选择性75正态分布专题应用

选择性必修第三册第七章7.5正态分布专题应用一、知识构建知识点一正态曲线与正态分布1．我们称f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．2．若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布．3．若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积．知识点二正态曲线的特点1．对∀x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方．2．曲线与x轴之间的面积为1.3．曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．4．曲线在x＝μ处达到峰值eq\f(1,σ\r(2π)).5．当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．6．当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①.7．当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②.知识点三正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.尽管正态变量的取值范围是(－∞，＋∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则．二、类型归纳类型一正态函数图像及性质的理解类型二标准正态分布应用类型三指定和特定区间概率类型四根据正态曲线的对称性求参数类型五3σ原则的应用类型六正态分布的实际应用三、类型应用【例1】（2324高二下·山东聊城·期末）设随机变量，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则（

）A． B．C． D．【答案】D【知识点】正态曲线的性质、特殊区间的概率【分析】由密度曲线结合正态分布性质求解即可.【详解】的密度曲线的对称轴在的密度曲线的对称轴的左边，即.的密度曲线较为分散，的密度曲线较为集中，即，故AB错误；因为，所以C错误；因为，所以D正确；故选：D【变式训练1】(2324高二下·江苏常州金坛区·期中)如图是三个正态分布，，的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为（

）.A．①②③ B．③②① C．②③① D．①③②【答案】A【来源】江苏省常州市金坛区20212022学年高二下学期期中数学试题【分析】先利用正态分布求出三个变量的标准差，再利用当较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”进行判定.【详解】由题意，得，，，因为当较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，且，所以三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为①，②，③.故选：A.【例2】（多选题）（2024·江苏宿迁·一模）设随机变量，其中，下列说法正确的是（

）A．变量的方差为1，均值为0 B．C．函数在上是单调增函数 D．【答案】ACD【知识点】标准正态分布的应用【分析】由正态分布的表示可判断A；由正态曲线及可判断B，根据正态曲线的性质可判断C，根据正态曲线的对称性可判断D.【详解】随机变量，则A正确；，则B错误；随机变量，结合正态曲线易得函数在上是单调增函数，则C正确；正态分布的曲线关于对称，，则D正确，故选：ACD．【变式训练21】（2324高二下·江苏淮安·期末）随机变量，，若，则.【答案】/【知识点】标准正态分布的应用、指定区间的概率【分析】分析可知，结合正态分布的对称性运算求解.【详解】因为，可知，若，可得，所以.故答案为：.【变式训练22】（2223高二下·山东青岛·期中）随机变量X服从正态分布，当，时，称随机变量X服从标准正态分布.现已知随机变量Y服从正态分布.若随机变量（a，b为正实数）服从标准正态分布，则.【答案】/【知识点】标准正态分布的应用【分析】由标准正态分布的定义结合期望和方差的性质计算即可.【详解】随机变量Y服从正态分布，所以，因为随机变量（a，b为正实数）服从标准正态分布，所以，所以，.即，解得，则.故答案为：.【变式训练23】（多选）（2223高二上·河南南阳·阶段练习）已知某批零件的长度误差服从正态分布，其密度函数的曲线如图所示，若从中随机取一件，则下列结论正确的是（

）．（附：若随机变量服从正态分布，则，，．A．B．长度误差落在内的概率为0.6826C．长度误差落在内的概率为0.1359D．长度误差落在内的概率为0.1599【答案】ABC【知识点】正态密度函数、正态曲线的性质、标准正态分布的应用、特殊区间的概率【分析】根据正态分布的性质，结合图像、题中所给公式逐一判断即可．【详解】由图中密度函数解析式，可得，A选项正确；又由图像可知，则长度误差落在内的概率为，B选项正确；长度误差落在内的概率为，C选项正确；长度误差落在内的概率为，D选项错误；故选：ABC.【变式训练24】（2324高二上·黑龙江哈尔滨·期中）如图分别是甲､乙､丙三种品牌手表日走时误差分布的正态分布密度曲线，则下列说法不正确的是（

）A．三种品牌的手表日走时误差的均值相等B．C．三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲､乙､丙D．三种品牌手表中甲品牌的质量最好【答案】B【知识点】概率分布曲线的认识、标准正态分布的应用【分析】根据三种品牌手表误差的正态分布曲线的图象，结合正态分布曲线的性质，逐项判定，即可求解.【详解】根据正态分布曲线的性质和图象可得，三种品牌的手表日走时的误差对应的正态分布曲线的对称轴都是轴，所以三种品牌的手表日走时误差的均值相等，所以A正确；乙品牌对应点的正态分布曲线在区间之间与围成的面积与丙品牌对应点的正态分布曲线在区间之间与围成的面积相等，所以B不正确；由正态分布曲线的形状，可得，所以三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲､乙､丙，所以C正确；由，可得甲种品牌手表的最稳定，质量最好，所以D正确.故选：B.【例3】（2425高二上·江西九江·期末）已知随机变量，，则（

）A． B．C． D．【答案】AD【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率【分析】掌握正态分布中的含义，结合正态曲线的对称性求解即可.【详解】对于选项A，由正态曲线的对称性知，故A正确；对于选项B，因为，所以，故B错误；对于选项C，因为，故C错误；对于选项D，，故D正确．故选：AD.【变式训练31】（2425高二上·江西·期末）已知随机变量，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率【分析】根据正态分布的性质直接求解即可.【详解】由，得，故．故选：B【变式训练32】（2324高二下·山东滨州·期末）若随机变量，且，则（

）A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8【答案】D【知识点】特殊区间的概率【分析】由对称性先得出，进而得出.【详解】因为，所以，所以.故选：D【变式训练33】（2324高二下·福建福州·期末）已知随机变量，随机变量，若，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】特殊区间的概率、根据正态曲线的对称性求参数【分析】由结合对称性得出，再由对称性得出.【详解】因为，所以，因为，所以，又，所以A正确；故选：A【变式训练34】（2324高二下·河北·阶段练习）已知，且，则.【答案】0.6/【知识点】指定区间的概率、根据正态曲线的对称性求参数【分析】根据分析可知，结合正态分布密度曲线的对称性运算求解即可.【详解】因为，所以，则.因为，所以.故答案为：0.6.【变式训练35】（多选）（2324高二上·广西桂林·期末）某市对历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生儿体重，则下列结论正确的是（

）A．该正态分布的均值为 B．C． D．【答案】AB【知识点】概率分布曲线的认识、指定区间的概率【分析】根据可得出该正态分布的均值，可判断A选项；利用正态密度曲线的性质可判断BCD选项.【详解】因为，对于A选项，该正态分布的均值为，A对；对于B选项，，B对；对于C选项，，C错；对于D选项，由正态密度曲线的对称性可知，，D错.故选：AB.【例4】(2425·福建厦门·)已知随机变量X服从正态分布，若，且，则（

）A．1 B． C．0 D．【答案】C【来源】福建省厦门市20242025学年高中毕业班第一次质量检测数学试卷【分析】根据正态分布的对称性，即可求得答案.【详解】由题意知随机变量X服从正态分布，，如图所示，结合，得，可知关于对称，所以，解得，故选：C．【变式训练41】（2425高二上·河北沧州·阶段练习）设随机变量服从正态分布，若，则实数的值为（

）A．5 B．3 C． D．【答案】D【知识点】根据正态曲线的对称性求参数【分析】根据正态分布的特征，可得，求解即可得出结果.【详解】因为随机变量服从正态分布，，所以根据正态分布的性质，可得，解得.故选：D.【变式训练42】（2425高二下·全国·课前预习）随机变量服从正态分布，若，，则等于（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【知识点】正态曲线的性质、根据正态曲线的对称性求参数【分析】利用正态曲线的图象对称性由即可求得的值.【详解】，，，即，.故选：B.【例5】（2425高二·全国·课堂例题）设，试求：(1)；(2)；(3)．参考数据：，【答案】(1)(2)(3)【知识点】3δ原则、指定区间的概率【分析】（1）由题意可得，则，从而可求得答案；（2）根据正态分布的对称性可得，从而可求得答案；（3）根据正态分布的对称性可得，从而可求得答案.【详解】（1）．．（2），.（3），．【变式训练51】(2425高二上·吉林“BEST合作体”·期末)某学校高二年级数学联考成绩，如果规定大于或等于105分为数学成绩“良好”，那么在参加考试的学生中随机选择一名，他的数学成绩为“良好”的概率是（

）（提示：若，则，，）=0.9973）A．0.0455 B．0.15865 C．0.3173 D．0.34135【答案】B【来源】吉林省“BEST合作体”20242025学年高二上学期1月期末考试数学试题【分析】根据正态分布的性质计算可得.【详解】因为，所以，，所以.故选：B.【变式训练52】（2324高二下·四川眉山·期末）某种生态鱼在某个池塘一年的生长量X（单位：克）服从正态分布，则概率为（

）参考数据：①；②；③A．0.8186 B．0.84 C．0.8785 D．0.9759【答案】B【知识点】3δ原则、指定区间的概率【分析】分析可知：，根据原则结合对称性分析求解.【详解】因为，则，，所以.故选：B.【变式训练53】（2425高三上·湖南·阶段练习）某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（

）附：若，记，则．A．136人 B．272人 C．328人 D．820人【答案】B【知识点】3δ原则、正态分布的实际应用【分析】首先求出平均数，即可得到学生的数学成绩，再根据所给条件求出，即可求出，即可估计人数．【详解】由题得，，，，该校及格人数为（人），故选：B．【变式训练54】（2324高二下·河南信阳·期末）某校进行的“校园安全”知识竞赛成绩，若成绩在90分以上为“优秀”，该校有4000人参加竞赛，则获得“优秀”的人数为.（附：，）【答案】91【知识点】3δ原则、指定区间的概率、正态分布的实际应用【分析】根据正态分布的对称性得到，进而得到，求出答案.【详解】依题意，，，，，.故答案为：91【例6】（2025·云南大理·模拟预测）某地区组织了一次高三全体学生的模拟考试，经统计发现，数学成绩近似服从正态分布，已知数学成绩高于115分的人数与低于75分的人数相同，那么估计本次考试的数学平均分为（

）A．85 B．90 C．95 D．100【答案】C【知识点】正态曲线的性质【分析】根据正态密度曲线的对称性求解即可.【详解】由正态密度曲线的对称性，数学成绩高于115分的人数与低于75分的人数相同，所以，故选：C【变式训练61】（2425高二下·全国·课后作业）某地为了美化环境，购买了棵杉树树苗，已知杉树树苗的高度近似服从正态分布，则树苗高度在以上（含）的约有棵．【答案】【知识点】特殊区间的概率、正态分布的实际应用【分析】根据原则可求得，由此可计算求得结果.【详解】由题意知：，，，，树苗高度在以上（含）的约有棵.故答案为：.【变式训练62】（2425高二下·全国·课后作业）2023年3月3日，教育部于《教育系统关于新时代学习弘扬雷锋精神深入开展学雷锋活动的实施方案》中提出“教育系统要坚持将雷锋精神深度融入学校教育教学和人才培养的全过程、各方面”．某校积极的参与到该方案实施中，组织全体师生（共1600人）进行了一次“雷锋精神”相关的知识竞赛，经统计，所有参赛者的成绩X近似服从正态分布，估计成绩不低于75分的参赛者人数为．【答案】1346【知识点】指定区间的概率、正态分布的实际应用【分析】根据求得，再求即可.【详解】依题意可知，所以，所以，所以估计成绩不低于75分的参赛者人数为．故答案为：1346【变式训练63】（多选）（2425高二上·广西桂林·期末）在某市某次质量检测联合考试中，考生有30000人，考生的数学成绩服从正态分布.已知随机变量，若与的方差相同，则下列结论正确的是（

）附：若随机变量服从正态分布，则A．B．C．D．估计该市数学成绩在区间的考生约645人【答案】ABD【知识点】二项分布的方差、指定区间的概率、正态分布的实际应用【分析】根据二项分布的知识求得方差，由此对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，服从正态分布，所以，A选项正确.随机变量，所以，所以，B选项正确.，所以C选项错误.，估计该市数学成绩在区间的考生约人，D选项正确.故选：ABD【点睛】方法点睛：对于正态分布问题，要牢记正态分布的期望，方差，以及正态分布的对称性和特殊区间的概率值.在已知正态分布的参数和后，可利用这些性质计算各种概率.对于二项分布，其方差，可根据此公式求出二项分布的方差，再结合与其他分布方差的关系解决相关问题.【变式训练64】（2425高三上·云南保山·期中）某市共20000人参加一次物理测试，满分100分，学生的抽测成绩服从正态分布，则抽测成绩在内的学生人数大约为（

）（若，则）A．6828 B．5436 C．4773 D．2718【答案】D【知识点】正态曲线的性质、正态分布的实际应用【分析】利用正态分布的对称性即可求得抽测成绩在内大约的学生人数.【详解】学生的抽测成绩服从正态分布，则，由于总人数为20000，则抽测成绩在内的学生人数大约为，故选：D.【例7】（2425高二下·辽宁大连·阶段练习）某汽车公司研发了一款新能源汽车，并在出厂前对辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行整理，得到如下的频率分布直方图：(1)估计这辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；(2)由频率分布直方图计算得样本标准差的近似值为，根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似的服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本标准差.（i）利用该正态分布，求；（ii）假设某企业从该汽车公司购买了辆该款新能源汽车，记表示这辆新能源汽车中单次最大续航里程的车辆数，求；参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，.【答案】(1)(2)（i）；（ii）.【知识点】由频率分布直方图估计平均数、二项分布的均值、3δ原则【分析】（1）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全部相加，可得出的值；（2）（i）由题意可得出，，则，可得出，即可得解；（ii）分析可知，，利用二项分布的期望公式可求得的值.【详解】（1）由频率分布直方图可得.（2）（i）由题意可得，，则，所以，；（ii）由题意可知，，故.【变式训练7】（2425高三上·山东·阶段练习）为进一步提升人才选拔的公正性，某省拟在三年内实现高考使用新高考全国Ⅰ卷，为测试学生对新高考试卷的适应性，特此举办了一次全省高三年级数学模拟考试（满分150分），其中甲市有10000名学生参加考试．根据成绩反馈，该省及各市本次模拟考试成绩X都近似服从正态分布．(1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为97.5分，成绩位于区间内的学生共有4772人．甲市学生A的成绩为114分，试估计学生A在甲市的大致名次；(2)在参加该省本次模拟考试的学生中随机抽取500人作为研究样本，随机变量Y为本次考试数学成绩在之外的人数，求的概率及随机变量Y的数学期望．附：参考数据：参考公式：若有，．【答案】(1)1587名(2)，【知识点】二项分布的均值、指定区间的概率、正态分布的实际应用【分析】（1）考试成绩近似服从正态分布，根据概率公式计算出概率后可得名次；（2）求出事件：在样本中抽取的学生在本次考试中数学成绩在之外的概率，随机变量服从二项分布，即，由公式计算出概率，再由二项分布的期望公式计算出期望．【详解】（1）已知本次模拟考试成绩近似服从正态分布，由题意可得，，,即，解得，甲市学生A在该次考试中成绩为114分，且，又，即，，答：学生A在甲市本次考试的大致名次为1587名．（2）设事件：在样本中抽取的学生在本次考试中数学成绩在之外，由于成绩在之内的概率为0，9974，，随机变量服从二项分布，即，，的数学期望为.【例8】（2425高三下·重庆·阶段练习）智利的车厘子在中国市场上非常受欢迎，尤其是在春节前后，成为果品市场的“销售冠军”.进口水果办会对智利车厘子进行了分级，标准主要依据果实直径进行划分，通常分为以下几个等级：0级；直径在24mm到26mm之间；J级：直径在26mm到28mm之间；JJ级：直径在28mm到30mm之间；JJJ级：直径在30mm到32mm之间；JJJJ级：直径在32mm以上.某商贸公司根据长期检测结果，发现每批次进口车厘子的直径服从正态分布并把直径不小于的车厘子称为一等品，其余称为二等品.现从某批次的车厘子中随机抽取100颗（直径位于24mm至34mm之间）作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.(1)根据长期检测结果，车厘子直径的标准差，用标准差作为的估计值，用样本平均数（按四舍五入取整数）作为的近似值.若从该批次中任取一颗，试估计该颗车厘子为一等品的概率（保留小数点后两位数字）；（①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，）(2)若从样本中直径在和的车厘子中随机抽取3颗，记其中直径在的个数为，求的分布列和数学期望.【答案】(1)(2)分布列见解析，【知识点】由频率分布直方图估计平均数、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、正态分布的实际应用【分析】（1）先利用频率分布直方图求出样本平均数，再根据正态分布的性质求解即可；（2）根据频率分布直方图可知所取样本个，直径在的车厘子有个，得到的所有可能取值，根据古典概型的概率公式求分布列，再根据分布列和期望公式求期望即可.【详解】（1）由题意，估计从该批次的车厘子中随机抽取颗的平均数为：，即，，所以，则，所以从车厘子中任取一颗，该车厘子为一等品的概率约为.（2）由频率分布直方图可知，所以所取样本个，直径在的车厘子有个，故可能取的值为，相应的概率为：，，，，随机变量的分布列为：0123P所以的数学期望.【变式训练81】某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产．其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：、、、、．根据长期检测结果，发现芯片的质量指标值服从正态分布，现从该品牌芯片的生产线中随机抽取件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图．(1)根据检测结果，样本中芯片质量指标值的标准差的近似值为，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，可得到X服从的正态分布．求和的值；(2)从样本中质量指标值在和的芯片中随机抽取件，记其中质量指标值在的芯片件数为，求的分布列和数学期望；(3)将指标值不低于的芯片称为等品．通过对芯片长期检测发现，在生产线任意抽取一件芯片，它为等品的概率为，用第（1）问结果试