高考数学概念、方法、题型、易误点、易错题型

高考数学概念、方法、题型、易误点、易错题型

基本概念、公式及方法是数学解题的基础工具和基本技能，为此作为临考前的高三学生，务必首先要

掌握高中数学中的概念、公式及基本解题方法，其次要熟悉一些基本题型，明确解题中的易误点，还应了

解一些常用结论，最后还要掌握一些的应试技巧。本资料对高中数学所涉及到的概念、公式、常见题型、

常用方法和结论及解题中的易误点，按章节进行了系统的整理，最后阐述了考试中的一些常用技巧，相信

通过对本资料的认真研读，一定能大幅度地提升高考数学成绩。

一、集合与简易逻辑

二、函数

三、数列

四、三角函数

五、平面向量

六、不等式

七、直线和圆

八、圆锥曲线

九、直线、平面、简单多面体

十、排列、组合和二项式定理

十一、概率

十二、统计

十三、导数

十四、高考数学选择题的解题策略

十五、高考数学填空题的解题策略

十六、高考数学应试技巧

一、集合与简易逻辑

集合元素具有确定性、无序性和互异性.在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异

性，如

（1）设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q={a+MaeP力eQ},若2={0,2,5},

Q={1,2,6},则P+Q中元素的有个。

（答:8）

（2）设。={（国y）］》6/?,丁€/?},A={（x,y）|2x-y+m>0},B={（x,y）|x+W0},

那么点P（2,3）GACICQB）的充要条件是

（答：m>-\,n<5）；

（3）非空集合51{1,2,3,4,5},且满足“若。65,则6-awS"，这样的S共有个

（答：7）

遇到A8=0时，你是否注意至卜'极端"情况：A=0或6=0；同样当A=8时，你

是否忘记A=0的情形？要注意到0是任何集合的子集，是任何非空集合的K子集。如

集合A={x|ax—1=0},B={X|X2-3X+2=0},且4B=B,则实数a=—.

(答：a=0,1,—)

2

三.对于含有〃个元素的有限集合其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次

为2",2"-1,2"-1,2"-2.如

满足{1,2匠加1{1,2,3,4,5}集合M有个。

(答：7)

四.集合的运算性质：

⑴AB=A=8=A;

(2)A

⑶0廖?„B；

⑷A辆=0=

(5)Q,A5=UoA±8；

(6)C(,(AB)=CuACL,B；

⑺C〃(AB)=C(jACuB.

如：设全集U={123,4,5},若ACI5={2},(QA)nB={4},(。*)。(。,5)={1,5},则

A=,B=—.

(答：A={2,3},B={2,4})

五.研究集合问题，一定要理解集合的意义一一抓住集合的代表元素。如：{x|y=lgx}—函

数的定义域；{y|y=lgx}一函数的值域；{(x,y)|y=lgx}—函数图象上的点集，如

(1)设集合M={x|y=V^i},集合N={y|y=x2,xeM},则MN=—

(答：［4,+oo))；

(2)设集合M={a|a=(l,2)+/l(3,4),/leR},N={a|a=(2,3)+〃4,5),2e/?),则

MC|N=

(^：{(-2,-2)))

六.数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空

集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如：

已知函数/G)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+l在区间［-1,1］上至少存在一个实数c,使

/(c)>0,求实数〃的取值范围。

(答：(-3,6)

七.复合命题真假的判断。“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真

假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”。如：

在下列说法中：⑴“p且q”为真是“〃或为真的充分不必要条件；

⑵“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件；

⑶“〃或q”为真是“非p”为假的必要不充分条件；

(4)“非p”为真是“〃且4”为假的必要不充分条件。

其中正确的是

(答：(1)(3))

八.四种命题及其相互关系。若原命题是“若p则q”，则逆命题为“若q则p"；否命题为“若

-p则f”;逆否命题为“若「q则「p”。

提醒：

(1)互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同

真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价；

(2)在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”；

(3)要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命

题的否定仅对命题的结论否定；

(4)对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“AnBoBnX”判断

其真假，这也是反证法的理论依据。

(5)哪些命题宜用反证法？

如：

(1)“在4人8(2中，若NC=90°,则NA、NB都是锐角”的否命题为

(答：在中，若NCW90,则不都是锐角)；

(2)已知函数/*)=优+土匚,。>1,证明方程〃x)=0没有负数根。

X+1

九.充要条件。关键是分清条件和结论(划主谓宾)，由条件可推出结论，条件是结论成立的

充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释，若

A^B,则A是B的充分条件；若则A是B的必要条件；若人=8,则A是B

的充要条件。如：

(1)给出下列命题：

①实数。=0是直线ox-2y=l与2以-2y=3平行的充要条件；

②若a,beR,aZ?=0是同+网=卜+4成立的充要条件；

③已知“若孙=0,则x=0或y=0”的逆否命题是“若XHO或yxO则

孙工0”；

④“若a和人都是偶数，则a+b是偶数”的否命题是假命题。

其中正确命题的序号是

(答：①④)；

(2)设命题p：|4%-3|<1；命题q:九2一(2。+l)x+a(a+l)40。若-)p是q的必要而不

充分的条件，则实数a的取值范围是

(答：［0,白)

2

十.一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为依的

…b..b.»

形式，若a>0,则X〉一；若a<0,则x(一；若a=0,则当。<0时，xe7?；当。20时，xe0

aao

如

已知关于x的不等式(tz+b)x+(2a-3b)<0的解集为(-oo,-1),则关于x的不等式

(a-3b)x+(b-2a)>0的解集为

(答:{x|x<-3})

十一.一元二次不等式的解集(联系图象)。尤其当△=()和A<0时的解集你会正确表示吗？

设a>0,Xi，W是方程依?+/?x+c=0的两实根，且玉<々，则其解集如下表：

ax2+Z?x+c>0ax2+Z?x+c>0ax2+/?x+c<0ax2+bx+c<0

A>0{x\x<x或[x\x<x或{x|X)<x<x}

]]{x[X[<x<x2}2

x>x2}x>x2}

A=0,b、{x|x=_=}

{txIXW--}R,

2a2a

A<0R

R,,

如解关于x的不等式：ar2-（<2+l）x+1<0o

（答：当a=0时，x>l；当。<0时，x>l或x<L；当0<a<l时，l<x<,；当。=1时，xe0；

aa

当a>l时，—<x<l）

a

十二.对于方程依2+bx+c=0有实数解的问题。首先要讨论最高次项系数a是否为0,其次

若a/0,则一定有△=/—4ac20。对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中含

有参数时，你是否注意到同样的情形？

如：（1）（a-2）d+2（a_2）x-l<0对一切xeR恒成立，则a的取值范围是

（答：（1,2］）；

（2）关于x的方程/a）=上有解的条件是什么？（答：keD,其中。为/（x）的值域），特别

地，若在［0,句内有两个不等的实根满足等式cos2x+&sin2x=Z+l,则实数Z的范围是

2

（答：［0,1））

十三.一元二次方程根的分布理论。方程/（幻=公2+法+。=0（。>0）在（%,+8）上有两根、在

（团,〃）上有两根、在（-00,/；）和（%,+8）上各有一根的充要条件分别是什么？

"丹CA>o

△201f（m）>0

（a>（，）

（卜（公>0、\i//（„）>0、./"（Q<0）。根的分布理论成立的前提是开

-->*。―*m<-—<n

［2。I|I2a

区间，若在闭区间［九〃］讨论方程/（X）=0有实数解的情况，可先利用在开区间（孙〃）上实根

分布的情况，得出结果，再令》=〃和X=检查端点的情况.

如实系数方程/+以+乃=0的一根大于0且小于1,另一根大于1且小于2,则T的取值

a-1

范围是—

（答：（-,1））

4

十四.二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？二次方程办2+公+。=0的两

个根即为二次不等式a?+云+c>0（<0）的解集的端点值，也是二次函数尸加+法+C

的图象与x轴的交点的横坐标。

如（1）不等式«>公+之的解集是（4,打，则。=

2

（答：-）;

8

（2）若关于x的不等式♦+/?x+c<0的解集为（-oo,〃z）U（〃,+8），其中m<〃<0,则关于x

的不等式C/一区+。<0的解集为

（答：（-8,---）U（——,+℃））；

mn

(3)不等式3/一2法+1<0对xe[-1,2]恒成立，则实数b的取值范围是

(答：0)。

二、函数

映射/：AfB的概念。在理解映射概念时要注意：㈠中元素必须都有象且唯一；㈡B中

元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。如：

(1)设/:"f"是集合"到'的映射，下列说法正确的是A、M中每一个元素在N

中必有象B、N中每一个元素在M中必有原象C、N中每一个元素在M中的原象是

唯一的D、N是M中所在元素的象的集合

(答：A)；

(2)点(a,与在映射/的作用下的象是(a-b,a+份，则在/作用下点(3,1)的原象为点

(答:(2,-1))；

(3)若4={1,2,3,4},B^[a,h,c},a,b,c^R,则A到8的映射有个，B到A的映

射有一个，A到6的函数有个

(答：81,64,81)；

(4)设集合M={T,O,1},N={1,2,3,4,5},映射fN满足条件“对任意的xeM,

x+/(x)是奇数”，这样的映射了有一个

(答：⑵;

(5)设是集合A到集合B的映射，若8={1,2},则ADB一定是

(答：0或{1}).

二.函数/：A-B是特殊的映射。特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图

像与x轴的垂线至多有一个公共点，但与y轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。

如：

(1)已知函数/(幻，xeF,那么集合{(x,y)|y=/(x),xw尸}{(x,y)|x=l}中所含元素

的个数有个

(答：0或1);

(2)若函数y=2x+4的定义域、值域都是闭区间[2,2/，则人=

(答：2)

三.同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和

对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。

如

若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数”,

那么解析式为y=f,值域为{4,1}的“天一函数”共有个

(答：9)

四.求函数定义域的常用方法(在研究函数问题时要树立定义域优先的原则)：

1.根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数log“x中x>0,a>0

且awl,三角形中0<A<〃，最大角2三，最小角4生等。如

33

(D函数丁=如二2的定义域是一

lg(x-3)一

(答:(0,2)(2,3)(3,4))；

(2)若函数y=产kx+'7—的定义域为R,则左£_______

履2+4H+3

(答:Q5))；

(3)函数/(x)的定义域是们，h>-a>Q,则函数E(x)=/(x)+/(-x)的定义域是

(答：［a,-a］)；

(4)设函数/(x)=lg(ar2+2x+l),①若/(x)的定义域是R,求实数a的取值范围；②

若Ax)的值域是R,求实数。的取值范围

(答：®«>1；®0<a<l)

2.根据实际问题的要求确定自变量的范围。

3.复合函数的定义域：若已知“X)的定义域为［a,切，其复合函数/［g(x)］的定义域由不

等式a«g(x)Wb解出即可；若已知f［g(x)］的定义域为［a,切，求/(x)的定义域,相当于当

xe［a向时,求g(x)的值域(即/(X)的定义域)。如

(1)若函数y=/(x)的定义域为1,2,则/(log2%)的定义域为

(答：{x|V2<x<4})；

(2)若函数/(/+1)的定义域为［—2,1),则函数/(幻的定义域为

(答：

五.求函数值域(最值)的方法：

1.配方法一一二次函数(二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间［北川上的最

值；二是求区间定(动)，对称轴动(定)的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数

形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系)，如

(1)求函数y=x?-2x+5,xe［-l,2］的值域

(答：［4,8］)；

(2)当XG(0,2］时，函数/(幻=。/+4(4+1)》一3在》=2时取得最大值，则a的取值范

围是一

(答：aN—)；

2

(3)已知/(x)=3j(2W4)的图象过点(2,1),则一(x)="T(x)］2—尸(力的值域为

(答:［2,5］)

2.换元法一一通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解

析式含有根式或三角函数公式模型，如

(1)y=2sin2x-3cosx-l的值域为

(答：［-4,1?7］)；

O

(2)y=2x+l+VT7的值域为

(答：(3,+8))

(3)y=sinx+cosx+sinxcosx的值域为

（答：［-1」+及］）;

2

（4）y=x+4+j9-%2的值域为

（答:［1,30+4］）；

3.函数有界性法一一直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求

函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性，如

-4；,2sin6—13X2sin6-1人,土舟

求函数y=~y=--»y=------rt的i值域

1+sin。1+314-cos07r

（答：（一8二］、（0,1）、（一华亡）；

22

4.单调性法一一利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，如

1o_____

求y=冗——（1<x<9）,y=sin2x+---,y=2X-5+log的值域

xl+sin-x3

（答:（0,y）>［y,9］>［2,10］）;

5.数形结合法一一函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，

如

（1）已知点P（x,y）在圆f+y2=i上，求上及y-2x的取值范围

x+2

（答：［—［-A/5,>/5］）；

（2）求函数y=J（x-2）2+J（x+8）2的值域

（答：［10,-HX））;

（3）求函数y=&-6x+13+&+4X+5及y=Jd-6x+13-&+以+5的值域

（答：［A,+8）、（一病，后））

注意：求两点距离之和时，要将函数式变形，使两定点在X轴的两侧，而求两点距离之

差时，则要使两定点在X轴的同侧。

6.判别式法一一对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可

以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不

等式：

①丁二一匚型，可直接用不等式性质，如

k+x

求>=的值域

2+九

（答：（0,6）

②丁二十如一型，先化简，再用均值不等式，如

（1）求），=」为的值域

1+X

（答：（-00,—］）;

2

(2)求函数y=的值域

x+3

(答：[0,占)

2

③y=x：+〃/i-+4型,通常用判别式法；如

x-+〃优+〃

已知函数y=log,"W*的定义域为R，值域为[0,2],求常数根,〃的值

厂+1

(答：m=n=5)

④y=>+，+“型,可用判别式法或均值不等式法，如

mx+n

求y=X-+X+l的值域

X+1

(答：(9,一3][1,-KO))

7.不等式法一一利用基本不等式吐2疝(a/wR+)求函数的最值，其题型特征解析式是

和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边

平方等技巧。如

设成等差数列，％耳,仇,y成等比数列，则如上立的取值范围是

白。2

(答：(-00,0][4,+oo))o

8.导数法----般适用于高次多项式函数，如

求函数/(x)=2/+4f—40x,xe[-3,3]的最小值。

(答：-48)

提醒：(1)求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？

(2)函数的最值与值域之间有何关系？

六.分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示

对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值/*。)时，一定首先要判断

小属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不

同子集上各关系式的取值范围的并集。如

(1)设函数/•(》)=r，则使得/(幻》的自变量X的取值范围是_

4-Vx-l.(x>l)

(答：(fo,-2][0,10])；

(2)已知f(x)=F(X-0)，贝U不等式x+(x+2)〃x+2)K5的解集_____

-1(x<0)

3

(答：(-00,|])

七.求函数解析式的常用方法：

1.待定系数法一一已知所求函数的类型(二次函数的表达形式有三种：一般式：

22

f(x)=ax+bx+c；顶点式：f(x)=a(x-m)+n；零点式：f(x)=a(x-x,)(x-x2),要会

根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式)。如

已知了(幻为二次函数，且/(x-2)=/(-x-2),且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长

为2vL求/(x)的解析式。

2

(答：/(X)=1X+2X+1)

2.代换(配凑)法--已知形如/(g(x))的表达式，求，(x)的表达式。如

(1)已知/(l-cosx)=sin2x,求/(1)的解析式

(答：f)=~x4+2x",xG[--\/2,s[2])；

(2)若/(x-4)=炉+2，则函数/(x-i)=

(答：x2—2x+3)；

(3)若函数/(x)是定义在R上的奇函数，且当xe(0,+oo)时，/(%)=x(l+Vx),那么当

xe(-oo,0)时，/(x)=

(答:无(1-五)).

这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即/(X)的定义域应是g(x)的值域。

3.方程的思想一一已知条件是含有/(x)及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式

的进行赋值，从而得到关于/(X)及另外一个函数的方程组。如

(1)已知f(x)+2/(—x)=3x—2,求/(x)的解析式

2

(答：/(x)=-3x--)；

(2)已知/(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且/(x)+g(x)=—J—,则f(x)=_____

x-\

(答：4)。

X--1

A.反函数：

1.存在反函数的条件是对于原来函数值域中的任一个y值，都有唯一的x值与之对应，故单

调函数一定存在反函数，但反之不成立；偶函数只有f(x)=0(xe{0})有反函数；周期函数

一定不存在反函数。如

函数)=》2一2公-3在区间[1,2]上存在反函数的充要条件是

A、aG(-oo,l]B、ae[2,+oo)C、ae[l,2]D、aG(-OO,1][2,+00)

(答：D)

2.求反函数的步骤：①反求x；②互换x、y；③注明反函数的定义域(原来函数的值域)。

注意函数y=/(x+1)的反函数不是y=广(》+1),而是y=/T(x)_]。如

设f(x)=(出y(x>0).求/a)的反函数广(x)

X

(答：尸(无)="-(》>1)).

yJx-l

3.反函数的性质：

①反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域。如

单调递增函数/(x)满足条件/(tu+3)=x,其中aW0,若/(x)的反函数/T(X)的定

义域为，,斗，则/(幻的定义域是

aa

(答：[4,7]).

②函数y=/(x)的图象与其反函数y=/T(x)的图象关于直线y=x对称，注意函数

y=/(x)的图象与x=/T(y)的图象相同。如

(1)已知函数y=/(x)的图象过点(1,1),那么/(4-x)的反函数的图象一定经过点_

(答：(⑶)；

7,|_Q

(2)已知函数/(%)=——r-，若函数y=g(x)Vy=/T(x+1)的图象关于直线y=x对称，

x-1

求g(3)的值

7

(答:-);

2

③/(0)=。0尸3)=。。如

(1)已知函数/(x)=log3(d+2),则方程尸(X)=4的解户______

X

(答：1);

(2)设函数火x)的图象关于点(1,2)对称,且存在反函数尸(x),/(4)=0,则尸⑷=

(答：-2)

④互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇函数性。如

已知“X)是R上的增函数，点A(-Ll),8(1,3)在它的图象上，广(X)是它的反函数，那么

不等式|尸(log?x)|<1的解集为

(答：(2,8))；

⑤设/(幻的定义域为A,值域为B,则有力尸(X)]=X(XGB),f-l[f(x)]=x

(xeA),但

九.函数的奇偶性。

1.具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，

务必先判定函数定义域是否关于原点对称。如

若函数/(x)=2sin(3x+(9),xe[2a-5乃,3a]为奇函数,其中6e(0,2万)，则的值是.

(答：0);

2.确定函数奇偶性的常用方法(若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性)：

①定义法：如判断函数y=上三二4的奇偶性_(答：奇函数)。

y/9-X2

②利用函数奇偶性定义的等价形式：/(x)±/(-幻=0或4①=±1(/(幻70)。如

/(x)

判断了(x)=x(“+；)的奇偶性_.(答：偶函数)

③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称。

3.函数奇偶性的性质：

①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原

点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.

②如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.

③若f(x)为偶函数，则/(-x)=/(x)=/(Ix|).如

若定义在R上的偶函数/(幻在(-8,0)上是减函数，且/(1)=2,则不等式/(bg|x)>2的

。8

解集为.

(答:(0,0.5)(2,+oo))

④若奇函数/(x)定义域中含有0,则必有/(0)=0.故/(0)=0是/")为奇函数的既不充

分也不必要条件。如

若/（X）=2'；1为奇函数，则实数4=一（答：1）.

⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数

的和（或差）如

设/（X）是定义域为R的任一函数，“0=以小卢2,G（X）=△^尹应。①判断E（x）

与G（x）的奇偶性；②若将函数/（x）=lg（10'+l）,表示成一个奇函数g（x）和一个偶函数〃（幻

之和，则g（x）=____

（答：①F（X）为偶函数，G（x）为奇函数；②g（x）=；x）

⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.

⑦既奇又偶函数有无穷多个（/（x）=0,定义域是关于原点对称的任意一个数集）.

十.函数的单调性。

1.确定函数的单调性或单调区间的常用方法：

①在解答题中常用：定义法（取值一一作差一一变形一一定号）、导数法（在区间5力）

内，若总有八用>0,则/（幻为增函数；反之，若/（幻在区间（凡加内为增函数，则八%）20,

请注意两者的区别所在。如

已知函数/（》）=_?-必在区间［1,+00）上是增函数，则a的取值范围是___

（答：（0,3］））；

②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意y=ax+2（a>0

X

人〉0）型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为（-减区间为

［一*,0）,（0,*］.如

VaVa

（1）若函数八%）=/+2（。-l）x+2在区间（一8,4］上是减函数，那么实数。的取值

范围是一

（答：a<—3））；

（2）已知函数”幻=》在区间（-2,y0）上为增函数，则实数。的取值范围—

（答：（；,+00））；

（3）若函数/（x）=logjx+f-4,。>0,且awl）的值域为R,则实数。的取值范围是

（答：0<aW4且aHl））；

③复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减，如

函数y=log।（—f+29的单调递增区间是

2

（答：（1,2））。

2.特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域，如若函数/（x）=log“，”+3）在区间（-8,学

上为减函数，求。的取值范围（答：（1,2百））；二是在多个单调区间之间不一定能添加

符号"”和“或”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示.

3.你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗？(①比较大小；②解不等式；③求参数范围).

如已知奇函数/(x)是定义在(-2,2)上的减函数，若/(m-1)+/(2/«-1)>0,求实数加的取

值范围。(答：-工<〃?<2)

23

十一.常见的图象变换

1.函数y=/(x+a)(a>0)的图象是把函数y=/(x)的图象沿x轴向左平移。个单位得到

的。如

设/(x)=27,g(x)的图像与/(x)的图像关于直线y=x对称，/?(%)的图像由g(x)的图像

向右平移1个单位得到，则〃(x)为

(答：/z(x)=-log2(^-l))

2.函数y=/(x+a)((a<0)的图象是把函数>=/(x)的图象沿x轴向右平移回个单位得

到的。如

(1)若/(x+199)=4f+4x+3,则函数/(x)的最小值为

(答：2)；

(2)要得到y=lg(3-x)的图像，只需作y=lgx关于轴对称的图像，再向一平

移3个单位而得到

(答：y；右)；

(3)函数/(x)=x/g(x+2)-1的图象与x轴的交点个数有个

(答:2)

3.函数y=/(x)+a(a>0)的图象是把函数^=〃龙)助图象沿y轴向上平移。个单位得到

的；

4.函数y=/(x)+a(a<0)的图象是把函数y=/(x)助图象沿y轴向下平移时个单位得到

的；如

将函数y=，一+。的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位，所得图象如果与原

x+a

图象关于直线y=x对称，那么

(A)Q=-1,Z?w0(B)a=—T,beR

(C)a=1,〃w0(D)a=09bGR

(答：C)

5.函数y=/(必)3>0)的图象是把函数^=/(x)的图象沿x轴伸缩为原来的,得到的。

a

如

(1)将函数y=/(x)的图像上所有点的横坐标变为原来的((纵坐标不变)，再将此图

像沿x轴方向向左平移2个单位，所得图像对应的函数为

(答：〃3x+6))；

(2)如若函数y=/(2x-l)是偶函数，则函数y=/(2x)的对称轴方程是一

(答：x=1g).

6.函数y=4(x)(a>0)的图象是把函数>=/(x)的图象沿y轴伸缩为原来的。倍得到的.

十二.函数的对称性。

1.满足条件/(x-a)=/e-力的函数的图象关于直线》=一对称。如

已知二次函数/(x)=公2+bx(a丰0)满足条件/(5-x)=/(x-3)且方程/(x)=x有等根，

则/(%)=

(答：-■-X2+X);

2

2•点(x,y)关于y轴的对称点为(-x,y)；函数y=/(无)关于y轴的对称曲线方程为

y=/(-x)；

3.点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y)；函数y=/(尤)关于x轴的对称曲线方程为

y=-/W；

4.点(x,y)关于原点的对称点为(-x,-y)；函数y=/(x)关于原点的对称曲线方程为

y=-/(-x)；

5.点(x,y)关于直线y=±x+a的对称点为(土(y-a),±x+a)；曲线/(x,y)=0关于直线

y=±x+a的对称曲线的方程为了(土(y-a),±x+a)=0。特别地，点(x,y)关于直线y=x的对称

点为(y,x)；曲线/(x,y)=0关于直线y=x的对称曲线的方程为/(y,x)

=0；点(x,y)关于直线^=-刀的对称点为(-y,-x)；曲线/(x,y)=0关于直线^=-%的对称曲

线的方程为./■(-%-幻=0。如

己知函数“X)=士且,(x工3)，若y=/(x+1)的图像是C”它关于直线y=x对称图像是

2x-32

。2，。2关于原点对称的图像为。3,则。3对应的函数解析式是.

6.曲线/(x,y)=0关于点①⑼的对称曲线的方程为/(2a-x,2b-y)=0。如

若函数y=/+%与＞=g*)的图象关于点(-2,3)对称，则g(x)=

(答：-X2-7x-6)

7.形如y=g4(c/0，adN历)的图像是双曲线，其两渐近线分别直线x=-立(由分母

cx+a