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文档简介

矩阵分析的应用5.4矩阵分析的应用一阶常系数线性微分方程组给定变量的个未知函数的一阶常系数齐次线性微分方程组为

且满足以下初始条件：若记则此微分方程组满足初始条件的定解问题可简单地表示为

矩阵分析的应用定理5.17定解问题,即式(5.4)有唯一解证对求导数,可得

且因此,是式(5.4)的解.下面证明唯一性.假设式(5.4)存在另一解即满足令则

故为常向量.令则于是因此,是式(5.4)的唯一解.注如果初始条件为则利用变量代换可得式(5.4)的唯一解为

矩阵分析的应用如果在定解问题,即式(5.4)中的不是维列向量,而是矩阵,定理5.17仍然成立.如果在定解问题,即式(5.4)中的方程后面加上一项为已知的矩阵,为已知的维函数列向量,则得一阶常系数非齐次线性微分方程组的定解问题为

在控制理论中,式(5.5)中的微分方程称为线性系统的状态方程,函数向量和分别称为状态变量与输入变量,矩阵和分别称为系统矩阵和控制矩阵.掌握线性系统运行状态的关键在于求解式(5.5)中的状态变量显然,式(5.4)是式(5.5)在时的特例.

矩阵分析的应用现在用常数变易法来求式(5.5)的解.

式(5.5)中的非齐次微分方程所对应的齐次方程为

它的解为其中为常数向量.设为式(5.5)的解,则

将其代入式(5.5)中的第一个方程,可得

从而

因此将代入可得代入上式得矩阵分析的应用定理5.18是式(5.5)的唯一解.证因为

所以是式(5.5)的解.下面证明唯一性.假设(5.5)还有一个解即令则满足式(5.4).根据定理5.17,即唯一性得证.

矩阵分析的应用例5.26设求微分方程组满足初始条件的解.解根据第4章的方法,容易求得

故所求的解为

矩阵分析的应用例5.27设求微分方程组满足初始条件的解.解同样,根据第4章的方法,容易求得

因此

矩阵分析的应用故所求的解为

矩阵分析的应用

阶常系数线性微分方程设为常数,为已知的函数,方程

为阶常系数线性微分方程,当时,方程为非齐次的,否则为齐次的.在微积分中求解此类方程可以用特征值法.但是,一阶常系数线性微分方程组的矩阵形式的解已经得到.下面将这个方程化成一阶常系数线性微分方程组来求解.对于如下初值问题：

矩阵分析的应用令

则

若记

则初值问题式(5.6)可化为如下定解问题：矩阵分析的应用其中

前面已经得到形如式(5.7)的解为

从而,初值问题式(5.6)的解为矩阵分析的应用例5.28求如下常系数线性微分方程满足初始条件的解：

解令

则定解问题转化为

由的特征多项式得特征值为容易求得矩阵分析的应用使得从而

矩阵分析的应用将其代入得

利用矩阵乘法的结合律,可简化上述计算过程.首先矩阵分析的应用

再计算积分

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