江苏专版2025版高考数学一轮复习第十一章统计与概率第三节古典概型教案文含解析苏教版

PAGEPAGE6第三节古典概型1．基本领件的特点(1)任何两个基本领件是互斥的．(2)任何事务(除不行能事务)都可以表示成基本领件的和．2．古典概型(1)(2)概率计算公式：P(A)＝eq\f(A包含的基本领件的个数,基本领件的总数).[小题体验]1．同时抛掷三枚质地匀称、大小相同的硬币一次，则至少有两枚硬币正面对上的概率为________．解析：同时抛掷三枚质地匀称、大小相同的硬币一次所得的结果有8种，有两枚硬币正面对上的结果有3种，有三枚硬币正面对上的结果有1种，则至少有两枚硬币正面对上的结果有4种，从而至少有两枚硬币正面对上的概率P＝eq\f(4,8)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)2．从1,2,3,4,5中随意取出两个不同的数，其和为5的概率是________．解析：两数之和等于5有两种状况(1,4)和(2,3)，总的基本领件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种．所以所求概率P＝eq\f(2,10)＝eq\f(1,5).答案：eq\f(1,5)3．小明遗忘了微信登录密码的后两位，只记得最终一位是字母A，a，B，b中的一个，另一位是数字4,5,6中的一个，则小明输入一次密码能够胜利登录的概率是________．解析：开机密码有(4，A)，(4，a)，(4，B)，(4，b)，(5，A)，(5，a)，(5，B)，(5，b)，(6，A)，(6，a)，(6，B)，(6，b)，共12种可能，所以小明输入一次密码能够胜利登录的概率是eq\f(1,12).答案：eq\f(1,12)在计算古典概型中试验的全部结果数和事务发生结果时，易忽视它们是否是等可能的．[小题纠偏]1．从分别标有1,2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是________．解析：由题意得，所求概率P＝eq\f(5×4×2,9×8)＝eq\f(5,9).答案：eq\f(5,9)2．把一颗骰子投掷两次，视察出现的点数，记第一次出现的点数为a，其次次出现的点数为b，直线l1：ax＋by＝4，直线l2：x＋2y＝2，则l1∥l2的概率为________．解析：把一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，其次次出现的点数记为b，共有36种结果．要使直线l1：ax＋by＝4与直线l2：x＋2y＝2平行，则有a＝1，b＝2或a＝3，b＝6，即(1,2)，(3,6)，共2种结果，所以两条直线平行的概率是eq\f(2,36)＝eq\f(1,18).答案：eq\f(1,18)eq\a\vs4\al(考点一古典概型的简洁问题)eq\a\vs4\al(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．抛一枚硬币3次，恰好2次正面对上的概率为________．解析：抛一枚硬币3次的基本领件有8种，恰好2次正面对上的基本领件有3种，则恰好2次正面对上的概率为eq\f(3,8).答案：eq\f(3,8)2．(2024·启东中学月考)现有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色调笔的概率为________．解析：从5支不同颜色的彩笔中任取2支的取法有10种，取到含有红色调笔的取法有4种，故所求概率P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).答案：eq\f(2,5)3．(2024·苏州测试)现有五条线段，其长度分别为2,3,4,5,7.现任取三条，则这三条线段可以构成三角形的概率是________．解析：从长度分别为2,3,4,5,7的五条线段中任取三条，有(2,3,4)，(2,3,5)，(2,3,7)，(2,4,5)，(2,4,7)，(2,5,7)，(3,4,5)，(3,4,7)，(3,5,7)，(4,5,7)共10个基本领件，记“这三条线段可以构成三角形”为事务A，则事务A包含(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，(3,5,7)，(4,5,7)共5个基本领件，所以这三条线段可以构成三角形的概率是eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)4．从eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(其中m，n∈{－1,2,3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为________．解析：当方程eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1表示椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线时，不能有m＜0，n＞0，所以方程eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1表示椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线的(m，n)有(2，－1)，(3，－1)，(2,2)，(3,2)，(2,3)，(3,3)，(－1，－1)，共7种，其中表示焦点在x轴上的双曲线时，则m＞0，n＞0，有(2,2)，(3,2)，(2,3)，(3,3)，共4种，所以所求概率P＝eq\f(4,7).答案：eq\f(4,7)[谨记通法]1．求古典概型概率的步骤(1)推断本试验的结果是否为等可能事务，设出所求事务A；(2)分别求出基本领件的总数n与所求事务A中所包含的基本领件个数m；(3)利用公式P(A)＝eq\f(m,n)，求出事务A的概率．2．基本领件个数的确定方法方法适用条件列表法此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成是坐标法树状图法树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有依次的问题及较困难问题中基本领件数的探求eq\a\vs4\al(考点二古典概型的交汇命题)eq\a\vs4\al(题点多变型考点——多角探明)[锁定考向]古典概型常与平面对量、解析几何、统计等学问交汇命题，命题的角度新奇，考查学问全面，实力要求较高．常见的命题角度有：(1)古典概型与平面对量相结合；(2)古典概型与直线、圆相结合；(3)古典概型与统计相结合．[题点全练]角度一：古典概型与平面对量相结合1．从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b，则向量m＝(a，b)与向量n＝(1，－1)垂直的概率为________．解析：由题意可知m＝(a，b)全部基本领件有4×3＝12种状况，m⊥n，即m·n＝0.所以a×1＋b×(－1)＝0，即a＝b，满意条件的有(3,3)，(5,5)，共2种状况，所以所求概率为eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)角度二：古典概型与直线、圆相结合2．(2024·扬州调研)已知A，B∈{－3，－1,1,2}且A≠B，则直线Ax＋By＋1＝0的斜率小于0的概率为________．解析：由题意知，全部的基本领件(A，B)为(－3，－1)，(－3,1)，(－3,2)，(－1,1)，(－1,2)，(1,2)，(－1，－3)，(1，－3)，(2，－3)，(1，－1)，(2，－1)，(2,1)，共12种，其中(－3，－1)，(1,2)，(－1，－3)，(2,1)这4种能使直线Ax＋By＋1＝0的斜率小于0，所以所求的概率P＝eq\f(4,12)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)3．将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点的概率为________．解析：依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36种，其中满意直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点，即满意eq\f(2a,\r(a2＋b2))≤eq\r(2)，即a≤b，则当a＝1时，b＝1,2,3,4,5,6，共有6种，当a＝2时，b＝2,3,4,5,6，共5种，同理当a＝3时，有4种，a＝4时，有3种，a＝5时，有2种，a＝6时，有1种，故共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21种，因此所求的概率等于eq\f(21,36)＝eq\f(7,12).答案：eq\f(7,12)角度三：古典概型与统计相结合4．在某次测验中，有6位同学的平均成果为75分．用xn表示编号为n(n＝1,2，…，6)的同学所得成果，且前5位同学的成果如下：编号n12345成果xn7076727072(1)求第6位同学的成果x6，及这6位同学成果的标准差s.(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成果在区间(68,75)中的概率．解：(1)因为这6位同学的平均成果为75分，所以eq\f(1,6)(70＋76＋72＋70＋72＋x6)＝75，解得x6＝90,这6位同学成果的方差s2＝eq\f(1,6)[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49，所以标准差s＝7.(2)从前5位同学中，随机地选出2位同学的成果有(70,76)，(70,72)，(70,70)，(70,72)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，(72,70)，(72,72)，(70,72)，共10种结果，恰有1位同学成果在区间(68,75)中的有(70,76)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，共4种结果，故所求的概率P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)，即恰有1位同学成果在区间(68,75)中的概率为eq\f(2,5).[通法在握]求解古典概型的交汇问题，关键是把相关的学问转化为事务，然后利用古典概型的有关学问解决，其解题流程为：[演练冲关]1．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，则椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的离心率e＞eq\f(\r(3),2)的概率是________．解析：同时掷两颗骰子，得到的点数所形成的数组共有36种状况，当a＞b时，e＝eq\r(1－\f(b2,a2))＞eq\f(\r(3),2)⇒eq\f(b,a)＜eq\f(1,2)⇒a＞2b，符合a＞2b的状况有：当b＝1时，有a＝3,4,5,6四种状况；当b＝2时，有a＝5,6两种状况．总共有6种状况，则概率是eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).同理当a＜b时，e＞eq\f(\r(3),2)的概率也为eq\f(1,6).综上可知e＞eq\f(\r(3),2)的概率为eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)2．(2024·苏北四市联考)某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力状况，该校从高三六个班的300名学生中以班为单位(每班学生50人)，每班按随机抽样方法抽取了8名学生的视力数据．其中高三(1)班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表：视力数据4.04.14.24.34.44.54.64.74.84.95.05.15.25.3人数22211(1)用上述样本数据估计高三(1)班学生视力的平均值；(2)已知其余五个班学生视力的平均值分别为4.3,4.4，4.5，4.6,4.8.若从这六个班中随意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的肯定值不小于0.2的概率．解：(1)高三(1)班学生视力的平均值为eq\f(4.4×2＋4.6×2＋4.8×2＋4.9＋5.1,8)＝4.7，故用上述样本数据估计高三(1)班学生视力的平均值为4.7.(2)从这六个班中随意抽取两个班学生视力的平均值作比较，全部的取法共有15种，而满意抽取的两个班学生视力的平均值之差的肯定值不小于0.2的取法有：(4.3,4.5)，(4.3,4.6)，(4.3,4.7)，(4.3,4.8)，(4.4,4.6)，(4.4,4.7)，(4.4,4.8)，(4.5,4.7)，(4.5,4.8)，(4.6,4.8)，共有10种，故抽取的两个班学生视力的平均值之差的肯定值不小于0.2的概率为P＝eq\f(10,15)＝eq\f(2,3).一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．从2个黄球，3个红球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是________.解析：由列举法得，基本领件共10个，满意条件的事务共6个，所以概率为eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)2．(2024·苏锡常镇一模)从集合{1,2,3,4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的概率为________．解析：从集合{1,2,3,4}中任取两个不同的数，基本领件总数n＝6，这两个数的和为3的倍数包含的基本领件有(1,2)，(2,4)，共2个，所以这两个数的和为3的倍数的概率P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)3．(2024·盐城模拟)从1,2,3,4,5,6这六个数中一次随机地取出2个数，则所取2个数的和能被3整除的概率为________．解析：从1,2,3,4,5,6这六个数中一次随机地取出2个数，基本领件总数n＝15，所取2个数的和能被3整除包含的基本领件有(1,2)，(1,5)，(2,4)，(3,6)，(4,5)，共5个，所以所取2个数的和能被3整除的概率P＝eq\f(5,15)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)4．(2024·苏北四市一模)现有三张识字卡片，分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字．将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是________.解析：把这三张卡片排序有“中国梦”，“中梦国”，“国中梦”，“国梦中”，“梦中国”，“梦国中”，共有6种，能组成“中国梦”的只有1种，故所求概率为eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)5．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数(m＋ni)(n－mi)为实数的概率为________．解析：因为(m＋ni)(n－mi)＝2mn＋(n2－m2)i，所以要使其为实数，须n2＝m2，即m＝n.由已知得，事务的总数为36，m＝n，有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)共6个，所以所求的概率P＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)6．(2024·苏州期末)连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，则事务“两次向上的数字之和等于7”发生的概率为________．解析：设基本领件为(a，b)，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}，共有6×6＝36个．满意a＋b＝7的解有6组：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，所以P＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)二保高考，全练题型做到高考达标1．(2024·南通调研)100张卡片上分别写有1,2,3，…，100.从中任取1张，则这张卡片上的数是6的倍数的概率为________．解析：从100张分别写有1,2,3，…，100的卡片中任取1张，基本领件总数n＝100，所取这张卡片上的数是6的倍数包含的基本领件有1×6,2×6，…，16×6，共16个，所以所取卡片上的数是6的倍数的概率为eq\f(16,100)＝eq\f(4,25).答案：eq\f(4,25)2．在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为________．解析：如图，在正六边形ABCDEF的6个顶点中随机选择4个顶点，共有15种选法，其中构成的四边形是梯形的有ABEF，BCDE，ABCF，CDEF，ABCD，ADEF，共6种状况，故构成的四边形是梯形的概率P＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).答案：eq\f(2,5)3．(2024·张家港模拟)若先后抛掷两次骰子得到的点数分别为m，n，点P(m，n)落在区域|x－2|＋|y－2|≤2内的概率为________．解析：由题意可得，基本领件n＝36.当m＝1时，1≤n≤3，故符合条件的基本领件有3个；当m＝2时，1≤n≤4，故符合条件的基本领件有4个；当m＝3时，1≤n≤3，故符合条件的基本领件有3个；当m＝4时，n＝2，故符合条件的基本领件有1个．故符合条件的基本领件共11个，所以所求概率为eq\f(11,36).答案：eq\f(11,36)4．(2024·南京一模)甲盒子中有编号分别为1,2的2个乒乓球，乙盒子中有编号分别为3,4,5,6的4个乒乓球．现分别从两个盒子中随机地各取出1个乒乓球，则取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为________．解析：由题意得，从甲、乙两个盒子中随机地各取出1个乒乓球，共有2×4＝8种状况，编号之和大于6的有(1,6)，(2,5)，(2,6)，共3种，所以取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为eq\f(3,8).答案：eq\f(3,8)5．一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＞b，b＜c时，称该三位自然数为“凹数”(如213,312等)，若a，b，c∈{1,2,3,4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是________．解析：由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321，共6个；同理由1,2,4组成的三位自然数共6个；由1,3,4组成的三位自然数也是6个；由2,3,4组成的三位自然数也是6个．所以共有4×6＝24个．当b＝1时，有214,213,312,314,412,413，共6个“凹数”；当b＝2时，有324,423，共2个“凹数”．所以这个三位数为“凹数”的概率P＝eq\f(6＋2,24)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)6．已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为________．解析：对函数f(x)求导可得f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要满意题意需x2＋2ax＋b2＝0有两个不等实根，即Δ＝4(a2－b2)＞0，即a＞b.又(a，b)的取法共有9种，其中满意a＞b的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共6种，故所求的概率P＝eq\f(6,9)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)7．有红心1,2,3,4和黑桃5这五张扑克牌，现从中随机抽取两张，则抽到的牌均为红心的概率是________．解析：从红心1,2,3,4和黑桃5这五张扑克牌中随机抽取两张，基本领件为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种不同的取法，抽到的牌均为红心的事务为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种不同的取法，则所求的概率P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)8．现有7名数理化成果优秀者，分别用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2表示，其中A1，A2，A3的数学成果优秀，B1，B2的物理成果优秀，C1，C2的化学成果优秀．从中选出数学、物理、化学成果优秀者各1名，组成一个小组代表学校参与竞赛，则A1和B1不全被选中的概率为________．解析：从这7人中选出数学、物理、化学成果优秀者各1名，全部可能的结果组成的12个基本领件为：(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)．设“A1和B1不全被选中”为事务N，则其对立事务eq\x\to(N)表示“A1和B1全被选中”，由于eq\x\to(N)＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)}，所以P(eq\x\to(N))＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6)，由对立事务的概率计算公式得P(N)＝1－P(eq\x\to(N))＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).答案：eq\f(5,6)9．(2024·南通调研)某奶茶公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别．公司打算了两种不同的奶茶共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A奶茶，另外2杯为B奶茶，公司要求此员工一一品尝后，从5杯奶茶中选出2杯奶茶．若该员工2杯都选A奶茶，则评为优秀；若2杯选中1杯A奶茶，则评为良好；否则评为及格．假设此人对A和B两种奶茶没有鉴别实力．(1)求此人被评为优秀的概率；(2)求此人被评为良好及以上的概率．解：(1)假设3杯A奶茶为A1，A2，A3,2杯B奶茶为B1，B2，则从五杯奶茶中任选两杯的全部可能结果为：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2，共10种结果.记“此人被评为优秀”为事务M，则事务M包含的全部结果为：A1A2，A1A3，A2A3，共3种结果，所以此人被评为优秀的概率P(M)＝eq\f(3,10).(2)记“此人被评为良好及以上”为事务N，则事务N包含的全部结果为：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，共9种结果，所以此人被评为良好及以上的概率P(N)＝eq\f(9,10).10．一个匀称的正四面体四个面上分别涂有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面风光 朝下的数字分别为b，c.(1)记z＝(b－3)2＋(c－3)2，求z＝4的概率；(2)若方程x2－bx－c＝0至少有一根a∈{1,2,3,4}，就称该方程为“美丽方程”，求方程为“美丽方程”的概率．解：(1)因为是投掷两次，因此基本领件(b，c)共有4×4＝16种．当z＝4时，(b，c)的全部取值为(1,3)，(3,1)，共2种，所以z＝4的概率P＝eq\f(2,16)＝eq\f(1,8).(2)①若方程一根为x＝1，则1－b－c＝0，即b＋c＝1，不成立．②若方程一根为x＝2，则4－2b－c＝0，即2b＋c＝4，所以b＝1，c＝2.③若方程一根为x＝3，则9－3b－c＝0，即3b＋c＝9，所以b＝2，c＝3.④若方程一根为x＝4，则16－4b－c＝0，即4b＋c＝16，所以b＝3，c＝4.综上所述，(b，c)的全部可能取值为(1,2)，(2,3)，(3,4)．所以方程为“美丽方程”的概率P＝eq\f(3,16).三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．从集合A＝{－2，－1,2}中随机选取一个数记为a，从集合B＝{－1，1,3}中随机选取一个数记为b，则直线ax－y＋b＝0不经过第四象限的概率为________．解析：从集合A，B中随机选取后组合成的数对有(－2，－1)，(－2,1)，(－2,3)，(－1，－1)，(－1,1)，(－1,3)，(2，－1)，(2,1)，(2,3)，共9种，要使直线ax－y＋b＝0不经过第四象限，则需a＞0，b＞0，共有2种满意，所以所求概率P＝eq