高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2双曲线2.2.3双曲线的简单几何性质1课时作业含解析新人教A版选修1-1

PAGEPAGE5课时作业16一、选择题1．[2013·福建高考]双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.1 D.eq\r(2)解析：本题主要考查双曲线的性质和点到直线的距离公式．双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0，顶点坐标为(±1,0)，故顶点到渐近线的距离为eq\f(\r(2),2)，故选B.答案：B2．[2014·甘肃省兰州一中期末考试]以直线eq\r(3)x±y＝0为渐近线，一个焦点坐标为F(0,2)的双曲线方程是()A.eq\f(x2,3)－y2＝－1 B.x2－eq\f(y2,3)＝1C.eq\f(x2,3)－y2＝1 D.x2－eq\f(y2,3)＝－1解析：本题主要考查双曲线的简洁几何性质及其标准方程的求法．一个焦点坐标为(0,2)，说明双曲线的焦点在y轴上．因为渐近线方程为eq\r(3)x±y＝0，所以可设双曲线方程为y2－3x2＝λ(λ>0)，即eq\f(y2,λ)－eq\f(x2,\f(λ,3))＝1,22＝λ＋eq\f(λ,3)＝4，解得λ＝3，所以双曲线方程为x2－eq\f(y2,3)＝－1，故选D.答案：D3．双曲线的渐近线为y＝±eq\f(3,4)x，则双曲线的离心率是()A.eq\f(5,4) B．2C.eq\f(5,4)或eq\f(5,3) D.eq\f(\r(5),2)或eq\f(\r(15),3)解析：若双曲线焦点在x轴上，∴eq\f(b,a)＝eq\f(3,4).∴e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(1＋\f(9,16))＝eq\r(\f(25,16))＝eq\f(5,4).若双曲线的焦点在y轴上，∴eq\f(a,b)＝eq\f(3,4)，eq\f(b,a)＝eq\f(4,3).∴e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(1＋\f(16,9))＝eq\r(\f(25,9))＝eq\f(5,3).答案：C4．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C．2 D．3解析：设双曲线C的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，焦点F(－c,0)，将x＝－c代入eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1可得y2＝eq\f(b4,a2)，所以|AB|＝2×eq\f(b2,a)＝2×2a.∴b2＝2a2，c2＝a2＋b2＝3a2，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3).答案：B二、填空题5．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点与椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为__________；渐近线方程为__________．解析：椭圆的焦点坐标为(4,0)，(－4,0)，故c＝4，且满意eq\f(c,a)＝2，故a＝2，b＝eq\r(c2－a2)＝2eq\r(3).所以双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\r(3)x.答案：(4,0)，(－4,0)y＝±eq\r(3)x6．已知点(2,3)在双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上，C的焦距为4，则它的离心率为________．解析：依据点(2,3)在双曲线上，可以很简洁建立一个关于a，b的等式，即eq\f(4,a2)－eq\f(9,b2)＝1.考虑到焦距为4，可得到一个关于c的等式，2c＝4，即c＝2.再加上a2＋b2＝c2，可以解出a＝1，b＝eq\r(3)，c＝2，所以离心率e＝2.答案：27．设椭圆C1的离心率为eq\f(5,13)，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的肯定值等于8，则曲线C2的标准方程为________．解析：设椭圆C1的方程为eq\f(x2,a\o\al(2,1))＋eq\f(y2,b\o\al(2,1))＝1(a1>b1>0)，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1＝26，,e＝\f(c1,a1)＝\f(5,13)))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝13，,c1＝5.))∴焦距为2c1＝10.又∵8<10，∴曲线C2是双曲线．设其方程为eq\f(x2,a\o\al(2,2))－eq\f(y2,b\o\al(2,2))＝1(a2>0，b2>0)，则a2＝4，c2＝5，∴beq\o\al(2,2)＝52－42＝32，∴曲线C2的方程为eq\f(x2,42)－eq\f(y2,32)＝1.答案：eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1三、解答题8．依据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)一个顶点是(0,6)，且离心率是1.5；(2)与双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1有共同渐近线，且过点(－3，2eq\r(3))．解：(1)∵顶点为(0,6)，设所求双曲线方程为eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1，∴a＝6.又∵e＝1.5，∴c＝a×e＝6×1.5＝9，b2＝c2－a2＝45.故所求的双曲线方程为eq\f(y2,36)－eq\f(x2,45)＝1.(2)法一：双曲线eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的渐近线为y＝±eq\f(4,3)x，令x＝－3，y＝±4，因2eq\r(3)<4，故点(－3,2eq\r(3))在射线y＝－eq\f(4,3)x(x≤0)及x轴负半轴之间∴双曲线焦点在x轴上．设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，(a>0，b>0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝\f(4,3)，,\f(－32,a2)－\f(2\r(3)2,b2)＝1，))解之得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝\f(9,4)，,b2＝4.))∴双曲线方程为eq\f(x2,\f(9,4))－eq\f(y2,4)＝1.法二：设双曲线方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝λ(λ≠0)，∴eq\f(－32,9)－eq\f(2\r(3)2,16)＝λ.∴λ＝eq\f(1,4)，∴双曲线方程为eq\f(x2,\f(9,4))－eq\f(y2,4)＝1.9．双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>1，b>0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和s≥eq\f(4,5)c，求双曲线离心率e的取值范围．解：设直线l的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，即bx＋ay－ab＝0.由点到直线的距离公式，且a>1，得点(1,0)到直线l的距离d1＝eq\f(ba－1,\r(a2＋b2))，点(－1,0)到直线l的距离d2＝eq\f(ba＋1,\r(a2＋b2)).∴s＝d1＋d2＝eq\f(2ab,\r(a2＋b2))＝eq\f(2ab,c).由s≥eq\f(4,5)c，得eq\f(2ab,c)≥eq\f(4,5)