2025年辽宁省辽阳市高考数学二模试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025年辽宁省辽阳市高考数学二模试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z=−2i(−3−4i)的虚部为(

)A.6 B.−8 C.6i D.−62.已知命题p：∀x∈R，x2+1>x，命题q：∃x>0，A.p和q都是真命题 B.￢p和q都是真命题

C.p和￢q都是真命题 D.￢p和￢q都是真命题3.已知α为第一象限角，且sin2α=45，则sinα+cosα=(

)A.55 B.255 4.已知f(x)=x+2,x<00,x=0x+a,x>0是奇函数，则a=A.0 B.1 C.2 D.−25.函数f(x)=12lnx图象上一点P到直线y=xA.2 B.22 C.6.已知变量x和y的统计数据如表：x24568y3040605070若x和y线性相关，则y关于x的回归直线方程为(

)

(附：回归直线方程y=a+A.y=5x+25 B.y=5.5x+22.5 C.y=6x+20 D.y=6.5x+17.57.一个盒子中有5个白色乒乓球和4个橘黄色乒乓球.现从盒子中任取3个乒乓球，记取出的3个乒乓球中的颜色为橘黄色的个数为X，则E(X)=(

)A.1 B.2 C.43 D.8.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为45，左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作斜率不为0的直线l与双曲线C的左、右支分别交于A，B两点A.x±4y=0 B.4x±y=0 C.2x±y=0 D.x±2y=0二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=sin1x，则下列结论正确的是A.f(x)的定义域为R B.f(x)的值域为[−1,1]

C.f(x)是奇函数 D.f(x)在(210.已知1，a1，a2，…，ak(k∈N+，且k≥2)，2为等比数列，公比为qA.a1ak=2 B.qk+1=211.已知曲线C：kx2=(1+y)(1−y)A.曲线C关于y轴对称

B.曲线C上的点到x轴的距离的最大值为1

C.若k=1，且点(x0,y0)在C上，则x0+y0≤1

D.若曲线三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=(−2,1)，b=(1,x)，若a//b，则a13.甲、乙等5人站成一排拍照，已知甲没有站在最中间，则甲、乙相邻的概率为______．14.如图，在棱长为6的正四面体ABCD中，点E满足DE=2EA，则四面体ABCE的外接球的表面积为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asinC=csin2A．

(1)求角A的大小；

(2)若△ABC的周长为3a，证明：△ABC为等边三角形．16.(本小题15分)

已知函数f(x)=sinx+ax．

(1)若a=−1，求曲线y=f(x)在点(π2,f(π2))处的切线方程；

(2)17.(本小题15分)

在矩形ABCD中，E，F为CD上两个不同的三等分点，如图1.将△AFD和△BEC分别沿AF，BE向上翻折，使得点C，D重合，记重合后的点为P，如图2.已知AB=6，四棱锥P−ABEF的体积为833．

(1)求AD；

(2)求平面PAF与平面PBE所成角的正弦值．18.(本小题17分)

已知A，B分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点，ab=62，M，N均为椭圆C上异于顶点的点，H为椭圆C上的点，直线HM经过左焦点F1，直线HN经过右焦点F2(1,0)．

(1)求椭圆C的标准方程．

(2)试问|HF119.(本小题17分)

已知集合P={m0,m1,m2,m3,⋯,mn−1}，m，n∈N∗，m>1，集合Qk满足Qk⊆P，1≤k≤2n，k∈N∗，当k取不同值时，Qk各不相同.记Qk的所有元素之和为TQk，将数列{TQk}的所有项重新排列为c1,c2,c3,⋯,c2n参考答案1.A

2.A

3.C

4.D

5.C

6.D

7.C

8.D

9.BCD

10.ABD

11.ABC

12.15213.3814.48π

15.解：(1)因为asinC=csin2A，

所以由正弦定理得：sinAsinC=sinCsin2A，

因为sinC>0，所以sinA=2sinAcosA，

则cosA=12，因为A∈(0,π)，所以A=π3；

(2)证明：由余弦定理得：b2+c2−bc=a2，

因为△ABC的周长为3a，所以b+c=2a，即a=b+c2，

所以4b2+4c2−4bc=(b+c)2，化简可得：(b−c)2=0，

所以b=c=a，故△ABC为等边三角形．

16.解：(1)当a=−1时，f(x)=sinx−1x，f(π2)=0，

f′(x)=xcosx−sinx+1x2,f′(π2)=0，

故曲线y=f(x)在点(π2,f(π2))处的切线方程为y=0．

(2)因为∀x∈(0,π)，f(x)>cosx，所以∀x∈(0,π)，a>−sinx+xcosx．

令g(x)=−sinx+xcosx，x∈(0,π)，则g′(x)=−xsinx<0，

所以g(x)在(0,π)上单调递减，g(x)<g(0)=0，

所以a≥0，即a的取值范围为[0,+∞)．

17.解：(1)取AB，EF的中点分别为G，H，连接PH，HG，PG，

过点P作PM⊥HG，垂足为M，

设AD=a，则HG=a，

△PEF为等边三角形，EH=12EF=1,PH=3，

在△PAB中，PA=PB=a，PG=a2−9，

在△PGH中，cos∠PHG=PH2+HG2−PG22PH⋅HG=23a，sin∠PHG=a2−12a，

PM=PH⋅sin∠PHG=3⋅a2−12a，

又梯形ABEF的面积S=(EF+AB)⋅HG2=4a，

所以四棱锥P−ABEF的体积为13⋅S⋅PM=13⋅4a⋅3⋅a2−12a=43⋅a218.解：(1)依题意可得：ab=62a2−b2=1，解得a2=9b2=8，所以椭圆C的标准方程x29+y28=1．

(2)

易得F1(−1,0)，F2(1,0)，设M(x1,y1)，N(x2,y2)当H(x0,y0)，

HM=tHF1，HN=kHF2,t>1,k>119.解；(1)当m=3时，集合P={1,3}，其子集Qk及其对应的TQk为：

①空集：TQk=0；②{1}：TQk=1；③{3}：TQk=3；④{1,3}：TQk=4；

重新排列之后：c1=0，c2=1，c3=3，c4=4；

(2)证明：当m=2时，设Qi={2i1,2i2,2i3,⋯,2it}，Qj={2j1,2j2,2j3,⋯,2jm}，

cr=TQi，cs=TQj，其中0≤i1<i2<…<it≤n−1，0≤j1<…<jm≤n−1，1≤t≤n，1≤m≤n，1≤r≤2”，1≤s≤2n，t∈N+，m∈N+，jm∈N+.r∈N+，s∈N+，

由i≠j得Qi≠Qj，去除Qi