第02讲 集合间的基本关系（人教A版2019必修第一册）（原卷版）

第02讲集合间的基本关系【人教A版2019】·模块一集合的子集·模块二集合相等与空集·模块三集合间关系的性质·模块四课后作业模块一模块一集合的子集1．子集的概念定义一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集记法

与读法记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)图示或结论(1)任何一个集合是它本身的子集，即；

(2)对于集合A,B,C，若，且，则2．真子集的概念定义如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集记法记作(或)图示结论(1)且，则；

(2)，且，则【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B.(2)不能把“AB”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B.(3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A.(4)对于集合A，B，C，若AB，BC，则AC；任何集合都不是它本身的真子集.(5)若AB，且A≠B，则AB.【考点1子集、真子集的确定】【例1.1】（23-24高三上·四川·期末）集合A=x−4<x<2的一个真子集可以为（A．3 B．x−1<x<3 C．0 D．【例1.2】（2023·陕西西安·模拟预测）在下列集合中，1,2,3是其真子集的是（

）A．1,2,3 B．2,3,4,5C．xx>0 D．【变式1.1】（2023·江西景德镇·模拟预测）已知集合A=a,b的所有非空子集的元素之和等于12，则a+b等于（

A．1 B．3 C．4 D．6【变式1.2】（23-24高一·全国·假期作业）已知集合A={1,2,3}，则下列集合中是集合A的真子集的是（

）A．{1,2,3} B．{2,3} C．{−1,2,3} D．{1,2,3,4}【考点2\o"判断集合的子集（真子集）的个数"\t"/gzsx/zj135317/_blank"集合的子集（真子集）的个数问题】【例2.1】（23-24高三下·四川成都·阶段练习）已知集合A=1,2,B=2,3，则集合C=A．5 B．6 C．7 D．8【例2.2】（23-24高三上·安徽·期中）若集合P=xm2−2m<x<3,x∈Z有7个真子集，则实数A．0,2 B．0,2 C．0,2 D．0,2【变式2.1】（23-24高三上·河北廊坊·期末）已知集合A=x∣x2−3x+2=0,B={x∣−1<x<5,x∈N}，则满足AA．8 B．7 C．4 D．3【变式2.2】（2024·黑龙江·二模）已知集合A=1,2，B=3,4，定义集合：A∗B=x,yx∈A,y∈B，则集合A．16 B．15 C．14 D．13模块二模块二集合相等与空集1．集合相等的概念如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B.2．空集的概念(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.(2)规定：空集是任何集合的子集.3．Venn图的优点及其表示(1)优点：形象直观.(2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合.【考点1集合相等问题】【例1.1】（2022·辽宁·二模）已知集合M={1,0}，则与集合M相等的集合为（

）A．(x,y)x−y=−1x+y=1 C．xx=(−1)n【例1.2】（23-24高二上·云南大理·期末）设集合A=1,a,B=1,2，若A=B，则实数aA．1 B．2 C．0 D．−1【变式1.1】（23-24高一上·上海奉贤·阶段练习）设Q所示有理数集，集合X=xx=a+b2,a,b∈Q,x≠0，在下列集合中：①2xx∈X；②x2x∈X；③1A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③【变式1.2】（23-24高一上·全国·期末）已知m∈R，n∈R，若集合m,nm,1=mA．−2 B．−1 C．1 D．2【考点2空集的判断、性质及应用】【例2.1】（23-24高一上·江西赣州·阶段练习）下列四个集合中，是空集的是（

）A．{x|x+3=3} B．{x|C．{x|x2−x+1=0,x∈R}【例2.2】（22-23高一上·河南南阳·阶段练习）下列四个命题：①空集没有子集；②空集是任何一个集合的真子集；③∅＝{0}；④任何一个集合必有两个或两个以上的子集．其中正确命题的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【变式2.1】（23-24高一上·上海宝山·期中）已知六个关系式①∅∈{∅}；②∅⊂≠{∅}；③{0}⊃≠∅；④0∉∅；⑤A．3 B．4 C．5 D．6【变式2.2】（22-23高一上·天津和平·阶段练习）下列四个说法中，正确的有（

）①空集没有子集；②空集是任何集合的真子集；③若∅⊆A，则A=∅；④任何集合至少有两个子集．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【考点3集合关系的Venn图表示】【例3.1】（23-24高一上·北京·期末）已知集合U=1,2,3,4,5,6，A=1,2,3，集合A与B的关系如图所示，则集合BA．2,4,5 B．1,2,5 C．1,6 D．1,3【例3.2】（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知全集U=R，那么正确表示集合M={-1，0}和N={x|x2-x=0}关系的韦恩(Venn)图是（

）A． B．C． D．【变式3.1】（23-24高一上·福建南平·期末）下列Venn图能正确表示集合M={0,1,2}和N=xx2A．

B．

C．

D．

【变式3.2】（2024高一·上海·专题练习）已知集合U=R，则正确表示集合M={-1，0，1}和N={x|x2-x=0}关系的文氏图是（）A． B．C． D．模块三模块三集合间关系的性质1．集合间关系的性质(1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA.(2)对于集合A，B，C，①若AB，且BC，则AC；②若AB，B=C，则AC.(3)若AB，A≠B，则AB.【考点1判断集合间的关系】【例1.1】（23-24高三下·北京·开学考试）已知集合A=1,2，A⊆B，则B可以为（

A．3 B．1,3,4 C．2 D．1,2,3【例1.2】（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）设集合A=−1,0,1,B=y∣y=A．A⫋B B．A⫌B C．A=B D．B=∅【变式1.1】（22-23高一上·湖南株洲·开学考试）已知集合A=xx=kA．AB B．BA C．A=B D．A与B关系不确定【变式1.2】（22-23高一上·河南郑州·阶段练习）若A={x|x=k6+1,k∈Z}A．A⊆B⊆C B．A⊆C⊆BC．C⊆B⊆A D．C⊆A⊆B【考点2根据集合的关系求参数】【例2.1】（23-24高一上·全国·课后作业）已知A=x|(1)若A⊆B，求a的值；(2)若B⊆A，求实数a的取值范围.【例2.2】（22-23高一上·江苏盐城·阶段练习）已知集合A=x|x(1)若集合A=B，求实数(2)若集合C⊆A，求实数【变式2.1】（23-24高一·全国·课后作业）已知集合M=x(1)若N=xm≤x≤2m−2，N⊆M，求实数(2)若N=xm−6≤x≤2m−1，M⊆N，求实数【变式2.2】（23-24高一·全国·课后作业）已知集合A=1,3,x，（1）若集合M=1,4,y，A=M，求x+y（2）是否存在实数x，使得B⊆A?若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由.模块四模块四课后作业一、单选题1．（23-24高一上·四川成都·期中）集合A=x∈Z0<x<3A．0,1 B．x0<x<2 C．x0<x<3 2．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）设集合A=xA．2∈A B．C．0⊆A D．3．（22-23高一上·上海黄浦·阶段练习）下列表示同一集合的是（

）A．M={(3,2)}，N={(2,3)} B．M={(x,y)|2x+y=1}，N={y|2x+y=1}C．M={1,2}，N={2,1} D．M={2,4}，N={(2,4)}4．（23-24高一上·重庆长寿·期末）下列命题中，正确的个数有（

）①A⊆A；②0∈0,1,2；③著名的运动健儿能构成集合；④0=∅；⑤∅AA．1 B．2 C．3 D．55．（23-24高一上·全国·课后作业）已知空集x|x2−x+a=0，则实数aA．−∞,−1C．14,+∞6．（2024·宁夏·一模）已知集合A=−1,0,1，B=xx=mn,m∈A,n∈A，则集合A．4 B．7 C．8 D．157．（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）已知集合M=x1<x<a，N=x2<x<6，若N⊆M，则A．aa≥6 B．C．aa≤6 D．8．（2024·浙江·二模）已知集合M=1,2,3，N=0,1,2,3,4,7，若M⊆A⊆N，则满足集合A．4 B．6 C．7 D．8二、多选题9．（2024高一上·全国·专题练习）关于下图说法正确的是（

）A．集合A中的元素既是集合B中的元素也是集合U中的元素B．集合A、B、U中有相同的元素C．集合U中有元素不在集合B中D．集合A、B、U中的元素相同10．（23-24高一上·广东佛山·期中）已知集合A=x−1≤2x−1≤5,x∈Z，则下列说法正确的有（A．1∈A B．2,3⊆A C．A中有3个元素 D．A有16三、填空题11．（23-24高一上·四川内江·期末）已知集合M=x∈N2x−3<2，则M12．（2024高一上·全国·专题练习）设集合A={−1,1}，集合B＝{x|x2−2ax+b=0}，若B≠∅且四、解答题13．（22-23高一·全国·随堂练习）判断下列各组中两个集合之间的关系：(1)1,2,3与xx是6的正因数}(2)xx