高等数学第六版课后全部答案

习题1-1

1.设4=(—OO,—5)U(5,+8),B=|-10,3),写出及小(/⑻的表达

式.

解4u8=(-oo,3)D(5,+oo),

ZcB=[—10,-5),

J\5=(-00,-1O)U(5,4-00),

A\(A\B)=[-\0,-5).

2.设/、8是任意两个集合，证明对偶律iacBFuZCuBC.

证明因为

xe(Zc8)Cox史Nc8<=>x任〃或xeBcxeAc或x&Bc=x&Ac<JBC,

所以(/C8)c=/Cu8c

3.设映射/:Xfy,/u¥,8u¥.证明

(l)/(/u8)=/(/)y/(8);

(2次4CB)$A)MB).

证明因为

yeJ(A<jB)^axeA\jB,使4x)可

0(因为xeA或xe8)Nq/(N)或ye/(8)

oyWO/B),

所以八AuB)=/lA)5(B).

(2)因为

ye/(/c3)=axe/c8,使/(x)=y=(因为xeAfLxeB)ye/(4)且ye/(3)nye

儿4)MB)，

所以j(A询U(A)MB).

4.设映射/:¥今匕若存在一个映射g：AX,使go/=G，/og=/y,其中入、

"分别是X、丫上的恒等映射，即对于每一个xeX,有Ixx=x；对于每一个yeY,有

。尸y.证明:/是双射，且g是/的逆映射:g=r'.

证明因为对于任意的yeY,有x=g(y)eX,且_/(x)，[g(y)]=A，■尸丁，即丫中任意元

素都是X中某元素的像，所以/为X到丫的满射.

又因为对于任意的X1HX2,必有次X1)/X2),否则若XX1)q(X2)ngL/(xD]=g[/(X2)]

=>X\=X2.

因此/既是单射，又是满射，即/是双射.

对于映射g：y->X,因为对每个yey,有gO)=xeX,且满足/(x)=/[g(y)]=/y产暝

按逆映射的定义,g是/的逆映射.

5.设映射/:Xfy,ZuY.证明：

(I尸(A/))R；

(2)当/是单射时，有尸(/(/))=4

证明⑴因为xeZn/(x)可44)=广％)=》y|(/(/)),

所以尸(/(4))〉/.

(2)由⑴知尸(/(N))n4

另一方面，对于任意的xe尸(/(/))=>存在yU),使/T(y)=x/(x)可.因为

ye儿4)且/是单射，所以XG4这就证明了尸伏⑷)〃.因此尸(/(〃))=/.

6.求下列函数的自然定义域：

(l)y=j3x+2;

解由3x+220得x>-函数的定义域为+8).

⑵片

1-X2

解由1-¥虫)得后吐1.函数的定义域为(-叫-i)u(-1,D5L+8).

(3)j=l-VP^；

X

解由H0且i-x2>0得函数的定义域n=[-i,0)50,1].

⑷尸由

解由4-X2>0得|x|<2.函数的定义域为(-2,2).

(5)y=sin我;

解由介0得函数的定义。=[0,+8).

(6)y=tan(x+l);

解由X+1吟(左=0,±1,±2,…)得函数的定义域为“左乃+5-1(左=0,±1,±2,••

,)•

(7)j^=arcsin(x-3);

解由卜-3区1得函数的定义域止[2,4].

⑻片y/3-x+arctan—;

x

解由3-Q0且/0得函数的定义域n=(-oo,0)50,3).

(9)y=ln(x+l);

解由X+l〉0得函数的定义域6(-1,+8).

1

(⑼尸ex.

解由存0得函数的定义域0=(-8,0)。(0,+8).

7.下列各题中，函数./(X)和g(x)是否相同？为什么?

(D/(x)=lgx2,g(x)=21gx;

(2)/%)=%,g(%)=^；

(3)/(X)=Vx4-%3,g(x)=xy/x~\.

(4)/(x)=1,g(x)=sec2x-tan2x.

解⑴不同.因为定义域不同.

(2)不同.因为对应法则不同,x<0时,g(x)=-x.

(3)相同.因为定义域、对应法则均相相同.

(4)不同.因为定义域不同.

4

m•X<-

Isoi3

。中，。(-»4-2),并作出函数产尔)

8.设夕(x)=<匹

>

-3

的图形.

解^y)=|siny|=y,9(5)=|sin5|=¥，^(-j)=|sin(-j)|=^,奴-2)=0.

662442442

9.试证下列函数在指定区间内的单调性：

⑴产已，(-8,1)；

1-X

(2)尸x+lnx,(0,4-00).

证明(1)对于任意的阳,也£(-8,1),有1-、2>0.因为当时,

x-x

}2<0,

1—Xj1~%2(1—X|)(l—X2)

所以函数片盘在区间Si)内是单调增加的.

(2)对于任意的X|,X2€(0,+8),当阳5时,有

弘一y2=(为+1n阳)一(巧+In)=(X】一电)+1n工<0,

x2

所以函数尸+lnx在区间。+8)内是单调增加的.

io.设y(x)为定义在(-/,/)内的奇函数，若人打在(0,/)内单调增加，证明人幻在

(-/,o)内也单调增加.

证明对于Wxi,X2e(-l,0)且X1<X2,有-Xi,-X2W(0,/)且-X1〉一X2.

因为/(x)在(0,7)内单调增加且为奇函数，所以

2)«-修),),),

这就证明了对于Vxi,X2G(-Z,0),有/(X1)</(X2),所以加)在(-/,0)内也单调增加.

11.设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-/,/)上的，证明：

(1)两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；

(2)两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函

数的乘积是奇函数.

证明(1)设/x)=/a)+g(x).如果大©和g(x)都是偶函数，则

F(T)=*-x)+g(-x)=/(x)+g(x)=F(x),

所以尸(X)为偶函数，即两个偶函数的和是偶函数.

如果/(X)和g(x)都是奇函数，则

尸(-x)=A-x)+g(-x)=-/(x)-g(x)=d(x),

所以F(x)为奇函数，即两个奇函数的和是奇函数.

(2)设尸(x)=/(x>g(x).如果7(x)和g(x)都是偶函数，则

尸(T)=/(—x).g(—x)=/(x).g(x)=E(x),

所以F(x)为偶函数，即两个偶函数的积是偶函数.

如果/(X)和g(x)都是奇函数，则

尸(_x)=/(_x>g(_x)=[~/x)][_g(x)]=Ax)-g(x)=A(x),

所以F(x)为偶函数，即两个奇函数的积是偶函数.

如果人X)是偶函数，而g(x)是奇函数，则

F(-x)y-x).g(-x)=/(x)[-g(x)]=dx>g(x)=-E(x),

所以F(x)为奇函数，即偶函数与奇函数的积是奇函数.

12.下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非奇函数又非偶函

数？

(1)尸2(12)；

(2)^=3x2-%3;

2

⑶/尸A1-Y

(4)JF(X-l)(x+l);

(5)y=sinx-cosx+l;

zxxa+a

(6)y=—―

解⑴因为/(—X)=(-X)2[I-(―X)勺=x2(l-/)=/)，所以/(X)是偶函数.

⑵由_A-X)=3(T)2_(T)3=3X2+X3可见於)既非奇函数又非偶函数.

⑶因为,(3牌七名曲所以网是偶函数.

(4)因为X-x)=(-x)(-x-l)(-x+l)=-x(x+l)(x-1所以")是奇函数.

(5)i/(-x)=sin(-x)-cos(-x)+l=-sinx-cosx+1可见/(x)既非奇函数又非偶函数.

(6)因为/(一)=土竽3=二2=/(》)，所以段)是偶函数.

13.下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期：

(l)y=cos(x-2);

解是周期函数，周期为/=2a

(2)产cos4x;

解是周期函数，周期为/=5.

(3)y=l+sin办；

解是周期函数，周期为/=2.

(4)片xcos%;

解不是周期函数.

(5)^=sin2x.

解是周期函数，周期为/=加

14.求下列函数的反函数：

(l)y=Vx+T;

解由产存订得％=/一1,所以产存讦的反函数为尸产-1.

⑵5

解由歹=芸得x=悬,所以尸税的反函数为万

(3)(ad-6cM);

cx+a

解由产生空得X=也也，所以歹=经善的反函数为丁=也包.

cx+acy-acx+dcx-a

(4)y=2sin3x;

解由产2sin3x得不=%丽吟，所以尸2sin3x的反函数为尸garcs呜.

(5)y=l+ln(x+2);

解由尸l+ln(x+2)得x="7-2,所以产l+ln(x+2)的反函数为尸产1-2.

(“6)、y=--2-”-.

'"2¥+1

解由片合得X=10g2，p所以歹=合的反函数为尸I%息.

15.设函数7U)在数集X上有定义，试证：函数Xx)在X上有界的充分必要条

件是它在X上既有上界又有下界.

证明先证必要性.设函数/(X)在X上有界，则存在正数M使］/(x)区M即

这就证明了左)在X上有下界-"和上界M.

再证充分性.设函数/(X)在X上有下界K和上界K2,即与g(x)WK2.取

代max{|K||,收|},贝U-M<K^x)<K2<M,

即\f{x)\<M.

这就证明了Xx)在X上有界.

16.在下列各题中，求由所给函数复合而成的函数，并求这函数分别对应于

给定自变量值X1和冷的函数值：

(1)y=u>w=sinx,%)=—,%2»

o5

解尸sidx,M=sin2,=(；)2=：,%=sin2q=(孚)2=(.

(2)尸sinu,u=2x,西=9,x?=J；

o4

解尸sin2x,^=sin(2~)=sin^=^Y-,y=sin(2")=sin-^=l.

1o42242

(3)y=&,〃=l+f,Xi=l,X2=2;

22

解y=y/l+x,歹]=Jl+F=Q>y2=yll+2=y/5.

(4)y=e\〃=f,%]=0,M=1；

x2

解y=e^,yx=e°=1,%=/=e.

(5)尸〃2,w=ex,x)=l,X2=-l.

解y=e2x,yi=e21=e2,j^2=^2(-1-^-2.

17.设/(x)的定义域。=[0,1],求下列各函数的定义域：

⑴尬)；

解由0女2金得恸q,所以函数/(/)的定义域为[_1,1].

(2)义sinx);

解由OMsinxWl得2〃胫区(2〃+1)乃(〃=0,±1,±2。•・)，所以函数/(sinx)的定义域

为

[2〃%(2〃+1)同(n=0,±1,±2•…).

(3)Ax+a)(a>0);

解由(Kx+aWl得-4女41-4,所以函数/(x+a)的定义域为[-4,1-0.

(4)_/(x+a)+/(x-a)(a>0).

解由(Kx+a41且OWr-aWl得：当■时,aWl-。；当■时，无解.因此

当时函数的定义域为&1-0,当">；时函数无意义.

1N<J

18.设/(x)=J0|x|=l,g(x)=ex,求/[g(x)]和g[/(x)],并作出这两个函数的图

-1自>1

形.

1BQf1x<0

解/[g(x)]=0修,曰，即九g(x)]=0x=0.

-1\ex\>\[-1x>0

el|x|<l

g"(x)]=e〃x)=<e°|x|=l,即g"(x)]=<

e~}|x|>l

19.已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角/=40。(图1-37).当过水断面ABCD

的面积为定值So时，求湿周与水深人之间的函数关系式，并指明

其定义域.

图1-37-V______________▼?一

解〃8=〃=焉，乂从\"J三一/

g瓦8c+(8C+2cot40°/0]=S()得j④

b

BC=：°-cot40°m所以

h

*+2YOS40)

hsin40

自变量〃的取值范围应由不等式组

h>0,务cot40°力〉0

确定，定义域为0<%<返340°.

20.收敛音机每台售价为90元，成本为60元.厂方为鼓励销售商大量采购,

决定凡是订购量超过100台以上的，每多订购1台，售价就降低1分，但最低价为

每台75元.

(1)将每台的实际售价p表示为订购量x的函数；

(2)将厂方所获的利润尸表示成订购量x的函数；

(3)某一商行订购了1000台，厂方可获利润多少？

解⑴当0仝§00时,p=90.

令O.Ol(xo-lOO)=9O-75,得xo=16OO.因止匕当x>1600时,p=75.

当100<r<1600时，

片90—(100)x0.01=91—0.01%.

综合上述结果得到

900<x<100

p=<91-0.Olx100Vx<1600.

75x>1600

3Ox0<x<100

(2)P=(^-60)x=<31x-0.01x2100<x<1600.

15xx>1600

(3)P=31x1000-0.01x10002=21OOO(TE).习题1—10

1.证明方程J—3x=l至少有一个根介于1和2之间.

证明设兀1)=9-3x7,则加)是闭区间［1,2］上的连续函数.

因为大1)=-3,/(2)=25,义1)/(2)<0,所以由零点定理，在(1,2)内至少有一点自

(1<欠2),使火炉0,即是方程1―3户1的介于1和2之间的根.

因此方程》5_3X=1至少有一个根介于1和2之间.

2.证明方程x=asinx+6,其中“〉0,力〉0,至少有一个正根，并且它不超过a+b.

证明设/(x)=asinx+h-x,则/(x)是［0,a+8］上的连续函数.

/(0)=Z),f(a+b)-asin(<?+/?)+Z>-(a+Z>)=<7［sin(<7+Z>)-1］<0.

若大q+b)=0,则说明x=a+b就是方程x=asinx+b的一个不超过a+b的根；

若加+3<0,则/(0)/(a+6)<0,由零点定理，至少存在一点生(0,。+6),使/(企0,

这说明x=J也是方程x=asinx+h的一个不超过a+b的根.

总之，方程x=asinx+6至少有一个正根，并且它不超过a+b.

3.设函数/(x)对于闭区间［a,回上的任意两点x、乂恒有/(刈二/3)区£归-仇其中

L为正常数，且寅“)犬6)<0.证明：至少有一点小(a"),使得火J=0.

证明设刖为(a,6)内任意一点.因为

0<lim|/(x)-/(x)|<lim£|x-x|=O,

XfX。0XfX。o

所以lim|/(x)-/(^)|=0,

即lim/(x)=/(x).

XfX。0

因此；(x)在(a,b)内连续.

同理可证/(x)在点。处左连续，在点6处右连续，所以./)在口,句上连续.

因为於)在小句上连续，且大社由零点定理，至少有一点"(“,6),使

得/(企0.

4.若义x)在［a,6］上连续,a<ri<X2<,••则在上至少有一点使

/(再)+/(》2)+…+/(x“)

n

证明显然於)在团,方］上也连续.设M和机分别是兀。在［Xi,X"］上的最大值和

最小值.

因为为e［x1,X”］(1Wi<n),所以有从而有

n-m<f(xi)+f(x2)+-■-+f(xn)<n-M,

旌®上ZaW

n

由介值定理推论，在上至少有一点使

/(.=/(为)+/(叼)+,••+/(X”)

n

5.证明：若左)在(-00,+8)内连续，且lim/(x)存在，则义x)必在(-8,+00)内有

界.

证明令lim/(x)=N,则对于给定的£>0,存在X〉0,只要|x|>X,就有

Xf8

\<£,即A-£</(X)<A+£.

又由于危)在闭区间[-瓦川上连续，根据有界性定理，存在论0,使次x)区M

x&[-X,X].

取N=max｛M\A-e\,\A+e\｝,则心)区N,xe(-oo,+oo),即加)在(-oo,+00)内有界.

6.在什么条件下,3")内的连续函数/(x)为一致连续？

习题1-2

1.观察一般项与如下的数列｛居｝的变化趋势，写出它们的极限：

解当〃-8时，——>0,lim—=0.

n2n〃一幻2n

⑵x〃=(-以」；

n

解当〃->8时，r=(-1)"-^0,lim(-l)"-=0.

n〃一>8n

⑶“2+3；

n

解当〃foo时,x=2+412,lim(2+4)=2.

M〃一>8片

5,福；

解当〃一时，x=之二|=1——^――>0,lim-^1=1.

〃+1774-1〃->8〃+1

⑸37(-1)〃.

解当"一>8时,X*〃(一1)〃没有极限.

C0S若

2.设数列｛x｝的-,般项x〃=.—.问limx=?求出N,使当n>N时,x〃与其

nYlw—>oon

极限之差的绝对值小于正数£,当“0.001时，求出数M

解limx=0.

w—>00

|cos警[11

|x-0|=........—,V^>0,要使一0|<£,只要上<£,也就是〃>人.取

wnnn8

N吧，

则V〃>N,有隔-0|<£.

当f=0.001时，N=p]=1000.

g

3.根据数列极限的定义证明：

(l)lim^=0;

〃一>8斤

分析要使四一0上』<£,只须〃2>L即〃>」.

nngyjs

证明因为VQ0,mN=[-%],当〃>"吐有丛-0|<£,所以lim」=0.

y/en8〃/

(2)lim^±l=|;

2w+l2

分析要使I洌一^=而—<:<£，只须;<£，即〃〉

2〃+122(2〃+1)4%4〃4a

证明因为VQO「N=U-],当〃〉N时，有|誓|一京£,所以lim等斗=2.

4e2/7+12»-»cc2n+\2

(3)1而近±贮=1;

w->oo/7

分析要使I五运-旧叵△"=-/才—<贮<£,只须好

nnn^rr+a2+w)n8

证明因为T£>0,mN=[^),当V〃〉N时，有|J〃2+42£,所以

£n

7^w

wl-i»mooY\=1

(4)limO.999…9=1.

/7—>00

〃个

分析要使10.99…9T|=矗一只须表3即心”吟

证明因为VQ0,mN=[l+lg~4,当因时,有|0.99・••9一1|<£,所以

lim0.999--9=l.

w->oovy;'

〃个

4.limM„=a,证明同.并举例说明:如果数列｛*|｝有极限，但数列

〃一>8W-»0O

｛%,｝未必有极限.

证明因为lim〃”=a,所以V£>0,mNeN,当〃〉N时，有%-a|<£,从而

W—>00

\\un\-\a\\<\un-a\<£.

这就证明了

"―>8

数列也/｝有极限，但数列｛&｝未必有极限.例如lim|(-但lim(-l)"不

〃一>008

存在.

5.设数列｛孙｝有界,又limy“=0,证明：limx仇=0.

00>00

证明因为数列｛%”｝有界，所以存在M使V〃wZ,有％区M

又limy“=0,所以VGO,mVGN,当〃〉N时，有|为|<£.从而当〃>N时，有

〃一>00

\xnyn-O\^xnyn\<M\yn\<M~^£,

所以limx„y„=O.

w->oo

6.对于数列｛x“｝,若X2bl->a(%f8),X2*->a(A■->8),

证明:x”fa(〃foo).

证明因为X2*-l->a(h~>8),X2A->。(左一>8),所以V£>0,

水1,当2『1〉2KLi时，旬X2I-水£；

3K2,当2A>2七时，有曲《—4|<£.

取N=max｛2KT,2K2｝,只要n>N,就旬&-水£.

因此x„-><7(〃->8).习题1-3

1.根据函数极限的定义证明：

(l)lim(3x-l)=8;

x->3

分析因为

|(3x-l)-8|=|3x-9|=3|x-3|,

所以要使|(3x-1)-8|<£,只须|x-3|<1

证明因为VQOT6=；£,当0<|x-3|<5时，有

|(3x-1)-8|<^,

所以lim(3x-l)=8.

3

(2)lim(5x+2)=12;

x->2

分析因为

|(5x+2)-l2|=|5x-l0|=5\x-2\,

所以要使|(5X+2)-12|<£,只须|X-2|<$.

证明因为V£>O,mb=%,当0小-2|"时，有

|(5x+2)—12|<£,

所以lim(5x+2)=12.

x->2

⑶lim^=r=-4;

x—>—2x+2

分析因为

1弟+4)卜|中

=|x+2|=|x-(-2)|,

所以要使|弟-(-4)|<£,只须|X-(-2)|<£.

证明因为Ve>0,正£,当0<,-(-2)|<5时，有

导-臼为

所以1加上4=-4.

x—>—2x+2

叫田=2.

分析因为

|霁-2|=|1-2>2|=2卜一(母，

所以要使|与富-2卜£,只须心(一9《£.

证明因为V£>o,ms=权，当0平-(-9K5时，有

1-4x3-2|<£,

2x+l

所以lim二《=2.

XT，2x+l

2

2.根据函数极限的定义证明：

⑴lim史？=!；

is2x32

分析因为

I1+X31II1+-3—一3|I

I2x32।।2x3।2|x|3

所以要使I第一扑£，只须②<£，即曲卷・

证明因为V£>o,mx=^j,当恸>XI1寸，有

<£,

I2/2

3

所以1+X1

lim3

X—>002x2

⑵lim芈=0.

Xf+ooJ%

分析因为

Isinxn

所以要使|詈-0卜£,只须亡<£，即

证明因为当x〉X时,有

所以lim平=0.

x->+®y/X

3.当x-2时，12-4.问3等于多少，使当|x-2|<3时,[y-4]<0.001?

解由于当x->2时,|x-2|f0,故可设卜-2|<1,即1a<3.

要使

|X2-4|=|X+2||X-2|<5|X-2|<0.001,

只要以-2|〈”2-0.0002.

取酬0.0002,则当0<|x-2|<5时，就有|%2—4|<0.001.

4.当Xf8时，尸与231，问X等于多少，使当|x|>X时,A“<0.01?

x+3

解要使IW4T卜Y_7<601，只要曲、孱口=屈7故工=屈7.

।廿+31x'+3v0.01

5.证明函数4x)=(x|当x-0时极限为零.

证明因为

]/(x)-0|=||x|-0|=W=|x-0|,

所以要使火X)-0|<£,只须W|<£.

因为对VQ0,m展与使当0<|x-0|<a时有

〃)-0|=|叶0|<£,

所以lim|x|=O.

x->0

6.求/(力=工，0(x)=区当xfO时的左、右极限，并说明它们在xfO时的极

XX

限是否存在.

证明因为

lim/(x)=lim—=lim1=1,

xfO-x—>0_Xx—>0-

lim/(x)=lim—=lim1=1,

x->0+X-»O+xx->o+

lim/(x)=limf(x),

XT。-X->0+

所以极限limf(x)存在.

x->0

因为

lim(p(x)=lim—=lim—=-l,

x->0-x->0-Xx—^0~X

lim(p(x)=lim—=lim—=1,

x-0+xfo+xx-»0+x

lim夕(x)wlim(p(x),

x->0-x-o+

所以极限lim°(x)不存在.

x->0

7.证明：若x-»+oo及xf-oo时，函数作)的极限都存在且都等于4,则

limf(x)=A.

X—>00

证明因为limf(x)=A,limf(x)=A,所以V£>0,

3¥|>0,使当x<—Xi时，有次x)—*<£；

3X2>0,使当x〉E吐有心)-Z|<£.

取Kmax{X,也},则当|x|>X时，有次x)T|<£,即limf(x)=

X—>COA.

8.根据极限的定义证明：函数於)当xfxo时极限存在的充分必要条件是左

极限、右极限各自存在并且相等.

证明先证明必要性.设危)f/(xrxo),则VeO,3^0,使当0<|x—xo|<b时,

有

\fix)-A\<s.

因此当Xo—灰X<Xo和Xo4<Xo+b时者6有

\f{x}-A\<£.

这说明./(X)当X-X0时左右极限都存在并且都等于A.

再证明充分性.设於()-0)=75)+0)=4,则VoO,

的>0,使当劭-5<x<xo时，有|/(x)-z<£；

3^>0,使当XO<X<M+6时，旬於)-4|<£.

取Nmin{bi,⑻，贝(J当0<|x-x()|<6吐有劭-及劭44。+历，从而有

\fix)-A\<s,

即/(X)—(x-»xo).

9.试给出xf8时函数极限的局部有界性的定理，并加以证明.

解Xf8时函数极限的局部有界性的定理：如果/(X)当Xf8时的极限存在，则

存在X>0及A7>0,使当(x|>X时,\f［x)\<M.

证明设/(X)—>4(x—8),则对于£=1,3¥>0,当|x|>X时，有］/(x)—/|<£=l.所以

］危)|=配)々+小心)-4+⑷<1+图

这就是说存在X>0及止0,使当|x|>X时,心)|<加，其中止1+囿

习题1-4

1.两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之.

解不一定.

例如，当Xf0时,a(x)=2x,/?(x)=3x都是无穷小，但,等!不是无

XTOp(x)3p{x)

穷小.

2.根据定义证明：

(1)歹=止?当x-3时为无穷小；

(2)^=xsin—当x->0时为无穷小.

x

证明⑴当中3时|y|=|止UHX—3].因为\/益0「指£,当0<,一3]<6时，有

人I-D

|y|=|\=\x-3\<6=s,

八十D

所以当xf3时y=W为无穷小.

(2)当XHO时|y|=|M|sin.国x—0|.因为X/QO,三层£,当0<|x—0|<b时，有

X

3=1刈sin』令-0|<S=£,

X

所以当x->0时^=xsin—为无穷小.

x

3.根据定义证明：函数歹=叵为当x-0时的无穷大.问x应满足什么条件,

X

能使帆>104?

证明分析|止|必卜|2+工»!-2,要使明>跖只须;-2〉M,即

XX|X|IXI

|x|<―--.

11M+2

证明因为\7止0T3="^,使当0<卜—0]<b时，有|上心卜M,

M+21x1

所以当x-0时，函数少=1±么是无穷大.

X

取代lot则旌就T当0平-0|〈而匕时，例>iot

4.求下列极限并说明理由：

(l)lim^tl;

X—>00X

1_2

(2)网产r.

XT01-X

解⑴因为红包=2+工而当XFOO时!是无穷小，所以lim@il=2.

XXXXT8X

(2)因为?已=l+x(xwl),而当x->0时x为无穷小，所以lim\呈=1.

l-xXfO[-X

5根据函数极限图无穷大定义，填写下表:

加)》/)一>8危)一>400AX)~»F

x—>XoV6>o,3^>0,使

当0<|x-工()|<加寸，

有恒阿-力|<£・

X—>%0+

X-kXo

V£>o,3X>0,使当恸>X时，

XT9

有恒

Xf+00

Xf-00

解

/(X)f8,/(x)->+00,/(x)-»-00

VQO,m%0,使V心0,眸0,使\/M>Q,3^0,使VA^O,3^>0,使

X—>Xo当O<|x-xo|<<5^,当0<,-的|<冽寸，当O<|x-xo|<(5H寸，当O<|x-xo|<<5H^,

有恒有恒］y(x)l>以有恒道x)>M.有恒/(x)<-M

VQO,三£0,使VA^O,3t^0,使VA^O,3^0,使\/M>0,3c^0,使

x—>Xo+当0<X-X0<加寸，当Oa-xoC^f,当O<x-xo<(511寸，当O<x-xo<加寸，

有恒贝x)-Z|<£有恒麻)|>M有恒大x)>M有恒{x)<-M

V£>0,m&o,使V壮o,m苏0,使VA^O,3(^0,使VA^>0,3^>0,使

X^Xo~当0<r()-x<例寸，当O<xo-x<(5H寸，当O<ro-x<(5H寸，当0<r()-x<况1寸，

有恒火、)一4|<£有恒]/(x)|>M有恒有恒/(x)<-M

Vfi>o,3A>0,使VQO,少>0,使WQO,WO,使V£>0「X>0,使

X->00当团〉X时，有恒当|x|>X时，有恒当,|>X时，有恒当恸〉X时，有恒

\/[X)-A\<£.lAx)|>M.Ax>M.Ax)<-M.

V6>0,3A>0,使VQO,止0,使WQO,少bO,使V£>0,3A>0,使

X—>+oo当x〉X时，有恒当x>X时，有恒当x〉X时，有恒当x〉X时，有恒

\f{x)-A\<£.|/(x)|>M汽x)>M.Ax)<-M.

VQO,援0,使V6>o,3A>0,使VGO,少6),使V£>0,3A>0,使

X—>-00当x<-X时，有恒当x<-X时，有恒当x<-X时，有恒当x<-X时，有恒

\f[x)-A\<£.阿1〉加AX)>M.Ax)<-M.

6.函数尸xcosx在(-8,+8)内是否有界？这个函数是否为当x->+oo时的无穷

大？为什么？

解函数尸XCOSX在(-00,+00)内无界.

这是因为V〃〉0,在(-00,+8)内总能找到这样的X,使得.例如

yQk腐=2k兀cos2km2k兀(k=b,1,2,•••),

当《充分大时，就旬兴2人砂〉

当X->+00时，函数尸XCOSX不是无穷大.

这是因为VA/〉O,找不到这样一个时刻N,使对一切大于N的X,都有伏x)|>M.

例如

火2左"+彳)=(2左乃+彳)85(2左乃+彳)=0(%=0,1,2,・・・)，

对任何大的N,当左充分大时，总有x=2版■+'>",但双>)|=0<欣

7.证明：函数y=！sin^在区间。1］上无界，但这函数不是当x->0+时的无穷

XX

大.

证明函数y=Lin］在区间(0,1］上无界.这是因为

XX

YM>0,在。1］中总可以找到点修,使y(4)>以例如当

4=―1—(k=0,1,2,…)

2

时，有

yg)=2Ax+］,

当％充分大时,了(双)〉加.

当X-0+时，函数y=1sinL不是无穷大.这是因为

XX

VM>0,对所有的分0,总可以找到这样的点使0<弘<育但M/)<M•例如可

取

(A=0,1,2,…)，

ZK7T

当k充分大B寸,Xk<8,但y(x«)=2左疾in2左乃=0<M

习题1-5

1.计算下列极限：

⑴呵头；

Xf2X-3

解.当=密=一9.

xf2x-32-3

丫2_&

解,弱亮=翳三=°.

x2-2x+l

⑶晒

x2-l

解！呷石竽书即高片ri吧备=3=°・

4X3—2/+X

⑷罂

3X2+2X

4x3-2x2+x4x^-2x+ll

解lim=lim：=

io3X2+2XV->O3X4-22

10+/?)2工2

Ah

22x2-^2hx+h2-x2

痴[.(x+/?)-x

Wlim----；-----=hrm=lim(2x+A)=2x.

oh/?->oh

(6)lim(2--+^-);

x->8xx

解lim(2--+-^)=2-lim-+lim-^=2.

x->00XxzXfooxx->00xz

v2_i

⑺limJ；，；

x-»oo2x—x—1

iL

v2_i

解lim-=lim

X->002xz-x-lXf812,

,2

XX

（8）lim产+：;

8炉_3工2_1，

2

解lim4，二+；,=0（分子次数低于分母次数,极限为零）.

x78x4-3x2-l

1+1

lim\x,=0.

或42

X—8X-3X-1XT8]__2__1_

（空陪―6x+8,

一5x+4'

lim舒辿=1而尹巫?=1而。=分等.

解

x->4x2—5x+4x->4(X—l)(x—4)x->4X—14—13

(10)lim(l+l)(2-t)；

XT8XX

解lim(l+-)(2-4-)=lim(l+-)-lim(2-^-)=lx2=2.

XT8XXZX->8XX->8Y2

co、].[+2+3d---F(w—1)

(12)hm-------5--~~-；

w—>oon

(〃一1)〃

布卫1+2+3H---F(W—1)[.21v/7—11

解hrm-------z——---」lim——%—lim----二彳.

8Ytw—>002〃一>8Yl2

(13)lim("+D("+2)("+3)

-5/

解lim(n+l)(n+2)(n+3)=l(分子与分母的次数相同，极限为

〃->0°5n5

最高次项系数之比).

t-(〃+1)(〃+2)(〃+3)11\八2、/i3、1

或lim-——--r21-----=-7rlimZ(1l+—)(1+—)(1+—)=-.

mg5n55nnn5

(14)!呼士一金)；

2

解！呼士一3.)=iiml+x+x-3lim(l-x)(x+2)

1-x3Xf1(l-x)(l+x+x2)Xf1(l-x)(l+x+x2)

=_lim^±2=_1

Xfll+X+X，

2.计算下列极限：

⑴甄汗

解因为啊吗假肛所以!喘舞a

2

(2)r

XT82x+l

2

解lim—v=oo(因为分子次数高于分母次数).

XT82x+l

(3)lim(2x3-x+l).

XT8

解lim(2x3-x+l)=oo(因为分子次数高于分母次数).

XTOO

3.计算下列极限：

(1)limx2sin—;

iox

解lim/sinL。(当x-0时是无穷小，而sin^是有界变量).

10xx

(2)lim^nx.

Xf8X

解limarctan壬=|jmX.arctanx=O(当x—>oo时，—是无穷小，

x->8xx->ooxx

而arctanx是有界变量).

4.证明本节定理3中的(2).

习题1—6

1.计算下列极限:

xfOx10OJX

(2)lim1^3x；

解lim咽盘=31im皿•一L-=3.

x->oxio3xcos3x

⑶1而皿;

x->osin5x

解lim皿=lim也空上2二

x->osin5xx->o2xsin5x55

(4)limxcotx;

x->0

解limxcotlim—•cosx=limF-limcosx=l.

x-»ox->osinxx-»osinxxfo

1-l-cos2x.

(5)hm—：——；

x->oxsinx

解limkco^=limlzc^=lim2^=21im(sinx)2=2,

z1

XT。xsinxxfOxDXx—OX

或lim上2L=iim辿a=21im皿=2.

xfoxsinxx—oxsinxx->ox

(6)lim2"sin二(x为不等于零的常数).

f1

H->002

sin.

解lim2"sin工=lim―^，x=x.

82H〃―>8X

2.计算下列极限：

1

(l)lim(l-x)^;

x->0

J_—(-1)—!—

解lim(l-=lim[l+(-x)](T)={lim[l+(-x)](_x)}-1=e~l.

xf0x->0x-»O

(2)lim(l+2x)x；

x->0

1_1_2J_

解lim(l+2x)x=lim(l+2x)2x=[lim(l+2x)2x]2=e2.

xfOxf0xf0

⑶lim(l±£)2x.

XT8X

解limd±)2x=[lim(l+』)x]2=e2.

X->8XX->8X

(4)lim。」声(左为正整数).

XT8X

fcvk

解lim(l--)=lim(l+_L)(-^)(-*)=e-.

XXfoo—X

3.根据函数极限的定