2024-2025学年安徽省宿州市省、市示范高中皖北高一下学期期中考试教学质量检测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages33页2024-2025学年安徽省宿州市省、市示范高中皖北高一下学期期中考试教学质量检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=2i1-i，其中iA.1 B.2 C.22 2.已知A，B，C，D是平面内不共线的四点，则“AB=DC”是“四边形ABCD为平行四边形”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.如图所示，梯形A'B'C'D'是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，A'D'=2，BA.3 B.5 C.24.已知平面向量a=(2,0)，b=(-3,3)，则向量a+A.π6 B.5π6 C.π5.已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的母线长为(

)A.1 B.2 C.3 D.6.记△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=3，c=7，C=2πA.1534 B.15327.在正六边形ABCDEF中，点G是线段CD上靠近点C的三等分点，则GA=(

)A.103BA-23CE B.88.在平面四边形ABCD中，已知AC=3AB=23，∠BACA.-23 B.-3 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z满足z+z=4，z-z=-2i，其中i是虚数单位，A.z的虚部为-i

B.z在复平面内对应的点位于第一象限

C.z1-2i是纯虚数

D.若z是关于x的实系数方程10.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一，印信的形状多为长方体，正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是半正多面体.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，它是由边数不全相同的正多边形为面所围成的多面体，这体现了数学的对称美.如图，将棱长为1的正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此一共可截去八个三棱锥，得到一个半正多面体，它们的棱长都相等，则下列说法正确的有(

)

A.该半正多面体有12个顶点 B.该半正多面体有12个面

C.该半正多面体表面积为3 D.该半正多面体体积为511.记△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知c2=aA.△ABC一定是钝角三角形 B.3tanA=tanC

C.角三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知平面向量a与b互相垂直，且a=(2,0)，|b|=1，则b的坐标为

13.已知一个正四棱台的两底面边长分别为1和2，高为3，则该正四棱台的体积为

．14.如图，点A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB=π3四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知平面向量a与b不共线，且OA=2a-b，OB(1)若OA//OC，求λ(2)若λ=-3，证明：A，B，C三点共线．16.(本小题15分)已知a与b是平面内的两个向量，|a|=2，|b|=1，(1)求a(2)求|(3)在平面直角坐标系下，若b=(1,0)，求a在b方向上的投影向量的坐标．17.(本小题15分)如图所示，某海域的东西方向上分别有A、B两个观测点，它们相距30+103海里.现有一艘轮船在D点发出求救信号，经探测，得知D点位于A点北偏东45∘，B点北偏西60∘方向，这时，位于B点南偏西60∘且与B点相距40(1)求B点到D点的距离BD(2)若命令C处的救援船立即前往D点营救，求该救援船到达D点需要的时间．18.(本小题17分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a(1)求角A的大小;(2)若b=3，△ABC的面积为33(3)若△ABC为锐角三角形，求2cos19.(本小题17分)如图，已知圆C的半径为3，A，B为圆C上的两点．(1)若cos∠CAB=13，当实数k为何值时，(2)若G为△ABC的重心，直线l过点G交边AB于点P，交边AC于点Q，且AP=λAB，AQ(3)若|AC+tAB|关于t(t参考答案1.D

2.C

3.B

4.D

5.B

6.A

7.D

8.C

9.BCD

10.AD

11.ACD

12.(0,±1)

13.7

14.4π15.(1)解：若OA//OC，则2a-b=t(a+λb)，t∈R，

所以2=t-1=tλ，解得λ=-12．

(2)证明：若λ=-3，则OC=a-3b16.解：(1)a⋅b=|a||b|cos<a，b>=2×1×cosπ4=1；

(2)由(1)得a⋅b=1

则17.解：(1)由题意知AB=30+10∠DBA∴∠ADB在△DAB中，由正弦定理得DB，=10(3+3(2)在△DBC中，∠BC=403(海里)=1200+4800-2×20∴CD=60(海里)，则需要的时间t=答：救援船到达D点需要2小时．

18.【详解】(1)∵asinB=bsin2A∵A,B∈∴cosA=12(2)由(1)得，sinA∵▵ABC的面积为33，

∴12bcsin由余弦定理得，a2∴a=13，

故(3)由A=π3得B+C∴2=∵▵ABC为锐角三角形，

∴0<B<π2∴π2<B+∴32<3sin

19.解：(1)因为

CA=CB=3,

所以由余弦定理得

CB2=AC2+AB2若

AC+2AB

与

kAC-AB

所以

kAC2+2k-解得

k=1013

，即

k=1013

时，

AC(2)因为

G

为

▵ABC

的重心，所以

AG=又因为

AP=λAB,AQ=由于

P,G,Q

三点共线，所以存在实数

t

使得

PG化简为

AG=1-tAP+tAQ

，所以

显然

λ>0,μ>0

，则

当且仅当