高一幂函数试题及答案

高一幂函数试题及答案姓名：____________________

一、单项选择题（每题2分，共10题）

1.若幂函数\(f(x)=x^a\)的定义域为\(\mathbb{R}\)，则\(a\)的取值范围是：

A.\(a>0\)

B.\(a<0\)

C.\(a\neq0\)

D.\(a\in\mathbb{R}\)

2.下列函数中，不是幂函数的是：

A.\(f(x)=x^3\)

B.\(f(x)=x^{-2}\)

C.\(f(x)=\frac{1}{x}\)

D.\(f(x)=\sqrt{x}\)

3.若幂函数\(f(x)=x^a\)的值域为\((0,+\infty)\)，则\(a\)的取值范围是：

A.\(a>0\)

B.\(a<0\)

C.\(a\neq0\)

D.\(a\in\mathbb{R}\)

4.幂函数\(f(x)=x^a\)的图像经过点\((1,1)\)，则\(a\)的值为：

A.1

B.2

C.3

D.无法确定

5.若\(f(x)=x^a\)和\(g(x)=x^b\)都是幂函数，且\(f(x)\)和\(g(x)\)的图像都经过点\((2,4)\)，则\(a\)和\(b\)的关系是：

A.\(a=b\)

B.\(a\neqb\)

C.\(a>b\)

D.\(a<b\)

6.幂函数\(f(x)=x^a\)在\((0,+\infty)\)上的图像是：

A.递增函数

B.递减函数

C.先递增后递减

D.先递减后递增

7.幂函数\(f(x)=x^a\)在\((-\infty,0)\)上的图像是：

A.递增函数

B.递减函数

C.先递增后递减

D.先递减后递增

8.若幂函数\(f(x)=x^a\)的图像在\(x=0\)处存在拐点，则\(a\)的值为：

A.0

B.1

C.2

D.3

9.幂函数\(f(x)=x^a\)的图像与\(x\)轴的交点个数是：

A.0

B.1

C.2

D.3

10.若\(f(x)=x^a\)是奇函数，则\(a\)的值为：

A.0

B.1

C.2

D.3

二、判断题（每题2分，共10题）

1.幂函数的图像都是通过原点的。（）

2.幂函数的定义域一定是实数集。（）

3.幂函数的值域一定是正实数集。（）

4.幂函数的导数仍然是幂函数。（）

5.幂函数的图像都是连续的。（）

6.幂函数的图像都是光滑的。（）

7.幂函数的图像都是对称的。（）

8.幂函数的图像都是关于\(y\)轴对称的。（）

9.幂函数的图像都是关于\(x\)轴对称的。（）

10.幂函数的图像都是关于直线\(y=x\)对称的。（）

三、简答题（每题5分，共4题）

1.简述幂函数\(f(x)=x^a\)在\(a>0\)和\(a<0\)时的性质。

2.给出幂函数\(f(x)=x^a\)的图像与\(x\)轴、\(y\)轴交点的坐标，并说明如何确定。

3.证明幂函数\(f(x)=x^a\)在\(a\neq0\)时的单调性。

4.解释幂函数\(f(x)=x^a\)在\(a\)为整数和非整数时的图像差异。

四、论述题（每题10分，共2题）

1.论述幂函数\(f(x)=x^a\)在\(a\)为正整数、负整数和分数时的图像特征及其变化规律，并举例说明。

2.结合幂函数\(f(x)=x^a\)的性质，讨论其在实际应用中的意义，例如在物理学、经济学和工程学中的应用。

试卷答案如下：

一、单项选择题（每题2分，共10题）

1.C

解析思路：幂函数的定义域为\(\mathbb{R}\)时，指数\(a\)可以是任意实数，但不能为0。

2.C

解析思路：\(f(x)=\frac{1}{x}\)是反比例函数，不是幂函数。

3.A

解析思路：幂函数的值域为\((0,+\infty)\)时，指数\(a\)必须大于0。

4.A

解析思路：点\((1,1)\)在\(y=x^a\)上，代入得\(1=1^a\)，解得\(a=1\)。

5.A

解析思路：两个幂函数图像都经过点\((2,4)\)，即\(2^a=4\)，解得\(a=2\)，所以\(a=b\)。

6.A

解析思路：\(x^a\)在\((0,+\infty)\)上递增，当\(a>0\)。

7.B

解析思路：\(x^a\)在\((-\infty,0)\)上递减，当\(a>0\)。

8.B

解析思路：拐点存在时，导数\(f'(x)\)的符号改变，即\(f'(x)=ax^{a-1}\)在\(x=0\)处不连续。

9.B

解析思路：\(x^a\)与\(x\)轴的交点坐标为\((0,0)\)，只有一个交点。

10.B

解析思路：奇函数满足\(f(-x)=-f(x)\)，代入\(f(x)=x^a\)得\((-x)^a=-x^a\)，当\(a\)为奇数时成立。

二、判断题（每题2分，共10题）

1.×

解析思路：幂函数的图像不一定通过原点，当\(x=0\)时，若\(a\)为负数，函数无定义。

2.×

解析思路：幂函数的定义域取决于指数\(a\)，例如\(x^{\frac{1}{2}}\)的定义域为\([0,+\infty)\)。

3.×

解析思路：幂函数的值域可以是负数，例如\(x^{-2}\)的值域为\((0,+\infty)\)。

4.√

解析思路：幂函数的导数仍然是幂函数，例如\(f(x)=x^3\)的导数\(f'(x)=3x^2\)。

5.√

解析思路：幂函数的图像是连续的，因为\(x^a\)在\(\mathbb{R}\)上有定义。

6.√

解析思路：幂函数的图像是光滑的，没有间断点。

7.×

解析思路：幂函数的图像不一定对称，例如\(x^3\)和\(x^{-3}\)的图像不对称。

8.×

解析思路：幂函数的图像不一定是关于\(y