高考数学复习专题一函数与导数不等式第4讲导数与函数的切线及函数零点问题

第4讲导数与函数切线及函数零点问题高考定位在高考试题导数压轴题中，以含指数、对数函数为截体，考查函数零点问题、与方程根相关问题及函数图象交点问题是高考命题一个热点.1/34真题感悟(·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2有两个零点.(1)求a取值范围；(2)设x1，x2是f(x)两个零点，证实：x1＋x2<2.(1)解

f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a).①设a＝0，则f(x)＝(x－2)ex，f(x)只有一个零点.②设a>0，则当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.2/343/344/34考

点

整

合1.求曲线y＝f(x)切线方程三种类型及方法(1)已知切点P(x0，y0)，求y＝f(x)过点P切线方程：求出切线斜率f′(x0)，由点斜式写出方程.(2)已知切线斜率为k，求y＝f(x)切线方程：设切点P(x0，y0)，经过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程.(3)已知切线上一点(非切点)，求y＝f(x)切线方程：设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程.5/342.三次函数零点分布三次函数在存在两个极值点情况下，因为当x→∞时，函数值也趋向∞，只要按照极值与零大小关系确定其零点个数即可.存在两个极值点x1，x2且x1＜x2函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)零点分布情况以下：a符号零点个数充要条件a＞0(f(x1)为极大值，f(x2)为极小值)一个f(x1)＜0两个f(x1)＝0或者f(x2)＝0三个f(x1)＞0且f(x2)＜0a＜0(f(x1)为极小值，f(x2)为极大值)一个f(x2)＜0两个f(x1)＝0或者f(x2)＝0三个f(x1)＜0且f(x2)＞06/343.(1)研究函数零点问题或方程根问题思绪和方法研究函数图象交点、方程根、函数零点，归根到底还是研究函数图象，如单调性、值域、与x轴交点等，其惯用解法以下：①转化为形如f(x1)·f(x2)＜0不等式：若y＝f(x)满足f(a)f(b)＜0，则f(x)在(a，b)内最少有一个零点；②转化为求函数值域：零点及两函数交点问题即是方程g(x)＝0有解问题，将方程分离参数后(a＝f(x))转化为求y＝f(x)值域问题；③数形结合：将问题转化为y＝f(x)与y＝g(x)交点问题，利用函数图象位置关系处理问题.7/34(2)研究两条曲线交点个数基本方法①数形结正当，经过画出两个函数图象，研究图象交点个数得出答案.②函数与方程法，经过结构函数，研究函数零点个数得出两曲线交点个数.8/34热点一函数图象切线问题

[微题型1]单一考查曲线切线方程【例1－1】(1)(·全国Ⅱ卷)若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2切线，也是曲线y＝ln(x＋1)切线，则b＝________.(2)设函数f(x)＝ax3＋3x，其图象在点(1，f(1))处切线l与直线x－6y－7＝0垂直，则直线l与坐标轴围成三角形面积为(

)A.1 B.3C.9 D.129/3410/34答案(1)1－ln2

(2)B11/34探究提升

利用导数几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间关系为载体求参数值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间关系，进而和导数联络起来求解.12/34[微题型2]综合考查曲线切线问题【例1－2】

已知函数f(x)＝2x3－3x.(1)求f(x)在区间[－2，1]上最大值；(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切，求t取值范围.13/3414/34当x改变时，g(x)与g′(x)改变情况以下：所以，g(0)＝t＋3是g(x)极大值，g(1)＝t＋1是g(x)极小值.当g(0)＝t＋3≤0，即t≤－3时，此时g(x)在区间(－∞，1]和[1，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点.当g(1)＝t＋1≥0，即t≥－1时，此时g(x)在区间(－∞，0)和[0，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点.15/34当g(0)＞0且g(1)＜0，即－3＜t＜－1时，因为g(－1)＝t－7＜0，g(2)＝t＋11＞0，所以g(x)分别在区间[－1，0)，[0，1)和[1，2)上恰有1个零点，因为g(x)在区间(－∞，0)和(1，＋∞)上单调，所以g(x)分别在区间(－∞，0)和[1，＋∞)上恰有1个零点.综上可知，当过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切时，t取值范围是(－3，－1).16/34探究提升

处理曲线切线问题关键是求切点横坐标，解题时先不要管其它条件，先使用曲线上点横坐标表示切线方程，再考虑该切线与其它条件关系，如本题第(2)问中切线过点(1，t).17/34【训练1】

已知函数f(x)＝x3－x.(1)设M(λ0，f(λ0))是函数f(x)图象上一点，求图象在点M处切线方程；(2)证实：过点N(2，1)能够作曲线f(x)＝x3－x三条切线.18/34因为g(λ)在R上只有一个极大值3和一个极小值－5，所以过点N能够作曲线f(x)＝x3－x三条切线.19/34热点二利用导数处理与函数零点(或方程根)相关问题[微题型1]讨论函数零点个数20/3421/3422/3423/34探究提升

对于函数零点个数相关问题，利用导数和数形结合数学思想来求解.这类问题求解通法是：(1)结构函数，这是处理这类题关键点和难点，并求其定义域；(2)求导数，得单调区间和极值点；(3)画出函数草图；(4)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴交点情况进而求解.24/34[微题型2]依据函数零点求参数范围【例2－2】

(·丽水模拟)已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－2(e为自然对数底数，a∈R).25/3426/3427/34探究提升

研究方程根(或函数零点)情况，能够经过导数研究函数单调性、最大值、最小值、改变趋势等，并借助函数大致图象判断方程根(函数零点)情况，这是导数这一工具在研究方程中主要应用.28/34(1)求函数f(x)解析式；(2)判断函数f(x)在(0，π)内零点个数，并加以证实.29/3430/3431/3432/341.求曲线切线方程方法是利用切线方程公式y－y0＝f′(x0)(x－x0)，它难点在于分清“过点P切线”与“在点P处切线”差异.突破这个难点关键是了解这两种切线不一样之处于哪里，在过点P(x0，y0)切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P(x0，y0)处切线，必以点P为切点，则此时切线方程是y－y0＝f′(x0)(x－x0).33/342.我们借助于导数探究函数零点，不一样问题，比如方程解、直线与函数图象交点、两函数