动态数学讲义-Z+Z智能教育平台

Z+Z《4L微画板》格制饼文

（小学数学教师适用）

广州大学计算教育软件研究所

2011年03月

Z+Z智能教育平台《超级画板》广州地区综合应用项目

目录

第一部分基于超级画板的动态教学入门3

01认识动态数学3

02动态数学工具平台3

03通过一个实例入门5

04动态数学软件的构图规则9

第二部分几何图形与变换11

01经过一点的直线11

02三角形的三条高线12

03测量三角形的内角和14

04三角形内角和等于平角的直观说明15

05勾股定理的直观说明*18

06在平面上滚动的车轮23

07圆在圆上滚动*25

08翻折得到轴对称图形28

09等分圆周设计的图案30

10制作七巧板游戏32

11勾股树*35

12二叉树*39

第三部分运算与代数43

01比较y=xA3与y=3Ax增长的快慢43

02国王需要付出多少小麦44

03闰年的规则是如何产生的48

第b部分计算机聚你学散学50

01.轻松绘制点线圆51

02.拖动找找规律看54

03.漂亮小鸡爱美丽60

04.镜子内外行动齐63

05.千姿百态万花筒67

06.请找对称在哪里72

07.公鸡排列真整齐75

08.位置如何算平移78

09.利用平移能说理82

10.平移图案得镶嵌86

11.图案平移又旋转91

12.各种各样的角度94

13.角度大小看圆弧97

14.旋转可得靓图案100

15.旋转半周谓对称103

1

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16.利用旋转说面积108

17.镶嵌还需用旋转115

18.大小各异形状同123

19.究竟何谓相似形126

20.搭建美丽圣诞树131

21.放缩变换得位似134

22.位置无关构造异139

23.多少才能填充满144

24.圆形压缩得椭圆148

25.几何变换代数析151

26.还有挑战等着你157

2

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第一部分基于超级画板的动态数学入门

01认识动态数学

“任意三角形A8C...”、“点P在圆上O上运动过程中...”、“周长固定的长方形”…，这些

都是我们常用的几何语言。这些语言所对应的情景，在传统教学手段下，只能要求学生充分

发挥想象能力。相对于我们所生活的多姿多彩的空间而言，高度抽象化了的语言以及图形对

于刚学习数学学生来说是难以接受的。

计算机的出现使这种现象渐渐发生改变。利用计算机所作的图形不仅直观、形象，而且

具有动态性，易于观察和理解。

若利用计算机所作的几何图形，在被拖动过程中仍保持几何性质不变，如三角形还是三

角形、圆上的点还是圆上的点、平行还是平行、垂直还是垂直、中点还是中点…，那么这样

的图形就称为动态几何图形。

构造动态儿何图形的计算机软件，就叫做动态儿何软件(DynamicGeometrySoftware)0

动态几何的名称于上世纪80年代中期开始出现，经过了20多年的发展，动态儿何吸引

了越来越多人的关注，它在数学教育上的价值已经得到充分肯定。

目前具有动态几何功能的软件就有几十种，其中被中国数学教师所广泛了解的就有

Geometer'sSketchpad,Z+Z超级画板、Cabri、AutoGraph>Derive>GeoGebra等。

由于计算机在动态儿何方面的成功，也促使人们开始研究计算机在数学的其他领域的教

育功能。

因此，计算机代数系统(ComputerAlgebraSystem)>动态统计软件(DynamicStatistics

System)、随机实验平台(ProbabilitySimulationPlatform)等相继出现并被广泛实验应用。

计算机代数系统最重要的应用就是数值计算与符号运算。

动态统计软件能方便地处理大量的数据并且按照人们所熟悉的形式展现。

随机实验平台能够模拟概率事件并且自动记录和计算实验结果。

动态几何软件、计算机代数系统、动态统计软件、随机实验平台等都属于动态数学软件

(DynamicMathematicsSoftware)»

02动态数学工具平台

Z+Z智能教育平台《超级画板》是目前功能最完善的动态数学平台之一。它是：

•动态几何平台；

・计算机代数系统；

・动态统计平台；

•随机实验平台；

它还是：

•程序设计平台；

・自动推理系统。

为了更加尽快熟悉《超级画板》的上述功能，让我们首先了解一下它的工作界面吧。

超级画板软件启动后窗口如下：

3

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利用超级画板工作，主要就是通过菜单栏中的菜单命令来实现。菜单栏中包括【文件】、

【编辑】、【查看】、【作图】、【变换】、【测量】等菜单项。

菜单栏下是常用工具栏，就是将经常用的命令放在这里，提高我们的工作效率。

工具栏下面的空白区域就是作图等工作的主要区域，简称为作图工作区。

作图工作区左边是另外的一些工作区，包括“对象工作区”、“程序工作区”、“问题工作

区”等。如左下图所示，单击下方的选项卡即可将对应的工作区激活；如右下图所示，单击

工作区右上角的“X”即可将对应的工作区关闭，通过单击【查看】菜单中【工具栏】子菜单

下的对应命令可以重新显示。

我们常用的就是“对象工作区”和“程序工作区”，可以将其他工作区关闭，结果如左下图

所示。

4

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对象QX

息性4X

-口»1!文档图形对象列表

sEin第1页

+R］国［4］对象组:坐标系值

-画笔

是

1

HO

画线…实线

1建对象啕程序

画笔…兔色

作图工作区右侧是“对象属性工作区”，可以方便地修改多个对象的属性。如右上图所示,

拖动左边框可以改变它的宽度，单击右上方的“自动隐藏”开关按钮可以将“属性工作区”关

闭。鼠标指向。

属性同X-PX国

圈打1gl/I自圆

俳

值

诗

臼画笔上乜

|是画对象是

画线皂度1画线皂度

纯色画..•■000000死色画..■000000二1

商质量.•.是

03通过一个实例入门

这一节我们通过两个实例初步认识超级画板软件的主要功能。

在制作下面的实例过程中，有些内容可能没有介绍得足够详细。

(-)构造星形线和玫瑰线

(1)启动一个新的超级画板文档，下面的工作过程中，我们不需要显示坐标系，那么

如左下图所示在对象工作区中单击“坐标系”对象前的方框，结果(如右下图)方框中“4”消

失的同时在作图工作区中坐标系也被隐臧。在对象工作区中，每个对象前的方框“日'就是控

制它在作图工作区中被显示或者隐藏的开关按钮。

对象aX对象4X

-口111文档图形对象列表-EJill文档图形对象列表

白第1页-第1页

+［4］对象蛆:坐标系(±□国［4］对象蛆:坐标系

(2)在新的超级画板文档中，单击工具条中的【画笔】工具画，光标进入选择画图状

态。

(3)在空白处单击鼠标然后松开，即可作出点A。

(4)如下图，鼠标指向点A,按住拖动一段距离后松开鼠标，即可作出线段AB。

4^400e

A5VAB

(5)如下图，鼠标指向线段AB中点附近的位置，当线段4B变为红色且光标右侧出现

“中点”提示时，单击鼠标，作出线段AB的中点C。

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(6)如下图所示，鼠标指向点C,双击不松开并按住拖动，移动到点5的位置时(点

B变为红色)松开鼠标，作出以点C为圆心、经过点B的圆。

(7)如下图所示，鼠标指向圆周，圆周变为红色进行提示时单击鼠标，作出圆C上的

任意点Do

(8)单击点。并按住拖动到点C,作出线段。C。

(9)如下图所示，鼠标指向线段OC的延长线与圆周的交点附近的位置，线段CD和

圆周同时变为红色进行提示并且光标右侧出现“相交”，这时单击鼠标即可作出线段。C的延

长线与圆周的交点从然后连接线段EC。

(10)在弧BD之间，在圆周上任意取另外一个点儿

(11)单击点凡并按住拖动到线段48垂足附近的位置，线段变为红色进行提示

并且光标右侧出现“垂足”，这时松开鼠标即可作出点尸到线段A8的垂足G和垂线段FG。

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（12）作出点F到线段QC的垂足〃和垂线段四。

（13）连接线段G/7。

（15）单击工具条中的【选择】工具CH,光标返回到选择状态。

点A、点8平面上的自由点，可以被任意拖动。

点。、点尸是圆C的圆周上的点，称为半自由点，可以在圆上被任意拖动。

点C是线段的中点，点E是直线和圆的交点，点G、点”、点/是点到直线的垂足，

这些称为约束点，不能被拖动。

在点A、点8或者点。、点F被拖动过程中，可以发现图形的几何性质保持不变，中

点还是中点、垂足还是垂足、交点还是交点，这就是动态几何图形的特点。

拖动点。，使得CC与4B垂直，结果如下图所示：

容易看出，四边形CGFH是一个矩形。根据矩形的性质得知，当点F在圆上运动的过

程中，线段G4保持长度不变。这样，就可以模拟靠在墙上的梯子向下滑动的过程。

那么，当梯子在下滑过程中，或者说当点尸在圆周上运动的过程中，线段G”扫描过

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的区域是一个什么样的图形呢？点/和线段C/上又能划出什么性状的图形呢？为了探索这

些问题，我们继续下面的操作：

（16）鼠标指向线段G//,单击鼠标右键，弹出快捷菜单，如左下图在快捷菜单中单击

【跟踪】命令，结果如下图（中）所示在对象工作显示出增加了线段GH的跟踪对象。拖动

点F在圆周匕运动，结果如右下图所示。

D

□

［］点点在直线上

®:-□♦17H:

轨迹…®-□/［18］线段：FH

0:'

跟踪任□/［19］线段：GH

动画...嘈一®:-•［20］点I:点在直线上

□/氏

®:-

踪

□永

CI段

0-微

隐藏和显示按钮GH1E

（17）增加点/的跟踪和线段C1的跟踪。

（18）为了让点尸在圆周上更加均匀地运动，可以增加一个点尸的动画按钮，操作是:

鼠标指向点F,单击鼠标右键，在快捷菜单中单击【动画…】命令，结果弹出动画属性对话

框，直接单击对话框中【确定】按钮完成。单击动画按钮结果如下图所示：

动画:F运动

为了让跟踪的图形更加美观，我们需要作如下调整：

将跟踪对象都放在图层的最后面（最下面），使得能够清楚地看到原来点、线等几何对

象。将不同的跟踪对象设置不同的颜色，使得容易识别跟踪图形的性质特点。

当作图区中出现一般操作时，跟踪对象就会自动消失，所以跟踪对象无法在作图区中被

选中，但可以在左边的对象工作区中容易地选择它们。

为完成上述目的，需要继续下面的操作：

（19）［在对象工作区中］选择线段C/的跟踪对象，单击【对象】菜单中的【移动对象

到最后面】命令，（这时线段C/的跟踪对象仍处于被选中的状态）然后单击工具条中【画笔

颜色】工具/'右部分的三角，如下图所示即可打开画线颜色调色板，然后选择一种颜色

即可。

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老

:::

:=!更多颜色…

(20)选择点/的跟踪对象，将其移至最后，并且重新设置一种画线颜色。

(21)选择线段G4的跟踪对象，将其移至最后，并且重新设置一种画线颜色。结果如

下图所示：

【思考与练习】

当线段CZ)与A8不垂直时，跟踪图形如下图所示:

请继续研究下面的问题：

(1)线段G”的长度是否仍然保持不变？

(2)跟踪线段GH所留下的图形与上面有什么区别？

(3)跟踪点/的所留下的图形有什么改变？

04动态数学软件的构图规则

根据前面所设计到的问题，我们粗略谈谈使用动态数学软件工具作图等工作过程中所要

遵从的规则和超级画板中的一些习惯。

(1)当需要用画笔画图时.，就单击【画笔】工具函进入画图状态；当不再用画笔画图

时，就单击【选择】工具团返回到选择状态。

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(2)平面上的任意点，是完全自由点，可以被任意拖动；直线上的点、圆上的点以及

以后接触到的曲线上的点，是半自由点，可以按照一定的规律被拖动：线段的中点，直线的

垂足等，是约束点，不能被拖动。

(3)需要选择多个对象时，需要按住Ctrl键的同时，依次单击需要被选择的对象。选

择完成后，松开Ctrl键即可。

(4)要作三角形的内心，需要首先选择三角形的三个顶点；要构造一个多边形的内部，

需要首先选择多边形的顶点。当选择的对象满足作图条件时菜单命令才会变为亮色被激活，

若选择的对象不满足作图条件，则对应的菜单命令为灰色不能被使用。

(5)控制参数改变的方法上面介绍了两种：插入参数的变量控制尺，增加参数的动画

按钮。

学习小结

首先我们认识了超级画板软件的界面,进一步学习了根据自己的要求重新布置界面的方

法。另外，你还可以根据自一的需要将常用的菜单命令添加到工具条中，这与一般的应用软

件的操作方法是相同的。

我们学习了用超级画板的【画笔】工具的功能，利用画笔可以直接画出点、线、圆、对

象上的点、对象之间的交点、垂足、中点等等，而不能任何工具和菜单之间的切换。实际上,

利用画笔可以直接作出二十几种常用的几何对象。【画笔】工具的功能丰富而使用简单，不

过需要加强练习才能运用自如。

除此之外，我们还学习了利用菜单命令作图、进行图形变换的操作，从而理解在计算机

上作图的规则，有些命令要首先选择满足作图条件的对象后才能被激活；而另外有些命令，

却是什么都不需要选择即可直接使用。

希腊字母71在计算机系统中通常用Pi表示。

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第二部分几何图形与变换

01经过一点的直线

在平面上，经过一个点的直线有多少条呢？我们可以在计算机上画出经过任意两个点的

一条直线，然后其中一个点位置固定的情况下，拖动另外一个点，引导学生探索这个问题。

(1)在新的文档页面中，隐藏坐标系。

(2)单击【画笔】工具，任意画一条线段AB。

(3)单击【选择】工具，双击线段AB,打开其属性对话框，如下图所示，选择直线类

型为：直线，单击【确定】按钮完成。

直线画笔|埴充|渐变|文本|

类型

O0AB斜率：

蠢点和倾斜角。

BA倾斜角：

O点和嫡上的截距x-截距：

O点和画上的截厂截距：

O截距式方程一般式方程：Ax+By+C=0

O斜截式方程

o1般式方程类型转换

长度.&-0线段。射线臂线

(4)跟踪直线43。

拖动点B，可以观察到经过点4的直线的情况，如下图所示:

【思考与练习】

II

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如上图所示，蓝色圆以点A为中心、经过点B,点C是圆4上的任意点，红色圆以C

为圆心经过点8。当点C在圆周上运动时跟踪圆C留下的图形，如下图所示，这叫心脏线

或者苹果曲线。请你自己动手展示生成苹果曲线的过程。

02三角形的三条高线

利用动态几何软件画出的图形，其形状可以被任意改变，而图形在改变过程中，所包含

的几何关系始终保持不变，这可以帮助我们探索与发现图形中所隐含的内在规律。

(1)在新建文档中，隐臧坐标系。

(2)单击【画笔】工具，画任意三角形A8C。

(3)作出点A到对边BC的垂足D和垂线段作出点B到对边CA的垂足E和垂

线段8E：作出点对C到边AB的垂足尸和垂线段CF。

(4)单击【选择】工具，返回到选择状态。

(5)设置线段A。为直线，设置线段BE为直线，设置线段CF为直线。

(6)同时选择直线A。、BE和CF,在右侧的属性对话框中设置【画线类型】为：虚

线。结果如右下图所示：

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属性4X

对于垂直关系，我们往往需要标注出直角符号。例如要将N4OC的角标注出来，就首

先要选择三个点，分别是角的始边上的点、角的顶点、角的终边上的点，然后执行标注角的

命令。操作步骤如下：

(7)按住Ctrl键，依次选择点A、点Q和点C,单击【作图】菜单中的【标注角】命

令。

(8)重复类似操作标注NBEA和NCF8。

(9)选择角的标注符号，可以通过工具条中的【填充】工具将其内部填充。结果如下

图所示：

【思考与练习】

三角形的三条中线、三条角平分线也分别交于一点，请你动手完成展示和探索这两个性

质的内容。

要做三角形中一个角平分线和对边的交点，可以通过【作图】菜单下【点】子菜单中的

【角平分线上的点】命令直接实现。

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03测量三角形的内角和

利用计算机作出的三角形，可以被任意改变形状，能够更加普遍地探究三角形三个内角

测量值之和的规律。

(1)在新建文档中，作任意三角形ABC。

(2)依次选择点C、点A和点8,单击【测量】菜单下的【角的值】命令，结果得到

NC4B的测量值，如下图所示：

当图形比较简单时，我们一般习惯用角的顶点的名字表示这个角，例如在这里表示为

/A,所以我们可以将角的名称进行修改。操作步骤如下：

(3)双击测量文本，如左下图进入编辑状态，将字符C48修改为4,然后在作图区空

白处单击鼠标，退出编辑状态，结果如右下图所示。

$fh{208}CABj%.7

NA=63.36

(4)重复类似操作测量角8和角C的值，并且按照上面的要求编辑测量结果名称。

(5)单击【测量】菜单下的【测量表达式…】命令，打开测量表达式对话框。如下图

所示，可以看到之前测量的值分别用m000、mOOl、m002记录，这是计算机系统自动产生

的名称，而且这样做的好处是：之前测量得到的结果容易被以后所运用。

测量表达式

表达式:

mOOO:[11]$fh{208}A=63.36$£h{176}

mOOl:[12]Sfh{208}B=75.79$fh{176}

m002:[13]$fh{208}C=40,84$£h{176}

(6)在【表达式】编辑框中输入：mOOO+mOO1+m(X)2；然后单击【测量结果表示为弧

度】，取消对该选项的选择；单击【确定】按钮得到测量结果。

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(7)最后关闭测量表达式对话框，结果如下图所示:

【思考与练习】

如何测量三角形的外角和？同时实验探索或检验三角形外角和的规律。

04三角形内角和等于平角的直观说明

我们可以通过将一个角平移、将另一个角旋转直观地说明了三角形内角和等于平角的

道理，见下节的【思考与练习】。在这一节中，将通过同时两个角旋转来直观说明。

(1)画任意三角形ABC。

(2)作48边的中点。、C4边的中点E、BC边上的中点尸。

(3)同时选择点4、点B和点C,单击【作图】菜单下【点】子菜单中的【三角形的

内心】命令，作出三角形ABC的内心G。结果如下图所示：

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下面要完成以点E为中心、以f为旋转角，将NC旋转：

(4)右键单击点E,在快捷菜单中单击【指定旋转或放缩中心】命令。此时，该命令

的名称变为【目前正在使用的旋转或放缩中心为：£1

(5)在作图区空白处单击右键，在快捷菜单中单击【指定旋转角或放缩倍数参数…】

命令，在弹出的用户输入对话框中输入：f,单击【确定】按钮完成。此时，该命令的名称

变为【目前正在使用的旋转或放缩倍数参数为：J.】。

(6)同时选择点C、点尸和点G,单击鼠标右犍，在快捷菜单中单击【旋转几何对象】

命令，结果作出点H、点/、点人

(7)依次选择点E、点H、点/和点J,单击鼠标右键，在快捷菜单中单击【多边形】

命令，作出多边形结果如下图所示：

下面要完成以点。为中心、以Y为旋转角，将NB旋转：

(7)右键单击点D,在快捷菜单中单击【目前正在使用的旋转或放缩中心为：£］命

令。此时，该命令的名称变为【目前正在使用的旋转或放缩倍数参数为：DY

(8)在作图区空白处单击右键，在快捷菜单中单击【目前正在使用的旋转或放缩中心

为：“命令，在弹出的用户输入对话框中将参数修改为：Y,单击【确定】按钮完成。此时，

该命令的名称变为【目前正在使用的旋转或放缩中心为：

(9)同时选择点8、点尸和点G,单击鼠标右键，在快捷菜单中单击【旋转几何对象】

命令，结果作出点K、点乙、点M。

(10)依次选择点。、点K、点心和点单击鼠标右键，在快捷菜单中单击【多边形】

命令，作出多边形结果如下图所示：

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(11)以点A、点。、点G和点E为顶点，构造一个多边形。

(12)单击多边形的内部，通过工具条中的【填充工具】为三个多边形设置填充颜色。

下面增加一个控制参数t的动画按钮：

(13)在作图区空白处单击右键，在快捷菜单中单击【动画…】命令，在弹出的用户输

入对话框中输入：t,单击【确定】按钮，弹出动画属性对话框。

(14)如下图所示，在动画属性对话框中设置运动频率为：300,设置参数范围为：0

到pi,选择运动类型为：一次运动。

动画|画笔|埴充|渐变|文本

动画：t[-5,5]类型

。重复运动

。往复运动

参数e一次运动

动画运动的频率：艇’

□逆向运动

最小值厂□等速返

参数范围(t):

最大值Pi

2口隐藏-瓯1

2。

隐藏不需要显示的对象：

(15)选择点。、点E、点尸、点G、点、H、点/、点人点K、点乙、点M,在空白处

单击右键，在快捷菜单中单击【隐藏】命令。

单击【动画：t[0,pi]]按钮的主按钮(左边部分)，和/C动态旋转，结果如下图所

示：

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单击【动画:t|O,pi|】按钮的辅按钮（中间部分），N8和/C动态旋转，结果如下图所

动画：t[O,pi]r

【思考与练习】

（1）将三角形通过如下图所示变换，可以直观说明三角形的面积等于底边与高的乘积

的一半。请你在计算机上完成能动态展示这一过程的实验。

（2）将梯形形通过如下图所示变换，可以直观说明梯形的面积等于上、下底边之和与

高的乘积的一半.请你在计算机匕完成能动态展示这一过程的实验。

（3）放缩操作和旋转操作的方法类似，请你动手设计一个放缩对象的变换。

05勾股定理的直观说明*

勾股定理是几何中最著名的定理之一，也叫毕达格拉斯定理。据说毕达格拉斯发现这个

定理时认为这是神赐予的，于是杀了100头牛祭祀，大摆宴席。

到今天为止，证明勾股定理的方法有上百种之多。在本节中我们将通过计算机的动态演

示直观地说明勾股定理。

（1）在新建文档中，隐藏坐标系。

（2）光标进入画图状态，画任意线段48,如下图所示，鼠标单击点8并按住向上拖

动，当光标右侧出现‘‘垂直”提示时，松开鼠标，作出经过点8与线段48垂直的线段BC。

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ABAB

下面我们要做出分别以AB、BC、CA为一边的三个正方形。而例如以AB为一边的正方

形有两个，分别在48的上方和下方。在超级画板中作正方形需要选择两个点，而以两个已

知点为顶点的正方形有两个。那么所作出的正方形的位置与选择的点的顺序有关：以选择的

第一个点为中心，将第二个点按逆时针方向旋转的一侧。具体操作步骤如下：

(3)依次选择点C和点8,单击【作图】菜单下【常见多边形】子菜单中的【正方形】

命令，结果如下图所示。

下面我们要将正方形分割成四部分。操作步骤如下：

(6)作出对角线A/的中点人(若作图过程中作出了对角线A/,则将其删除即可)

(7)光标进入画图状态，如下图所示，过点1/作出与AC垂直且与H/相交的线段JK。

当然你的操作过程中，也可能是与4G平行且与H/相交的情形，而结果是相同的。删除线

段JK。

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（8）将点1/指定为旋转中心，设置旋转角参数为：pi/2。

（9）将点K旋转得到点L,将点L旋转得到点M,将点M旋转的到点N。

将正方形A8/H内的四部分分别以不同的向量平移而出，操作步骤如下：

（10）作平面上的任意点P、点。、点R和点S。

（11）依次选择点J和点P,单击鼠标右键，在快捷菜单中单击【选定平移向量】命令。

此时，该命令的名称变为【目前正在使用的平移向量为：选择点K、点/和点L,单

击鼠标右键，在快捷菜单中单击【平移几何对象】命令，得到点T、点。和点Vo作出以点

P、点八点U和点V为顶点的多边形，并将其内部填充一种颜色。

（12）依次选择点1/和点。，单击鼠标右键，在快捷菜单中单击【目前正在使用的平移

向量为：JP1命令。止匕时，该命令的名称变为【目前正在使用的平移向量为：JQL避点

L,点8和点M,单击鼠标右键，在快捷菜单中单击【平移几何对象】命令，得到点W、点

x和点匕作出以点。、点卬、点x和点y为顶点的多边形,，将其内部填充•种颜色。

（13）以有向线段为平移向量，将点M、点4和点N平移得到点Z、点4和点

作出以点R、点Z、点4和点S为顶点的多边形，并将其内部填充。

（14）以有向线段JS为平移向量，将点N、点，和点L平移得到点Ci、和点3，

作出以点S、点Ci、0和点好为顶点的多边形，并将其内部填充。结果可参照下图中的部

分。

下面将正方形C8DE按照指定的向量平移而出，操作步骤如下：

（15）作出线段的中点作出线段AF的中点G1。（若作图过程中作出了正方形

的对角线，则将其删除即可）

（16）在平面上任意取一点

（17）以有向线段FtHt为平移向量，将点C、点8、点D和点E平移得到点八、/、

K和点加，作出以点八、A、K和点心为顶点的多边形，将其内部填充并增加其内部的透

明度。结果如下图所示：

2()

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(18)依次选择点尸和点G,单击鼠标右键，在快捷菜单中单击【动画…】命令，在弹

出的动画属性对话框中单击【确定】按钮完成，作出点P移动到点G的动画按钮。

(19)重复类似操作，作出点。移动到点A的动画按钮，作出点R移动到点C的动画

按钮，作出点S移动到点尸的动画按钮，作出点4移动到点Gi的动画按钮。如下图所示:

动画:P运动到G动画：Q运动到A动画:R运动到C

动画：S运动到F动画:Hi运动到5

(20)同时选择这5个动画按钮，单击【课件】菜单中的【动画并行运动按钮】命令，

在弹出的动画属性对话框中，单击【文本】选项卡，设置按钮的名称为：剪拼，单击【确定】

按钮完成，作出按钮【剪拼工

对象的属性

动画|画笔|埴充］渐变文本］

剪拼

下面作出还原按钮。操作步骤如下：

(21)作出点尸移动到点J的动画按钮，作出点。移动到点J的动画按钮，作出点R

移动到点J的动画按钮，作出点5移动到点■/的动画按钮，作出点H运动到点吊的动画按

钮。

(22)同时选择这5个动画按钮，单击【课件】菜单中的【动画并行运动按钮】命令，

在弹出的动画属性对话框中，单击【文本】选项卡，设置按钮的名称为：还原，单击【确定】

按钮完成，作出按钮【还原工

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下面对作图区中不需要显示的对象隐藏，具体如下：

(23)将【剪拼】和【还原】之外的其他10个动画按钮隐藏。

(24)将点A、点8和点C之外的其他所有点隐臧。

到现在整个内容就制作完毕，单击【剪拼】按钮，结果如左下图所示；单击【还原】按

钮，结果如右下图所示。

【思考与练习】

(1)在上一节中我们通过旋转的方式直观地说明了三角形内角和为平角。我们还可以

将角A旋转到角C的位置，然后将角B平移到角C的位置，同样能直观地说明三角形内角

和为平角这个问题。请你动手完成它的直观展示过程。

(2)过去直接进入证明缺少发现的过程，因此儿何定理仿佛是从天上掠下来的。新课

程改革中则强调先从直观发现图形性质，积累了一定知识之后再进入逻辑论证。这时出现了

一个新的问题：既然我们发现了图形的性质，为什么还要进行推理证明呢？似乎没有这个必

要！怎么让学生感到不能光凭直觉研究图形性质？请你动手制作了下面的内容，将左边的图

形剪开平移重新组合后得到了右边的图形。并增加一个标题：怎么少了一块？

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06在平面上滚动的车轮

圆形车轮在水平路面上无滑动地滚动的特点就是圆心在水平方向上经过的距离，即车

轮行驶过的路面长度，等于车轮在路面上滚动所经过的弧长。根据这一原理，我们就可以模

拟车轮在平面上滚动的过程。

首先设置作图区的界面，更加像一个路面，具体操作如下：

(1)在空白文档中，如左下图所示，在左边对象工作区中单击“对象组:坐标系”前的

结果变为如右下图所示列表展开。

对象对象4X

-口1京文档图形对象列表-口111文档图形对象列表

B第1页E0口第1页

和［3国［4］对象蛆:坐标系-0国［4］对象蛆:坐标系

口乐［0］直角坐标系0-xy

+□♦［1］点0：坐标原点

a0/［2］直线：x轴

由□/［3］直线：画

(2)单击对象“点：坐标原点”前的方框，从作图区中隐臧原点。；单击对象“直线：y

轴''前的方框，从作图区中隐藏y轴。

(3)在左边对象工作区中，如左下图所示，鼠标指向第0号对象“直角坐标系O-xy”，

单击右键，打开其属性对话框，如右下图所示，设置x轴的名称为：路面，单击【确定】按

钮完成。

对象

4X坐标系画笔|埴充|

:文档图形对象列表

e第1页

士回国［4］对象蛆:坐标系

□［0］韩坐标逗-xy

iI；出面直角

王□/［3］直线：渊

作出一个半径为1的车轮，操作步骤如下：

(4)在作图区空白处单击鼠标右键，在弹出的快捷菜单中单击【坐标点】命令，弹出

坐标点作图时话框，如下图所示，在第一行中双击x坐标对应的网格激活输入状态，输入：

。；双击y坐标对应的网格激活输入状态，输入：1；为了使得作出的点能够在水平方向上.被

拖动，输入“x拖动”的参数为：a,最后单击【确定】按钮完成，作出点A。(其中拖动参数

必须是对应的坐标表达式中所出现的参数)

(5)选择点4,单击【作图】菜单中【圆和圆弧】子菜单下的【已知圆心和半径的圆…】

命令，在弹出的输入对话框中输入：1,单击【确定】按钮，作出以点4为圆心、半径为1

的圆。

(6)作出圆与路面的交点8。结果如下所示：

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假设车轮在起点时，对应的点A的横坐标是0,点8在起点处。车轮行驶了一段距离

。后，车轮上的一点应该旋转了“弧度(因为圆A的半径为1),所以我们将点8绕点A旋

转a弧度所得到的点，就是车轮滚动过程中点B应该旋转到的实际位置。具体操作方法如

下：

(7)依次选择点8和点A,单击鼠标右键，在快捷菜单中单击【点绕点的旋转放缩点…】,

如下图所示，在弹出的参数输入对话框中输入放缩比例为：1,旋转角(角度)为：-a*180/pi,

单击【确定】按钮，作出点C和线段4C。(负号表示按照顺时针方向旋转)

作出经过点C的直径和与AC垂直的直径，具体操作步骤如下：

(8)作出线段C4的延长线与圆4的交点D,连接线段A。。

(9)依次选择点C和点A,单击鼠标右键，在快捷菜单中单击【点绕点的旋转放缩点…】,

在弹出的参数输入对话框中输入放缩比例为：1,旋转角为：90,单击【确定】按钮，作出

点E和线段

(10)作出线段EA的延长线与圆A的交点F,连接线段4几结果如下图所示：

(11)6如点A运动的动画按钮，设置运动的范围为：0到4*pi,设置运动频率为：300。

隐藏点B和其他轮子上的点的名字，操作如下：

(12)隐藏点5。

(13)单击【编辑】菜单中【全部点的名字】开关命令，将点的名字隐藏。

单击动画按钮，模拟轮子在水平路面上滚动的过程，如下图所示：

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(1)跟踪车轮上的点C,然后再次单击动画按钮，结果如下生成点C的跟踪图形:

这种由旋转的轮子在无滑动的滚动中而生成的曲线，就叫做旋轮线。请你研究旋轮线的

性质。

(2)在轮子的半径上任意取一点，然后跟踪该点，如下图所示，是其中的两种情形：

这种图形也是无滑动滚动的轮子边沿上的点而生成的曲线吗？

它们被称为广义旋轮线。

(3)请你探索得出(1)中轨迹图形对应点C的轨迹方程，也进一步尝试得到(2)中

对应的轨迹曲线方程。

(4)将轮子的半径大小改为上重新制作上面的内容。

07圆在圆上滚动*

在固定圆上滚动的圆，跟踪其上面的一点所生成的曲线也是摆线。下面制作半径为r

的动圆在半径为R的定圆上滚动的实验。

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为了方便讨论问题，在这里我们将圆的半径取为整数。在计算机和数学语言中取整数的

函数是floorC”)，结果表示比a小的最大整数。

首先作出半径为flooKa)的定圆和半径为floorS)的动圆。

(1)在新建文档中，隐臧0号对象“坐标系”、2号对象'轴直线"、3号对象“y轴直线”,

只保留坐标原点。。

(2)如下图所示,作坐标点A(floor(a)*cos(r)»floor(a)*sin(0)＞设置x拖动参数为

(3)以点。为圆心、0A长为半径作圆。(在什么都不选择的情况下，单击工具条中的

【缩小】工具可以减小坐标系的单位长度)

(4)以点4为圆心、作半径长为Hoor(〃)的圆。连接线段0A,作出的延长线与圆

4的另一个交点8。结果如下图所示：

(4)隐藏圆B和线段0A。

(5)作出以点B为圆心经过点A的圆。

假定初始位置时，圆8与圆。相切于点A,若点8绕。旋转了，弧度，则点A绕点B

旋转的角度是：产^。。「(^/^。。式与弧度。下面作出点4绕点8旋转的对应点：

(6)将点4绕点8旋转放缩，得到点C和线段BC其中放缩比例为：1,旋转角(角

度)为：180/pi*f*floor(a)/floorS)。结果如下图所示：

下面增加点4的动画按钮。

设k=floor(a)/floor®。当々为整数时，曲线由h支组成，圆8上的点描完k支后(即圆8

绕圆A一周)，返回到起始位置；当k为分数(k=glh,g、人为互素的整数)时，曲线由g支

组成，圆尸上的动点描完g支后(即圆尸绕圆。旋转〃周)，返回到起始位置。

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在这里，当人为整数时，让圆P绕圆。滚动一周；当我为分数时，让圆P绕圆。旋转

floorS)周(若用，〃表示floor(a)与floor(6)的最大公约数，贝U旋转floor(b)周的过程中，是机