高考数学：高中数学经典题型

高考数学经典题型

1、设函数1,则满足f(f(a))=2&a的a取值范围是()

\4fAX

巳+

(A)&31](B)[0,1](C)3s)(D)[1,+s)

[答案]c[解析]当a》l时，f(a)=2a>l,.\f(f(a))=2f(a),当a<l时，f(a)=3a-1,若f(f(a))=2『⑥则

222

f(a)Nl,即3a-INI,；Ya<1,综上aA..•.选C

333

［方法点拨］1.分段函数求值或解不等式时，一定要依据条件分清利用哪一段求解，对于具有周期性的函数

要用好其周期性.

2.形如f(g(x))的函数求值应遵循先内后外的原则.

.偶函数f(x)在［0,+8)上为增函数，若不等式f(ax-l)<f(2+x2)恒成立，则实数a的取值范围为()

A.(-2^3,2)B.(-2,2)C.(-2^3,2小)D.(-2,2^3)

懈析］由于函数为偶函数，故f(ax-l)=f(|ax-l|),因此f(ax-l)〈f(2+x2)=f(|ax-iDVfQ+x2),据已

知单调性可得f(|ax-11)<f(2+x2)«|ax-l|<2+x2,据题意可得不等式|ax-1|<2+x?恒成立，即-(2+

x2-ax+3>0,p2-12<0,

22

x)<ax-l<2+x^-恒成立，据二次函数知识可知■2解得-2〈a〈2,故

x2+ax+1>0|a-4<0,

选B.

1

3、已知f(x+l)为偶函数，且f(x)在区间(1,+8)上单调递减，a=f(2)sb=f(log32)sc=f㈠，则有()

2

A.a<b<cB.b<c<aC,c<b<aD.a<c<b

［答案］D［解析］；f(x+l)为偶函数，.•.其图象关于y轴对称，.•.函数f(x)的图象关于直线x=l对称，

又；函数f(x)在(1,+8)上单调递减，.•.函数f(x)在(-8,1)上单调递增，

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11

Vf(2)=f(0),fi0<-<log32,.•.f(2)<fH<f(log32)1Aa<c<b.

22

log21-x+1,一lWx〈k

4、已知函数f(x)h500,若存在k使得函数f(x)的值域是[0,2],则实数a的

x-3x+2,kWWa

取值范围是()

［答案］B［解析］当a=2时，f（x）=x5-3x+2,k4W2,f⑵=28不合题意，.3会2,排除A、D；

1111222

当a=-0寸，\•度xWa,・・.kW—,当k二一时，-lWx<一,—<1-x^2,.*.log2—<log2（l又log2一<0,

3333333

•,不合题意，排除C,故选B.

5、.已知命题Pi：函数y=2*-2一*在R上为增函数，P2：函数丫=2*+2^在R上为减函数.则在命题q1

P1VP2,Q2.P1AP2,Q3：（「P1）VP2和Q4-P1/\（「P2）中，真命题是（）

A.qi,q3B.q2,qaC.qi,q4D.q2,q4

［答案］C［解析］・・・y=2x在R上是增函数，丫=2^在R上是减函数，.・.y=2X-2-x在R上是增函数，

所以Pi：函数y=2X-2一*在R上为增函数为真命题，P2：函数y=2*+2^在R上为减函数为假命题，故

q1：P1VP2为真命题，Q2-P1AP2是假命题，Q3：（「P1）VP2为假命题，Q4-P1A（「P2）是真命题.故真命题

是qi、Q4,故选c.

6、已知实数a、b,则“2,2b”是“log2a>log2b”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

［答案］B［解析］由y=2x为增函数知，2a>2boa>b；由y=log2X在（0,十⑹上为增函数知，

log2a>log2b=a>b>0,.*.a>b=>/a>b>0,但a>b>00a>b,故选B.

7、1已知定义在R上的函数fS=2|x-m|-l(m为实数)为偶函数.记a=f(logo.53),b=f(log25),c=f(2m),

则a,b,c的大小关系为()

A.a<b<cB.a<c<bC,c<a<bD,c<b<a

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［答案］C［解析］考查函数奇偶性及指数式、对数式的运算.因为函数f(x)二1为偶函数，所

1

log2

=23-1=21og23-1=3-1=2,

b=f(log5)=21og5-1=4,c=f(2m)=f(0)=2°-1=0,所以c〈a〈b,故选C.

22n

历法点拨］L募式、对数式等数值比较大小问题，利用同底数、同指数或同真数等借助于函数单调性

或图象求解.

2.指数函数与对数函数的图象与性质

指数函数对数函数

函数y=logax(a>0,aWl,x>0)叫对数

定义函数y=aX(a〉0,aWl,xGR)叫指数函数

函数

值域(0,+8)(-8+8)

0<a<lyla>ly

A

图象

乙0

oX

(l)x>0；

(l)y>0;

⑵图象恒过点(L0)；

⑵图象恒过点(0,1)；

⑶a>l,

⑶a〉l,

当x>l时，y>0；

当x>0时，y>l；

当0<x<l时，y<0；

当x<0时，0<y<l；

性质0<a<l,

0<a<l,

当x>l时，y<0；

当x>0时，0<y<l；

当0〈x〈l时，y>0；

当x<0时，y>l；

(4)a>l,在(0,+8)上y=logaX为增

(4)a>l,在R上y=a，为增函数；0<a<l,

函数；0<a<l,在(0,+8)上y=logaX

在R上丫=£1'为减函数

为减函数

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3.鼻函数的性质

函数

1

y=x,y=x

特征y=x2y=x"1

y=x32

性质

(-°°,0)U(0,+

定义域RR[0,+8)

8)

(-°°,o)U(0,+

值域R[0,+8)[0,+8)

8)

奇偶性奇函数偶函数非奇非偶奇函数

xe[o,

XE(0,+8)时，

+8)

减

单调性增时，增增

xd(-8,0)时,

0］时,减减

定点(1,1)

8、命题P：函数能)=2*-2色>0且£1#1)的图象恒过点(0,-2)；命题q：函数f(x)=lg|x|(#O)有两个零

点.

则下列说法正确的是()

A.“P或q”是真命题B.“p且q”是真命题

C.rp为假命题D.rq为真命题

［答案］A［解析］•••f(0)=a°-2=-1,.・.p为假命题；令lg|x|=O得，3=1,，x=±l,故q为真命

题，；.pVq为真，pAq为假，rp为真，rq为假，故选A.

2X-1,x>0,

9、已知函数f(x)=，.若函数g(x)=f(x)-m有3个零点，则实数m的取值范围是

-x2-2x,xWO,

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［答案］(o,D［解析］函数f(x)的图象如图所示：

当0〈m〈l时，直线y二m与函数f(x)的图象有三个交点.

10、已知a、be[-l,1],则函数f(x)=ax+b在区间(1,2)上存在一个零点的概率为()

1B.1C.11

A.---D.—

24816

［答案C［解析］如图，由图形可知点(a,b)所在区域的面积S=4,满足函数f(x)=ax+b在区间(1,2)

1

11171

上存在一个零点的点(a,b)所在区域面积S=-X-XlX2="故所求概率

22248

",xe[0,1

3

11、函数f(x)若f(xo)则x0的取值范围是()

k-2x,x£[l,2],2

3B.(0,log20]U[5,+8)

A.(log2-

224

C.[0,log2^]uB,2]D.(Iog2：1)U[5,2]

2424

iWxoW2,

O^xo<l,

3

［答案］c［解析］利用分段函数建立不等式组求解.f(xo)1=七xoW：或'4_2xoW_解得

2o

2

35

0Wx成log2~^Yx()W2,故选C.

24

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12、已知常数a、b、c都是实数，f(x)=ax3+bx2+cx-34的导函数为f⑨，f3W0的解集为｛x|-2WxW

3),若f(x)的极小值等于-115,则a的值是()

A.-°1B,1

--C.2D.5

223

「公…依题意得£但=32*2+26*+瓜()的解集是［-2,3］,于是有32>0，-2+3=，b

［答案］C［解析］—

3a,

c3a

-2X3=—,.*.b=----,c=-18a,函数f(x)在x=3处取得极小值，于是有f⑶=27a+9b+3c-34二

3a2

115,-Oia--81,a-2,故选C.

2

3、设函数f(x)=+ax

1―--(aGR).若f(x)在x=0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y=f(x)在点(1,

f⑴)处的切线方程。

xeoxxTa

6x+ae-3x?+axx_25_a

解析：(1)对f(x)求导得f&)=-----------------------------------------------------

xx

e2e

因为f(x)在x=0处取得极值，所以f(0)=0,即a=0.

0X2

当a=0时，f(x)=,f氏)=-3x2+6x

ecXe-X

33

故f⑴二一，f(1)=—

ee

33

从而f(x)在点(1,f⑴)处的切线方程为y--二-(x-1),化简得3x-ey=0.

ee

14、已知函数f(x)=(ax?+bx+c)e>在［0,1］上单调递减且满足f(0)=1,f(l)=0.求a的取值范围；

［解析］⑴由f(0)=1,f⑴=0得c=l,a+b=-1,则f(x)=［ax?-(a+l)x+l］e',

f，⑨=［ax?+(a-l)x-a］e'依题意须对于任意x£(0,1),有f，⑨<0.

当a>0时，因为二次函数y=ax2+(a-l)x-a的图象开口向上，而『(0)=-a〈0,所以须

fz(l)=(a-l)e<0,即0<a<l；

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当a=l时,对任意xG(O,l)有『@=&2-1及〈0,f(x)符合条件;

x

当a=0时，对于任意xd(O,l),60=-xe<0,f(x)符合条件；

当a<0时，因f，(O)=-a〉O,f(x)不符合条件.

故a的取值范围OWaWL

［答案］B［解析］2sin

11

sin又由于sin-cosasina+—cosa-cosaa--cosa=

222

3

15

218,

［方法点拨］L已知条件为角a的终边过某点时，直接运用三角函数定义求解；已知条件为角。的终边在

某条直线上，在直线取一点后用定义求解；已知sina、cosa、tana中的一个值求其他值时，直接运用同角

关系公式求解，能用诱导公式化简的先化简.

2.已知tana求sina与cosa的齐次式的值时，将分子分母同除以cos%化“切”代入所求式为整式

时，视分母为1,用1=siiA+cos2a代换.

3.sin9+cos9,sin。-cos。，sinBcos。知一求其他值时，利用关系(sin©士cos。)？=l±2cos。cos。.

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要特别注意利用平方关系巧解题.已知某三角函数式的值，求另一三角函数式的值时，关键是分析找出两

三角函数式的联系恰当化简变形，再代入计算

1

16、已知角a的终边经过点A(-S，/，若点［A在抛物线y二一一X?9的准线上，则sina=()

4

SSC.-1D.1

A.--B.工-

2222

方程为y=l,故A(-#,1),所以Sina=

［答案］D［解析］由已知得抛物线的准线

2

ji

17、函数f(x)=Asin(3x+6)(其中A>0,CD>I),2KT的图象如图所示，为了得到g(x)=sin3x的图象，

2

则只要将f(x)的图象()

y

/一JL

…一一、xx12y/一，

0

71兀

A.向右平移一个单位长度B.向右平移一个单位长度

412

ji兀

C.向左平移一个单位长度D.向左平移一个单位长度

412

［答案］B［解析］由题知，函数f(x)的周其iT=4(°n-9=2%所以2兀2兀

124333,

解得3=3,易知A=l,所以f(x)=sin(3〉工+6).又f(x)=sin(3x+6)过点(％,-1),

12

所以sin(3X°m+小)=-1,所以3义5兀+()=2k兀+3兀,k£Z,

12122

JIJIJIJIJI

所以6=2kn+—,kez,又6<一,所以6二一,所以f(x)=sin(3x+—)=sin[3(x+—)],

424412

ji

所以将函数f(x)的图象向右平移一个单位TW度可以得到函数g(x)=sin3x的图象，故选B.

12

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历法点拨］1.已知正弦型（或余弦型）函数的图象求其解析式时，用待定系数法求解.由图中的最大值

或最小值确定A,再由周期确定3,由图象上特殊点的坐标来确定小，只有限定小的取值范围，才能得出唯

一解，否则小的值不确定，解析式也就不唯一.

将点的坐标代入解析式时，要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点.“第一点”（即图象上升时

与X轴的交点）为3X0+6=0+2kJi（kez）,其他依次类推即可.

2.解答有关平移伸缩变换的题目时，向左（或右）平移m个单位时，用x+m（或x-m）代替x,向下（或

xy

上）平移n个单位时，用y+n（或y-n）代替y,横（或纵）坐标伸长或缩短到原来的k倍，用不替x（或T弋替

kk

y）,即可获解.

贝tan2a二(

18、已知a£R,sina+2cosa:)

2

4B.0C.-0D.

A—

3443

寸77两边平方可得,

［答案］C［解析］本题考查三角函数同角间的基本关系.将sina+2cosa=

2

sin2a+4sinacosa+4cos2a=—.*.4sinacosa+3cos2a=—

22

将左边分子分母同除以cos2a得，+4tana31

-------解得tana=3或tana=——,

1+tanJa23

2tana3

・\tan2a=------；­=—：

1-tan2a4

jiJI

19、函数f(x)=Asin(cox+6)(A>0,3>0母I〈一）的图象关于直线x=一对称，它的最小正周期为兀,则函

23

数f（x）图象的一个对称中心是（）

兀JI5兀n

A.(―,1)B.(—,0)C.(—,0)D.(----,0)

3121212

［答案］B［解析］由题意知T=兀，・・・3二2,

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JIJIJIit

由函数图象关于直线X二一对称,得2X—+6=一+k兀(k£Z),即。=—+k兀(k^Z).

3326

JIitJIJI兀k

又I@I《一,4)=---,=Asin(2x—)令2x---二kr(k£Z),贝Ijx=—+一兀(k£Z).

2666122

JI

•二一个对称中心为(一,0),故选B.

12

20、在Z\ABC中，若tanAtanB=tanA+tanB+1,则cosC的值是()

i

C.1D.

A

322

tanA+tanB

［答案］B［解析］由tanA,tanB=tanA+tanB+1,可得------1--,-即---t-a-n(A+B)二一1,

1-tanA,tanB

,贝IJC二吗cosC二寸,

所以A+B=J"故选B.

442

JIJI

「鼻,cos2xx£R则f(x)在闭区间一下-「的白工,古力白一古

21、已知函数f(x)=cosx・sinlJ44上的取大值和取小值

4

分别为

111r9\l3=1sin2x-(cos2x+1)

［答案］-—［解^］f(x)=—sinxcosx+V3cos2x+1-

4222Y4444

JL-l-n

JIJI5兀，-1.11

1n

—sm|当x£44时,2x--e66,.*.sin|Ie2.Z.f(x)e24

23

22、已知f(x)=>\/3sinG)x-2sin2——(3〉0)的最小正周期为3兀.

Y2

JI3兀

⑴当x£［一,—］时，求函数f(x)的最小值；

24

⑵在AABC中,若f(C)=l,2sin2B=cosB+cos(A-C),求sinA的值.

,sin(wx)-2,10us

产析］,・¥6)=ft,Ox、/^sin(sx)+cos(wx)-1=2sin(wx+—)-1,

2Y6

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由乙兀二3兀得3=2,・工&)=2sin(2x+。一1.

3336

⑴由虑W3兀得兀W2x+"W2兀，・••当sin(2x+⑩=时,f(x)min=2X，^-1=p-1.

242363362

2n2兀

⑵由f(C)二2sin(-C+7-1及其。二:1,得sin(一C+T=1

3636

n2兀5兀2JiJIn

而―^-C+-—,所以-C十一二一,解得c二一

63663622

JI

在RtAABC中,*.*A+B=—,2sin2B=cosB+cos(A-C),.*.2cos2A-sinA-sinA=0,

2

sin2A+sinA-1=0,解得sinA=1±^.*.*0<sinA<1,/.sinA=-1

22

3、已知函数f(x)=2sin(x+4cos(x+5兀)一2cos?(x+)+1.

2———

242424

⑴求f(x)的最小正周期；

⑵求函数f(x)的单调递增区间.

产析](1)Vf(^=2sin(x+U*cos(x+5m-2cos2(x+5兀)+1=sin(2x+5兀)-cos(2x+5兀

2424241212

A[sin(2x+°@・cos兀一cos(2x+5兀)•sin耳二年in[(2x+5兀)一可fein(2x+力.

7——-V--?6

124124124

.f(x)的最小正周期T二二二兀

2

JlHHTlJIJI

⑵由⑴可知f(x)=、/2sin(2x+勺.当一一+2krW2x++2k兀(k£Z),即k兀--+—(k£Z)

626236

时,

函数f(x)=/sin(2x+一)是增函数,兀n

・・・函数f(x)的单调递增区间是[k兀--,kn+-](kez).

36

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24、已知tana=2.

4

sin2a2sinacosa

sin2a+sinacosa-cos2a-1sin2a+sinacosQ-2cos2a-1-1

2sinacosa2tana2X2

sin2a+sinacosa-2cos2atan2a+tana-222+2-2

25、在直角梯形ABCD中，AB〃CD,/ABC=90,AB=2BC=2CD,贝1Jcos/DAC=()

［答案］B［解析］由已知条件可得图形，如图所示,

22

设CD=a,0ACD中，CD2=AD2+AC2-2ADXACXcosZDAC,.*.a2=(•^2a)+^5a)-2X-^2a

/&aXcosZDAC,.'.cosZDAC=

10

［方法点拨］解三角形的常见类型：

⑴已知两角和一边，如已知A,B和c,由A+B+C=n求C,由正弦定理求a,b.

⑵已知两边和这两边的夹角，如已知a、b和C,应先用余弦定理求c,再应用正弦定理先求较短边所

对的角，然后利用A+B+C=n求另一角.

⑶已知两边和其中一边的对角，如已知a、b和A,应先用正弦定理求B,由A+B+C=”求C,再由

正弦定理或余弦定理求c,要注意解的讨论.

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⑷已知三边a、b、c,可应用余弦定理求A、B、C.

角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若sinA=乙4,a=2,SAABC=p,贝1Jb

6、在锐角AABC中,

2

3Y

的值为（）

,.1112'.*.be=3,

［答案］A［解析］由已知得：cosA二一，S=-bcsinA=-bcX—

3AABC223

22

又由余弦定理得：a2=b2+-2bccosA,gpb+c-2=4,

.•JD2+C2=6,Ab+c=2-xj3,解得b=c=3，选A

)7一在ZXABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,若@+c?-b2)tanB=#ac,则角B的值为()

JIJIJI5JIJI2兀

A.-B.一C・一或一D.一或—

636633

厂a2+c2-b2「

［答案］D［解析］f^(a2+c2-b2)tanB=M3ac----------*tanB=AJ3,再由余弦定理cosB=

ac

a2+c2-b2「、/3n2n

----------得，2cosB・tanB艮|1sinB,・••角B的值为一或一,故应选D.

2ac--------------------------------233

28、在AABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知sin(B+A)+sin(B-A)=3sin2A,且c=^「,

JI

c=―,则AABC的面积是（）

3

A.3sB.7My/21D.3s或73

C.4

4636

JIn

［答案］D［解析］由已知得：2sinBcosA=3sin2A=6sinAcosA,若cosA=0,则NA=一，贝IJB二一,

26

yp・・・S^ABC=Ibe=ix］X尸J兀

r=^--一〜一7」一；若NAA,贝IJsinB=3sinA,由正弦定理得：b=3a

322362

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又由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC,即7=a2+9a2-3a2=7a2,.*.a=1,b=3,SAABC=-absinC=—

22

*1X3义乙父选D

24

29爵AABC中，已