2024-2025学年高中数学第二章统计2.1.3分层抽样练习含解析新人教A版必修3

PAGE1-第13课时分层抽样学问点一分层抽样的概念1．某中学有老年老师20人，中年老师65人，青年老师95人，为了调查他们的健康状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，则合适的抽样方法是()A．抽签法B．系统抽样C．分层抽样D．随机数法答案C解析由于老年人、中年人和青年人的身体状况会有明显的差异，所以要用分层抽样，故选C．2．下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是()A．从10名同学中抽取3人参与座谈会B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125个，中等收入的家庭280个，低收入的家庭95个，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本C．从1000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量答案B解析A中总体个体无明显差异且个数较少，适合用简洁随机抽样；C和D中总体个体无明显差异且个数较多，适合用系统抽样；B中总体个体差异明显，适合用分层抽样．3．为了保证分层抽样时每个个体等可能地被抽取，必需要求()A．每层不等可能抽样B．每层抽取的个体数相等C．每层抽取的个体可以不一样多，但必需满足抽取ni＝eq\f(nNi,N)(i＝1，2，…，k)个个体．(其中k是层数，n是抽取的样本容量，Ni是第i层中个体的个数，N是总体的容量)D．只要抽取的样本容量肯定，每层抽取的个体数没有限制答案C解析A不正确；由于每层的容量不肯定相等，每层抽同样多的个体数，明显从整个总体来看，各层之间的个体被抽取的可能性就不一样了，因此B也不正确；对于第i层的每个个体，它被抽到的可能性与层数无关，即对于每个个体来说，被抽取的可能性是相同的，故C正确；D不正确．学问点二分层抽样的应用4．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，学校学生会用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，假如已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为()A．10B．9C．8D．7答案A解析设从高三学生中抽取x人，则eq\f(210,7)＝eq\f(300,x)，得x＝10．5．某工厂生产A，B，C，D四种不同型号的产品，产品的数量之比依次为2∶3∶5∶1，现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A型号有16件，那么此样本的容量n为________．答案88解析依题意，得eq\f(2,2＋3＋5＋1)＝eq\f(16,n)，∴eq\f(16,n)＝eq\f(2,11)，解得n＝88，所以样本容量为88．易错点忽视抽样的公允性致错6．某中心医院体检中心对某学校高二年级的1200名学生进行身体健康调查，采纳男女分层抽样法抽取一个容量为150的样本，已知样本中女生比男生少抽了10人，则该年级的女生人数是________．易错分析肯定要牢记分层抽样就是按比例抽样，因此列出比例式即可．易错点是所列比例式中“＝”两边标准不同．正解设该校的女生人数为x，则男生人数为1200－x．抽样比例为eq\f(150,1200)＝eq\f(1,8)，∵女生比男生少抽了10人，∴eq\f(1,8)x＝eq\f(1,8)(1200－x)－10，解得x＝560．

一、选择题1．某试验中学共有职工150人，其中高级职称的职工15人，中级职称的职工45人，一般职员90人，现采纳分层抽样的方法抽取容量为30的样本，则抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为()A．5，10，15B．3，9，18C．3，10，17D．5，9，16答案B解析分层抽样是按比例抽取的，设抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为a，b，c，则eq\f(a,15)＝eq\f(b,45)＝eq\f(c,90)＝eq\f(30,150)，解得a＝3，b＝9，c＝18．2．某校有1700名高一学生，1400名高二学生，1100名高三学生，高一数学爱好小组欲采纳分层抽样的方法在全校抽取42名学生进行某项调查，则下列说法正确的是()A．高一学生被抽到的概率最大B．高三学生被抽到的概率最大C．高三学生被抽到的概率最小D．每名学生被抽到的概率相等答案D解析无论采纳哪种抽样，每个个体被抽到的概率相等，故每位学生被抽到的概率相等．故选D．3．学校进行数学竞赛，将考生的成果分成90分以下、90～120分、120～150分三种状况进行统计，发觉三个成果段的人数之比依次为5∶3∶1，现用分层抽样的方法抽取一个容量为m的样本，其中分数在90～120分的人数是45，则此样本的容量m的值为()A．75B．100C．125D．135答案D解析由三个成果段的人数之比依次为5∶3∶1及分数在90～120分的人数是45可知，eq\f(45,m)＝eq\f(3,5＋3＋1)，解得m＝135．4．从某地区15000位老人中按性别分层抽取一个容量为500的样本，调查其生活能否自理的状况如下表所示．则该地区生活不能自理的老人中男性比女性多的人数约为()A．60B．100C．1500D．2000答案A解析由分层抽样方法知所求人数为eq\f(23－21,500)×15000＝60．5．某单位老年人、中年人、青年人的人数分布如下表，用分层抽样的方法抽取17人进行单位管理问卷调查，若抽到3位老年人，则抽到的中年人的人数为()类别人数老年人15中年人？青年人40A．9B．8C．6D．3答案C解析设该单位的中年人的人数为x，则由表，可知eq\f(3,15)＝eq\f(17,15＋x＋40)，解得x＝30．因此在抽取的17人中，抽到中年人的人数为30×eq\f(17,15＋30＋40)＝6，故选C．二、填空题6．一工厂生产了16800件某种产品，它们分别来自甲、乙、丙3条生产线．为检查这批产品的质量，确定采纳分层抽样的方法进行抽样，已知从甲、乙、丙3条生产线抽取的产品个数分别是a，b，c，且2b＝a＋c，则乙生产线生产了________件产品．答案5600解析设甲、乙、丙3条生产线各生产了T甲，T乙，T丙件产品，则a∶b∶c＝T甲∶T乙∶T丙，即eq\f(a,T甲)＝eq\f(b,T乙)＝eq\f(c,T丙)．又2b＝a＋c，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(T甲＋T丙＝2T乙，,T甲＋T乙＋T丙＝16800，))所以T乙＝eq\f(16800,3)＝5600．7．有A，B，C三种零件，分别为a个，300个，200个，采纳分层抽样抽取一个容量为45的样本，其中C种零件抽取了10个，则此三种零件共有________个．答案900解析抽样比为eq\f(10,200)＝eq\f(1,20)，则总数为45×20＝900．8．某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3000件，依据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：产品类型ABC产品数量(件)1300样本容量130由于不当心，表格中A、C两种产品的有关数据已被污染看不清晰了，统计员只记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，依据以上信息，可得C产品的数量是________件．答案800解析抽样比为130∶1300＝1∶10，即每10个产品中抽取1个个体，又A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，故C产品的数量是[(3000－1300)－100]×eq\f(1,2)＝800(件)．三、解答题9．某单位200名职工的年龄分布状况如下图所示，现要从中抽取40名职工作为样本，用系统抽样法将全体职工随机按1～200编号，并按编号依次平均分为40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．(1)若第5组抽出的号码为22，则抽出的最小号码和最大号码分别是多少？(2)若用分层抽样法，则应从40岁以下年龄段的职工中抽取多少名？解(1)由分组可知，分段的间隔为5．又第5组抽出的号码为22，所以第1组抽出的号码为22－(5－1)×5＝2，第40组抽出的号码为22＋(40－5)×5＝197，即抽出的最小号码是2，最大号码是197．(2)由题意知，40岁以下年龄段的职工人数为200×50%＝100．若用分层抽样法，则应从40岁以下年龄段的职工中抽取eq\f(40,200)×100＝20(名)．10．某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参与其中一组．在参与活动的职工中，青年人占42．5%，中年人占47．5%，老年人占10%，登山组的职工占参与活动总人数的eq\f(1,4)，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%．为了了解各组不同的年龄层的职工对本次活动的满足程度，现用分层抽样的方法从参与活动的全体职工中抽取容量为200的样本．试求：(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；(2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．解(1)设登山组人数为x，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a，b，c，则有eq\f(x·40%＋3xb