《浅析向量代数在中学数学中的运用》8100字（论文）

浅析向量代数在中学数学中的运用目录TOC\o"1-3"\h\u1．绪论 11.1选题背景 11.2研究意义 21.3研究价值 22．向量基础 32.1向量的概念 32.2向量的运算 32.3向量的坐标表示 53．向量在中学数学中的几何运用 53.1向量法与几何中的共线问题 53.2向量法与几何中的数量积问题 114.总结 20参考文献 22摘要：中学数学中的向量既是物理学研究的工具,又是连接几何、代数和三角函数的桥梁，有着非常丰富的应用背景．在数学的许多分支中都体现了向量的工具性特征．向量考试以基础知识为载体，以思维方法为基础，以提升能力为目的，成为近年来高考的热门话题．向量常用于解决代数和几何方面的数学问题，理论研究与实际运用相结合，为解决问题提供了新的途径和便捷的方法，减少一些复杂的思维和推理的过程，降低学习难度，从而开阔学生的视野，促进学生的全面发展．关键词：平面几何；立体几何；中学数学；运用1．绪论1.1选题背景向量也称矢量,最早使用在物理学中,主要是用向量来表示，比如力、位移、速度等．公元前350年左右,亚里士多德首次发现了可以用向量来表示力,并通过实验得出，计算两种力的组合可以使用平行四边形法则．后由科学家牛顿将力学与解析几何学中的“向量”用有向线段来表示[1].18世纪末，向量知识正式纳入数学知识体系中．在一些西方学者的努力下，向量的基本理论在1801年到1900年逐渐被完善．虽然向量的相关知识进入到数学学科比较迟，但是向量的应用价值极其普遍.向量知识在解决部分理科问题中占据一定的地位［2］．教育必须要适应时代的发展，所以将向量代数引入高中教材变成了一种必然趋势，它是必然的结果．中学数学中的向量不仅仅是物理研究的工具,又是连接几何、代数和三角函数的桥梁，有着非常丰富的应用背景．在数学的许多分支中都体现出向量的工具性特征，向量的思想在高等数学和解析几何中渗透的非常广泛，学习向量代数有利于大学数学与中学数学的衔接．采用向量代数的形式，可以使分析思路和解决问题的步骤变得简单流畅，同时又不失严谨．方法新颖，思路清晰，操作简单，提高了做题效率．另外，向量在高考中也备受青睐．向量与其他知识点的交集，成为近年来高考的热门话题．向量考试以基础知识为载体，以思维方法为基础，以提升能力为目的．这与向量的重要教育价值密切相关，它体现了中学几乎所有的思维方法，如数与形的结合、函数与方程的结合、转化与划归、分类与讨论等[3].各种研究表明，向量代数教学的现状已逐步改善，但仍不乐观．在很多地方，很多学校的教育都停留在向量代数的基础计算上，学生基础不扎实，应用意识薄弱．1.2研究意义向量代数在中学数学中的研究意义重点在于它的计算应用．通过总结向量的规律，能更好更快的解决数学问题，使向量代数的理论研究真正地与实际应用相结合，较好的反映了向量的作用．所以，学会用向量代数解决几何问题，减少复杂的抽象思维，使向量代数的计算与图形描述能够完美结合．它有利于锻炼学生的逻辑思维能力，帮助学生建立解决基础数学问题的基本框架.在教学中，学生可以利用向量代数解决现实生活和工作中的问题，从而提高他们用理论解决实际问题的能力［1］．向量具备几何和代数形式,二者相辅相成.若不能超脱坐标情结和方程情结，过于注重它的代数形式而忽略了几何形式，以至于在用向量法解题时，基本上和代数中解决应用题的方法(设未知数，列方程)一致，把几何问题转化成方程求解，其中包括大量运算，自然较为烦琐．所以，在理解并熟练掌握向量几何的时候，就可以利用几何意义列出方程，在其运算过程中不但使用了数字，还使用了图形，充分体现了数形结合的思想，这就是运用向量法解决问题的标志.而把向量化到相交线段上，实质也是在寻求一对有效的坐标标架．向量和几何的相融,已是一种必然趋势.向量解题在教材中有着别的数学工具无可取代的地位，它可以把数字和图形结合起来，可以帮助学生建立多维思维去解决数学问题和进一步学习数学知识.但是，从现在向量法在中学教材中所占比重来看，向量法相关问题的解决和讲授还很值得研究.同一个数学问题可以有很多解题方法，解题方法有简单的，有复杂的.简单高效的解题方法是我们学习数学所追求的.所以，应该教会学生学习更加简单高效的解题方法［4］．1.3研究价值中学数学中“向量”的引入，主要为解决立体几何问题提供了一个工具，解决问题时，坐标系的建立很困难，但是坐标系建立后，证明平行和垂直的关系，以及通过向量运算证明立体几何的角度要方便得多．中学数学引入向量的主要价值体现在以下三方面[3]：第一，利用向量代数知识把几何问题的交流从定性推进到定量的层面,可以使一些几何的问题更为简捷的被解决．用向量解决代数问题，可以使一些问题变得简单容易．把数转化成向量,以图形之间的向量知识关系作为着手点来解决这类问题.把“数”变换为“向量”,用向量的运算或者向量的性质把已经知道的问题转化为向量的语言.再把这种语言转换为“代数类语言”,就是“数字—向量—代数”的过程.[5]．第二，在高中的数学课本中已经引入了向量，已经有了“数与形相结合”的思想，还开辟了不一样的“数与形相结合”的思路．数学思想中比较重要的思想之一就是数与形相结合的思想,向量的运算在数学中是数与形相结合中榜样般的存在,向量能够把几何类型的问题变换成代数类型的问题,也能用代数类型的问题变换成几何类型的问题,“形”与“数”的转换为解决问题提供了新的途径和便捷的方法［6］.可以用向量的相关知识把几何类型的问题转化，然后用向量的基本运算求解这类问题,可以将复杂的问题变得简单进而提高解题的效率［7］．第三，向量本身的丰富内涵可以使学生的智力不断发展．高中数学课程改革改变了以往的教学内容和教学理念,向量逐渐引起人们关注,形成了一套独特的运算体系．目前,向量己经成为高中数学教材的一部分,也是数学教学中的一个亮点．用这个知识去解决数学中的问题与传统的解题相比较在步骤和方法上占有绝对的优势,解题的步骤在很大程度減少了.学生在学习过程中逐渐意识到向量是一个强大的工具,并牢牢地运用好它、掌握好它［1］．2．向量基础2.1向量的概念在高中阶段,向量是这样定义的：有大小和方向的量，用一条有方向的线段来表示向量．向量的模（或长度）表示的是向量的大小．记作．向量是不能比较大小的,但是向量的模是可以比较大小的．零向量：模（或长度）为0，方向任意的向量，记作,所以零向量与任何向量共线．单位向量：模为1的向量．方向相同或相反的非零向量是平行向量,记作.方向相同且长度相等的向量叫做相等向量,任何两个单位向量不一定是相等向量．与向量长度相等且方向相反的向量称为的相反向量,记作．[8]2.2向量的运算向量求和的平行四边形法则：已知两个不共线向量(如图1),作，,则三点不共线,以为邻边作平行四边形,则对角线上的向量．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．图1向量减法：如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点,被减向量的终点为终点的向量［8］．向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量,的充要条件是存在实数,使．平面向量的数量积：已知两个非零向量和，则是和的数量积,即.空间向量的数量积(内积)：己知两个非零向量,则称为和的数量积,记为,即.向量数量积的交换律：.向量数量积的数乘结合律：．向量数量积的分配律：．向量数量积的性质：，及其变形．2.3向量的坐标表示坐标相同的向量是相等的向量．空间向量运算的坐标表示：设，，则；；；；.，.3．向量在中学数学中的几何运用3.1向量法与几何中的共线问题3.1.1平面中的三点共线问题利用向量共线的充要条件解决平面中的三点共线问题，最简洁的办法是利用向量去代替题目中出现的条件，把几何问题转换成向量问题，然后经过计算得出最后的结果．例题1如图2，已知两边和的中点分别是和，在延长线上取点，使得，在延长线上取点，使得，求证三点共线．图2证明1是的中点又，同理可得又是公共点．证明2在中，为的中位线同理可得又,有公共点．此题用两种方法来解决，解法1是综合法，解法2是向量法．通过对比可以看出向量法步骤明显比综合法的简单，更直观，更容易理解，削弱了解题技巧，减少很多复杂的步骤，与传统的综合法相比，它将是自然和简单的．向量方法的优势更加明显．3.1.2平面中的线线平行问题在运用平间向量解决线线平行问题时，也可采用两种解题思路：第一种思路是运用向量共线的充分必要条件：对于空间任意两个向量,的充分必要条件是存在实数,使；第二种思路是先计算出两条直线的方向向量，然后在证明方向向量共线．例题2设是内一点．过作平行于的直线，与和分别交于和．过做直线平行于，与的延长线交于．求证：．证明1如图3，延长交于点.因为任何三角形可以由等腰直角三角形经仿射变换而得,因此,不妨设是等腰直角三角形,图形的其余部分则在保持共线三点的单比不变,接合性不变的要求下构画而成.这时，．再过点作，，．即有．图3证明2设,，则于是即．本题中用综合法来解决时需要通过复杂的作图过程，但是用向量法来解决则不需要，直接利用向量共线的充要条件公式，就把题给解出来了学生更容易理解．在做这一类题型的时候用向量法来解决问题，可以简化一些复杂的运算和产生一些趣味性的深刻思考．3.1.3空间中的线线平行问题例题3如图4，为三棱柱，记平面和平面的交线为.试判断直线和的位置关系，并证明．图4解．证明如下证明１在三棱柱中，,，．证明２设又设，可得，由于，，不共面所以，，；，所以．此题用两种方法来解决空间中的线线平行问题，通过上述的解答过程可以看出，向量法是以计算代替了证明，降低了对逻辑思维需求，与传统的几何综合法相比，向量法的优越性体现的更加的明显.3.1.４空间中的线面平行问题当使用空间中的向量来证明线和面平行时，应建立两种解决问题的思想方法:一种是根据直线和平面平行的判定定理来得出结论，并证明直线的方向向量平行于平面中直线的方向向量；另外一种是根据直线的方向向量和平面的法向量是相互垂直的，进一步得出结论．位置关系的辨析可以通过空间向量来解答．例如，根据“垂直于平面的向量垂直于不在平面上的直线的方向向量”定理用来证明一条直线与该平面是否平行有关．像这样，就可以将直线和平面之间的位置关系转换为向量与向量之间垂直的相关问题．要证明直线与平面平行的关系，首先要找到2个在平面上不共线的向量，然后在一条直线上找到找到一个向量，进一步来证明该直线与该平面平行．例题4如图5，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱，,是的中点，作交于．试判断直线和平面的位置关系，并证明．（2004年天津高考试题改编）图5解，证明如下证明1连接，交于，连接底面是正方形点是的中点，在中，是中位线所以，而，且所以．证明2，而，故．例题４用两种方法来解决，通过对比可以看出，向量法以计算代替证明，降低了对逻辑思维和空间能力的需求，与传统的几何综合法相比，向量法会更自然、简单、易懂．总而言之，立体几何中空间向量的应用，体现了知识与思维的创新，找到了解决问题的捷径．3.1.5空间中的面面平行问题空间向量不同于平面向量，它们在本质上有着很大的区别.空间向量用于处理三维立体图形的一些相关数学问题．三维立体图形和平面图形不同，如果使用传统的方法来处理问题时，速度就会变得很慢．但是，空间向量的应用可以简化空间中平面和平面之间的繁杂关系，并处理在立体几何中的一些平行问题．将空间向量逐渐引入到立体几何中的相关数学问题．通过使用向量的线性计算可以将立体几何问题转化成为数字符号的计算问题，使学生更方便地使用．例题5如图6，在正方体中，求证：．图6证明1为正方体，又，，是平行四边形又同理可得，．证明2建立如图7所示的空间直角坐标系，设棱长为，则,,,,则,即直线因此同理可得，故．图7因为该题中的三种平行关系是可以相互转换的，所以本题可以用逻辑推理来证明．使用向量法可以将逻辑问题转化为用算术法来计算，建立空间直角坐标系是使用向量法必不可少的一步．对于法１则是完全采用几何证明，需要严密的逻辑思维．所以说相较于法1而言，法2学生更容易接受，理解起来也更容易.3.2向量法与几何中的数量积问题3.2.1平面中的线线垂直问题例题6如图8，以的边和分别为一边，向形内作正方形和．求证且．（1985年扬州竞赛试题）图8证明1因为四边形和是正方形所以，，所以，即所以所以又可看作绕点，顺时针方向旋转得到，从而．证明2且．此题用两种方法来解决，通过对比可以看出向量法步骤明显比综合法的简洁，直观，不需要太多复杂的步骤.与传统的综合法相比，它将是自然和简单的．3.2.2空间中的线线垂直问题在空间立体几何中可以用定理直接证明线线垂直也可以运用向量法求出线段的方向向量的数量积为零.例题7如图9，已知直三棱柱中，，，，，是中点，证明：．图9证明1，为直三棱柱又由三垂线定理知，．证明2以为坐标原点，设，，，，，，，，有．这个例题利用向量法把几何问题转化为纯粹的向量运算问题，证明过程简单明了，通俗易懂．相比综合法复杂的证明过程显然向量法学生更容易接受，体现了用向量解决几何问题的优越性.3.2.3空间中的线面垂直问题当我们在计算几何题时，可以用两种方法来证明线面垂直问题．第一种就是我们常规想到的把线面问题转换为线线问题，第二种就是建立直角坐标系求出直线的方向向量和平面的法向量平行．例题8如图10，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱，,是的中点，作交于．试判断直线和平面的位置关系，并证明．（2004年天津高考试题改编）图10解,证明如下证明1且可知是等腰直角三角形，而是斜边的中线=1\*GB3①同样由，得底面是正方形，有．而=2\*GB3②由=1\*GB3①和=2\*GB3②推得．而又且，所以．证明2，所以．例题8用两种方法来解决，通过对比可以看出，向量法以计算代替证明，降低了对逻辑思维和空间能力的需求，与传统的几何综合法相比，向量法会显得自然、简单、易懂．总而言之，空间向量在立体几何中的应用，体现了知识与思维的创新，找到了解决问题的捷径．3.2.4空间中的面面垂直问题当我们在面对线面垂直时有两种证明方法，同样的在面对面面垂直时我们也有两种方法．第一种是可以通过把面面垂直问题转换为线线问题或线面问题然后根据判定定理来证明，第二种则是运用向量证明两个平面的法向量数量积为零．例题9(2008年高考陕西卷)三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图11所示，截面为，，，，，为的中点，证明：．图11证明1又，，为的中点又．证明2建立如图12所示的空间直角坐标系，则，，，，为的中点，，，，,又而．图12对于向量法来说建立恰当空间直角坐标系，这样便于计算所要求的点的坐标，然后准确算出对应的向量，然后对两个向量做点乘即可．3.2.5利用空间向量解决空间距离的问题在学习空间几何时，我们把点到面的距离看作是点到平面的正交投影的距离．在点到面的距离的基础上，我们还可以探究两平面的距离、空间中两直线的距离、线到面的距离等.由于点到面的距离可以计算，那在空间几何中不管是什么样的距离都是可以计算的．又因为在空间几何中“点到平面的距离相等”这一观点，空间几何中的距离问题都可以根据点到平面的距离来进行解决．由此可以看出空间距离问题是可以通过向量计算的．例题10如图13，已知长方体，是边长为的正方形，，点为的中点，求点到平面的距离．图13解法1设为平面的法向量，由得；由得；所以，，即点到平面的距离为．解法2以为坐标原点建立坐标系，设，，，，，，，设面的一个法向量为，则有，，得，．令得，，即，面取一点，故在法向量上得射影得长度为，即点到平面的距离为．两种解法本质一致，解法写法上显得简略．若利用体积计算则更简明:容易求出四面体的体积为，正三角形面积为，故点到平面的距离为．注意是的中点，故点和到平面的距离相等，就更容易解决了．3.2.6利用空间向量解决空间角的问题向量在立体几何中应用广泛，可以求二面角的大小.如果学生在处理立体几何问题时能灵活运用向量，那么不仅能使学生学习难度降低，还能帮助学生从新的视角出发使复杂的立体几何问题变得简单且易解.立体几何问题在高考中也是必考问题，如果学生能熟练掌握且运用向量，那学生就能在高考中快速、准确地解题.在的立体几何中距离问题和角度问题是非常重要的，这两类问题也是高考的常客.可见在高中的教学过程中对空间角度和距离的教学是必不可少的，同时也说明教师要培养学生运用空间向量或代数方法解决立体几何问题的能力.其中空间向量为代数方法提供辅助，同时在解题过程中空间向量可以简化复杂的推理论证过程，使解题变得更快捷.向量在立体几何中应用广泛，可以求二面角的大小.若掌握用向量的方法解决立体几何问题，不仅会降低学习难度，而且增强了可操作性，为学生提供崭新的视角，消除学生学习立体几何的畏惧感，有利于学生在高考中快速、准确地解题.在立体几何中，寻找空间角度和距离是一类重要的问题，此类题型一直出现在高考中，这使得空间角度成为立体几何教学的重点内容．在解决空间角度问题的过程中，可以合理使用空间向量，空间向量的引入可以为代数方法解决立体几何问题提供有效的工具．在解题中，可以用定量计算代替定性分析，可以简化复杂的推理和论证过程，有助于加快解题速度，提高解题效率［9］．例题11如图14，长方体的底面是正方形，点在棱上，．（2019全国二卷理科17题）证明：；若,求二面角的正弦值．图14解（1）由已知得，,，故．又,所以．（2）解法1由（1）知．由题设知，所以，故,．以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图15所示的空间直角坐标系，则,,,,,,．图15设平面的法向量为，则即所以可取．设平面的法向量为，则即所以可取．于是，所以，二面角的正弦值为．解法2如图16所示，连接．设，不妨设，则，，．图16,解得，则．连接，，相交于点，连接由题意可知,,,即．在长方形中，，．连接，有又，则．．取的中点，连接，，则．．设,连接,则为二面角的平面角，且设,易得．又．易知又为的中点．,,则，故．此题的第二问用两种方法来解决这个问题，解法1是向量法，解法2是综合法．通过对比可以看出，向量法以计算代替证明，可操作性强，削弱了解题技巧，降低了逻辑思维和空间能力的需要，与传统的几何综合法相比，向量法会显得自然简单．尤其是坐标系容易建立的前提下，向量法的优越性更加明显．在立体几何中，向量方法的应用不仅降低了推理的难度，而且还简单易懂，合理避免了综合法中繁琐的定性分析．4.总结本文主要从几何方面探究了向量在解决数学问题中的应用，逐步展开分析，层