高等数学同济第六版下册课后习题答案

习题8-1

1.设u=a-b+2c,v=-a+3b-c.试用a、b、c表示2w-3v.

解2w-3v=2(a-b+2c)-3(-a+3b-c)

=2a-28+4c+3G-9H3C

二5。-11H7c.

2.如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证

所以DC=-OA+OB=OB-OA=-AB.

这说明四边形ABCD的对边AB=CD且AB//CD,从而四边形

ABCO是平行四边形.

3.把AABC的边五等分，设

分点依次为。2、。3、。4,再把

―>

各分点与点A连接.试以AB=c、

表示向量〃A、D2A.D3A.

£A.

解D.A=BA-BD}=-c-a,

D°A=BA-BD?=-c,

D§A=BA-BDB=-C-—a,

->f—A

D^A—BA—BD^.

4.已知两点M(0,1,2)和%(1,-1,0).试用坐标表示式表

示向量M拓及-2〃拓.

解MX=(1,-1,0)-(0,1,2)=(1,-2,-2),

-2M拓=-2(1,-2,-2)=(-2,4,4).

5.求平行于向量4=(6,7,-6)的单位向量.

解⑷=162+72+(—6)2=11,

平行于向量。=(6,7,-6)的单位向量为

⑷借11,1齐1,一11#或一⑷±Q=(1T1，~1n1,1冷1,

6.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？

A(l,-2,3);BQ,3,-4);C(2,-3,-4);D(-2,-3,1).

解A在第四卦限,8在第五卦限,C在第八卦限,。在第三卦

限.

7.在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指

出下列各点的位置：

A(3,4,0);B(0,4,3);C(3,0,0);£>(0,-1,0).

解在％0y面上，点的坐标为(%,y,0)；在yOz面上，点的坐

标为(0,y,z);在zQx面上，点的坐标为&,0,z).

在工轴上，点的坐标为(%,0,0)；在y轴上，点的坐标为(0,y,

0),在2轴上，点的坐标为(0,0,z).

A在％Oy面上,B在yOz面上,C在％轴上,。在y轴上.

8.求点3,瓦c)关于⑴各坐标面；(2)各坐标轴；(3)坐标原点

的对称点的坐标.

解(1)点(。,仇c)关于％Oy面的对称点为(。,仇-c),点(a,A,c)

关于yOz面的对称点为(-a,b,c),点(a,h,c)关于z。%面的对称点

为(a,-瓦c).

(2)点(a,b,c)关于％轴的对称点为(a,-仇-c),点(a,b,c)关于

y轴的对称点为(-a,b,-c),点(a,瓦c)关于z轴的对称点为(-a,

-b,c).

(3)点(a,b,c)关于坐标原点的对称点为(-a,-4-c).

9.自点外(%o,yo,zo)分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写

出各垂足的坐标.

解在工。)，面、yOz面和zO%面上，垂足的坐标分别为(%o,yo,

0)、(0,y0,zo)和(%o,0,zo).

在光轴、y轴和z轴上，垂足的坐标分别为Qo,0,0),(0,y0,0)

和(0,0,z()).

10.过点Po(xo,加zo)分别作平行于z轴的直线和平行于

面的平面，问在它们上面的点的坐标各有什么特点？

解在所作的平行于z轴的直线上，点的坐标为(我,然,z);

在所作的平行于xOy面的平面上，点的坐标为y,zo).

H.一边长为a的立方体放置在直刀面上，其底面的中心在

坐标原点，底面的顶点在％轴和)，轴上，求它各顶点的坐标.

解因为底面的对角线的长为所以立方体各顶点的坐

标分别为

(Wa，°，°)，(乎a，°，°)，(0,一(0,乎。,0),

(当a,0,a),亭,0,〃)，(0,一争,a),(0,多a).

12.求点〃(4,-3,5)到各坐标轴的距离.

解点M到1轴的距离就是点(4,-3,5)与点(4,0,0)之间的距

离，即

22

Jr=A/(-3)+5=V34.

点M到y轴的距离就是点(4,-3,5)与点(0,-3,0)之间的距

离，即

J/42+52=V4i.

y=A

点M到z轴的距离就是点(4,-3,5)与点(0,0,5)之间的距离,

即

4=j42+(-3)2=5.

13.在yOz面上，求与三点A(3,1,2)、8(4,-2,-2)和C(0,5,

1)等距离的点.

解设所求的点为尸(0,乂z)与A、B、C等距离，则

|PA|2=32+(y-l)2+(z-2)2,

|ph|2=42+(y+2)2+(z+2)2,

―>

|PCF=(y-5)2+(z-1)2.

由题意，有

\PA^=\PB^PC^,

22222

pDf3+(y-l)+(z-2)=(y-5)+(z-l)

1[42+(3；+2)2+(z+2)2=(y-5)2+(z-l)2

解之得尸1,z=-2,故所求点为(0,1,-2).

14.试证明以三点A(4,1,9)、伏10,-1,6)、C(2,4,3)为顶点

的三角形是等腰三角直角三角形.

解因为

|AB|=7(10-4)2+(-l-l)2+(6-9)2=7,

|AC|=7(2-4)2+(4-l)2+(3-9)2=7,

|BC|=7(2-10)2+(4+l)2+(3-6)2=7A/2,

所以|威|24盛|2+|北|2,|矗目元|

因此AABC是等腰直角三角形.

15.设已知两点M(4,0,l)和跖(3,0,2).计算向量加范

的模、方向余弦和方向角.

解M~M2=(3-4,0-V2,2-1)=(-1,V2,1);

|M-2=J(T)2+(a)2+F=2;

ccos/?=¥，cos/=1;

乙乙乙

2〃n_3冗71

”一行,°Fr~3-

16.设向量的方向余弦分别满足(l)cosgO;(2)cos住1;

(3)cosgcos分0,问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？

解(1)当cos—O时，向量垂直于无轴，或者说是平行于yOz

面.

(2)当cos分1时，向量的方向与y轴的正向一致，垂直于

zOx面.

(3)当cosa=cosj&=0时，向量垂直于无轴和y轴，平行于z

轴，垂直于xOy面.

17.设向量「的模是4,它与轴〃的夹角是60。，求r在轴

u上的投影.

解Prj/斗升cos0=4.J=2.

18.一向量的终点在点尔2,-1,7),它在％轴、y轴和z轴上

的投影依次为4,-4,7,求这向量的起点A的坐标.

解设点A的坐标为(%,y,z).由已知得

2-x=4

7-z=7

解得4-2,y=3,z=0.点A的坐标为A(-2,3,0).

19.tn=3i+5j+8k,n=2i-Aj-lkp=5i+j-4k.求向量

a=4m+3n-p在％轴上的投影及在y轴上的分向量.

解因为

a=4m+3n-p

=4(3i+5j+8@+3(2T/—74)一(5坷一4A)

=13i+7/+15A:,

所以a=4m+3〃-p在％轴上的投影为13,在y轴上的分向量少.

习题8-2

1.a=3i-j-2k,b=i+2j-k,求(1)。彷及QX~；(2)(—2。>36及ax2b;(3)。、力夹角的余弦.

解(1)ai=3x1+(-1)x2+(-2)x(-l)=3,

ijk

axb=3-1-2=5i+j+7A.

I2-1

(2)(-2a)-3Z>=-6ab=-6x3=-18,

«x2*=2(axft)=2(5i+/+7/l)=10i+2/4-14*.

|a仍I33

(3)cos(a,b)=-I-«l—l*—l=—7j1=4^7-6j==—2V-2jT=.

2.设〃、b、c为单位向量，且满足a+b+c=0,求ab+b・c+ca.

解因为a+Hc=0,所以(a+)+c>(a+)+c)=0,

即aa+》6+cc+2zr〃+2ac+2ca=0,

[13

于是ab+bc+ca=--(aa-^bb+cc)=--(\+l+l)=--.

己知M(l,-1,2)、%(3,3,1)和％(3,1,3).求与必看？、忒用同时垂直的单位向

3.

量.

解=GT3+1,1-2)=(24,-1),MZM3=(3-3,1-3,3-1)=(0,-2,2).

n=MiM^M2M3=24-1=6i-4j-4*,

0-22

|〃|=J36+16+16=2炳,

1

e=±](6i-4j-4k)=+(3i-2j-2Jt)为所求向量.

2V17

4.设质量为100kg的物体从点Mi(3,1,8)沿直线称动到点M2(l,4,2),计算重力所作的

功(长度单位为〃?，重力方向为z轴负方向).

解F=(0,0,-100x9.8)=(0,0,-980),5=^^2=(1-3,4-1,2-8)=(-2,3,-6).

W=F-S=(0,0,-980).2,3,-6)=5880(焦耳).

5.在杠杆上支点。的一侧与点。的距离为xi的点Pi处，有一与改成角仇的力尸।

作用着；在O的另一侧与点。的距离为X2的点尸2处，有一与漉成角a的力B作用着.问

仇、01、如、X2、|尸||、|尸2|符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？

解因为有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零，再注意到对力矩正负的

规定可得，使杠杆保持平衡的条件为

xi|Fi|-sin6»i-X2|F2|-sinft=O,/，用

即刈尸1卜sir>a=X2|尸卜2sin/

6.求向量a=(4,-3,4)在向量力=(2,2,1)上的投影.必\4__%>_

解F合L-

1

Pr]ha=aeb=a-^-=^-ab=(4,-3,4).(2,2,1)=1(4x2-3x2+4xl)=2.

网网A/22+22+123

7.设。=(3,5,-2),上(2,1,4),问几与"有怎样的关系，能使得加+/心与z轴垂直？

解Aa+〃〃=(34+2〃,52+//,-22+4//),

Aa+〃b与z轴垂0加+,而J_A

u>(32+2〃,54+//,-2力+4//>(0,0,1)=0,

即一2几+4从=0,所以A=2〃.当&2〃时，加+融与z轴垂直.

8.试用向量证明直径所对的圆周角是直角.

证明设AB是圆0的直径，。点在圆周上，则防=-不，|品目H|.

因为就•辰?=(A—H)・(A—法)=(冼一H)(左：+豆)4&?|2-|豆|2=0,

所以/_L访，ZC=90°.

9.设已知向量。=2，一牙+匕b=i-j+3k和c=i-2j,计算：(\)(ab)c-(ac)b;(2)(a+A)xS+c);

⑶(ax))c.

解(1)a*=2x1+(-3)x(-1)+1x3=8,0c=2x1+(—3)x(—2)=8,

(ab)c-(a-c)b=Sc-Sb=S(c-b)=S[(i-2j)-(i-j+3k)]=~Sj-24k.

(2)a+*=3i-4/+4jl,b+c=2i-3j+3k,

iJ*1

(a+b)x(〃+c)=3-44\=-j-k.

2-33|

ijk

(3)ax*=2-31=-8z-5j+jt,

1-13

(axft)-c=-8x1+(-5)x(-2)+1x0=2.

10.己知H=i+3j,OB=j+3k,求4048的面积.

解根据向量积的几何意义，I苏&I表示以温和为为邻边的平行四边形的面积,

于是AO45的面积为

S^^\OA^OB\.

因为溢益=；03=-3i-3j+k,|5%<而|=5(-3>+(-3)2+『二则,

013

所以三角形AOAB的面积为

S=J亦防耳风.

12.试用向量证明不等式：

个龙+电+4旧+用+母日+的/I，

其中4|、42、“3、"、岳、犯为任意实数，并指出等号成立的条件.

解设。=(“|,。2,。3),b=Sl,62,63),则有

a-h=]a\­\b\cos(a,b)^a\'\b\,

于是Ja，+语+说/¥+彷+僮5“占+01b2+1，

其中当cos(a")=l时，即a与6平行是等号成立.

习题8-3

1.一动点与两定点(2,3,1)和(4,5,6)等距离，求这动点的轨迹方程.

解设动点为M(x,y,z),依题意有

(_r-2)2+(y-3)2+(2-l)2=(x-4)2+0--5)2+(z-6)2,

即4x+4y+10z-63=0.

2.建立以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程.

解球的半径R=jF+32+(_2)2=旧,

球面方程为

(x-l)2+(y-3)2+(z+2)2=14,

即%2+/+z2-2x--6y+4z=0.

3.方程x2+y2+z2-2x+4y+2z=0表示什么曲面？

解由已知方程得

(x1-2x+1)+(y2-i-4_y-i-4)+(z2+2z+1)=1+4+1,

即(x-l)2+(y+2)2+(z+l)2=(而尸，

所以此方程表示以(1,-2,-1)为球心，以卡为半径的球面.

4.求与坐标原点。及点(2,3,4)的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面的方程，它

表示怎样曲面？

解设点(x,y,z)满足题意，依题意有

y1x2+y2+z2_1

J(x-2)2+(y-3>+(z-4)22

化简整理得

(X+62+(y+l)2+Q+护*

它表示以管为球心，以|炳为半径的球面.

5.将zOx坐标面上的抛物线，=5x绕x轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.

解将方程中的z换成土JV+z2得旋转曲面的方程V+Z2=5X.

6.将zOx坐标面上的圆W+z2=9绕z轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.

解将方程中的X换成士由手得旋转曲面的方程『+V+z2=9.

7.将xOy坐标面上的双曲线4f-9），2=36分别绕x轴及），轴旋转一周，求所生成的旋转

曲面的方程.

解双曲线绕x轴旋转而得的旋转曲面的方程为

4?-9/-9Z2=36.

双曲线绕y轴旋转而得的旋转曲面的方程为

4?+4z2-9y2=36.

8.画出下列方程所表示的曲面：

v2z2

⑶5+p；

(4)卢=z0;

9.指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形：

⑴日

解在平面解析几何中,x=2表示平行于y轴的一条直线；在空间解析几何中,x=2表示一

张平行于yOz面的平面.

⑵y=x+l;

解在平面解析几何中,y=x+l表示一条斜率是1,在)，轴上的截距也是1的直线；在空

间解析几何中，y=x+l表示一张平行于z轴的平面.

(3)f+V=4;

解在平面解析几何中，1+)2=4表示中心在原点，半径是4的圆；在空间解析几何中,

?+/=4表示母线平行于z轴，准线为W+y2=4的圆柱面.

(4)*_)2=1.

解在平面解析几何中,『-)2=1表示双曲线；在空间解析几何中,*-尸=1表示母线平行

于z轴的双曲面.

10.说明下列旋转曲面是怎样形成的：

⑴与+若+*1;

解这是xOy面上的椭圆?+卷=1绕x轴旋转一周而形成的，或是zOx面上的椭圆

22

。+&=1绕X轴旋转一周而形成的.

49

v2

(2)x2_±_+z2=l；

4

解这是xOy面上的双曲线炉-[=1绕y轴旋转一周而形成的，或是)，Oz面上的双曲

线-[+z2=l绕y轴旋转一周而形成的.

(3)«-衿/=1;

解这是xOy面上的双曲线r->2=1绕x轴旋转一周而形成的，或是zQx面上的双曲线

x2-?=1绕x轴旋转一周而形成的.

(4)&-4)2=/+产.

解这是zOx面上的曲线(z-a)2=/绕Z轴旋转一周而形成的，或是)，0z面上的曲线

(z-a)2=y2绕z轴旋转一周而形成的.

11.画出下列方程所表示的曲面：

⑴丘+产小3；

(2)f-)2-4z2=4;

习题8-4

1.画出下列曲线在第一卦限内的图形:

⑵:二甲;

x2+y2=a2

x2+z2=a2•

2.指出下方程组在平面解析几何中与在空间解析几何中分别表示什么图形：

卜=5x+l.

[)[y=2x-39

解在平面解析几何中，[尸产;表示直线v=5x+l与产2%-3的交点(-*-?);在空

[y=2x-3”33

间解析几何中，尸:票计!表示平面y=5x+l与产比-3的交线，它表示过点(-弓,-?,0),并

且行于Z轴.

(2)-T+^=,.

j=3

解在平面解析几何中，,于+三小表示椭圆当+*曰与其切线广3的交点(0,3);在

y=349

空间解析几何中，，三十^T表示椭圆柱面?+营=1与其切平面尸3的交线.

3.分别求母线平行于x轴及y轴而且通过曲线X：O=016的柱面方程.

解把方程组中的x消去得方程3y2T2=16,这就是母线平行于x轴且通过曲线

2x2+y2+z2=\6

的柱面方程.

x2+z2-y2=0

把方程组中的y消去得方程3f+2z2=16,这就是母线平行于y轴且通过曲线

2x2+y2+z2=16

的柱面方程.

x2+z2-y2=0

4.求球面f+y2+z2=9与平面x+z=l的交线在xOy面上的投影的方程.

解由x+z=l得z=l-x代入得方程”-2%+9=8,这是母线平行于z轴，准线

为球面W+y2+z2=9与平面x+z=l的交线的柱面方程，于是所求的投影方程为

j2x2-2x+y2=8

[z=0

5.将下列曲线的一般方程化为参数方程：

x2+y2+z2=9.

(1)

y=x

解将y=x代入x2+y2+z2=9得2A2+Z2=9,即一—+三•=1.

令x=-^=cost,贝ijz=3sint.

故所求参数方程为

x=-^cosr,y=^=cost,z=3sint.

(2)，aT)2+y2+(z+l)2=4.

(z=0

解将z=0代入(x-l)2+y2+(z+1)2=4得(x-l)2+y2=3.

令x=l+>/Jcos，，则y=VJsinf,

于是所求参数方程为

X=1+A/3COSZ,y=V3sinr,z=0.

x=acos。

6.求螺旋线y=asin。在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.

z=b0

解由前两个方程得/+产=储，于是螺旋线在xOy面上的投影曲线的直角坐标方程为

|x2+y2=tz2

|z=0

由第三个方程得"代入第一个方程得

-=cosv,即z=Z?arccos-,

aba

于是螺旋线在zOx面上的投影曲线的直角坐标方程为

z=Z?arccos—

<a•

y=0

由第三个方程得代入第二个方程得

b

-=sin.,即z=6arcsin』，

aba

于是螺旋线在yOz面上的投影曲线的直角坐标方程为

x=0

z=fearcsin—,

a

7.求上半球OWzW及匚记于与圆柱体f+VwaM。A。)的公共部分在xOy面和z。无面上

的投影.

解圆柱体/+)%族在xOy面上的投影为它含在半球04z*a2_*2—丫2在

xOy面上的投影内，所以半球与圆柱体的公共部分在xO.y面上的投影为f+y24ax.

为求半球与圆柱体的公共部分在zOx面上的投影，由圆柱面方程f+y2』％得>2=必_比

代入半球面方程2=/浮一/一丫2,得z=Ja2-ax(。*),于是半球与圆柱体的公共部分在

zOx面上的投影为

0<z<-Ja2-ax[0<x<a),即z1+ax<a2,0<x<a,z>0.

8.求旋转抛物面在三坐标面上的投影.

解令z=4得f+y2=4,于是旋转抛物面2=』+穴04")在xOy面上的投影为x2+y2*.

令x=0得z92,于是旋转抛物面内2+日0女“)在yOz面上的投影为/<z<4.

令y=0得z=x2,于是旋转抛物面2=/+：尸(04244)在zOx面上的投影为^<2<4,

习题8—5

1.求过点(3,0,-1)且与平面3A7y+5z-12=。平行的平面方

程.

解所求平面的法线向量为〃=(3,-7,5),所求平面的方程为

3(x-3)-7(y—0)+5(z+l)=0,即3%-7y+5z-4=0.

2.求过点M0(2,9,-6)且与连接坐标原点及点Mo的线段

。减垂直的平面方程.

解所求平面的法线向量为九=(2,9,-6),所求平面的方程为

2(x-2)+9(y-9)-6(z-6)=0,即2%+9y-6z-121=0.

3.求过(1,(-2,-2,2)、(1,-1,2)三点的平面方程.

解W|=(l,-1,2)-(1,1,-1)=(0,-2,3),

«i=(l,-1,2)-(-2,-2,2)=(3,1,0),

所求平面的法线向量为

ijk

w=M]Xn2=0-23=-3i+9j+6k,

310

所求平面的方程为

-3(x-1)+9(y-1)+6(z+1)=0,即x-3y-2z=0.

4.指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面：

(1)%=0；

解尤=。是yOz平面.

(2)3y-l=0;

解3k1=0是垂直于y轴的平面，它通过y轴上的点

(0,1,0).

(3)2x-3y-6=0;

解2%-3k6=0是平行于z轴的平面，它在％轴、y轴上的截

距分别是3和-2.

⑷％-6y=0;

解%—6y=0是通过z轴的平面，它在％0)，面上的投影的斜

率为卓

(5)y+z=l;

解y+z=l是平行于％轴的平面，它在y轴、z轴上的截距均

为1.

(6)%-2z=0;

解x-2z=0是通过y轴的平面.

(7)6%+5-z=0.

解6%+5-z=0是通过原点的平面.

5.求平面2%-2y+z+5=0与各坐标面的夹角的余弦.

解此平面的法线向量为n=(2,-2,1).

此平面与yOz面的夹角的余弦为

7・、ni22

CO(5t=CO-⑺…尸/==;

221

\n\-\i\A/2+(-2)+13，

此平面与z。％面的夹角的余弦为

一小。山)=品=也+a+厂1；

此平面与工。＞面的夹角的余弦为

一『。9)=瑞=e+(：2)2+1丹

6.一平面过点(1,0,-1)且平行于向量。=(2,1,1)和)=(1,-1,

0),试求这平面方程.

解所求平面的法线向量可取为

ijk

n=axb=211=i+j-3k,

1-10

所求平面的方程为

(%—l)+(y—0)—3(z+l)=0,即％+y-3z—4=0.

7.求三平面%+3y+2=l,2x-y-z=0,-x+2y+2z=3的交点.

解解线性方程组

x+3y+z=l

<2x-y-z=0

\-x+2y+2z=3

得％=l,y=-l,z=3.三个平面的交点的坐标为(1,-1,3).

8.分别按下列条件求平面方程：

⑴平行于zOx面且经过点(2,-5,3);

解所求平面的法线向量为)=(0,1,0),于是所求的平面为

0-(x-2)-5Cv+5)+0-(z-3)=0,即尸—5.

(2)通过z轴和点(-3,1,-2);

解所求平面可设为Ax+gy=o.

因为点(-3,1,-2)在此平面上，所以

—3A+3=0,

将B=3A代入所设方程得

Ax+34y=0,

所以所求的平面的方程为

x+3y=0,

(3)平行于％轴且经过两点(4,0,-2)和(5,1,7).

解所求平面的法线向量可设为九=(0,瓦c).因为点(4,0,-2)

和(5,1,7)都在所求平面上，所以向量m=(5,1,7)-(4,0,-2)=(1,

1,9)与〃是垂直的，即

Z?+9c-0,b=-9c,

于是«=(0,-9c,c)=-c(0,9,-1).

所求平面的方程为

9(j-0)-(z+2)=0,即9y-z-2=0.

9.求点(1,2,1)到平面%+2y+2z-10=0的距离.

解点(1,2,1)到平面%+2y+2z-10=0的距离为

7|l+2x2+2xl-10|,

a=----=—=1・

71z2+22+22

习题8-6

1.求过点(4,-1,3)且平行于直线与=＞个的直线方程.

解所求直线的方向向量为s=(2,1,5),所求的直线方程为

%-4_y+l_z-3

~T~=~F=~5~'

2.求过两点M3-2,1)和Af2(-1,0,2)的直线方程.

解所求直线的方向向量为s=(-1,0,2)-(3,-2,1)=(-4,2,1),

所求的直线方程为

x-3y+2x-l

-421

3.用对称式方程及参数方程表示直线]；一

2x+y+z=4

解平面x-y+z=l和2x+y+z=4的法线向量为«i=(l,-1,1),

小=(2,1,1),所求直线的方向向量为

ijk

s=n1xn2=1-11=-2i+j+3k.

-211

在方程组"？+：T4中，令尸0,得解得m3,

[2x+y+z=4[2x+z=4

Z=-2.于是点(3,0,-2)为所求直线上的点.

所求直线的对称式方程为

x—3_y_z+2.

二二T='；

参数方程为

x=3-2。y=t^z=—2+3乙

4.求过点(2,0,-3)且与直线垂直的平面

2z+l=U

方程.

解所求平面的法线向量〃可取为已知直线的方向向量，即

ijk

n=(l,-2,4)x(3,5,-2)=1-24=-16i+14j+l1A.

35-2

所平面的方程为

-16(x-2)+l4(y-0)+ll(z+3)=0,

即16%-14y-llz-65=0.

5求直线哇猊才。与直线落沈:鼠)的夹角

的余弦.

解两直线的方向向量分别为

ijk

5-33=3i+4j-k,

3-21

iJ.左

22

=10i-5j+10k.

38-1

两直线之间的夹角的余弦为

°°"3瑞

3x10+4x(-5)+(-1)x10=()

221222

-A/3+4+(-1/70+(-5)+10-,

6.证明直线与直线f+6y一言=8平行

[—zx-Vy-VZ—/y—z—u

解两直线的方向向量分别为

ijk

4=12-l=3i+j+5k,

-211

ijk

”=36-3=-9i-3j-15k.

2—1—1

因为S2=-3S1,所以这两个直线是平行的.

7.求过点(0,2,4)且与两平面x+2z=l和k3z=2平行的直线

方程.

解因为两平面的法线向量小=(1,0,2)与"2=(0,1,-3)不平

行，所以两平面相交于一直线，此直线的方向向量可作为所求

直线的方向向量S,即

卜jk\

S=102\=-2i+3j+k.

所求直线的方程为

x_y-2_z-4

3二'=丁’

8.求过点(3,1,-2)且通过直线甘=早普的平面方程.

解所求平面的法线向量与直线胃=手=彳的方向向量

J4JL

31=(5,2,1)垂直.因为点(3,1,-2)和(4,-3,0)都在所求的平面上,

所以所求平面的法线向量与向量§2=(4,-3,0)-(3,1,-2)=(1,-4,2)

也是垂直的.因此所求平面的法线向量可取为

ijk

T2=S]X,=521=Si-9j-22k.

■1-42

所求平面的方程为

8(x-3)-9(y-l)-22(z+2)=0,

即8%-9y-22z-59=0.

9.求直线｛二；：；：%。与平面%—y—z+i=o的夹角.

解已知直线的方向向量为

ijk

s=(l,1,3)x(1,-1,-1)=113=万+4J-2左=2«+2/_4)，

1-1-1

已知平面的法线向量为Ml,-1,-1).

因为

s-n=2xl+4x(-l)+(-2)x(-l)=0,

所以sIn,从而直线卜+)+3zU与平面x-y-z+l=O的夹角为0.

10.试确定下列各组中的直线和平面间的关系：

⑴考=空号和4A2k2z=3;

解所给直线的方向向量为S=(-2,-7,3),所给平面的法线

向量为«=(4,-2,-2).

因为$•〃=(-2)x4+(-7)x(-2)+3x(-2)=0,所以s_L〃，从而所给

直线与所给平面平行.又因为直线上的点(-3,-4,0)不满足平面

方程4%-2k2z=3,所以所给直线不在所给平面上.

(2)与=3=，和3A2y+7z=8;

解所给直线的方向向量为$=(3,-2,7),所给平面的法线向

量为〃=(3,-2,7).

因为s=n,所以所给直线与所给平面是垂直的.

(3)号=牛=弓和%+y+z=3.

解所给直线的方向向量为s=(3,所给平面的法线向

量为〃=(1,1,1).

因为STZ=3X1+1X1+(-4)X1=0,所以S_L?从而所给直线与所

给平面平行.又因为直线上的点(2,-2,3)满足平面方程％+y+z=3,

所以所给直线在所给平面上.

H.求过点(1,2,1)而与两直线产和[2%-：+z：0

x-y+z-l=0[x-y+z=0

平行的平面的方程.

解已知直线的方向向量分别为

\iJM

s,=(1,2,-1)x(1,-1,1)=12-i=i-2j-3k,

I1-111

s,=(2,-1,1)x(1,-1,1)=2-11=-j-A.

「T"

所求平面的法线向量可取为

iJk

n=s1xs2=1-2-3=-i+j-k,

0—1—1

所求平面的方程为

-(x-l)+(y-2)-(z-l)=0,即x-y+z=O.

12.求点(-1,2,0)在平面x+2y-z+l=0上的投影.

解平面的法线向量为〃=(1,2,-1).过点(-1,2,0)并且垂直

于已知平面的直线方程为

.x+l_y-2_z

~T=~T=^i'

将此方程化为参数方程x=-l+t,广2+2/,z=-t,代入平面方程

x+2y-z+l=0中，得

(-l+Z)+2(2+2r)-(-0+1=0,

解得仁-|.再将仁-|代入直线的参数方程，得％=［，产全

2=|,于是点(-1,2,0)在平面x+2y-z+l=0上的投影为点

13.求点P(3,-1,2)到直线[；+)'1+：°的距离.

2x-y+z-4=0

解已知直线的方向向量为

ijk

s=(l,1,-1)x(2,-1,1)=11-l=-3j-3k.

2-11

过点尸且与已知直线垂直的平面的方程为

-3(y+l)—3(z-2)=0,即y+z-l=O.

解线性方程组

%+y-z+l=O

<2%-y+z-4=0,

y+z-l=O

得％=1,y=-^,2=|.

点P(3,-l,2)到直线=+10的距离就是点P(3,-l,2)

[2x-y+z-4=0

与点(1,-去|)间的距离，即

d=J(3-l)2+(-l+^)2+(2-^-)=^-A/2.

V乙乙乙

14.设M)是直线L外一点，M是直线L上任意一点，且直

线的方向向量为s,试证：点M)到直线L的距离

—

,|AfAfxs|

〃=---n----

回.

->

解设点M)到直线L的距离为aL的方向向量s=MN,根

据向量积的几何意义，以■和疝V为邻边的平行四边形的面

积为

fT—>

\M0MXMN\^MQMXS\,

又以忒M和MN为邻边的平行四边形的面积为d-\MNhd-\s\.

因此

—

d-\s\^M(}Mxs\,d-—上——.

15.求直线[7-4咤z=：在平面4%_*=1上的投影直线

[3x-y-2z-9=0

的方程.

解过已知直线的平面束方程为

(2+3丸)%+(—4-X)y+(1-22)z—9/l=0.

为在平面束中找出与已知平面垂直的平面，令

(4-1,1)-(2+32,-4-Z,1-22)=0,

即4-(2+32)+(-l)-(-4-2)+l-(l-2/l)=0.

解之得行-号将丸=卡代入平面束方程中，得

17x+31y-37z-117=0.

故投影直线的方程为

4x-y+z=l

<17%+3V-37z-l17=0'

16.画出下列各曲面所围成的立体图形：

(l)x=0,y=0,z=0,x=2,y=l,3x+4y+2z-12=0;

1\3

Qy

4/

(3)z=0,z=3,x-y=O,x-^3y=0,%2+y=i(在第一圭卜限内);

(4)%=0,y=0,z=0,/+y2=R2,产序二/^在第一卦限内)

总习题八

1.填空

(1)设在坐标系［0;i,j,A］中点A和点M的坐标依次为(XO,JO,zo)和(x,y,z),则在［4;ij,k］

坐标系中，点M的坐标为,向量。M的坐标为.

-

解M(x-xo,y-泗,z-zo),OM={x,y,z).

提示：自由向量与起点无关，它在某一向量上的投影不会因起点的位置的不同而改变.

(2)设数为、办、加不全为0,使办a+；W>+/l3C=0,则。、从c三个向量是的.

解共面.

(3)设a=(2,1,2),10),c=b-Aa,且ale,则&.

解3.

提示：因为a_Lc,所以0c=0.

又因为由ac=ah-；M-a=2x4+1x(-l)+2x10-2(22+12+22)=27-9/1,所以加3.

(4)设a、b、c都是单位向量，且满足a+6+c=0,则。b+"c+cu=.

解4-

提示：因为〃+5+c=0,所以(a+力+c>(a+Hc)=0,

艮|J•)+cc+2tzb+2ac+2ca=0,

⑸设⑷=3,|b|二4,|c|=5,且满足a+b+c=O,贝!J|QXZH■力xc+cxa|=.

解36.

提示:c=-(a+b),

axb+b义c+cxa=axb-b义(a+b)-(a+b)xa=axb—bxa-bxa=3axb,

|ax》+》xc+cxa|=3|ax5|=3|aHb|=3・3・4=36.

2.在y轴上求与点A(l,-3,7)和点5(5,7,-5)等距离的点.

解设所求点为M(0,y,0),则有

12+0^3)2+72=52+0?-7)2+(-5)2,

即6+3)2=仁7)2,

解得y=2,所求的点为M(0,2,0).

3.已知A/18C的顶点为43,2,-1)、8(5,-4,7)和C(-1,1,2),求从顶点C所引中线的长度

解线段”的中点的坐标为(苧，号，二^9)=(4,-1,3).所求中线的长度为

4=J(4+1)2+(_I)2+(3_21=回.

—>

4.设AA5C的三边8C=a、CA=b.AB=c,三边中点依次为。、E、F,试用向量。、

b、c表示4)、BE>CF,并证明

M)^BE+CF=Q.

解AI)=^+BD=c+^a,

BfE=BfC+CfE=a+±1b,

2

i

CF=CA+AF=b+^-c.

2

AD+5E+C尸=93+Hc弓(Y+C)=O

5.试用向量证明三角形两边中点的连线平行于第三边，且其长度等于第三边长度的

一半.

证明设D,E分别为AB,AC的中点，则有

Z)£=A£-A£)=|(AC-AB),1

—>—►—>—>―►/\

BC=BA+AC=AC-AB,£

所以DE=^BC,/\

从而。E//BC,且|DE|=fBC|.

6.^\a+b\=\a-b\,o=(3,-5,8),b=(-l,1,z),求z.

解a+方=(2,-4,8+z),ad=(4,-6,8-z).因为|a+6|=|a-b|,所以

招+(T)2+(8+Z)2=J42+(-6)2+(8—Z)2,

解得Z=l.

7.设|。=石，|加=1,(a®=J,求向量a+A与。的夹角.

6

解|a+6|2=(a+A)-(a+i)=|a|24-|i|2+2a-&=|a|24-|i|2+2|a|-|A|cos(a,Ab)=3+1+2-73cos-T-=7,

6

|a-&|2=(a-6)-(a-6)=|«l2+|fr|2-2a-&=|a|2+|i|2-2|a|-|Z>|cos(a,Ab)=3+l-2V^cos[=l.

o

设向量a+b与a-b的夹角为“则

C030=(a+力佃|2_固2_3T=2

\a+h\-\a-b\\a+b\-\a—b\币-1币

6=arccos」=.

a

8.设a+3617a-5b,a-4b17a-2瓦求(。：力.

解因为a+3AL7a-5b,a-4虹7所20，

所以(a+3Z>).(7a-5Z>)=0,(a-4b)-(7a-2b)=0,

即7|a|2+l6ab-\5\b\2=0,7|a|2-30a-ft+8|*|2=0,

又以上两式可得

|aHil=V2^,

于是8sM*瑞M

9.设0=(2,-1,-2),力=(1,1「)，问2为何值时(01)最小？并求出此最小值.

Aab_1—2z

解cos(a,b)=

\a\-\b\~2^2+Z1

因为当0<(a3)<q时，cos(a[)为单调减函数.求(a")的最小值也就是求/(z)=」^3£=

23V2+Z2

的最大值.

令/⑵号表^=°'得z=4

当z=-4时，cos(a；b)=a§,所以

10.设同=4,向=3,(。")=],求以a+2b和〃-3力为边的平行四边形的面积.

6

解(a+25)x(a-3b)=-3axA+2)xa=5Ax”.

以a+2b和。-3)为边的平行四边形的面积为

|(a+2*)x(a-3*)|=5|6xa|=5|6|-|a|sin(a>)=5-3-4-1=30.

11.设。=(2,-3,1),万=(1,一2,3),c=(2,1,2),向量;•满足rJ_a,rJ也PrjcF=14,求r.

解设r=(x,y9z).

因为r_La,r_L"所以ra=0,r・b=0,即

2x-3y+z=0,x-2y+3z=0.

又因为对414,所以厂717c=14,即

\c\

2x+y+2z=42.

解线性方程组

2九一3y+z=0

，x-2y+3z=0,

2x+y+2z=42

得x=14,尸10,z=2,所以r=(14,10,2).

fijk_

另解因为匚La,ri"所以，与ax〃=2-31=一7，一5/-4平行，故可设r=4(7,5,1).

1-23

又因为Pijcul4,所以广告c=14,r・c=42,即

〃7x2+5xl+lx2)=42,/l=2,

所以—(14,10,2).

12.iSa=(-l,3,2),Z>=(2,-3,-4),c=(-3,12,6),证明三向量a、/>、c共面，并用a和b

表不c.

证明向量。、氏。共面的充要条件是(ax5).c=0.因为

ijk

axb=-\32=-6i-3k,

2-3-4

(〃x〃)c=(-6)x(-3)+0x12+(-3)x6=0,

所以向量a、b、c共面.

设c=/la+〃仇则有

(-2+2//,32-3//,24—4〃)=(一3,12,6),

即有方程组

-A+2/z=-3

,34-3〃=12,

2九一4〃=6

解之得Q5,/z=l,所以c=5a+b.

13.已知动点M(xj,z)到工Oy平面的距离与点M到点(1,-1,2)的距离相等，求点M的

轨迹方程.

解根据题意，有

IZ.J(x-1)2+(y+l)2+(z-2)2,

或z2=(x-l)2+(>+1)2+(Z-2)2,

化简得

(x-l)2+(y+l)2=4(z-l),

这就是点M的轨迹方程.

14.指出下列旋转曲面的一条母线和旋转轴：

(l)z=2(x2+y2);

解旋转曲面的一条母线为zOx面上的曲线z=*,旋转轴为z轴.

⑵枭言亲1；

解旋转曲面的一条母线为X。)，面上的曲线E+［=1,旋转轴