高等数学试题

第一章函数极限连续姓名学号

§1函数

1.求下列函数的定义域：

(1)y=sin飞4-x2(2)y=~~-----+Jx+2

x-4x+3

x

(3)y=arccosln—;(4)y=，g(x+l);

(5)y-j3-x+arctg—;(6)y=Jsinx+J16-尤2

x

2\-1<x<0,

11

2.设/(x)=<2,0<%<1,求/(3),/(2),/(0),/(5),/(一万).

X-1,1<x<3,

3.设f(x)=y[x,g(x)=-x2+4%一3,求/[g(x)]的定义域。

1,|x|<1,

4.设/(x)=〈0,|x|=1,g(x)=e**/[g(x)],g[/(x)]。.

T,|x|>1,

5.设/(x)的定义域是[0,1],求/(sinx)的定义域。

2x+l,x>0,

6.设/(x)=求/d)+/(x+l)。

x2+4,x<0,

7.已知/(x)是二次多项式，且/(x+1)-/(x)=8x+3,求/(x)。

2

姓名学号

8.设f(x)为奇函数,g(x)为偶函数，试证：/[/*)]为奇函数,§[/(%)]为偶函数。

1+了2

9..证明/(X)=---^在(-8,+8)上有界。

10.求下列函数的反函数:

(1)y=ln(x+2)+l;

x+l,x>0,

x3,x<0.

3

11.将下列函数拆开成若干基本初等函数的复合:

(1)y=sin3(l+2x);

(2)y=10(2-)2；

(3)y=arctg\tg(a2+er)]20

12.•球的半径为r,作外切于球的正圆锥，试将其体积表示为高的函数，并说明定义域。

4

§2数列极限姓名学号

数列极限定义及性质

1.是非题，若非，请举例说明。

(1)设在常数。的无论怎样小的£邻域内存在着｛》“｝的无穷多点，则｛4｝的极限为

ao()

(2)若limx?,=a,limx2“_|=a,则limx.=a。()

ZJ—>oon—>oo

1

-

(3)设怎=0.11…1(n个)，则limx〃9-

2.用数列极限证明：

/、r2〃一11

(1)lim----二一;

”T84〃+32

(2)lim(J〃+1-y/~n)=0

〃—>8

5

3.如果limx〃=Q,证明=举例说明反之未必成立。

4.若limx“存在，证明lim〃sinT=O。

〃一>℃rtf8

5.若数列x有界，又limy=0,证明limxy=0。

nn->oonn—>oonn

6

数列极限运算法则及存在准则姓名学号.

1.是非题，若非，请举例说明。

(1)若limx“存在,而limy”不存在。则lim(x“±y“)不存在。()

n-><x>>008

(2)若limx“存在，而limy“不存在。则lim(x.y”)不存在。()

(3)若“都存在，且满足<匕(〃=1,2,…)，则lim““<limv.。()

n—>oon—>oon—>oon—>co

2.设有两个数列〃〃与乙，已知lim/uQW。，又lim以=0,证明limv=0o

”->8y〃―>8/J—>oOn

3.求下列极限:

4n3-2n+l

(1)lim

〃一>82/+3〃2—1

-1+3+・・・+(2〃-1)

(3)(m)Qn?+1-，2-1)；(4)hm----------------------

〃一>8“T81+2+…+〃

7

(5)lim(l…(1—二)；

(6)lim(l+-)2n;

…2-3-n-〃一＞8n

2n-\

(7)lim(l+-)"；(8)lim+…+

—gn+1“T82"

4.证明数列x“=’+」一+…+」一有极限。

2+122+12"+1

5.设0</<2,x"+1=j2+x“(n=l,2,…),证明数列x”有极限，并求出该极限。

求极限lim与型丝。

6.

5sln2+n

1I-p^-lix

7.求极限lim

]+e心

8

§3函数极限姓名学号

函数极限的定义及性质

1.用“£一加”或“£一5”语言，写出下列各极限的定义。

(1)limf(x)=2;(2)lim/(x)=-l;

XT-COX->8

(3)liiri/(x)=1;(4)lim/(x)=4;

XT-2-

2.极限定义中的£与5有何特性?

3.用极限定义证明:

/1、「sinx

(1)lim—f=^=0;⑶哽碧T

1+8Vx

9

(3)lim(2x-l)=1;(4)limVx=2;

x—rx->4

2x-l,x<1,、_,一

4.设/(1)=问lim/(x)是否存在？画出y=/(x)的图形

0,X>1,I

5.若lim/(x)=A>0,证明在飞的某一个去心邻域内/(x)>0。

KT%

10

§5函数极限运算法则姓名学号.

1.选择填空：

x2+2x-sinx

(1)hm----z--------)

2x~+sinx

]_

(A)不存在.(B)0.(02.(D)

2

e'+1

(2)设“x)=,则lim/(x)。()

.v->0

2e*+1

(A)(B)不存在.(C)0.(D)

2

-x,x<1,X3,x<1,

(3)设/")=<g(x)=<()

3+x,x>1;2x—l,x>1.X->1

(A)-1.(B)1(C)4.(D)不存在.

「(1+〃)/+/+2

(4)hmr——--------2,则a,b的值分别为()

—8x+x-1

(A)a=-3,b=0(B)a=O,b=-2,(C)a=-1,b=0,(D)a=-1,b=-2

x2-\

⑸变量/3)=在()的变化过程中是无穷小量。

(X—1)VX-+1

(A)x—1(B)x―—1(C)x―0(D)x—>8

2.求下列各式的极限:

37

(3X+1)70(8X-1)30xX

(1)lim(2)lim(---1)；

100

A—>00(5x+2)XT82/_12x+l

一、「x+sinx

(3)lim(4)lim--------

XT+8XT8x-cosx

11

(5)limx(J尤?+1-x)；(6)lim2二7T

XT+<»XT1X-l

1?..Vx-1

⑺明（1丁17）；(8)lim—j=—；

fVx-1

丫3—/7J_v-_L4.

3.设lim有极限值m,试求a及m的值

x+lX+\

xsin—,—co<x<0,

x

4.讨论lim/(x)的存在性，其中/(x)=|/+2x—i,owxwi,且%=0,1。

-TI

------,1<X<+00；

“一1

12

§6极限存在准则两个重要极限姓名学号

.求下列极限

(1)lim(—+——^=+・・・+——；

(2)lim〃(------1—-------F…H---------)；

nT°°〃~+乃九~+2乃〃~+

、「2+(—1)〃

(3)lim?----------

2〃

(4)limxsin—；

XT8x

(5)lim(l-x)sec—；

-2

13

(6)lim(l+3rg2x)£,?Jf；

(7)!-)v+2；

x+3

Y

⑻阳…

5/l+tanx-V1+sinx

(9)hm----------z---------

I。X3

(10).lim.rsinln(l+—)-sinln(l+—)

XT8XX

14

§7无穷小的比较姓名学号

1.当xf0时判断下列各无穷小对无穷小x的阶

(1)y[x+sinx；(2)x2,/3-x,/2;

(3)\[x-;(4)tgx-sinx;

2.利用等价无穷小代换，求下列各极限:

3sinx+x2cos—

l-cos2x

(1)lim(2)lim---------------

x->0xsinx7(1+cosx)ln(l+x)

3

/八「1-cosX

(3)lim--------(4)-----—),

…xsin2x1。sinxtgx

2xi

「e—1VT77

(5)lim-------(6)lim

.v->0ln(x+l)XTO

15

(7)limVn(V^-l)：

n-»oo

ln(a+1)+ln(fl-x)-21na

lim--------------------------

(8)2

ATOx

3,已知的叵弹壬1=2,求lim/U)

,v->o—jx->o

4比较下列各组无穷小:

总与1一五;

(1)当xf1忖,

(2)当xfO时,(1-cosx)2^sin2x；

(3)当x->1时，无穷小1-x是1-我的几阶无穷小？

16

第一章函数极限连续

§1函数

1.解：⑴要使sinJ4—F有意义,必须4—/NO,即使国42.所以定义域为[-2,2].

(2)当XW3且XH1时，〒——有意义;而要使而5有意义，必须x2-2,故函数

的定义域为：[-2,1)、(1,3)、(3,+8).

Y*V*1V*10

(3)要使arccosln—有意义,则使一IWln—KL即一工一<e.一<x<10e,EP

1010e10e

定义域为[W」0e].

e

JT

(4)要使吆(x+1)有意义，则必有x+lH'+Z肛欠=0,±1,±2,….；即函数定义域为

|x|xe/?且xk/r+^-l,k=0,±l,±2,---|.

(5)当x43时用嚏有意义；又当XK0时arcfgL有意义，故函数的定义域为：

x

(-00,0)、(0,3].

(6)当2k%4x4(2k+l)乃(A=0,±1,±2…)时而嚏有意义；有要使，16-父有意义,

必须有—4<x<4.所以函数的定义域为：[—4,—乃]、[0,7].

2.〃3)=2,/(2)=1,/(0)=2,/(；)=2,/(—g)=2-1/2.

3.解：/[g(x)]=J——+4%_3,因此要使,_「2+4x—3有意义;必须14xW3,

即/[g(x)]的定义域为U，3J。

1，同<1，,

x<0,

4.解/[g(x)]=<0,|eA|=1,=<0,x=0,g[f(x)]=ef<x)=<

t町>1，ITx>0;

17

5.当0<sinx<1时/(sinx)有意义，故其定义域为[2Z4,(2Z+1)%](攵=0,±1,±2…).。

2x-l,x>1,f2x+3,x>一1,

6.={27(x+l)={2

x—2%+5,%vl;x+2x+5,x<—1;

2x2+10,x<-l,

故/(x-l)+/(x+l)=<x2+8,

4x+2,x>1.

7解：设f(x)=ax2+/?x+c,由/(x+1)-f(x)=8x+3=a(x+1)?+/?(%+l)+c-(ax2

+/?x+c)=2ax+Q+〃,得2。=8,a+b=3,即a=4,b--1,/./(x)=4x2-x+c.

8.Vf[/(-x)]=f[~f(x)]=-/[/(%)]：.f[/(%)]为奇函数

•••8[/(~x)]=g[7(x)]=g[/(x)].1.g[/(x)]为偶函数

9.证:当国之时,，"因此生与W1;当凶<1时，生0Wl+》242;所以对任

1+XI1+X

意XG(-00,4-00),|/(x)|<2,即/(X)有界。

10.解：(1)由〉=坨。+2)+1得111。+2)='-1,即％+2=/7,*=夕2-2.

y=ln(x+2)+1的反函数为y=ex-'-2.

(2)由y=上_得2、=上，即x=log,上，反函数为y=log,—

T+1l-yl-y1-x

fx-l,x>1,

(3)当xNO时y21;%<0H寸，y<0.反函数为：y=(厂

Nx,x<0.

11.解：(1)y=u3=sin(l+2x);y=w3,w=sinv,v=1+2x.

(2)y=10M,w=(2x-l)2;y=10\M=V2,V=2X-1;；

⑶y=arctgu.u=\_tg(a2+ex)J;

y=arctgu.u=v2,v=tg(a2+e*);y=arctgu.u=v2,

18

v=tg(a2+vv),w=ex.

12.设证圆锥的高为〃，底半径为凡体积为V,由立体儿何学知：V=，加?，.

3

又利用两直角三角形相似可得

r_h-rr2h27rr2h2

,/zG(2r,+oo).

元二7F中h(h-2r)h-2r3(/2-2r)

§2数列极限定义及性质

1.解：(1)(错)例如居=1+(—D',a=』;(2)(对)(3)(对).

"2n+i2

,、,,、、丁2n-l1551

2.(1)证：•・•---------=----------<—<一

4〃+322(4〃+3)8〃n

任给£〉0,取'=［工］,当〃>7^时，有玄二1_1<_1<反由定义：1加幺二1=上

£4〃+32〃as4〃+32

(2)证：|J〃+1-〃］=————,・任给£>0,取N=［二］,当〃>可时，

11Vn+l-Vny［n£2

|J1+1-<-7=<£.••lim(Ji+1-*\//?)=0.

11〃T°°

3.证：,・・limx“=a,.•.任给£>0,存在N>0,当九〉N时,有上一又卜/-同工

\xn-a\<£(〃>NB寸),/.lim|xn|=\a\,

4.证：,.Timx〃存在，存在A7>0,有=1,2,…).又:〃sin与〈㈤,《竺.

00nnn

/LfXA/fx

/.任给£>0,取N=［—］，当〃>N时，有“sin——0<一<limnsin—y=0.

sn~nisn

5.证：有界，存在M>0,使得k』4M(〃=1,2,…).又=0,

19

任给£>0,

存在N>0,当">N时有而卜//=卜出』<小5=£二1值/%=0.

数列极限运算法则及存在准则

1.解：(1)(对)

(2)(错)例如：x“=',%,=sin〃,lim，=o,]imsin〃不存在，但lim'sin〃=0存在.

〃/J—>00〃M—>00〃一>8YI

(3)(错)例如：un—，匕,=’,〃“<匕,(n=1,2,…)，但lim——=lim—=0.

n'+1n«->«>n-+]“T8〃

2.证：lim幺=aW0,；.lim乜■=lim1-=—,；.<L■”有界，而匕,='\以“由数列极

限的定义及性质和上节习题5可知limv„=0。

4-4+1

4/一2〃+1

3.解：(1)limlim三-4=2.

M—>002/+3/一128-31

2+------

nn'

2

3〃[(-3)〃+1]i

(2)Hm(一2)；+3"

«->oo(-2)〃++3什3”(-1严+1]3

21In

(3limY+1—VH-1)=lim/"/lim

5〃T8j/+]+J〃2_]

1+(2〃-1)

「l+3+---+(2n-l)2"c

(4)hm-----------------=hm——/------=2

〃T81+2H----1-n«->001+〃

(5)lim(l-…(1—y)

〃一>8n

435〃一1〃+1

----------)

i223344nn

20

(6)lim(l+2"=lim(l+-)n(l+-)n=e2

“一►8n〃T8nn

1

(7)lim(l+)"=lim(l+j；

rt->oo〃+1

1352n-l352n-l

(8)记S“---1----H---7+…+,贝U2s〃=1H--1—r-H----1-

222232"2222"~'

312〃-12n-32n-l

.•.S„=2S„-S„=l(---)+)-

+2"T2"~'2"

1+1+-+...+^--2n-\1

.limS“=1+3.

22"-22H〃T8

1--

2

111111

4.证：｛x,J单调增加，且-----11-…H<1-+…H

2+122+12"+12222"

"]

me<l.；.｛x“｝单调增加有上界，故有极限

I-1

2

5.证x,T,0<%<2,设x„<2,则X,“I=j2+x“<2,数列x“有界,{x“}有极限,

设极限为a,则a=jm,解得%=2,%=—l(舍去)=2.

n->oo

71_

—,x>0,

2

八..narctgnx

6.解：hm,。0,尤=0,

〃一>8n2+n

--,x<0.

I2

l,x>0,

1-优

7.解：lim-----0,x=0,

1+e~nx

一1,x<0.

§3函数极限的定义及性质

1.解：⑴任给£>0,存在M>0,使当x<-M时，恒有|/(x)—2|<£成立.

(2)任给£>0,存在M>0,使当国>〃时，恒有|/*)+1|<£成立.

21

(3)任给£〉0,存在b〉0,使当0<x—2<描寸，恒有|/。)一1|<£成立.

(4)任给£>0,存在3〉0,使当一b<x+2〈和寸，恒有|/(X)—4|<£成立.

2.解：(1)任给£>0,取知=上,当了>“时，

S

sinx八卜inx|1王」vsinxM

—T=—0=—<—产<lirn—j=-=0;

VxVxVxXT+"yjx

X4-1

(2)———：------r<■;-------------r<—j-j-------••二任给£>0,取M=—(1-1),

2122|2x-l||2x-l|2|x|-l2g

2I右光+1121.x+11

时，有--------<—T-：——<£,lim--------=—;

112x-l22忖-1382x—12

(3)♦.♦|(28一1)一1|=2,一1|..,.任给£〉0,取6=],当一3<%一1<0时，有|(2x—l)

-1|=2|x-1|<e.lim(2x-1)=1;

，，任给0<£<1取5=28当0<k一4|v丽,

有匹2卜宁

<£.lim4x=2;

x—>4

3.(3)可知：lim(2x—1)=1,而lim/(x)=lim0=0,r.lim/(x)不存在，图略.

X->rXT1+X->1+XT1

A

4证：・・・lim/(%)=A>0,由极限定义，取£=—,存在5〉0,当0<,一与|<冽寸，有,

XT%2

AAAA

|/(x)-A\<-,^：0<-=A--</(x)<A+-,:./(x)>0.(0<|x-x0|<b).

§5函数极限运算法则

1.W：(1)D.(2)B.(3)D.(4)D(5)B.

22

(3+-)70(8--)30

(3X+1)7°(8X_1)3°370830

2.解:(1)limlim

,r->x(5.+2严XT8(5+2严5100

X

322

].zxx...x(x+l)1

(2)lim(-----------)=lim7--——；-------=—

x^oo2X2-12X+1…(2/一1)(2X+1)4

1+-sinx

「x+sinx

(4)lim--------=lim---Y-----=1.

xt8x-cosx

1——cosx

X

(5)limx(J九2+1-x)=lim“1不---=—

・'一向X^ylx2+l+x2

“、2A:*--X—1(X—1)(2X+1)

(6)rlim---------=lim--------------=3.

TX-lIX-l

12.t-I1

(7)limz(-----------)=lim-----=——.

QIT17271-22

,、r\/~x—i..G+12

(8)lim—；=——=lim—T=----———=—.

7G-1f"+瓶+13

3.vlim(x+1)=0/.lim(x3-ax2-％+4)=-1-Q+1+4=0,Q=4

XT-1\7X-»-l\

..X3-4X2-X+4(X+1)(X2-5X+4)

lim--------------=lim-------------------=10,m=10

%-x+lZTX+1

1

limf(x)=limxsin—=0,limf(x)=Iim(x~9+2尤-1)=-1.

+

4.解.XT(Tx->0-xx->0

/.lim/(x)不存在..

比-1

lim/(九)=lim(x2+2x-1)=2,limf(x)=lim-----=2,.\lim/(x)=2.

X-「A->rx->rx~\刀fi

23

§6极限存在准则两个重要极限

-/，、n111〃”

1.解：(1)•・•------广<-----------------------/=+••-+---------j=<----而hm-----------j==1

1•〃[「/11'\i

lim-------r==1,/.lim(------『-\--------广+•••d-------=1.

〃Tg〃+Jl"T8〃+J1〃+j2〃+

(2)—〈鹿+——+…+—<<_,而limJ—=1;

n+〃乃n~+乃，/+2乃〃~+n+)“t8n+〃)

lim^——=1,/.原式=1.

〃-*8n+%

(3)

2〃一»00T2

(4)

x

7lt

2

(5)令1-x=，，贝1Jhm(l-x)sec—=lim-------=—lim---

A->I2―。.加%~o.R

sin—sin一71

22

-113

3

(6)lim(l+3fg2工尸/=lim(1+3火2乃3西=e.

xfOXTO

v-i4四fx-ly

(7)lim(^")x+2=lim(i--_)-4,

18九+318x+3+

2

rY

(8)lim(Xv-

XT8x2-l18X-lX+l

(9)原式=

24

「tanx-sinx

lim—.——.=

2。x3(Vl+tanx+Vl+sinxj

1tanx-sinx1..sinx-sinx.cosx11.sinx1-cosx11

—hm--------------=—lim---------------------=—lim------.------——.------=—

21°x'23。xcosx2XT°xx~cosx4

(、sinIn1+-；

(10)limxsinIn11+二］=lim-----———

mgIx)—81

x

=limIn=limIn।1+—j=3

X—>8isIx)

同理limxsin所以原极限=3・1=2.

XToo

§7无穷小的比较

由Vx+sinx/—.日.La人下小I,八、

1.解：(1)vlim-----7==Jx+smx是x的一阶无穷小(x—>0);

…4x2

第_1/21

(2)vlim----访——=lim(/6-1)=-1,.,.％->0时/_是x的一阶无穷小;；

iox'R-202

(3)1加-—3。+工5=1加(1_3X*3+£4/3)=1,...x.0时原式是x的！阶无穷小;

X70班XT03

SinX(1C0SX)

⑷...1加螫*=lim3-=L…0时原式是x的3阶无穷小；

3XXT。X-cosx2

ce/、-1-cosx2x2八

2.解：(1)lim----------=lim——=2；

…xsinxi。x"

々・

3sinxJ+xcos—1噢.ii勺

,八店frr3「sinx113

(2)原式=hm-------------------=—lim-----+lrim—xcos—=—

i。2x22。xi。2x2

25

X2

「1-cos3x「(1-cosx)(l+COSX+cos2x)3雪会=9

(3)lim---------=lim

xf。xsin2x2x2

x2

1tgx-sinx

(4)lim(---------)=lim=0；

…sinxtgxsinxtgx

lime_1=lim—=2；

(5)

x->0ln(x+l)sox

_____X1

..VI77-1yi

(6)lim---------=hm』=一

1°X~103

llna>[nIna八

w

(7)lim4(折-1)=limVn(e-1)=lim-------=0；

7J—/J—>00/TOOn

1a2-x2In1-1x2

ln——

-/1

l门r

原式二lim----y=limlim—^-=7

XTO厂22

x->0x•，T。厂a

3.解:

lim-1)=0,lim(jl+/(x)sin2x_1)=0,r.lim/(x)sin2x-0

"（x）sin2x.

^l+/(x)sin2x-l

2=lim吧一后—=/（X），；•曾/（%）=6

xf0

l-x

(i—«)(i+f)=].*.i时=〜i_&

4.解：(1)vlim*+£-=lim

f1一VxI(1+X)(l-Vx)l+X

(2)vlim—~~*X)=Hm—=0./.(1-cosx)2为比sin?x高阶的无穷小；

…sin"x3x"

(3)vlim上=lim+=lim(l+吹+V?)=3.?.无穷小

31-—(1一Vx)(l+取+W/)—

1—x是1—五的同阶无穷小.

26

第七章空间解析几何与向量代数

7.1空间直角坐标系

1.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？

A(l,-5,3),B(2,4,-1),C(l,-5,-6),D(-l,-2,1).

2.已知点A(a,b,c),求它在各坐标平面上及各坐标轴上的垂足的坐标(即投影点的坐标)。

3.求点P(x,y,z)分别对称于y轴，z轴及xoy,zox坐标面的点的坐标。

4.在yoz坐标面上，求与三个点A(3,1,2),B(4,-2,-2),C(0,5,-1)等距离的点的坐标。

5.在z轴上,求与点A(-4,1,7),点B(3,5,-2)等距离的点。

6.根据下列条件求点B的未知坐标：

(1)A(4,-7,1),B(6,2,z),IABI=11;

(2)A(2,3,4),B(x,-2,4),IABI=5.

7.2向量及其线性运算

1.把三角形ABC的边BC五等分，并把分点Di,D2,D3,D4各与A连接，试以

益=&丽=〉,表示向量正，5