北师大版2025年八年级（下）期中数学试卷（一）（考查范围：第1~3章）

2024-2025学年八年级（下）期中数学试卷【北师大版】考试时间：120分钟；满分：120分；考试范围：第1~3章姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！第Ⅰ卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（24-25八年级·西藏拉萨·期末）下列图形中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）（24-25八年级·江苏苏州·期末）若a>b，则在下列式子中，正确的是（

）A．2a<2b B．−3a>−3bC．a−2<b−2 D．1−a<1−b3．（3分）（24-25八年级·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，线段A′B′是由线段AB经过平移得到的，已知点A−3,2的对应点为A′1,−3，点B的对应点B′A．2,6 B．10,−4 C．2,−4 D．10,64．（3分）（24-25八年级·福建泉州·期末）如图，在等腰△ABC中，顶角∠BAC=40°，过点A作BC的平行线MN，则∠CAN的度数为（

）

A．40° B．60° C．70° D．80°5．（3分）（24-25八年级·山西晋中·期中）已知△ABC的∠A，∠B和∠C的对边分别是a，b和c，那么下列四个条件中能独立推出△ABC是直角三角形的有（

）个①∠A:∠B:∠C=3:4:5；②a:b:c=2:2:4；③a+ba−b=cA．4 B．3 C．2 D．16．（3分）（24-25八年级·河南许昌·期末）如图，平面直角坐标系中有一个“飞镖OBAC”，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限，点C在第四象限，∠B=∠C=30°，OA=AB=AC=2．将此飞镖绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2025次旋转结束时，点B的坐标为（

）A．3,−3 B．−3,3 C．−37．（3分）（24-25八年级·安徽六安·期中）已知点P−1,y1,Q3,y2在一次函数y=(2m−1)x+2A．m≥1 B．m<1 C．m>12 8．（3分）（24-25八年级·四川成都·期末）若关于x的不等式组a−x−13≥03−2x−1A．a≤0 B．a≥0 C．a<0 D．a>09．（3分）（24-25八年级·安徽合肥·期末）如图，点P为等边△ABC外一点，且PA=5，PC=4．则PB的最大值为（

）A．6 B．8 C．9 D．1010．（3分）（24-25八年级·湖南长沙·期末）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，AD=CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，筝形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．已知∠ADC=120°，∠ABC=60°，小婵同学得到如下结论：①△ABC是等边三角形；②BD=2AD；③S四边形ABCD=AC·BD；④动点M，N分别在线段AB，BC上，则△DMN的周长的最小值为3A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（24-25八年级·四川泸州·期末）如图，将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，若AE⊥BC，∠ADC=65°，则∠ABC的度数为．12．（3分）（24-25八年级·湖南益阳·期末）若关于x的不等式组x+a≥32x−3<1有3个整数解，则a的取值范围是13．（3分）（24-25八年级·山东枣庄·期中）如图，∠C＝90°，∠ABC＝75°，∠CDB＝30°．若BC＝3cm，则AD＝cm．14．（3分）（24-25八年级·上海长宁·期末）小明同学提出：用一把直尺就可以画出一个角的平分线．具体操作如下：首先把直尺的一边与∠AOB的一边OB贴合，沿着直尺的另一边画直线l（如图1）；随后移动该直尺，把直尺的一边与∠AOB的一边OA贴合，沿着直尺的另一边画直线m（如图2），直线l与直线m交于点P，则射线OP就是∠AOB的平分线．请指出这种画法的依据是（请写本学期所学的数学知识）：．

15．（3分）（24-25八年级·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系xOy中，函数y=mx+nm≠0与y=−mx+3的图象交于点3,1（1）m+n的值为；（2）当x>3时，对于x的每一个值，函数y=kxk≠0的值既大于函数y=mx+nm≠0的值，也大于函数y=−mx+3的值，则k的取值范围为16．（3分）（24-25八年级·河南洛阳·期末）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PA=3，PB=1，PC=2，则∠BPC的度数为．第Ⅱ卷三．解答题（共9小题，满分72分）17．（6分）（24-25八年级·上海·期中）解下列不等式（组）(1)2(2)5x−1>3x−418．（6分）（24-25八年级·山东济南·期中）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，(1)△ABC≌(2)CE=DF．19．（6分）（24-25八年级·云南昭通·期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A−2,−4，B0,−4，(1)画出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形△A1B(2)将△A1B1C先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到△(3)若△A2B2C20．（8分）（24-25八年级·上海普陀·期末）在直角坐标平面内，已知点A(3，0)、点B(0，4)，AB=5，在坐标轴上找点C，使△ABC构成等腰三角形．(1)这样的等腰三角形有______个；(2)直接写出分别以∠BAC、∠ABC为顶角时所有符合条件的点C的坐标．21．（8分）（24-25八年级·四川眉山·期末）已知关于x、y的方程满足方程组3x+2y=m+12x+y=m−1(1)若5x+3y=−6，求m的值；(2)若x、y均为非负数，求m的取值范围；(3)在（2）的条件下，求S=2x−3y+m的最大值和最小值．22．（10分）（24-25八年级·河北保定·期末）如图，有一块三角形菜园ABC，其中AB=13m，AC=12m，(1)判断菜园的边AC与BC是否垂直，并说明理由；(2)现要扩大菜园，在边CB的延长上找一点D，使边AD的长为15m23．（10分）（24-25八年级·福建三明·期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿AB方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为60km和80km，AB=100km(1)海港C受台风影响吗？为什么？(2)若台风的速度为14km/h24．（12分）（24-25八年级·北京海淀·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点D是直线BC上一点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转α得到线段AE，连接CE，DE．(1)如图①，当α=60°，且点D在线段BC上时，线段BD和CE之间的数量关系是；(2)如图②，当α=90°，且点D在线段BC上时，猜想线段BD、CD、DE之间的数量关系，并加以证明；(3)当α=90°，AB=6，BD=22时，请求出DE25．（12分）（24-25八年级·安徽安庆·阶段练习）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程2x−6=0的解为x=3，不等式组x−1>0x<4的解集为1<x<4，因为1<3<4，所以称方程2x−6=0为不等式组x−1>0(1)在方程①3x−3=0；②23x+1=0；③x−3x+1(2)若不等式组3x+6>x+1x>3x+1的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是x+m=0，求常数(3)①解两个方程：x+32=1和x+22+1=x+73；②是否存在整数m，使得方程x+32=1和

2024-2025学年八年级（下）期中数学试卷【北师大版】参考答案与试题解析第Ⅰ卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（24-25八年级·西藏拉萨·期末）下列图形中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】此题主要考查中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形即可判断出．【详解】解：A、不是中心对称图形，故A选项不符合题意；B、是中心对称图形，故B选项符合题意；C、不是中心对称图形，故C选项不符合题意；D、不是中心对称图形，故D选项不符合题意；故选：B．2．（3分）（24-25八年级·江苏苏州·期末）若a>b，则在下列式子中，正确的是（

）A．2a<2b B．−3a>−3bC．a−2<b−2 D．1−a<1−b【答案】D【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项判断即可求解，掌握不等式的性质是解题的关键．【详解】解：A、∵a>b，∴2a>2b，该选项错误，不合题意；B、∵a>b，∴−3a<−3b，该选项错误，不合题意；C、∵a>b，∴a−2>b−2，该选项错误，不合题意；D、∵a>b，∴−a<−b，∴1−a<1−b，该选项正确，符合题意；故选：D．3．（3分）（24-25八年级·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，线段A′B′是由线段AB经过平移得到的，已知点A−3,2的对应点为A′1,−3，点B的对应点B′A．2,6 B．10,−4 C．2,−4 D．10,6【答案】A【分析】本题考查了图形的平移变换，注意左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．直接利用点的平移变化规律求解即可．【详解】解：∵点A横坐标从−3到1，说明是向右移动了1−−3=4，纵坐标从2到−3，说明是向下移动了故线段A′B′∵点B的对应点B′的坐标为6,1∴点B的坐标为6−4,1+5，即2,6．故选：A．4．（3分）（24-25八年级·福建泉州·期末）如图，在等腰△ABC中，顶角∠BAC=40°，过点A作BC的平行线MN，则∠CAN的度数为（

）

A．40° B．60° C．70° D．80°【答案】C【分析】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．先根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C=70°，再根据平行线的性质求解即可得．【详解】解：∵在等腰△ABC中，顶角∠BAC=40°，∴∠B=∠C=1∵MN∥BC，∴∠CAN=∠C=70°，故选：C．5．（3分）（24-25八年级·山西晋中·期中）已知△ABC的∠A，∠B和∠C的对边分别是a，b和c，那么下列四个条件中能独立推出△ABC是直角三角形的有（

）个①∠A:∠B:∠C=3:4:5；②a:b:c=2:2:4；③a+ba−b=cA．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和、直角三角形的性质、三角形三边关系，根据三角形内角和可以判断①和④；根据三角形三边关系可以判断②；根据勾股定理的逆定理可以判断③．【详解】解：∵∠A∴最大的∠C=180°×5∵a：∴a+b=c，该a、b、c三条线段构不成三角形，故②不符合题意；∵a+ba−b∴a2∴b2+c∵∠C=∠B−∠A，∴∠B=90°，则该△ABC是直角三角形，故④符合题意；故选：C．6．（3分）（24-25八年级·河南许昌·期末）如图，平面直角坐标系中有一个“飞镖OBAC”，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限，点C在第四象限，∠B=∠C=30°，OA=AB=AC=2．将此飞镖绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2025次旋转结束时，点B的坐标为（

）A．3,−3 B．−3,3 C．−3【答案】A【分析】本题考查的是旋转的旋转，坐标规律的探究，勾股定理的应用，如图，过B作BH⊥x轴于H，求解B3,3，旋转1次后【详解】解：如图，过B作BH⊥x轴于H，∵∠ABO=∠C=30°，OA=AB=AC=2，∴∠ABO=∠AOB=30°，∴∠BAH=60°，∠ABH=30°，∴AH=1，BH=3∴B3,由旋转的性质可得：B′由360°÷90°=4，可知每旋转4次为一个循环，2025÷4=506⋅⋅⋅⋅⋅⋅1，故第2025次旋转结束时点B的位置与第1次旋转结束时点B（即B′故选A．7．（3分）（24-25八年级·安徽六安·期中）已知点P−1,y1,Q3,y2在一次函数y=(2m−1)x+2A．m≥1 B．m<1 C．m>12 【答案】C【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，解一元一次不等式，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．由题目条件可判断出一次函数的增减性，则可得到关于m的不等式，可求得m的取值范围．【详解】解：∵点P−1,y1,Q3,∴y随x的增大而增大，∴2m−1>0，解得：m>1故选：C．8．（3分）（24-25八年级·四川成都·期末）若关于x的不等式组a−x−13≥03−2x−1A．a≤0 B．a≥0 C．a<0 D．a>0【答案】B【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解、解不等式组等知识点，根据在实数范围内有解列出关于a的不等式是解题的关键．先解关于x的不等式，再根据不等式在实数范围内有解，即两个不等式的解集有公共部分，据此列出关于a的不等式，进而求得a的范围即可．【详解】解a−x−1解不等式①得：x≤3a+1，解不等式②得：x≥1．因为关于x的不等式组在实数范围内有解，∴3a+1≥1，解得：a≥0．故选：B．9．（3分）（24-25八年级·安徽合肥·期末）如图，点P为等边△ABC外一点，且PA=5，PC=4．则PB的最大值为（

）A．6 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，如图，将AP绕点A顺时针旋转60°至AD，连接BD、DP，根据旋转的性质得△ADP是等边三角形，得DP=AD=AP=5，根据等边三角形的性质得AB=AC，∠BAC=60°，证明△ABD≌△ACPSAS，得BD=CP=4，继而得到BP≤BD+DP=4+5=9，当点D在BP上时取“=”，此时BP取得最大值9，即可得出结论．确定BP≤BD+DP【详解】解：如图，将AP绕点A顺时针旋转60°至AD，连接BD、DP，∴AD=AP=5，∠PAD=60°，∴△ADP是等边三角形，∴DP=AD=AP=5，∵△ABC是等边三角形，PC=4，∴AB=AC，∠BAC=60°，∴∠BAC−∠DAC=60°−∠DAC=∠PAD−∠DAC，即∠BAD=∠CAP，在△ABD和△ACP中，AB=AC∴△ABD≌△ACPSAS∴BD=CP=4，∴BP≤BD+DP=4+5=9，即BP≤9，当点D在BP上时取“=”，此时BP取得最大值9，∴PB的最大值为9．故选：C．10．（3分）（24-25八年级·湖南长沙·期末）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，AD=CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，筝形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．已知∠ADC=120°，∠ABC=60°，小婵同学得到如下结论：①△ABC是等边三角形；②BD=2AD；③S四边形ABCD=AC·BD；④动点M，N分别在线段AB，BC上，则△DMN的周长的最小值为3A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】由“筝形”的性质可得AB=BC,AD=CD，可证△ABC是等边三角形，故①正确；由“SSS”可证△ABD≌△CBD，可得∠ABD=∠CBD=30°,∠ADB=∠BDC=60°，由直角三角形的性质可得BD=2AD，故②正确；由面积关系可求S四边形ABCD=12×AC×BD，故③错误；作点D关于AB,BC的对称点E,F，连接EF，交AB,BC于点M,N，连接DM,DN，根据轴对称的性质得出此时△DMN的周长的最小，最小值为DM+DN+MN=EF，证明DB⊥EF，等腰三角形的性质得出EH=HF，再根据直角三角形的性质和勾股定理求出EH=HF=3【详解】解：∵四边形ABCD是“筝形”，∴AB=BC，AD=CD，∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，故结论①正确；∴∠BAC=∠BCA=60°，∵AD=CD，∠ADC=120°，∴∠DAC=∠DCA=30°，∴∠DAB=30°＋在△ABD和△CBD中，AD=CDBD=BD∴△ABD≌△CBDSSS∴∠ABD=∠CBD=1∠ADB=∠CDB=1∴BD=2AD，故结论②正确；∵∠DOA=180°−∠DAC−∠ADB=180°−30°−60°=90°，∴BD⊥AC，∵S四边形作点D关于AB,BC的对称点E,F，连接EF，交AB,BC于点M,N，连接DM,DN，如图：此时DM=ME,DN=NF,E,M,N,F四点共线，故DM+DN+MN=EM+NF+MN=EF，则△DMN的周长的最小值为EF，∵AD=CD，∴DE=DF=2AD，∴∠E=∠F=180°−120°∵∠DAC=∠E=30°，∴AC∥EF，∵DB⊥AC，∴DB⊥EF，∴EH=HF，∴DH=1∴EF=23∵AD=1∴EF=3则△DMN的周长的最小值为3BD∴正确的结论有3个．故选：C．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质等知识点，理解“筝形”的性质和添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（24-25八年级·四川泸州·期末）如图，将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，若AE⊥BC，∠ADC=65°，则∠ABC的度数为．【答案】40°/40度【分析】本题考查旋转的性质等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；由题意易得AD=AC，则有∠ACD=∠ADC=65°，然后根据直角三角形的两个锐角互余可进行求解．【详解】解：由旋转的性质可知：AD=AC，∠BAC=∠EAD，∴∠ACD=∠ADC=65°，∠DAC+∠CAE=∠BAE+∠CAE，即∠DAC=∠BAE，∴∠DAC=180°−2∠ADC=50°，∴∠DAC=∠BAE=50°，∵AE⊥BC，∴∠BAE+∠ABC=90°，∴∠ABC=40°；故答案为：40°．12．（3分）（24-25八年级·湖南益阳·期末）若关于x的不等式组x+a≥32x−3<1有3个整数解，则a的取值范围是【答案】4≤a<5【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的范围，先求出不等式组的解集，根据解集的情况得到关于a的不等式组，进行求解即可．【详解】解：解x+a≥32x−3<1，得：x≥3−a∵不等式组x+a≥32x−3<1∴3−a≤x<2，且三个整数解为：−1,0,1，∴−2<3−a≤−1，解得：4≤a<5；故答案为：4≤a<5．13．（3分）（24-25八年级·山东枣庄·期中）如图，∠C＝90°，∠ABC＝75°，∠CDB＝30°．若BC＝3cm，则AD＝cm．【答案】6【分析】由已知条件可知：BD=2CB=6，根据角度关系得到AD=BD，即可得到结果．【详解】解：在Rt△BCD中，∠CDB=30°，∴BD=2BC=6.∵∠C＝90°，∠ABC＝75°，∴∠A=180°-∠C-∠ABC＝15°．又∵∠CDB=30°，∴∠ABD=∠A=15°．∴AD=BD=6．【点睛】本题考查了含30°直角三角形的性质和等腰三角形的判定与性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．14．（3分）（24-25八年级·上海长宁·期末）小明同学提出：用一把直尺就可以画出一个角的平分线．具体操作如下：首先把直尺的一边与∠AOB的一边OB贴合，沿着直尺的另一边画直线l（如图1）；随后移动该直尺，把直尺的一边与∠AOB的一边OA贴合，沿着直尺的另一边画直线m（如图2），直线l与直线m交于点P，则射线OP就是∠AOB的平分线．请指出这种画法的依据是（请写本学期所学的数学知识）：．

【答案】HL【分析】本题考查角平分线的判定以及全等三角形的判定定理，解题的关键是利用直尺宽度相等构造全等直角三角形，进而得出角平分线．过点P作PM⊥OA于点M,PN⊥OB于点N．因为直尺的宽度相等，所以PM=PN，同时OP=OP（公共边），∠PMO=∠PNO=90°，证明Rt△OPM≌可得∠AOP=∠BOP，即OP平分∠AOB，因此这种画法的依据是HL．【详解】解：如图2中，过点P作PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N．

∵尺的宽度相等，∴PM=PN，∵PM⊥OA.PN⊥OB，∴∠PMO=∠PNO=90°，在Rt△OPM和RtOP=OPPM=PN∴Rt△OPM≌∴∠POM=∠PON，∴OP平分∠AOB，画法的依据是：HL．故答案为：HL．15．（3分）（24-25八年级·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系xOy中，函数y=mx+nm≠0与y=−mx+3的图象交于点3,1（1）m+n的值为；（2）当x>3时，对于x的每一个值，函数y=kxk≠0的值既大于函数y=mx+nm≠0的值，也大于函数y=−mx+3的值，则k的取值范围为【答案】−13【分析】本题考查了两条直线相交或平行的问题，涉及待定系数法求函数解析式，掌握数形结合法是解题的关键．先将点3,1分别代入函数解析式即可求出n=−1,m=23，则m+n=−1+23=−【详解】解：（1）∵函数y=mx+nm≠0与y=−mx+3的图象交于点3,1∴3m+n=1,−3m+3=1，解得：n=−1,m=2∴m+n=−1+2故答案为：−1（2）∵当x>3时，对于x的每一个值，函数y=kxk≠0的值既大于函数y=mx+nm≠0的值，也大于函数∵直线y=23x−1与y=−由图可知当x>3时，函数y=23x−1∴要满足题意，只需函数y=kxk≠0的值大于函数y=∵当直线y=kxk≠0平行于直线y=2∴满足题意，k≥2故答案为：k≥216．（3分）（24-25八年级·河南洛阳·期末）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PA=3，PB=1，PC=2，则∠BPC的度数为．【答案】135°【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，将△ACP绕点C旋转到△BCD，连接DP，可得△BCD≌△ACP，即得DB=PA=3，DC=PC=2，∠BCD=∠ACP，进而得∠DCP=∠ACB=90°，得到△CDP是等腰直角三角形，即得到∠CPD=45°，DP=22，再利用勾股定理的逆定理得△DBP是直角三角形，得到∠BPD=90°【详解】解：如图，将△ACP绕点C旋转到△BCD，连接DP，∴△BCD≌△ACP，∴DB=PA=3，DC=PC=2，∠BCD=∠ACP，∴∠BCD+∠BCP=∠ACP+∠BCP，即∠DCP=∠ACB=90°，∴△CDP是等腰直角三角形，∴∠CPD=45°，DP=2∵DB=3，PB=1，DP=22∴BP∴△DBP是直角三角形，∴∠BPD=90°，∴∠BPC=∠CPD+∠BPD=45°+90°=135°，故答案为：135°．第Ⅱ卷三．解答题（共9小题，满分72分）17．（6分）（24-25八年级·上海·期中）解下列不等式（组）(1)2(2)5x−1>3x−4【答案】(1)x<6(2)−【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组：（1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可；（2）先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可．【详解】（1）解：2去括号得：2x+2>3x−4，移项得：2x−3x>−4−2，合并同类项得：−x>−6，系数化为1得：x<6；（2）解：5x−1>3x−4解不等式①得：x>−3解不等式②得：x≤4，∴不等式组的解集为−318．（6分）（24-25八年级·山东济南·期中）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，(1)△ABC≌(2)CE=DF．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用“HL”和“AAS”证明三角形全等成为解题的关键．（1）根据垂直的定义可得∠ACB=∠BDA=90°，然后结合已知条件运用HL即可证明结论；（2）根据全等三角形的性质可得AC=BD，∠CAE=∠DBF，再证明【详解】（1）证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠ACB=∠BDA=90°，在Rt△ABC和RtAB=BABC=AD∴△ABC≌（2）证明：∵△ABC≌∴AC=BD，∵CE⊥AB，∴∠CEA=∠DFB=90°，∴Rt△CAE∴CE=DF．19．（6分）（24-25八年级·云南昭通·期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A−2,−4，B0,−4，(1)画出△ABC绕点C逆时针旋转90°后的图形△A1B(2)将△A1B1C先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到△(3)若△A2B2C【答案】(1)图见解析，A(2)图见解析，C(3)−3,−1【分析】本题考查了作图-旋转变换、平移．（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A1、B（2）利用点平移的坐标特征写出A2、B2、（3）作BB2和CC【详解】（1）解：△AA1的坐标为4,−4；（2）解：△AC2的坐标为−3,3；（3）解：如图，若△A2B2C2可以看作△ABC绕某点旋转90°得到，作BB20．（8分）（24-25八年级·上海普陀·期末）在直角坐标平面内，已知点A(3，0)、点B(0，4)，AB=5，在坐标轴上找点C，使△ABC构成等腰三角形．(1)这样的等腰三角形有______个；(2)直接写出分别以∠BAC、∠ABC为顶角时所有符合条件的点C的坐标．【答案】(1)8(2)当∠BAC为顶角时，C4(8，0)，C5(0，-4)，C6(-2，0)；当∠ABC为顶角时，C1(-3，0)，【分析】（1）分类讨论：①当AB=BC时，②当AB=AC时和③当BC=AC时，画出图形即可得出结论；（2）根据（1）结合图形和等腰三角形的定义即可求解．【详解】（1）分类讨论：①当AB=BC时，如图△ABC1，△ABC②当AB=AC时，如图△ABC4，△ABC③当BC=AC时，如图△ABC7和综上可知满足条件的点C有8个，故答案为：8；（2）当∠BAC为顶角时，即AB=AC=5，此时点C的位置即上图中C4，C5，∴OC4=OA+AC4∴C4(8，0)，C5(0，-4)，当∠ABC为顶角时，即AB=BC=5，此时点C的位置即上图中C1，C2，∴OC1=OA=3，O∴C1(-3，0)，C2(0，-1)，【点睛】本题考查坐标与图形，等腰三角形的定义．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．21．（8分）（24-25八年级·四川眉山·期末）已知关于x、y的方程满足方程组3x+2y=m+12x+y=m−1(1)若5x+3y=−6，求m的值；(2)若x、y均为非负数，求m的取值范围；(3)在（2）的条件下，求S=2x−3y+m的最大值和最小值．【答案】(1)m=−3(2)3≤m≤5(3)最大值为9，最小值为−3【分析】（1）利用整体的思想可得5x+3y=2m，从而可得2m=−6，然后进行计算即可解答；（2）先解方程组可得x=m−3y=−m+5，然后根据已知易得x≥0，y≥0（3）利用（2）的结论可得S=6m−21，然后再根据不等式的性质进行计算，即可解答．【详解】（1）解：3x+2y=m+1①①+②得5x+3y=2m，∵5x+3y=−6，∴2m=−6，解得m=−3；（2）解：3x+2y=m+12x+y=m−1解得x=m−3y=−m+5∵x、y均为非负数，∴x≥0，即m−3≥0−m+5≥0解得3≤m≤5；（3）解：∵x=m−3y=−m+5∴S=2x−3y+m=2=2m−6+3m−15+m=6m−21，∵3≤m≤5，∴18≤6m≤30，∴−3≤6m−21≤9，即−3≤S≤9，∴S=2x−3y+m的最大值为9，最小值为−3．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组、二元一次方程组的解、解二元一次方程组、不等式的性质等知识，掌握不等式组及方程组的解法，准确熟练地进行计算是解题的关键．22．（10分）（24-25八年级·河北保定·期末）如图，有一块三角形菜园ABC，其中AB=13m，AC=12m，(1)判断菜园的边AC与BC是否垂直，并说明理由；(2)现要扩大菜园，在边CB的延长上找一点D，使边AD的长为15m【答案】(1)垂直，理由见解析(2)菜园的面积扩大了24【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，得出∠ACB=90°是解题关键．（1）利用勾股定理的逆定理求解即可；（2）由勾股定理可得CD=9m，进而求出S【详解】（1）解：垂直，理由如下：∵AB=13m，AC=12m，∴AC∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC；（2）解：由（1）可知，∠ACB=90°，∵AC=12m，AD=15∴CD=A∴S即菜园的面积扩大了24m23．（10分）（24-25八年级·福建三明·期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿AB方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为60km和80km，AB=100km(1)海港C受台风影响吗？为什么？(2)若台风的速度为14km/h【答案】(1)海港C受台风影响，理由见解析(2)2【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．（1）过点C作CD⊥AB于点D，先利用勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，再利用三角形的面积公式求出CD的长，由此即可得；（2）当CE=CF=50km时，台风正好影响海港C，利用勾股定理求出DE,DF的长，从而可得EF的长，再利用EF【详解】（1）解：海港C受台风影响，理由如下：如图，过点C作CD⊥AB于点D，∵AC=60km，BC=80km，∴AC∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，∴S△ABC∴CD=AC⋅BC∵48km∴海港C受台风影响．（2）解：如图，当CE=CF=50km时，台风正好影响海港C∴DF=DE=C∴EF=DE+DF=28km∵台风的速度为14km/h∴28÷14=2h答：台风影响该海港持续的时间为2h24．（12分）（24-25八年级·北京海淀·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点D是直线BC上一点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转α得到线段AE，连接CE，DE．(1)如图①，当α=60°，且点D在线段BC上时，线段BD和CE之间的数量关系是；(2)如图②，当α=90°，且点D在线段BC上时，猜想线段BD、CD、DE之间的数量关系，并加以证明；(3)当α=90°，AB=6，BD=22时，请求出DE【答案】(1)BD=CE(2)BD(3)DE的长度为210或【分析】本题考查几何变换的综合应用，涉及全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，解题的关键是掌握全等三角形