安徽省安庆市外国语学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

安庆市外国语学校2023-2024学年度第二学期八年级期中考试数学试卷（总分：150分时间：120分钟）一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分）1.下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A. B. C. D.2.下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A B. C. D.3.下列二次根式（左边）化简结果一定成立的是（）A. B.C. D.4.已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（）A.5 B.﹣1 C.2 D.﹣55.估计的值应在（）A.2到3之间 B.3到4之间 C.4到5之间 D.5到6之间6.为了美化环境，2021年某市的绿化投资额为万元，2023年的绿化投资额为万元，则这两年该市绿化投资额的年平均增长率为（）A. B. C. D.7.若关于x的一元二次方程(k-1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()A.k<5 B.k<5，且k≠1 C.k≤5，且k≠1 D.k>58.当a＜0时，化简的结果是()A. B. C.－ D.9.已知，则当时，的值为（）A. B. C. D.10.如图，△ABC中，∠ABC＝30°，BC＝6，点D是BC边上一点，且BD＝2，点P是线段AB上一动点，则PC＋PD的最小值为（）A. B. C. D.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）11.若代数式有意义，则实数的取值范围是______．12.给出一种运算：对于函数，规定．例如：若函数，则有．已知函数对应的，则的值是______．13.实数，，满足，则_____0．（填“”、“”、“”、“”、“”）14.如图①，在Rt△ACB中∠ACB=90°，分别以AC、BC、AB为边，向形外作等边三角形，所得的等边三角形的面积分别为S1、S2、S3，请解答以下问题：（1）S1、S2、S3满足的数量关系是________．（2）现将△ABF向上翻折，如图②，若阴影部分的S甲=6、S乙=5、S丙=4，则=________．三、（本大题共2小题，每题8分，共16分）15.计算：．16.解方程：．四、（本大题共2小题，每题8分，共16分）17已知，．（1）求和值；（2）求代数式的值．18.观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；…．（1）根据以上规律，请直接写出第5个等式：______；（2）观察、归纳，请写出你猜想的第个等式：______（用含的式子表示，为正整数），并证明你的猜想．五、（本大题共2小题，每题10分，共20分）19.正方形网格中的每个小正方形的边长都为1，每个小格的顶点叫做格点，若三角形的三个顶点都在格点上，则这个三角形叫做格点三角形．（1）如图1，通过计算判断格点是否是直角三角形？（2）如果三边的长分别为，，，请利用图2的正方形网格，画出相应的格点，并直接写出的面积为______．20.“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风等线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为米．（1）求风筝的垂直高度；（2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？六、（本题12分）21.已知关于的方程（1）求证：无论取任何实数，该方程总有实数根；（2）若等腰三角形的三边长分别为，其中，并且恰好是此方程的两个实数根，求此三角形的周长．七、（本题12分）22.某超市经销、两种商品．商品每千克成本为20元，经试销发现，该种商品每天销售量（千克）与销售单价（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的对应值如表所示：销售单价（元/千克）25303540销售量（千克）50403020商品的成本为6元/千克，销售单价为10元/千克，但每天供货总量只有60千克，且能当天销售完．为了让利消费者，超市开展了“买一送一”活动，即买1千克的商品，免费送1千克的商品．（1）求商品的每天销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间的函数表达式；（2）若商品的售价不能低于成本，且不高于成本的，问两种商品的每天销售总利润能否达到440元，若能，则商品当天销售单价应定为多少元？若不能，请说明理由．（总利润两种商品的销售总额的两种商品的成本）八、（本题14分）23.如图1是著名赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成（较小的直角边长都为，较大的直角边长都为，斜边长都为），用它可以验证勾股定理：如果直角三角形两条直角边长分别为，斜边长为，那么．（1）请你利用图1验证勾股定理；（2）在图1中，大正方形的面积是49，小正方形的面积是4，求直角三角形的直角边长的值；（3）学完勾股定理后，已知一个的三角形的三边长，均可利用勾股定理求出其面积．如图2，在中，，，试求的面积．

安庆市外国语学校2023-2024学年度第二学期八年级期中考试数学试卷（总分：150分时间：120分钟）一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分）1.下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查的是最简二次根式，二次根式的化简，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念判断即可解题．【详解】解：A、不是最简二次根式，不符合题意；B、是最简二次根式，符合题意；C、不是最简二次根式，不符合题意；D、不是最简二次根式，不符合题意；故选：B．2.下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断解答即可．【详解】解：A、将方程整理，得，是一元二次方程，故本选项符合题意；B、方程不是整式方程，故本选项不符合题意；C、若，则方程就不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D、将方程，整理得，是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的判断，掌握定义是解题的关键．即一元二次方程有四个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程；（4）二次项系数不为0．3.下列二次根式（左边）化简结果一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用二次根式的性质和二次根式的乘除法法则对每个选项进行判断即可得出结论．【详解】解：∵是最简二次根式，不能再化简了，∴A选项不一定成立；∵成立的条件是：a≥0，b≥0，∴B选项不一定成立；∵ab，成立的条件是a，b同号，∴C选项不一定成立；∵，根据商的算术平方根的性质永远成立，∴D选项一定成立．故选：D．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，二次根式的乘除法，掌握二次根式的性质与乘除法法则成立的条件是解题的关键．4.已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（）A.5 B.﹣1 C.2 D.﹣5【答案】B【解析】【分析】根据关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决．【详解】∵关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2，设另一个根为m，

∴-2+m=−，

解得，m=-1，

故选B．5.估计值应在（）A.2到3之间 B.3到4之间 C.4到5之间 D.5到6之间【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算．先利用二次根式的乘法得出，再估算出的取值范围，进而得出结论．【详解】解：∵，，∴，∴，估计的值应在3到4之间，故选：B．6.为了美化环境，2021年某市的绿化投资额为万元，2023年的绿化投资额为万元，则这两年该市绿化投资额的年平均增长率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这两年该市绿化投资额的年平均增长率为，利用2023年该市的绿化投资额2021年该市的绿化投资（额这两年该市绿化投资额的年平均增长率），可得出关于的一元二次方程求解，取其符合题意的值，即可得出结论．【详解】解：设这两年该市绿化投资额的年平均增长率为，根据题意得：，，解得：，（不符合题意，舍去），，这两年该市绿化投资额的年平均增长率为．故选：C．7.若关于x的一元二次方程(k-1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()A.k<5 B.k<5，且k≠1 C.k≤5，且k≠1 D.k>5【答案】B【解析】【详解】∵关于x的一元二次方程方程有两个不相等的实数根，∴，即，解得：k＜5且k≠1．故选：B．8.当a＜0时，化简的结果是()A B. C.－ D.【答案】A【解析】【分析】由a0，再根据二次根式的性质进行化简为最简二次根式形式.【详解】∵a0，∴=·=·（-a）=,故选A.【点睛】此题主要考查二次根式的化简.9.已知，则当时，的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了代数式的值与提公因式，由，得，然后整体代入即可求解，熟练掌握利用整体代入进行求解代数式的值是解题的关键．【详解】解：∵，∴，则，，，，故选：．10.如图，△ABC中，∠ABC＝30°，BC＝6，点D是BC边上一点，且BD＝2，点P是线段AB上一动点，则PC＋PD的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先确定DC′＝DP＋PC′＝DP＋CP的值最小，然后根据勾股定理计算．【详解】解：过点C作CM⊥AB于M，延长CM到C′，使MC′＝MC，连接DC′，交AB于P，连接CP，如图：此时DP＋CP＝DP＋PC′＝DC′的值最小．∵∠ABC＝30°，∴CM＝BC，∠BCC′＝60°，∴CC′＝2CM＝BC，∴△BCC′是等边三角形，作C′E⊥BC于E，∴BE＝EC＝BC＝3，C′E＝BC＝3，∵BD＝2，∴DE＝1，根据勾股定理可得．故选：A．【点睛】本题考查了在三角形中的两边之和的最小值的动点问题，解题的关键是：利用等边三角形的性质，通过等量代换，再根据三点共线时距离最短，最后利用勾股定理建立等式求解．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）11.若代数式有意义，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．【详解】解：由题意得，．故答案为：．12.给出一种运算：对于函数，规定．例如：若函数，则有．已知函数对应的，则的值是______．【答案】或##或【解析】【分析】本题考查解一元二次方程直接开平方法、以及对新定义的理解，解答本题的关键是明确题目中的新定义，利用解方程的方法解答．根据题目中的新定义，可以得到相应的方程，从而可以求得相应的x的值．【详解】解：对于函数，规定．又函数对应的，，，解得，．故答案为：或．13.实数，，满足，则_____0．（填“”、“”、“”、“”、“”）【答案】【解析】【分析】本题考查了利用完全平方公式的变形进行求值，运用完全平方公式结合已知等式进行变形求解即可，正确进行变形，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．【详解】解：∵，∴，∴，即，∴，故答案为：．14.如图①，在Rt△ACB中∠ACB=90°，分别以AC、BC、AB为边，向形外作等边三角形，所得的等边三角形的面积分别为S1、S2、S3，请解答以下问题：（1）S1、S2、S3满足的数量关系是________．（2）现将△ABF向上翻折，如图②，若阴影部分的S甲=6、S乙=5、S丙=4，则=________．【答案】①.S1+S2=S3②.7【解析】【分析】（1）利用等边三角形的面积公式以及勾股定理即可证明．（2）设△ACB面积为S，图②中两个白色图形的面积分别为a，b，根据（1）得到S甲+a+S乙+b=S丙+a+b+S，整理之后即可代值求解．【详解】解：（1）在中，∠ACB=90°，则AB2=AC2+BC2，如图，在等边中，边上的高同理：S2=BC，S3=AB，∴S1+S2=S3；（2）设面积为S，图②中两个白色图形的面积分别为a，b；∵S1+S2=S3，∴S甲+a+S乙+b=S丙+a+b+S，∴S甲+S乙=S丙+S，∴S=6+5-4=7．故答案为：（1）S1+S2=S3；（2）7．【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，等边三角形面积计算．熟练应用勾股定理、正确计算等边三角形面积以及会用割补法求三角形面积是解题的关键．三、（本大题共2小题，每题8分，共16分）15.计算：．【答案】【解析】【分析】本题考查了实数的运算，正确处理每一项的运算及符号是解答本题的关键．根据零指数幂，绝对值的性质以及二次根式的乘法法则分别化简计算．【详解】解∶原式＝==．16解方程：．【答案】x1=3+，x2=3﹣【解析】【分析】先把-4移到方程的右边，然后方程两边都加9，最后把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式，然后两边同时开平方即可.【详解】解：移项得x2﹣6x=4，配方得x2﹣6x+9=4+9，即（x﹣3）2=13，开方得x﹣3=±，∴x1=3+，x2=3﹣【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．四、（本大题共2小题，每题8分，共16分）17.已知，．（1）求和的值；（2）求代数式的值．【答案】（1），（2）＝14【解析】【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分式的混合运算，以及代数式求值，熟练掌握完全平方公式，平方差公式是解题的关键．（1）利用平方差公式将分母有理化，然后代入字母的值，根据二次根式的混合运算法则进行计算即可求解．（2）根据分式的混合运算法则，并结合完全平方公式化简式子，然后代入（1）中式子的值，即可求解．【小问1详解】解：，，，；【小问2详解】解：．18.观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；…．（1）根据以上规律，请直接写出第5个等式：______；（2）观察、归纳，请写出你猜想的第个等式：______（用含的式子表示，为正整数），并证明你的猜想．【答案】（1）（2），证明见解析【解析】【分析】本题主要考查了二次根式的化简，数字类的规律探索：（1）仿照题意写出第5个等式即可；（2）观察式子，可得第n个等式为，然后利用二次根式的性质进行证明即可．【小问1详解】解：由题意得，第5个等式为；故答案为：；【小问2详解】解：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；……，以此类推，可知，第n个等式为，证明如下：．五、（本大题共2小题，每题10分，共20分）19.正方形网格中的每个小正方形的边长都为1，每个小格的顶点叫做格点，若三角形的三个顶点都在格点上，则这个三角形叫做格点三角形．（1）如图1，通过计算判断格点是否是直角三角形？（2）如果三边的长分别为，，，请利用图2的正方形网格，画出相应的格点，并直接写出的面积为______．【答案】（1）不是直角三角形（2）【解析】【分析】本题主要考查了勾股定理和网格问题，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理和逆定理．（1）根据勾股定理计算出的三边长度，然后根据勾股定理逆定理进行判断即可；（2）根据勾股定理作图，利用割补法求出三角形的面积即可．小问1详解】解：∵，，∴，∴∴不是直角三角形【小问2详解】解：如图，，，，∴格点即为所求作；，故答案为：3.5．20.“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风等线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为米．（1）求风筝的垂直高度；（2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？【答案】（1）风筝的高度为米（2）他应该往回收线8米【解析】【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用：（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度；（2）由题意得，米，则米，再利用勾股定理求出的长即可得到答案．【小问1详解】解：在中，由勾股定理得，，∴米或米（负值舍去），∴（米），答：风筝的高度为米；【小问2详解】解：由题意得，米，∴米，∴（米），∴（米），∴他应该往回收线8米．六、（本题12分）21.已知关于的方程（1）求证：无论取任何实数，该方程总有实数根；（2）若等腰三角形的三边长分别为，其中，并且恰好是此方程的两个实数根，求此三角形的周长．【答案】（1）见解析（2）7【解析】【分析】此题考查了根与系数的关系，根的判别式，三角形三边关系，以及等腰三角形的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．（1）表示出方程根的判别式，判断其值大于等于0即可得证；（2）分两种情况考虑：当时，求出方程的解，进而得到三角形周长；当或时，把代入方程求出k的值，进而求出周长即可．【小问1详解】证明：∵，无论取任何实数，方程总有实数根；【小问2详解】解：当时，，方程为，解得：，此时三边长为，周长为；当或时，把代入方程得：，解得：，此时方程为：，解得：，此时三边长为不能组成三角形，综上所述，的周长为七、（本题12分）22.某超市经销、两种商品．商品每千克成本为20元，经试销发现，该种商品每天销售量（千克）与销售单价（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的对应值如表所示：销售单价（元/千克）25303540销售量（千克）50403020商品的成本为6元/千克，销售单价为10元/千克，但每天供货总量只有60千克，且能当天销售完．为了让利消费者，超市开展了“买一送一”活动，即买1千克的商品，免费送1千克的商品．（1）求商品的每天销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间的函数表达式；（2）若商品售价不能低于成