,

：.DE2-DF2=16/-802=8P2,

DE?-DF?8P2T

~Ob1=逝=2为定值.

【点睛】本题主要考查抛物的方程，以及抛物线中的定值问题，熟记抛物线的性质即可，属于常考

题型.

题型02交轨法求轨迹方程

6.(2022秋•云南・高三云南民族大学附属中学校考期中)如图，已知点4(1,0)与点8(1,0),C是

圆7+产=1上异于/,2两点的动点，连接3c并延长至。，使得|C0=|3C|,求线段/C与OD的

交点P的轨迹方程.

【答案】［x+g)+'=《("0)

【分析】首先判断点P是△力助的重心，代入重心坐标公式，利用代入法，即可求点尸的轨迹方程.

【详解】设动点尸(x,y),由题意可知尸是△48。的重心，由4(1,0),5(1,0),

令动点C(xo,yd)9则£)(2%0L2yo)f

—1+1+2XQ—1

x-

3

由重心坐标公式得、，

则.代入/+「=1,

Jo=y(>,0*°)

整理得［x+g］+y2=#yW0)

故所求轨迹方程为卜+£［+/=jywO).

22

7.(安徽省卓越县中联盟20222023学年高三上学期期中)已知昂巴为双曲线C:1-%=l(a>0,b>0)

的左右焦点，且该双曲线离心率小于等于立，点”和N是双曲线上关于x轴对称非重合的两个动

2

点，4，/2为双曲线左右顶点，|阿|—眼引=4，|阿|+|次|〉2+正恒成立.

(1)求该双曲线C的标准方程；

(2)设直线N4］和加次的交点为P,求点P的轨迹方程.

【答案】

22

(2)：+g=l(0<x<2)

【分析】（1）利用双曲线的定义可得。=2,然后利用两边之和大于第三边以及|九必|+|咋|〉2+行

可得c=V7,即可求得方程；

22

（2）设〃（乙,%）（%>2）,则得到直线〃4的方程，两条方程与半-£=1可

22

得至|］上+匕=1,然后算出X的范围即可

43

【详解】（1）设双曲线C的焦距为2c,

由|龙名|-|〃工|=4及双曲线的定义，得2。=4,解得。=2,

由巴可得+座|>|4周=a+c=2+c,

又|阿|+|加用〉2+将恒成立，所以2+近42+C，解得C>J7.

因为该双曲线离心率小于等于立，所以即解得c《a,

2a222

所以c=J7,则6=J（，）2—2?=G，

所以双曲线C的标准方程为=

（2）因为|阿|-|〃6|=4,所以点“只能在双曲线的右支上，

设>2）,则N（x（）,,

22

因为M在双曲线上，所以血-显=1,

43

易得4（-2,0）,4（2,0）,所以直线勺斜率为=一上，

直线村的方程为了=-；，（丫+2）①，

同理可求得直线加4的方程为了=一%（龙-2）②，

%一幺

2

由①x②得j?=—（x+2）（x-2）③,

%-4

223（%—4）22

将血-瓜=1代入③得2—4—/2亦，化简得土+匕=1，

令①=②即-。（X+2）=士（X-2）,化简得x°x=4,

4

因为吃〉2,所以x=一£（0,2）,

工0

即点p的轨迹方程为:+g=1（0<x<2）.

22

【点睛】关键点点睛：这道题的关键之处是得到直线四一朋4的方程，与且-近=1相结合，通

43

过消元的方法得到轨迹方程

8.（海南省海口嘉勋高级中学2023届高三上学期期中考）已知过点〃（8,0）的直线交抛物线

=8x于4B两点，O为坐标原点.

（1）证明：GMLOB；

（2）设尸为抛物线的焦点，直线与直线x=-4交于点直线九少交抛物线与C,。两点（4C在

x轴的同侧），求直线/C与直线交点的轨迹方程.

【答案】（1）证明见解析

（2/=-4（尸0）

【分析】⑴设利用4里8三点共线小原"，解得心力=-64,再利

用向量数量积的坐标表示即可求解；

（2）设。（生，%），。（乙,,力），根据题意可得上a,=2砥B，由此解出义■与”，力与如

的关系，进而得到直线/C与直线50的方程，联立即可求解.

【详解】（1）设

因为3三点共线，所以3

yB

所以"整理可得心为=-64,

88

22

所以。3・砺=达包+>心B=0,所以CM_LO8.

（2）设M（-4,加），C[xc,D（xD,yD）,

由题意尸（2,0）,H（8,0）,

因为尢刀=色呼=一/，k=k.所以左C»=23B，

OABMH12

几_8为y8.

又因为=c

%-8一月一64'8一％-2-£-16

所以;"，整理得(纭-2vc)(yAyc+32)=0.

先T0纭_04

因为4c在X轴同侧，所以”=2打，同理可得%=2%,

161161

所以直线/C的方程为^=「工+?”,同理8。的方程为》=「工+£%，

3”33%3

两式联立代入刈力=-64,可得x=-4

由题意可知交点不能在x轴上,

所以交点的轨迹方程为无=-4（了/0）.

9.（2022秋•黑龙江牡丹江•高三牡丹江市第二高级中学校考期中）已知椭圆E的中心在坐标原点,

焦点在坐标轴上，且经过/（-4,0）、2（4,0）。（2,3）三点.

（1）求椭圆£的方程;

（2）若过右焦点巴的直线/（斜率不为0）与椭圆E交于W、N两点，求直线■与直线5N的交点的

轨迹方程.

【答案】⑴片+片=1

1612

(2)x=8(尸0)

【分析】（1）首先设椭圆方程，代入椭圆上的点的坐标，即可求解;

（2）首先设直线/的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理，求直线与直线的交点坐标,

即可求解交点的轨迹方程.

22

【详解】（1）设椭圆方程及土+2=1

/b2

4a=1

由NC两点可知：＜,解得/=16,b2=12,

b4v9=_1

22

所以椭圆方程为土+匕=1;

1612

（2）设了=町+2,M（玉，必）N（4，%）

x=my+2

联立V2n（3m2+4）j2+12wj36=0

---二1

U612

直线/“：了=^^（工+4）

直线BN：>=^7（X—4）

x2-4

、w,、，、一4加必必—4%+12%-12m

消去y：%------------------------,―7一%

3%+为3m+4

因斜率不为0,该直线方程：x=8(yw0).

22

。⑵22秋・山东烟台・高三统考期中)已知双曲线。?等=叱。力＞。)的左、右顶点分别为

^(-1,0),5(1,0),动直线/过点”(2,0),当直线/与双曲线C有且仅有一个公共点时，点3到直线/

的距离为1

2

(1)求双曲线C的标准方程;

(2)当直线/与双曲线C交于异于42的两点尸,。时，记直线4P的斜率为勺，直线8。的斜率为

(i)是否存在实数2,使得e=2%成立，若存在，求出2的值；若不存在，请说明理由；

(ii)求直线/尸和8。交点£的轨迹方程.

【答案】⑴f-/=]

(2)(i)存在，2=-3；(ii)x=g

【分析】(1)注意到直线/与双曲线C有且仅有一个公共点时，/平行于渐近线可解;

(2)利用韦达定理结合《=函即可求得2,再根据AP和BQ的直线方程消去斜率即可得交点E的

轨迹方程.

2

【详解】(1)•.•0=1,；.尤2-方=1

故当直线/过(2,0)与双曲线C有且仅有一个公共点时，/应与C的渐近线平行

设直线/：y=±6(x-2),即乐土了-26=0,则点B到直线/的距离为万J=

717^2

即双曲线C的标准方程为：x2-y2=l.

(2)(i)由题可知，直线/斜率不为0

设直线/：尤=叼+2,尸(X”必),。(无2，%)

由]'，1得：（/一1）,2+4冲+3=0®2_1W0）

[x=my+2、、

A=4加?+12>0成立

•二即必=一?(%+%)•

所以存在实数2=-3,使得左2=4勺成立.

(ii)直线4尸:丁=占(％+1),直线3。：丁=左2(%—1)

1

联立得::.x=—

x-12

所以直线L交点E的轨迹方程为…=；

参数法求轨迹方程

11.(福建省龙岩市永定区坎市中学2023届高三上学期期中)

如图，过抛物线/=2px(。>0)的顶点作两条互相垂直的弦OA、OB.

⑴设OA的斜率为左，试用左表示点A、B的坐标

⑵求弦AB中点M的轨迹方程

【答案】⑴A(名，孕)，B(2pE,~~2pk).②y'px-Zp1,即为M点轨迹的普通方程.

【详解】试题分析：⑴.•依题意可知直线OA的斜率存在且不为0

，设直线OA的方程为y=(上片0).•.联立方程｛2、

y=2px

解得孕；以-;代上式中的左，解方程组｛'=一工”

kkk2c

y=2px

解得尤B=2p/%=-2p斤；.A(穹，学)，B(2pk2,-2pk).6分

x=p(~jj+k2)

⑵.设AB中点M(x,y),则由中点坐标公式，得｛；

y=p(--k)

k

消去参数k,得了2=8_2°2,即为M点轨迹的普通方程.12

考点：直线与抛物线的位置关系，“参数法”求轨迹方程.

点评：中档题，研究直线与圆锥曲线的位置关系，往往通过建立方程组，应用韦达定理，简化解题

过程.“参数法”是求曲线方程的常见方法，通过引入适当的“中间变量”，将动点的坐标相互联系起

来.

12.（2022秋・吉林长春・高三长春市第十七中学上学期期中）已知抛物线/=x+l,定点4（3,1）,B

为抛物线上任意一点，点P在线段上，且有AP:P/=1:2,当点3在抛物线上变动时，求点尸

的轨迹方程，并指出这个轨迹为那种曲线.

【答案】详见解析

【分析】设尸（可）］（毛盟），根据BP：P/=1：2,利用分点公式得到°,再根据点2在

%=5（3yT）

抛物线上求解.

【详解】解：设尸（可）］（玉,,％）,

因为8尸:尸/=1:2,

.+尸

产L

x（）="|（无T）

1+i

所以:,解得＜

为+尸%=g（3yT）

2

因为点8在抛物线上，

「1、T3

所以—（3j^-l）=—（x-1）+L

3->1

所以轨迹是抛物线.

13.（海南省海口嘉勋高级中学2023届高三上学期期中考）在平面直角坐标系x帆中，椭圆。的中

心在坐标原点，焦点在坐标轴上，点尸（2,-1）和点。瓜彳为椭圆C上两点.

I2）

（I）求椭圆C的标准方程；

（II）A,3为椭圆C上异于点P的两点，若直线尸/与P3的斜率之和为0,求线段N3中点W的

轨迹方程.

22

【答案】（I）上+匕=1；（II）x-2v=0（-2<x<2）

82

【分析】（I）设椭圆。的方程为冽-+盯2=i（冽冽。〃），进而待定系数求解即可得答案;

(II)设直线尸”的斜率为左，进而得直线尸/的方程，与椭圆联立得点A的坐标，同理，用-左替换

点A的坐标得点3的坐标，进而得点M的坐标，消去参数即可得点/的轨迹方程.

【详解】解：(I)根据题意，设椭圆C的方程为加/+，沙2=1(加>0/>0,机H"),

因为点尸(2,-1)和点。瓜彳为椭圆C上两点，

\11

所以〈2，解得加=三,九二彳，

41o2

4m+及=I

22

所以椭圆C的标准方程上+匕=1

82

(II)设直线上4的斜率为左，所以直线P4的方程为>+1=左卜-2),即y=k[x-2)-\,

y=k(x-l)-\

所以与椭圆联立方程得x?+4左2(X-2)2—8左(x—2)+4—8=0,

X2+4V2-8=0

即(x—2)[(1+4k°)x—8左2—84+2]=0,

所以点A的横坐标为猫=.2+'2,纵坐标为刈=止一”一1,

1+1I

,,,./8K+8左一24左2—4左一11

即点A的坐标为—'———~—7—.,

(1+4产1+4〃)

因为直线PA与PB的斜率之和为0,所以直线PB的斜率为-k,

8—24左2+4左一1

同理，用-左替换点A的坐标得点8的坐标8

1+4左二'1+4F

’38-24左2-11

所以点M的坐标为1+4/」+4rJ

8尸-2

x=

1+4/

所以点”的参数方程为:(左为参数)

4k2-1

了=1+4人2

消去参数得点”的轨迹方程x-2y=0,

%=2_y「,

由《22°n解得x=±2f所以-2<x<2,

[x+Ay-8=0

所以点M的轨迹方程％-2y=0(-2<x<2).

【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，直线与椭圆的位置关系的应用，考查运算求解能力，是中

档题.本题解题的关键在于设直线尸/的斜率为左，进而结合题意，与椭圆联立方程求得45点坐标,

进而消参数即可得答案.

14.（江苏省淮安市淮安区20222023学年高三上学期期中）己知/（国,%），3卜,力）是抛物线

C:j?=4x上两个不同的点，C的焦点为尸.

（1）若直线过焦点厂，且了；+尺=32,求目的值；

（2）已知点尸（-2,2）,记直线尸/,的斜率分别为％,kPB,且%+矶=-1,当直线过定

点，且定点在x轴上时，点。在直线48上，满足丽.方=0，求点。的轨迹方程.

【答案】⑴网=10；（2）/*（y-l）2=5（除掉点（一2,0））.

【分析】（1）利用抛物线焦半径公式可直接求得结果；

（2）设/3：x="+加，与抛物线方程联立后得到韦达定理的形式，代入心么+怎B=T中整理可求得

加，验证加取值后得到所过定点£；由历.通=0知而_L瓦，知点。的轨迹是以尸£为直径的圆，

确定圆心和半径后即可得到轨迹方程，验证可知轨迹中的（-2,0）不符合题意，由此得到最终结果.

【详解】（1）由抛物线方程知：尸（1刀），准线方程为：x=-l.

22

•••|/尸|=&+1=牛+1,忸用=%+1=年+1,

:.\AB\=\AF\+\BF\+2=10.

（2）依题意可设直线/3:x=）+加，

由<得：y2—4ty—4m=0,则/=16产+16加>0,

[x=ty+m

••.L丁…①

=-4m

,,必一2,2—2%一2了2—2i

•••kPA+kPB=———+———=----H~--------=4,

玉+2x2+2tyi+m+2ty2+m+2

,2伙为+（加+2）（弘+%）-2"%+%）-4（加+2）=t②

歹2+%（冽+2）（歹1+%）+（加+2）2

由①②化简整理可得：8―4冽+冽2—4=0,

则有（加+2-4。（加-2）=0,解得：冽=2或加=4,-2.

当=-2时，A=16/2+64z-32=16（Z+2）2-96>0,

解得：/>-2+指或/<-2-n，

此时/8:x=）+4-2=/（y+4）-2过定点（-2,-4）,不符合题意；

当加=2时，A=16〃+32>0对于VteR恒成立，

直线/B:x=W+2过定点£（2,0）,.•.加=2.

■：~PDAB=0>:.~PDLAB'且四点共线，二9_L万后,

则点D的轨迹是以PE为直径的圆.

设。（尤））,PE的中点坐标为（0」），|尸耳=2右,

则。点的轨迹方程为/+（y-以=5.

当。的坐标为（-2,0）时，的方程为y=0,不符合题意,

的轨迹方程为#+3-仔=5（除掉点（-2,0））.

【点睛】关键点点睛：本题第二问考查了动点轨迹方程的求解问题，解题关键是能够根据

kPA+kPB=-1,利用韦达定理构造出关于变量用的方程，确定直线所过的定点坐标，进而根据

垂直关系确定轨迹为圆.

求参数范围及最值问题

,炉2

15.（江苏省南京东山外国语学校20222023学年周三上学期期中）已知椭圆C：不+方=1（。>&>0）

的离心率为:，点A,B,。分别是椭圆C的左、右、上顶点，尸是C的左焦点，坐标原点。到直

线。厂的距离为RL

3

⑴求C的方程；

⑵过产的直线/交椭圆C于尸，。两点，求而•匝的取值范围.

22

【答案】⑴土+匕=1

95

⑵1-5u,一2丁s

【分析】（1）由离心率、等面积法及椭圆参数关系列方程求椭圆参数，即可得方程；

（2）讨论直线/的斜率，设/的方程并联立椭圆方程，应用韦达定理及向量数量积的坐标表示得到

丽•也关于所设参数的关系式，进而求范围.

【详解】（1）设椭圆C的半焦距为c（c＞0）,

c2

「3'

Q=3,

如=乎，解得<

根据题意b=M,

a5

c=2,

a2=b1+c2,

故。的方程为二+2=1.

95

（2）由（1）知：F（-2,0）.

当直线/的斜率为0时，点尸，。为椭圆的左、右顶点，

不妨取尸（-3,0）,0（3,0）,此时而=（-1,0）,河=（5,0）,则丽.画=一5.

当直线I的斜率不为0或/与x轴垂直时，设其方程为x=my-2,

代入椭圆C并消去尤得（5/+9）必一20叩-25=0,

设尸（再,必）,。（超,%）,贝=J?"%%=＜要

5m+95m+9

而FP=（X]+2,%）,F0=（x2+2,y2）,

所以FPF0=(±+2)(尤2+2)+乂%=m%.my?+乂％

2020

因为殖+929,所以

20_25

所以-5<-5+<

5m2+9~~~9

综上，而•匝的取值范围为-5--

16.（福建省泉州市安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2023届高三期中）已知耳，F2

为椭圆C的左右焦点，且抛物线V=4氐的焦点为与，M为椭圆的上顶点，旦的面积为2石.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点（0,1）的直线/与椭圆C交于/,2两点，。为坐标原点，且历=4砺（彳＞0）,若椭圆C上

存在一点E,使得四边形04班为平行四边形，求2的取值范围.

22

【答案】⑴土+匕=1

94

⑵「，2）

【分析】（1）根据题意可得入，再结合△町耳的面积为2石，可建立关于。，b,c的方程组，解

出即可;

（2）设4为，乂），8（%,%）,则。（2尤2,九%），结合四边形。4E。为平行四边形，可得£（再+2尤2,

乂+4%）,设直线/:了=丘+1,联立直线和椭圆方程，得到两根之和与两根之积，进而可得

4

4=2-，从而得解.

9左2+4

【详解】（1）抛物线必=4氐的焦点为工（百0）,

22

设椭圆C的标准方程为=+1=1（〃〉6>0）,

a2b1

Q=3

92cx6=2氐解得,6=2,

则

a2=b2+c2

所以椭圆C的标准方程为旦+片=1；

94

显然直线/的斜率存在，设直线/：＞=履+1,

设次为，%），5（x2,y2）,则2）（尢）"%）,

1•,四边形。为平行四边形，

■-OD=AE，£（占+也，%+几%）,

•・•点A,B,E均在椭圆C上，

•y）_—]_]（石+）।（必+4%）_]

,~9T-，~9T-'9一

Z>0,

/.4项超+9必％+184=0,

（4+9左2）西入2+9左（再+X2）+9+182=0.,

y=kx+l

由”2,消去〉得，（9左2+4）/+18米—27=0,

—+—=1

I94

显然A=432（3〃+1）>0,

-18左-27

一网+%=炉盲'*2=福喜’

—271Kk

：.——x（4+9左2）———x9左+182+9=0,

9左2+49左2+4

A=2-------,

9k2+4

17.（2022秋・重庆渝北•高三重庆市渝北中学校期中）已知M（-3,0）,N（3,0）,尸为坐标平面上的动点，

且直线PM与直线PN的斜率之积为-.

（1）求尸点的轨迹方程；

（2）设P点的轨迹为曲线C,过点。（2,0）斜率为左的直线/与曲线C交于不同的两点4伉中点为R,

直线OR（O为坐标原点）的斜率为左2,求证左为定值;

⑶在（2）的条件下，设班=2而，且几e[2,3],求直线/在了轴上的截距的变化范围.

22

【答案】（l）/+《=l（xw±3）

（2）证明见解析

⑶卜艮明/率26

【分析】（1）设尸（x/）,根据斜率的坐标运算即可得轨迹方程；

（2）法一：设/的方程为：x=ty+2,设）,8（%,外）,联立直线与椭圆根据交点坐标关系

及斜率坐标运算即可得结论；法二：设/的方程为：y=kSx-2）,

设/（七,弘）,巩与％），尺（%，%），利用点差法将点坐标代入椭圆方程，整理可得斜率关系;

（3）根据平面向量共线向量的坐标关系得%=-九乂代入（2）中法一的坐标关系中可得

&

--2+A,从而转化求解直线/在y轴上的截距的取值范围.

25产+9

y=一■|(xw±3),

［详解】（1）设尸（X,y）,由题意知：k-k=

PMPNx+3x-3

法1：设/的方程为:x=ty+2,设N（x”乃）,3卜2，%），

联立曲线C方程得：（5〃+9）/+20夕-25=0,A>0恒成立

-20/-25-20t236

贝5+为=①，y^2=4-4=

5t2+95/+9+95t2+9

-10/

18-10t所以"是1-5t5

则中点为五

5产+9'5/+9"99

5r+9

法2：设/的方程为：…G-2）,

+旦=1

设/(士,%),3(卷,%),尺(%,%),则-

+2二1

必一歹2_5X]+-

相减整理得:

再一%29%

又%+%2=2%,%+必=2%,.,.左—

9%

因为左2=%■，「•"2二-京；

/9

（3）由函=期得%=T凹,

-20?25

代入①②得：（1-2）必=③，=④,

5/+95/+9

③式平方除以④式得：--2+2=

25r+9'

而根据对勾函数单调性知y=g-2+2在力e［2,3］上单调递增,

A

11c,435户+9591―1

—<----2+2<——<------；­=----1----x—<2，贝!3

2A3416/1616t2t2?，

4「281

又/在y轴上的截距为6,z/=尸［5勺，

【点睛】关键点睛：本题第二问的关键可以采用点差法证明斜率乘积为定值，也可以利用设线法结

合韦达定理证明，第三问变形得到4-2+2=」"，再利用对勾函数单调性求出当的范围，最后

再利用截距与户的关系即可.

18.（2022秋・福建泉州•高三泉州五中校考期中）设片内分别是椭圆?+/=1的左、右焦点，B