2024-2025学年北京市海淀区第二十中学九年级下学期4月中考模拟数学试卷

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市海淀区第二十中学九年级下学期4月中考模拟数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.2024年，我国共授权发明专利104.5万件，同比增长13.5%.将1045000用科学记数法表示应为(

)A.104.5×104 B.10.45×105 C.2.下列几何体放置在水平面上，其中俯视图是三角形的几何体为(

)A. B. C. D.3.如图，∠AOC=∠BOD=90∘，∠AOD=130∘，则∠BOC的大小为(

)A.30∘ B.40∘ C.4.若x<2，则下列结论正确的是(

)A.−x<−2 B.x2<1 C.2−x<0 5.关于x的方程kx2−2x+1=0有实数根，那么k的可能值是A.4 B.2 C.0或2 D.0或16.先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是(

)A.14 B.13 C.127.如图，已知∠AOB，求作：∠BOC，使∠BOC=∠AOB．作法：(1)以点O为圆心，任意长为半径作MN⌢，分别交OA，OB于点E，F，连接EF(2)以F为圆心，EF的长为半径作弧，交MN⌢于点C，连接FC，EC；(3)作射线OC，∠BOC即为所求作的角．下列结论正确的是(

)A.▵EOF≌▵COF的依据是两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等

B.EC=2EF

C.∠AOC=∠OEF

D.△EOC是等腰三角形8.如图，正方形边长为a，点E是正方形ABCD内一点，满足∠AEB=90∘，连接CE.给出下面四个结论：①AE+CE≥2a；②CE≥5−12a；③∠BCE的度数最大值为60∘A.①② B.①③ C.①②④ D.①③④二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。9.若x−3在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是

．10.分解因式：2x2y−8y=

11.方程2x−3x+1=1−xx+1的解为12.在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=kxk≠0的图象经过点两个不同的点P2,y1和Qm,y213.某学校为了解九年级800名学生的课外阅读情况，从全体学生中随机抽取了40名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下的统计表，根据表中信息估计全校每周课外阅读时间不超过2小时的学生有

人．每周课外阅读时间x(小时)0≤x≤11<x≤22<x≤3x>3人数69131214.如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于点D，AE是⊙O的切线，AE交OC的延长线于点E.若∠AOC=30∘，BC=2，则线段AE的长为

．

15.如图，在▱ABCD中，点E在AD上，BE交AC于点F.若AE=3ED，则AFFC的值为

．

16.某酒店在客人退房后清洁客房需打扫卫生、整理床铺、更换客用物品、检查设备共四个步骤．某清洁小组有甲、乙、丙三名工作人员，工作要求如下：①“打扫卫生”只能由甲完成；每间客房“打扫卫生”完成后，才能进行该客房的其他三个步骤，这三个步骤可由任意工作人员完成并可同时进行；②一个步骤只能由一名工作人员完成，此步骤完成后该工作人员才能进行其他步骤；③每个步骤所需时间如下表所示：步骤打扫卫生整理床铺更换客用物品检查设备所需时间/分钟8665在不考虑其他因素的前提下，若由甲单独完成一间客房的清洁工作，需要

分钟；若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要

分钟．三、解答题：本题共12小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

计算：12−18.(本小题8分)

解不等式组5x+1>3x−18x+2919.(本小题8分)

已知m2+m−5=0，求代数式120.(本小题8分)如图，在▵ABC中，BA=BC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在线段BD上，点F在BD的延长线上，且DE=DF，连接AE，CE，AF，CF．(1)求证：四边形AECF是菱形；(2)若BA⊥AF，AB=3，sin∠ABF=13，求BD和21.(本小题8分)在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+bk≠0的图象经过点A1,3和B0,1，与过点−1,0且平行于y(1)求该函数的表达式及点C的坐标；(2)当x<−1时，对于x的每一个值，函数y=nxn≠0的值大于函数y=kx+bk≠0的值且小于−1，直接写出n22.(本小题8分)为了大力支持消费者购买绿色智能家电，满足人民美好生活需要，北京市商务局发布了《北京市加力支持家电以旧换新补贴实施细则》，规定：活动期间，北京市居民购买电视、冰箱、洗衣机等8大类家电，给予以旧换新补贴．购置一级能效家电，按照新购电器售价的20%给予补贴；购置二级能效家电，按照新购电器售价的15%给予补贴．每位消费者每类产品可补贴1件，每件补贴金额不超过2000元．(1)活动期间，王先生购买了一台12000元的一级能效家电，可获得元的补贴；(2)活动期间，王先生购买了一台二级能效的电视机和一台一级能效的冰箱，共获得以旧换新补贴3000元，已知电视机的售价比冰箱售价的2倍还多4000元．求电视机和冰箱的售价各是多少元？23.(本小题8分)某校九年级两个班要举行韵律操比赛．两个班各选择8名选手，统计了他们的身高(单位：cm)，数据整理如下：a.1班

168

171

172

174

174

176

177

179

2班

168

171

175

176

176

176

177

177b.每班8名选手身高的平均数、中位数、众数如表：班级平均数中位数众数1班173.8751741742班174.5mn根据以上信息，回答下列问题：(1)写出表中m,n的值；(2)如果某班选手的身高的方差越小，则认为该班选手的身高越整齐．据此推断：在1班和2班的选手中，身高比较整齐的是班(填“1”或“2”)；(3)1班的6位首发选手的身高分别为168，172，174，174，176，177.如果2班已经选出4位首发选手，身高分别为168，175，176，176，要使得2班6位首发选手的平均身高不低于1班6位首发选手的平均身高，且方差尽可能小，则选出的另外两名选手的身高分别是

cm和cm．24.(本小题8分)如图，AB是⊙O的直径，弧AC=弧AD，CD与AB交于点E，⊙O的切线BF交AD的延长线于点F．(1)求证：CD/​/BF；(2)连接FO并延长，交DC的延长线于点G.若E为AO的中点，⊙O的半径为2，求CG的长．25.(本小题8分)由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”.某公司设计了一款新型汽车，现在对它的刹车性能(车速不超过150 km/ℎ)进行测试，测得数据如下表：车速v(km/ℎ)0306090120150刹车距离s(m)07.819.234.252.875(1)以车速v为横坐标，刹车距离s为纵坐标，在坐标系中描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点；(2)由图表中的信息可知：①该型汽车车速越大，刹车距离越____(填“大”或“小”)；②若该型汽车某次测试的刹车距离为40m，估计该车的速度约为____km/ℎ；(3)若该路段实际行车的最高限速为120 km/ℎ，要求该型汽车的安全车距要大于最高限速时刹车距离的3倍，则安全车距应超过____m．26.(本小题8分)在平面直角坐标系xOy中，Ax1,y1(1)当a=1时，求抛物线与x轴交点的坐标；(2)若对于x1=3−2m，x2=m+1，其中2≤m≤4，都有y27.(本小题8分)已知∠MAN=α0∘<α<45∘，点B，C分别在射线AN，AM上，将线段BC绕点B逆时针旋转β得到线段BD，过点D作(1)如图1，当点D在射线AN上时，点C恰好是AE的中点，请写出α与β之间的关系，并证明；(2)如图2，若α与β之间的关系如(1)所求，当点D在∠MAN外部时，作DF//AN，交射线MA于点F；①依题意补全图形；②用等式表示线段EF与AC的数量关系，并证明．28.(本小题8分)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于⊙O的弦AB和不在直线AB上的点C，给出如下定义：若∠ACB=α，且点C关于弦AB的中点M的对称点在⊙O上或其内部，则称点C为弦AB的“α关联点”．

(1)已知点A−12①在点C1−1,−1，C22,0，C30,3中，点②若直线y=−3x+b上存在AB的“60∘(2)若点C是AB的“60∘关联点”，且OC=3，直接写出弦参考答案1.D

2.B

3.C

4.B

5.D

6.A

7.D

8.C

9.x≥3

10.2y(x+2)(x−2)

11.x=2

12.−2

13.300

14.215.3416.25

40

17.解：12=2=2=2

18.解：5x+1>3x−1解不等式①得：x>−2，解不等式②得：x<2，∴不等式组的解集为−2<x<2．

19.解：∵m∴m∴原式=====2．

20.(1)证明：∵BA=BC，BD平分∠ABC，∴AD=DC，BD⊥AC．∵DE=DF，∴四边形AECF是平行四边形．∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形．(2)解：∵∠ADB=90∘，BA=3，∴在Rt△ADB中，AD=1，∴BD=∵sin∠ABF=∴在Rt▵AFB中，sin∠ABF=AFBF∴AF=3∵四边形AECF是菱形，∴AE=AF=3

21.(1)解：把A(1,3),B(0,1)代入y=kx+b中，得到方程组k+b=3将b=1代入k+b=3，解得k=2，∴该函数表达式为y=2x+1．过点(−1,0)且平行于y轴的直线方程为x=−1．∵点C在直线x=−1上，同时也在y=2x+1上，把x=−1代入y=2x+1，得y=2×(−1)+1=−1，∴点C的坐标为(−1,−1)；(2)解：当x<−1时，需满足2x+1<nx<−1，左边不等式：2x+1<nx整理得：x(n−2)>1，∵x<−1，∴n−2<1∵x<−1，则−1<1∴n−2≤−1，即n≤1，右边不等式：nx<−1，整理得：x<−1∵x<−1，需保证−1≤−1n，即n≥1(n>0时成立综合条件：n≤1且n≥1，故n=1．

22.(1)解：根据题意12000×20%=2400>2000，则可获得2000元的补贴；(2)解：设冰箱的价格为x元，则电视机的价格为2x+4000元．由题意可得，冰箱可获得的补贴为0.2x或者2000元，电视机可获得的补贴为0.3x+600或2000元，∵共获得以旧换新补贴3000元，∴冰箱和电视机最多有一项补贴为2000元，①两项的补贴均不超过2000元：x<0.2x+解得：x=4800>14000②冰箱和电视机有一项补贴为2000元；∵0.2x<0.3x+600∴电视机补贴为2000元，此时，x≥140003解得：x=5000>14000∴x=5000，2x+4000=14000．答：冰箱的价格为5000元，则电视机的价格为14000元．

23.(1)2班数据从小到大排列为168，171，175，176，176，176，177，177，从中可以看出一共八个数，第四个数据为176、第五个数据为176，所以这组数据的中位数为：(176+176)÷2=176，故m=176；其中176出现的次数最多，所以这组数的众数为176，故n=176；故答案为：176，176．(2)根据方差的定义可以知道，方差越大，一组数据的波动越大，离散程度越大，稳定性也越小，反之亦然．1班的身高分布于168−179，2班的身高分布于168−177，从中可以看出，2班的数据较1班的数据波动较小，更加稳定，所以2班的选手身高比较整齐，故答案为：2．(3)168+172+174+174+176+177÷6=173.5(设2班另外两名选手的身高分别为x厘米，y厘米，则168+175+176+176+x+y÷6≥173.5x+y≥346，∵方差要尽可能小，则2班6位首发选手的身高数据应分布于168−176，即：另外两名选手的身高分别是171cm和176cm，故答案为：171，176．

24.(1)证明：连接OC，OD，∵弧AC=弧AD，∴∠AOC=∠AOD，又∵OC=OD，∴AB⊥CD，∵BF是⊙O的切线，∴AB⊥BF，∴CD//BF；(2)解：∵E为AO中点，OA=2，∴OE=AE=1，在Rt▵EOD中，OD=2，∴DE=∵CD//BF，∴▵AED∽▵ABF，∴AE∴BF=4在▵GEO和▵FBO中，∠GOE=∠FOB，∠GEO=∠FBO，∴▵GEO∽▵FBO，∴OE∴EG=2∴CG=EG−CE=EG−DE=

25.解：(1)图象如图所示，

(2)①大；②100；

(3)158.4．

26.(1)解：当a=1时，y=x令y=0，x2解得：x1=0，∴求抛物线与x轴交点的坐标为0,0和2,0；(2)∵2≤m≤4，∴3≤m+1≤5，−5≤3−2m≤−1∴3−2m<m+1，即x1∵y∴y①a>0时，∵x∴∴x1+∴4−m<2a，∵2≤m≤4，∴4−2<2a成立即可，∴a>1；②a<0时，∵x∴∴x1+∴4−4>2a成立即可，∴a<0，综上所述，a>1或a<0．

27.(1)证明：连接CD，由题意得：点C是AE的中点，DE⊥AD，∴EC=AC=DC，∴∠ADC=∠A=α，∵BC=BD，∴∠BCD=∠BDC=α，∴∠DBC=180∴β+2α=180(2)解：①依题意补全图形；②EF=2AC，证明：在射线AM上取点H，使得BH=BA，取EF的中点G，连接DG，∵BH=BA，∴∠BAH=∠BHA=α，∴∠ABH=180∴∠ABC=∠HBD，∵BC=BD，∴▵ABC≌▵HBDSAS∴AC=DH，∠BHD=∠BHA=∠A=α，∴∠FHD=∠BHA+∠BHD=2α，∵DF//AN，∴∠EFD=∠A=α，∠EDF=90∵G是AE的中点，∴GF=GD，EF=2GD，∴∠GFD=∠GDF=α，∴∠HGD=2α，∴∠HGD=∠FHD，∴DG=DH，∵AC=DH，∴DG=AC，∴EF=2AC．

28.(1)解：①∵点C关于弦AB的中点M的对称点在⊙O上或其内部，则称点C为弦AB的“α关联点”，∴反向思考，作出⊙O关于点M的对称圆⊙O′，只要满足C1−1,−1，C22,0，

∵A−12∴M1∵O0,0∴O′1∵r=OB=OB′=1，∴点C30,3到∴点C30,同理经过计算C1−1,−1，C2∴点C30,连接BC∴AB=1+122∴AC∴∠BAC∵sin∴∠AC故答案为：C30,②同上作出⊙O关于点M的对称圆⊙O′，连接O′A,O′B,O′M，

∵A−12,32同理可求AO′=BO′=1，O′M=12，∴同理可求∠AMO′=90∴sin∴∠O′AB=O′BA=30∴∠AO′B=120∴∠ACB=60∴AB的“60∘关联点”在优弧ACB⌢上(∴若直