高等数学课本(下)

第一节多元函数的基本概念

教学目的：学习并掌握关于多元函数的区域、极限以及多元函数概念，掌握多元

函数的连续性定理，能够判断多元函数的连续性，能够求出连续函数

在连续点的极限.

教学重点：多元函数概念和极限，多元函数的连续性定理.

教学难点：计算多元函数的极限.

教学内容：

一、平面点集n维空间

讨论•元函数时，经常用到邻域和区间的概念.由于讨论多元函数的需要，我们首先把

邻域和区间概念加以推广，同时还要涉及其它一些概念.

1.平面点集

设Po（%,打）是my平面上的一个点，6是某一正数.与点Po（/，%）距离小于6的点

P（x,y）的全体，称为点入的6邻域，记为U（Po，b）,即

。（几,/={7附。|<一,

也就是

U（痣》）={（x,y）|J（X-X（））2+（」一%）~<b}.

在几何上，°（耳,力就是wy平面以上点〃0（%,打）为中心、6>0为半径的圆的内

部的点p*，y）的全体.

设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点.如果存在点P的某一邻域U（P）uE,

则称P为E的内点（画图8T显示）.显然，E的内点属于E.

如果E的点都是内点，则称E为开集.例如，点集瓦={（x，W+y2<4}中每个

点都是Ei的内点，因此为开集.

如果点P的任一邻域内既有属于E的点，也有不属于E的点（点尸本身可以属于E,

也可以不属于E）,则称尸为E的边界点（可画图8-2显示）.E的边界点的全体称为E的

边界.例如上例中，E,的边界是圆周i+y2=1和/+>12=4.

设D是开集.如果对于D内任何两点，都可用折线连结起来，且该折线上的点都属于D,

则称开集D是连通的.

连通的开集称为区域或开区域.例如，｛（%）中+>>*及心'琲<x2+y2<4｝都是

区域.

开区域连同它的边界一起，称为闭区域，例如

｛（x,y）|x+y》o｝及｛（x,y）|iw/+Vw4｝

都是闭区域.

对于点集E,如果存在正数K,使一切点PwE与某一定点A间的距离|AP|不超过K,

即

|4P|Wk,对一切PwE成立，

则称E为有界点集，否则称为无界点集.例如，｛（x，y）Ilw_+>'2<4｝是有界闭区域，

｛（x,y）|x+y>（）｝是无界开区域

2.〃维空间

我们知道,数轴上的点与实数有一一对应关系,从而实数全体表示数轴上一切点的集合,

即直线.在平面上引入直角坐标系后，平面上的点与二元数组（%）’）一一对应，从而二元数组

*，y）全体表示平面上一切点的集合，即平面.在空间引入直角坐标系后，空间的点与三元数

组（x,y,z）一—对应，从而三元数组（x,y,z）全体表示空间一切点的集合，即空间.一

般地，设〃为取定的一个自然数，我们称〃元数组（的，々,…,4）的全体为〃维空间，而

每个〃元数组（占，々，…，猫）称为n维空间中的一个点，数Xi称为该点的第i个坐标.n维空

间记为Rn.

n维空间中两点，/，…,％）及。（一,七，…，/）间的距离规定为

\PQ\=/（乃一X|）2+（），2—二）2+•,,+（%】一%）2

容易验知，当〃=1,2,3时，由上式便得解析几何中关于直线（数轴），平面，空间内两点

的距离.

二、多元函数概念

在很多自然现象以及实际问题中，经常遇到多个变量之间的依赖关系，举例如下：

例8-1圆柱体的体积V和它的底半径r、高人之间具有关系

V=m'h

这里，当r、力在集合{(「'')卜内取定一对值(一，〃)时，V的对应值就随之确定.

例8-2一定量的理想气体的压强。、体积V和绝对温度7之间具有关系

RT

P=~V~,

例8-3设R是电阻与、尺2并联后的总电阻，山电学知道，它们之间具有关系

&+&

定义8-1-5设E是〃维空间R"的非空子集，若存在对应关系/,对E中任意点

P(X1,X2,---,X„)GDf按照对应关系了,对应唯一一个yeR,则称对应关系/是定义在

E上的〃元函数，表示为：

f-ETR

点尸对应的数y称为函数/在点p的函数值，表示为：

y=/(P)

或y=/(X1,x2,­­•,%„)

数集E称为函数/的定义域，函数值的集合称为函数/的值域，表示为

/(E)={y|y=/(P),PeE}uR

〃元函数有〃个自变数x”声,…,x"，当给定一个函数，没有特别指明它的定义域，就

认为它的定义域是使该函数有意义的点的集合，一般可由函数解析式确定.

与一元函数相同，我们约定将〃元函数/：ETR,表示为

y=f(P)

或y=/(%!，x2,­•■%„)

根据多元函数的概念，不难看出8-1,8-2,8-3都是多元函数，二元和二元以上的函数

统称为

多元函数.

例8-4求函数Z=ln(x+y)的定义域.

解函数z=ln(x+y)的定义域是{(X+>)卜+y>°},它是位于直线x+y=°上方

的平面，不含直线彳+>=°(图8-5),是一个无界开区域.

例8-5求函数z=arcsin（x?+/）的定义域为

解函数z=arcsin（F+>2）的定义域为｛（x+y）,、/<1｝

（图8-6）,这是个闭区域.

设函数z=/*,y）的定」•任意取定的点尸（x，y）£,困数值为

图8-5图8-6

z=/（x,y）.这样，以X为横坐标、y为纵坐标、z=/（x,y）为竖名仅'"一,回网确定一点

/（了,》*）.当（匕》）遍取。上的一切点时，得到一个空间点集

｛（x,y,z）\z=f（x,y）,（x,y）&。｝,

这个点集称为二元函数％=/*,>）的图形.通常我们也说二元函数的图形是•张曲面.

三、多元函数的极限

与一元函数的极限概念类似，如果在「（儿田7痣（%。4。）的过程中，对应的函数值

/*，y）无限接近一个确定的常数A,我们就说A是函数'lx。，y-»y。时的极限.下面

用“£-6”语言描述这个极限概念.

定义设函数/（x，y）在开区域（或闭区域）。内有定义，々）（x。，〉。）是。的内点或

边界点.如果对于任意给定的正数£，总存在正数6,使得对于适合不等式

O<|P综1=4-/尸+⑶-%）？<3的一切点p0,y）e0,都有l〃x，y）一川<£成

立，则称常数A为函数/a，y）当xfX。，时的极限，记作

lim/（x,y）=A

XTXQ,

或f（x,y）->A（『-»O）,这里夕=仍闱

为了区别于一元函数的极限，我们把二元函数的极限叫做二重极限.

/(x,y)=(x2+y2)sinh工

例8-6设％+y(/+)2H0).

lim/(x,y)=O

x->0

证明

2222122

U+>~)sin2-0=|(x+y)lsin22<x+y

证因为x+yjr+y-可见,

对任给£>o,取6=正，则当o<J*-。）.+（y-o）2时,总有

(x2+y2)sin—~7一。<£

x+y成立

lim/(x,y)=O

所以XTXO

注：所谓二重极限存在，是指P*，y）以任何方式趋于尸。a，）'）时，函数都无限接近于

A.因此，如果尸*,y）以某一种特殊方式，例如沿着一条直线或定曲线趋于"a，）'）时，即

使函数无限接近于某•确定值，我们还不能由此断定函数的极限存在.但是反过来，如果当

P（x,y）以不同方式趋于与a，y）时,函数趋于不同的值，那么就可以断定这函数的极限不

存在.卜一面用例子来说明这种情形.

盯x2+y20,

f(x,y)=<X2+y2

0,x2+y2=o,

显然，当点P（x，y）沿X轴趋于点（0,0）时，蚓"/°）=飕°=°；又当点P（x,y）

/nn\lim/（O,y）=limO=0

沿y轴趋于点（°，°）时，t.'-0

虽然点P（x，）‘）以上述两种特殊方式（沿X轴或沿y轴）趋于原点时函数的极限存在并且

hmf（x,y）

相等，但是并不存在.这是因为当点P（x，y）沿着直线>'=kx趋于点（0,0）

xykx2k

lim—5―=~r=htn-----=--------7

T.%+yx-

忖，有产so/+k，y\+k-,

显然它是随着人的值的不同而改变的.

四.多元函数的连续性

有了多元函数极限的概念，就不难说明多元函数的连续性.

定义设函数/a，〉,）在开区域（闭区域）。内有定义，虑a。，〉。）是。的内点或边界

点且与e如果

limf（x,y）=f（x,y）

XTX。00

）fo,

则称函数/（*，y）在点连续.

定义如果函数/a，、）在开区域（或闭区域）。内的每一点连续，那么就称函数

/a,y）在。内连续，或者称/（%y）是。内的连续函数.

以上关于二元函数的连续性概念，可相应地推广到〃元函数/（尸）上去.

若函数/a,y）在点外（xo，）'o）不连续，则称po为函数的间断点.这里顺便指

出：如果在开区域（或闭区域）。内某些孤立点，或者沿D内某些曲线，函数/（羽丁）没

有定义，但在。内其余部分都有定义,那么这些孤立点或这些曲线上的点，都是函数/a，田

的不连续点，即间断点.

与闭区域上一元连续函数的性质相类似，在有界闭区域上多元连续函数也有如下性质.

性质1（最大值和最小值定理）在有界闭区域。上的多元连续函数，在。上一定有

最大值和最小值.这就是说，在。上至少有一点々及一点打，使得/（片）为最大值而/（鸟）

为最小值，即刻于一切PWD,有

性质2（介值定理）在有界闭区域。上的多元连续函数，如果在。上取得两个不同的

函数值，则它在。上取得介于这两个值之间的任何值至少一次.特殊地，如果〃是函数在。

上的最小值〃2和最大值M之间的一个数，则在。上至少有一点°,使得/（Q）=4.

一元函数中关于极限的运算法则，对于多元函数仍然适用：根据极限运算法则，可以

证明多元连续函数的和、差、积均为连续函数；在分母不为零处，连续函数的商是连续函数.

多元连续函数的复合函数也是连续函数.

与-元的初等函数相类似，多元初等函数是可用一个式子所表示的多元函数，而这个

式子是由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的（这里指

出，基本初等函数是一元函数，在构成多元初等函数时，它必须与多元函数复合）.例如，

x+x2-y2

1+x2-

是两个多项式之商，它是多元初等函数.又例如sin（x+y）是由基本初等函数sin〃与多项式

〃=复合而成的，它也是多元初等函数.

根据上面指出的连续函数的和、差、枳、商的连续性以及连续函数的复合的连续性,

再考虑到多元多项式及基本初等函数的连续性，我们进一步可以得出如下结论：

一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.所谓定义区域是指包含在定义域内的区域

或闭区域.

由多元初等函数的连续性，如果要求它在点入处的极限，而该点又在此函数的定义区

域内，则极限值就是函数在该点的函数值，即

hmf（P）=f（P0）

PT%.

lim虫

例8-7求盯.

解函数孙是初等函数，它的定义域为°={5，）'）卜,°广,°}.

因。不是连通的，故。不是区域.但A={（"，y）卜＞°，、＞0}是区域，且Ru°,所以。

是函数/（x，y）的一个定义区域.因玲（l，2）e2,故

limx+2=/（12）=1

同盯2

如果这里不引进区域DI,也可用下述方法判定函数/（X，）,）在点鸟（1，2）处是连续的：

因「。是/（x,y）的定义域。的内点，故存在尸o的某一邻域U（痣）u°,而任何邻域都是区

域，所以°（玲）是了（儿田的一个定义区域，又由于/&，乃是初等函数，因此/*，田在

点处连续.

一般地,求如H"P）,如果/（P）是初等函数,且乙是"P）的定义域的内点，则/（「）

在点尸。处连续，于是既

lim恒壬1

.XT。XV

例8-8求.1。7.

ry/xy+1-1xy+1-1..1i

lim----------hm----:----hm/=——I

解，孙=―xyQxy+1+1）=-Jx），+1+1=5

小名圣本节在一元函数的基础上，讨论多元函数的基本概念.讨论中我们以二元函数为主，

针对二元函数的极限及连续予以重点介绍.从二元函数到二元以上的多元函数则可

以类推.

第二节偏导数

教学目的：学习偏导数的定义，学会求多元函数的偏导数和多阶偏导数。

教学重点：偏导数的定义，判断二元函数偏导数的存在性，计算二元、多元函数

的偏导数。

教学难点：判断二元函数偏导数的存在性，计算多元函数的偏导数。

教学内容：

一、偏导数的定义

在研究一元函数时，我们从研究函数的变化率引入了导数概念.对于多元函数同样需要

讨论它的变化率.但多元函数的自变量不止一个，因变量与自变量的关系要比一元函数复杂

得多.在这一节里，我们首先考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率.以二元函数

z=/(x,y)为例，如果只有自变量X变化，而自变量y固定(即看作常量)，这时它就是X

的一元函数，这函数对X的导数，就称为二元函数Z对于X的偏导数，即有如下定义：

定义设函数Z=f(》，田在点(/，>。)的某一邻域内有定义，当丫固定在〉。而工在％0

处有增量以时.，相应地函数有增量

f(x0+A.r,y0)-/(x0,y0)5

/Oo+Ar,)'o)—/(x。，〉。)

,elimT

如果-TOAr(1)

存在，则称此极限为函数z=/(x,y)在点(X。，%)处对X的偏导数，记作

♦df

dxHxx="Z』x=xo\

y=>'o,>->o,,.y=yo或Jx/o/

例如，极限(1)可以表示为

，/、，.f(x0+/^x,y0)-f(x0,y0)

(x,Vo)=lim7

f八x0zo2。Ax.(2)

类似地，函数z=/(x，y)在点(x°，孔)处对y的偏导数定义为

f(x0,y0+^y)-f(x0,y0)

lim;

△)TOAy(3)

.df

记作方寂，力/，”」款或了,（》。，》。）

如果函数z=/a，y）在区域D内每一点a，y）处对刀的偏导数都存在，那么这个偏导

数就是小y的函数，它就称为函数z=/a，y）对自变量y的偏导数，记作

dzdf

dx,dx,J或'Ey）

类似地，可以定义函数z=/（x，y）对自变量y的偏导数，记作

dy,办，，Zy或fy（x,y）

由偏导数的概念可知，/（X，＞）在点处对（X。，＞0）处对x的偏导数£（/，孔）显然就是

偏导函数工（兀内在点a。，y。）处的函数值；Aa。，?。）就是偏导函数人（x,y）在点

（%）,打）处的函数值.就象一元函数的导函数一样，以后在不至于混淆的地方也把偏导函数简

称为偏导数.

至于实际求z=/（x,y）的偏导数，并不需要用新的方法，因为这里只有一个自变量在

或

变动，另个自变量是看作固定的，所以仍就是一元函数的微分法问题.求ax时，只要把）

笠

暂时看作常量而对工求导数：求办,时，则只要把工暂时看作常量而对y求导数.

偏导数的概念还可以推广到二元以上的函数.例如三元函数M=/（x,y,z）在点（sy,z）

处对x的偏导数定义为

,z、「/（x+Ar,y,z）-/（x,y,z）

A（x,y,z）=h0m-----------7------------

其中（羽居名）是函数M=/*，y，z）的定义域的内点.它们的求法也仍旧是一元函数的微分

法问题.

例8-9求7=/+3盯+〉2在点（］,2）处的偏导数.

解把）'看作常量，得

—=2x+3y

dx

把龙看作常量，得

dz

—=3x+2y

dy

将（1,2）代入上面的结果，就得

%：：；=2・1+3-2=8

dx',

例8-10求名=$足2y的偏导数.

手隗=2尤sin2y争*2x?cos2y

解dxly-2,dy1

例8-11设Z=xv（x>0,xHl）,求证：

Xdz1dzn

一二一3"=2Z

y*+inxoy

—=yx^1半=x）Inx

证因为&,dy,

Xdz1azXy-l1

yyy

一」---丁一yx------xInx=x+x=2z

所以ydx+Inx=y+Inx

例8-12求-=J-+/+z2的偏导数.

解把丫和Z都看作常量，得

dr-x

d^c^ylx2+y2+Z2=7

由于所给函数关于自变量的对称性，所以

力ya-z

力=r,次=r.

孔:;=3J+2.2=7

dyr

二、偏导数的几何意义

二元函数/*，月在点a。，％）的两个偏导数有明显的几何意义：设

阴0（%,九J（Xo，y（）））为曲面z=/（x,y）上的一点，过Mo作平面y=y°,截此曲面得一

d（xI

曲线，此曲线在平面y=%上的方程为2=/（*，>。），则导数公E°,即偏导数

/（X。，先人就是这曲线在点M。处的切线/。工对x轴的斜率（见图8-6）.同样，偏导数

人（%,汽）的几何意义是曲面被平面x=/所截得的曲线在点M。处的切线M。7；对了轴

的斜率.

我们已经知道，如果一元函数在某点具有导数，则它在该点必定连续.但对于多元函数

来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续.这是因为各偏导数存在只

能保证点P沿着平行于坐标轴的方向趋于用时，函数值，（P）趋于/（入入但不能保证点P

按任何方式趋于稣时.，函数值/（P）都趋于/（%）.例如，函数

孙+y2H0,

Z=〃X,y)=</+y2

0,x2+y2=0,

在点(0,0)对X的偏导数为

i-/(0+Ax,0)-/(0,0)_

£,(0,0)=hm--------;-----------=0

AATOZk¥

同样有

,r/(O,O+Ay)-/(O,O)

/v(0,0)=hm--------T-----------=0

Av—。Ay

但是我们在第一节中已经知道这函数在点(0,0)并不连续.

三、高阶偏导数

设函数Z=/（X，）'）在区域。内具有偏导数

生=/1（x,y）i|=/vUo1）

ox,,

那么在D内＜（x，y）、都是3，y的函数.如果这两个函数的偏导数也存在，则称

它们是函数z=/a，y）的二阶偏导数.按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数:

=f£x,y)

a〔aJ=次2一x,））,方〔aJ=去办

加⑶=犷=—'）

=fv1（x，y）

8x1力)=dydx

其中第二、三个偏导数称为混合偏导数.同样可得三阶、四阶、以及”阶偏导数.

二阶及阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.

d2zMza'd3z

例8-13设Z=X、2-3盯3一盯+1,求去2、办世、力为、力2及dx3

dzdz

解dx=3x2y2-3y3dy=2x3y-9xy2-x.

a%

Q=6xF,dydx=6x2y-9y2-1.

d2z

dxdy=6x2y-9y2-1dy2-18x2—18xy.

d3Z

dx3=6y

a2z也

我们看到上例中两个二阶混合偏导数相等，即力派=这不是偶然的.事实上，我

们有下述定理.

d2Zd2z

定理如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数dydx及派小，在区域D内连续，那

么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.

换句话说，二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关.这定理的证明从略.

对于二元以上的函数，我们也可以类似地定义高阶偏导数.而且高阶混合偏导数在偏导

数连续的条件下也与求导的次序无关.

例8-14验证函数Z=In次+y2满足方程

32Z

dx2+砂2=o.

=Injx2+y2=—\n(x24-y2)

因为

证Z2,

x也y

浪=/+22

所以y,dy=x+/,

22

d2z(£1+y2)-x-2xyT

定=(，+打=(X2+y2)2

a2z，+y2)_y.2y

a/=(犬+),2)2伞+打

因此

d2z耍y2-x2/-y2

3%2+^y2=修+#2+G+小。

Tzaz

定理如果函数z=/0，＞）的两个二阶混合偏导数力a及dxdy在区域口内连续，

那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.

换句话说，二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关.这定理的证明从略.

对于二元以上的函数，我们也可以类似地定义高阶偏导数.而且高阶混合偏导数在偏导

数连续的条件下也与求导的次序无关.

例8-15验证函数？=InJ,+V满足方程

d2zMz

7

瓦+犷=0.

dzxdzy

所以dx=x2+y2,力=/+)[

cc22

2

3z(x+y")-x-2xy-x

必=(x，+y2)2=(/+>2)2,

d2Z(x2+y2)-y-2yF

力2=(x2+y2)2=(x2+y2)2

因此Q+方2=(x2+yJ+8+/2丫R

小结：本节在一元函数微分学的基础上，讨论多元函数(以二元函数为重点)

偏导数的定义及存在条件和求法，这是多元函数微分学的基础.

第三节全微分

教学目的：学习和掌握多元函数（以二元函数为主）全微分的定义，掌握二元函

数可微与偏导数存在之间的关系，会求多元函数的全微分。

教学重点：可微与偏导数存在之间的关系，多元函数的全微分。

教学难点：计算多元函数的全微分。

教学内容：

一、全微分的定义

定义设函数z=/（x,y）在点（%,%）的某邻域内有定义，如果函数在点（/，儿）的全

增量

&=/（X。+M%+Ay）-f（x0,%）

可表示为

Az=AAr+BAy+o（p）,

其中A、B不依力赖于©、△）’而仅与X。、比有关，P=J（由尸+（由尸，则称函数

z=/&,y）在点（/，先）可微分，而AAx+BAy称为函数z=/（x,y）在点（/，＞o）的全微

分，记作dz,即dz=A\x+B\y

如果函数在区域。内各点处都可微分，那末称这函数在。内可微分.

在第二节中曾指出，多元函数在某点的各个偏导数即使都存在，却不能保证函数在该点

连续.但是，由上述定义可知，如果函数z=/（x,y）在点10，比）可微分，那末函数在该点

必定连续.事实上，这时由（2）式可得

设函数Z=/（x,y）在点（X。，汽）的某一邻域内有定义，并设（X。+&,%+△）’）为这邻

域内的任意一点，则称这两点的函数值之差/（X。+八"，＞。+△）'）一/（X。，先）为函数在点

（Xo，X））对应于自变量增量Ar、△）'的全增量，即

&=/（/+Ax,y0+Ay）-/（x0,y0）

2.可微分的条件

定理（可微的必要条件）若函数z=/（x,y）在点（/，%）可微分，则该函数在点

次,

（X。，了。）的偏导数去、力必定存在，且函数z=/（x,y）在点（/，孔）的全微分为

dz运

dz=dxAx+力△）：

证设函数z=/*，y）在点a。，、。）可微分.于是，对于点a。，%）的某个邻域的任意」

点（X。+&，%+△》），（2）式总成立.特别当勺"。时（2）式也应成立，这时夕

所以（2）式成为

f（x+Ax,y）-f（x,j）=A-Ax+o（|zlrI）.

上式两边各除以心,再令八丫~0而取极限，就得

f(x+^x,y)-f(x,y)

Alm0Ar=A,

dz.

从而偏导数Hx存在，且等于A.同样可证力=8.所以（3）式成立.证毕.

我们知道，一元函数在某点的导数存在是微分存在的充分必要条件.但对于多元函数来

dz.

说，情形就不同了.当函数的各偏导数都存在时，虽然能形式地写出获Ar+力△）',但它

与4之差并不一定是较P高阶的无穷小，因此它不一定是函数的全微分.换句话说，各偏导

数的存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件.例如，函数

z=/（x,y）=10,厂+）广=0

在点（0,0）处有6（0,0）=0及亦（0,0）=0,所以

Ay

△z-[启0,0）•Ar+亦（0,0）•Ay]=7（^）2+（AJ）2,

如果考虑点（%+必汽+山）沿着直线y=%趋于（°，°）,则

Ar.Ay

J（Ax『+（Ay）2AxAy1

2222

p=（Ar）+（A>-）=（Ax）+（Ar）=2,

它不能随0而趋于0,这表示°忖，

Az-[A0,0）-Ax+/v（0,0）Ay]

并不是较P高阶的无穷小，因此函数在点（°，°）处的全微分并不存在，即函数在点尸（°，。）处

是不可微分的.

由定理1及这个例子可知，偏导数存在是可微分的必要条件而不是充分条件.但是，如

果再假定函数的各个偏导数连续，则可以证明函数是可微分的，即有下面定理.

及.

定理（可微的充分条件）如果函数1=/（兀、）的偏导数温、在点（％,打）连

续，则函数在该点可微分.

证因为我们只限于讨论在某一区域内有定义的函数（对于偏导数也如此），所以假定

偏导数在点（X。，）'。）连续，就含有偏导数在该点的某一邻域内必然存在的意思（以后凡说到

偏导数在某一点连续均应如此理解）.设点（“。+&：，凡+&'）为这邻域内任意一点，考察函

数的全增量

&=/(x+Ax,y+Ay)-f(x,y)

="(x+Ax,y+Ay)-f(x,y+Ay)]+[f(x,y+Ay)-/(x,y)]

在第一个方括号内的表达式，由于>+与不变，因而可以看作是》的一元函数

/(x,y+Ay)的增量于是，应用拉格郎日中值定理，得到

Az=f(x+y+Ay)-f(x,y+

=fx{x+Ax,y+Ay)(0<6<1)

又假设，亦(%y)在点尸。,》)连续，所以上式可写为

/(x+Ar,y+Ay)-f(x,y+Ay)

J(x,y)Ax+£&,(4)

其中8为©、的函数，且当加-»0,Ayio时，

同理可证第二个方括号内的表达式可写为

/(x,y+Ay)-f(x,y)=fy(x,y)Ay+£2邱，(5)

其中心为△)'的函数，且当△)'一°时，£270.

由(4)、(5)式可见，在偏导数连续的假定下，全增量可以表示为

△z=亦(x,y)Ax+fy(x,y)Ay+&Ax+£2Ay.(6)

容易看出

与Ax+JAy

|P曰曰1+|£2|,

它是随着以f°，△)'70即夕10而趋于零.

这就证明了％=/(%y)在点P*,y)是可微分的.

以上关于二元函数全微分的定义及微分的必要条件和充分条件，可以完全类似的推广

到三元和三元以上的多元函数.

习惯上，我们将自变量的增量以、△)'分别记作dx、dy,并分别称为自变量X、y的

微分.这样，函数z=/(x,y)的全微分就可以写为

dz.

dz=dxdx+dydy⑺

22

例8-15计算函数Z=x+尸的全微分.

次运

解因为Hx=2q，dy=/+2y,

所以dz=2xydx+(x+2y)dy.

例8-16计算函数Z=在点(2,1)处的全微分.

dz.

xy

解因为dx=ye,»=xexy

dz.

Hx|x=2=e~,力卜=2=2e),

所以改=%%x+2e2d)尸

u=x+sin』+e"

例8-17计算函数2的全微分.

3M加1y加

解因为*=1,力=22+ze>z,

1y

所以du=dx+(22'dz.

小结：本节讨论了多元函数(以二元函数为重点)全微分的定义及存在条件和

求法

第四节多元复合函数求导法则

教学目的：掌握多元函数的求导法则，会求多元函数的导数，掌握全微分形式不

变性

教学重点：针对多元函数的表达状态(参数方程、复合函数)，能够求其导函数.

教学难点：抽象复合函数的求导

教学内容：

多元复合函数与隐函数的求导是多元函数微分学中的一个重要内容.本届就是要把一元函

数微分学中的求导法则推广到多元函数中去.

1、复合函数的中间变量均为一元函数的情形

定理如果函数〃=帆)及v=叭t)都在点，可导，函数Z=/("#)在对应点("#)具有连

续偏导数，则复合函数z=/SQ)，"(f)］在点f可导，且其导数可用下列公式计算：

dzdzdudzdv

dt=dudt+3vdt.(1)

证设f获得增量这时"=°(。、P=+")的对应增量为△”、△口,由此，函数

z=/("#)对应地获得增量Az.根据假定，函数z=/("#)在点(“#)具有连续偏导数，

于是由第三节公式(6)有

dzdz

Az=duA〃+dv△u+与△〃+△〃+£24匕

这里，当A〃一＞0,Au—＞0时，与一＞0,J-。,

将上式两边各除以得

M3z△〃及AvAv

Az=加Ar+dvAr+e\Ar+与A,.

AwduAvdv

因为当△/一＞0时，△〃­()，Av-^O,AtT出，X—dt,所以

「AzHzdudzdv

11m---------------

ATOAf=oudt+dvdt

这就证明了复合函数z=/S(f)，U(。]在点f可导，且其导数可用公式⑴计算.证毕.

用同样的方法，可把定理推广到复合函数的中间变量多于两个的情形.例如，设

z=/("#,w),“=。。)、V="(f),w=0(r)复合而得复合函数

则在与定理相类似的条件下，这复合函数在点f可导，且其导数可用下列公式计算

dzdzdudzdvdzdd_

dt=dudt+dvdt+Gsdt.⑵

dz

在公式⑴及(2)中的导数帚称为全导数.

2.中间变量不是一元函数而是多元函数的情形

上述定理还可推广到中间变量不是•元函数而是多元函数的情形.

定理设z=/("，y),"=o(x，y),u=-(x，y)复合而得复合函数

z=f[(/＞(x,y),^(x,y)],(3)

如果"=0(x,y)及v=叭x,y)都在点(x,y)具有对x及对y的偏导数，函数z=/("，v)在

对应点("#)具有连续偏导数，则复合函数G)在点a，y)的两个偏导数存在，且可用下列

公式计算：

HzHz加Hzdv

dx=dudx+dvdx9(4)

dz女电Hz如

力=协办+加力.（5）

3z

事实上，这里求ax时，将y看作常量，因此中间变量〃及丫仍可看作一元函数而应用

上述定理.但由于复合函数（3）以及"=O（x，y）和v=-（x,y）都X、y是的二元函数，所

以应把⑴式中的d改为。，在把f换成X,这样便由⑴得到（4）式.同理由⑴式可得到（5）

式.

类似地，设〃=。（羽y）、V=叭x,y）及w=o（x,y）都在点（x,y）具有对x及对V的偏

导数，函数z=/（"#，卬）在对应点（〃/，卬）具有连续偏导数，则复合函数

z=/S（x,y）,-（x,y）,a（x,y）],

在点（匕田的两个偏导数都存在，且可用下列公式计算：

dzdzdudzdvdzdw

dx=Oudx+dvdx+dwdx,（6）

Hz次加次加dz川

力=du6+3v力+Hw办.⑺

如果z=/（〃/,w）具有连续偏导数，而〃=O（x,y）具有偏导数，则复合函数

z=/S（x,y）,x,y],（8）

可看作上述情形中当y=x,卬二了的特殊情形，因此

5=avv

a^r=0,

37加

¥

=0ay=1,

从而复合函数3）具有对自变量x及y的偏导数，且由公式（6）及（7）得