安徽省蚌埠市四校2024-2025学年高二下学期第一次联考数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1安徽省蚌埠市四校2024-2025学年高二下学期第一次联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，选对得5分，选错得0分．1.设数列的前项和，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】数列的前项和，则.故选：A2.要排一份有5个独唱节目和3个舞蹈节目的节目单，如果舞蹈节目不排在开头，并且任意两个舞蹈节目不排在一起，则不同的排法种数是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】第1步，先排5个独唱节目共种；第2步，排舞蹈节目，不相邻则用插空法，且保证不放到开头，从剩下5个空中选3个插空共有种，所以一共有种排法．故选：C.3.如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（）A.在上是增函数 B.在上是减函数C.当时，取得极小值 D.当时，取得极小值【答案】D【解析】对于选项A，由图知，当时，的符号有正有负，不是单调的函数，所以选项A错误，对于选项B，由图知，当时，是增函数，所以选项B错误，对于选项C，由图知，且在左侧附近，，在右侧附近，，所以是极大值点，在处取到极大值，所以选项C错误，对于选项D，由图知，且在左侧附近，，在右侧附近，，所以是极小值点，在处取到极小值，所以选项D正确，故选：D.4.某科研小组培育一种水稻新品种，由第1代1粒种子可以得到第2代120粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代120粒种子，则第10代得到的种子数为（）参考数据：，A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，第10代得到的种子数为故第10代得到的种子数约为故选：C.5.已知，，，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，，，构造函数，因为，由，得到，由，得到，所以在区间上单调递减，因为，，，因为，所以，故选项A，C，D错误，选项B正确，故选：B.6.设等差数列的前n项和为，且公差不为0，若，，，成等比数列，，则（）A.7 B.8 C.10 D.123【答案】C【解析】设公差为，由题意可得，即，解得舍去，或，所以，可得.故选：C.7.已知数列的通项公式为，，当时，成立，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由，当时，成立，即数列递增，则对于任意的，都有.已知，则有恒成立，即对于任意的都成立，因为当时，，所以.故选：C.8.已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值范围是（）A.[0,) B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，选A.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在递增的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（）A. B.数列是等比数列C. D.数列是公差为的等差数列【答案】AD【解析】因为是等比数列，所以，又因为，由，解得或，又因为数列是递增数列，所以，对于选项A，因为，所以选项A正确，对于选项B，因为，所以，所以，所以不为常数，所以选项B错误，对于选项C，因为，所以，所以选项C错误，对于选项D，因为，所以，所以，则是等差数列，且公差为，所以选项D正确，故选：AD.10.某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到A，B，C三家企业开展“面对面”义诊活动，每名医生只能到一家企业工作，每家企业至少派1名医生，则下列结论正确的是（）A.所有不同分派方案共种B.所有不同分派方案共36种C.若甲必须到A企业，则所有不同分派方案共12种D.若甲，乙不能安排到同一家企业，则所有不同分派方案共30种【答案】BCD【解析】由题意，所有不同分派方案共种，故A错误，B正确；对于C，若甲必须到A企业，若企业有两人，则将其余三人安排到三家企业，每家企业一人，则不同分派方案有种，若企业只有一人，则不同分派方案有种，所以所有不同分派方案共种，故正确；对于D，若甲，乙安排到同一家企业，则将剩下的两人安排到另外两家企业，每家企业一人，则有种不同的分派方法，所以若甲，乙不能安排到同一家企业，则所有不同分派方案共种，故D正确.故选：BCD.11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.在上单调递增 B.不等式的解集为C.若恒成立，则 D.若，则【答案】BCD【解析】对于选项A，因为，由，得到，当时，，当时，，即在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以选项A错误，对于选项B，由得到，由（1）知在区间上单调递减，在区间上单调递增，且当时，，又，所以的解集为，故选项B正确，对于选项C，由，得到，当时，恒成立，当时，由，得到，所以，令，则，当时，，当时，，则在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，则，故选项C正确，对于选项D，由，得到，则，由选项A知，在区间上单调递增，所以，则，故选项D正确，故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.曲线过原点的切线方程为__________.【答案】【解析】由得设切点为，则切线方程为由于切线经过原点，所以，解得，所以切线方程为，即，故答案为：13.用红、黄、蓝、绿四种颜色给如图中五个区域进行涂色，要求相邻区域所涂颜色不同，共有_________种不同的涂色方法.（用数字回答）【答案】【解析】若四种颜色全部用到，则同色或同色，则共有种；若只用三种颜色涂色，则同色且同色，共有种，根据分类加法计数原理可得，共有种涂色方法.故答案为：.14.已知函数，则不等式的解集为__________.【答案】【解析】由得，所以函数是R上的增函数，又由得函数是奇函数，则由得，所以，解得.故答案：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.现有0，1，2，3，4这五个数字，回答下列两个问题．（1）用这5个数字能够组成多少个无重复数字的五位数？（2）用这5个数字能够组成多少个无重复数字的五位偶数？解：（1）先排数字0，0只能占除最高位外的其余四个数位，有种排法，再排四个非0数字有种，由分步乘法计数原理得，所以能组成96个无重复数字的五位数；（2）当个位数字为0时，则可以组成个无重复数字的五位偶数，当个位数字为2或4时，则可以组成个无重复数字的五位偶数，所以用这5个数字能够组成组成个无重复数字的五位偶数；16.已知函数在处取得极值.（1）求函数的解析式及单调区间；（2）求函数在区间的最大值与最小值.解：（1），由题意得，即，解得，故解析式为，定义域为R，令，令得或，令得，故上单调递增，在上单调递减，显然为极小值点，故，单调递增区间为，单调递减区间为，（2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，表格如下：1+0-0+单调递增极大值单调递减极小值单调递增又，故的最大值为2，最小值为.17.设数列的前n项和为，已知．（1）证明：数列是等比数列；（2）若数列满足，，求数列的前14项的和．解：（1），则，，得，即，，即令中，得，解得，则是首项为1，公比为2的等比数列．（2）由（1）知，则，，且，当为偶数时，，即，，，．18.已知函数．（1）若函数在点处的切线与直线垂直，求a的值；（2）讨论函数的单调性；（3）若有两个零点，求a的取值范围．解：（1）由，求导得，直线的斜率为，又函数在点处的切线与直线垂直，所以，即，解得．（2）因为，，所以当时，，所以在上单调递减；当时，，令，解得，当，解得，当，解得，所以时，单调递减，时，单调递增．综上，可知：当时，在上减函数，当时，在上是减函数，在上是增函数．（3）①若，由（2）可知：最多有一个零点，②当时，由（1）可知：当时，取得最小值，，由于均为上单调递增函数，所以函数在单调递增，当时，，故当时，，故只有一个零点，当时，由，即，故没有零点，当时，，，由，故在有一个零点，假设存在正整数，满足，则，由，所以，因此在上有一个零点．综上，的