2024年中考数学真题分类汇编（全国）：专题22 圆的相关性质（34题）（教师版）

专题22圆的相关性质（34题）

一、单选题

1．（2024·湖南·中考真题）如图，AB，AC为O的两条弦，连接OB，OC，若A45，则BOC的

度数为（）

A．60B．75C．90D．135

【答案】C

【分析】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

1

是解题的关键．根据圆周角定理可知ABOC，即可得到答案．

2

【详解】根据题意，圆周角A和圆心角BOC同对着BC，

1

ABOC，

2

A45，

BOC2A24590．

故选：C．

2．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，AB是O的直径，E35，则BOD（）

A．80B．100C．120D．110

【答案】D

【分析】本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理推出AOD2E．

由圆周角定理得到AOD2E70，由邻补角的性质求出BOD18070110°．

【详解】解：E35，

AOD2E70，

BOD18070110．

故选：D．

3．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到

A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（）

A．倾斜直线B．抛物线C．圆弧D．水平直线

【答案】C

【分析】本题考查动点的移动轨迹，根据题意，易得重物移动的路径为一段圆弧．

【详解】解：在移动的过程中木棒的长度始终不变，故点A的运动轨迹是以O为圆心，OA为半径的一段

圆弧，

故选：C．

4．（2024·四川凉山·中考真题）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的

解决方案是：在工件圆弧上任取两点A,B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交AB于点C，

测出AB40cm,CD10cm，则圆形工件的半径为（）

A．50cmB．35cmC．25cmD．20cm

【答案】C

【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出BD的长；设圆心为O，连接OB，在

Rt△OBD中，可用半径OB表示出OD的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的

直径长．

【详解】解：∵CD是线段AB的垂直平分线，

∴直线CD经过圆心，设圆心为O，连接OB．

1

Rt△OBD中，BDAB20cm，

2

根据勾股定理得：

OD2BD2OB2，即：

2

OB10202OB2，

解得：OB25；

故轮子的半径为25cm，

故选：C．

5．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，AD是O的直径，AB是O的弦，半径OCAB，连接CD，交

OB于点E，BOC42，则OED的度数是（）

A．61B．63C．65D．67

【答案】B

【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理以及三角形的外角性质．先根据垂径定理，求得

1

AOCBOC42，利用圆周角定理求得DAOC21，再利用三角形的外角性质即可求解．

2

【详解】解：∵半径OCAB，

∴ACBC，

∴AOCBOC42，AOB84，

∵，

ACAC

1

∴DAOC21，

2

∴OEDAOBD63，

故选：B．

6．（2024·湖北·中考真题）AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，且CAB50．①以点B为圆心，

1

适当长为半径作弧，交AB,BC于D,E；②分别以DE为圆心，大于DE为半径作弧，两弧交于点P；③

2

作射线BP，则ABP（）

A．40B．25C．20D．15

【答案】C

【分析】本题主要考查圆周角定理以及角平分线定义，根据直径所对的圆周角是直角可求出ABC=40，

1

根据作图可得ABPABC20，故可得答案

2

【详解】解：∵AB为半圆O的直径，

∴ACB90，

∵CAB50，

∴ABC=40，

由作图知，AP是ABC的角平分线，

1

∴ABPABC20，

2

故选：C

7．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，AB是O的直径，若CDB60，则ABC的度数等于（）

A．30B．45C．60D．90

【答案】A

【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等．根据直径所对的圆周角为

直角得到ACB90，同弧或等弧所对的圆周角相等得到CDBA60，进一步计算即可解答．

【详解】解：AB是O的直径，

ACB90，

CDB60，

ACDB60，

ABC90A30，

故选：A．

8．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知四边形ABCD是O的内接四边形，E为AD延长线上一点，

AOC128，则CDE等于（）

A．64B．60C．54D．52

【答案】A

【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据同弧所

对的圆心角等于圆周角的2倍可求得ABC的度数，再根据圆内接四边形对角互补，可推出CDEABC，

即可得到答案．

【详解】解：ABC是圆周角，与圆心角AOC对相同的弧，且AOC128，

11

ABCAOC12864，

22

又四边形ABCD是O的内接四边形，

ABCADC180，

又CDEADC180，

CDEABC64，

故选：A．

9．（2024·云南·中考真题）如图，CD是O的直径，点A、B在O上．若ACBC，AOC36，则D

（）

A．9B．18C．36oD．45

【答案】B

【分析】本题考查了弧弦圆心角的关系，圆周角定理，连接OB，由ACBC可得BOCAOC36，

进而由圆周角定理即可求解，掌握圆的有关性质是解题的关键．

【详解】解：连接OB，

∵ACBC，

∴BOCAOC36，

1

∴DBOC18，

2

故选：B．

10．（2024·黑龙江绥化·中考真题）下列叙述正确的是（）

A．顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形

B．平分弦的直径垂直于弦

C．物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影

D．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等

【答案】C

【分析】本题考查了矩形的判定，垂径定理，中心投影，弧、弦与圆心角的关系，根据相关定理逐项分析

判断，即可求解．

【详解】A.顺次连接平行四边形各边中点不一定能得到一个矩形，故该选项不正确，不符合题意；

B.平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故该选项不正确，不符合题意；

C.物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影，故该选项正确，符合题意；

D.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等，故该选项不正

确，不符合题意；

故选：C．

11．（2024·广东广州·中考真题）如图，O中，弦AB的长为43，点C在O上，OCAB，ABC30．O

所在的平面内有一点P，若OP5，则点P与O的位置关系是（）

A．点P在O上B．点P在O内C．点P在O外D．无法确定

【答案】C

【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系，锐角三角函数，掌握圆的相关性质是解

题关键．由垂径定理可得AD23，由圆周角定理可得AOC60，再结合特殊角的正弦值，求出O的

半径，即可得到答案．

【详解】解：如图，令OC与AB的交点为D，

OC为半径，AB为弦，且OCAB，

1

ADAB23，

2

ABC30

AOC2ABC60，

在△ADO中，ADO90，AOD60，AD23，

AD

sinAOD，

OA

AD23

OA4

sin603，即O的半径为4，

2

OP54，

点P在O外，

故选：C．

12．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，四边形ABCD是O的内接四边形，AB是O的直径，若

BEC20，则ADC的度数为（）

A．100B．110C．120D．130

【答案】B

【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，连接AC，由AB是O的直径得到ACB90，

根据圆周角定理得到CABBEC20，得到ABC90BAC70，再由圆内接四边形对角互补

得到答案.

【详解】解：如图，连接AC，

∵AB是O的直径，

∴ACB90，

∵BEC20，

∴CABBEC20

∴ABC90BAC70

∵四边形ABCD是O的内接四边形，

∴ADC180ABC110，

故选：B

13．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，四边形ABCD内接于O，ABC60，BACCAD45，

ABAD2，则O的半径是（）

62232

A．B．C．D．

3322

【答案】A

【分析】延长AB至点E，使BEAD，连接BD，连接CO并延长交O于点F，连接AF，即可证得

ADC≌EBCSAS，进而可求得ACcos45AE2，再利用圆周角定理得到AFC60，结合三角

函数即可求解．

【详解】解：延长AB至点E，使BEAD，连接BD，连接CO并延长交O于点F，连接AF，

∵四边形ABCD内接于O，

∴ADCABCABCCBE180

∴ADCCBE

∵BACCAD45

∴CBDCDB45，DAB90

∴BD是O的直径，

∴DCB90

∴△DCB是等腰直角三角形，

∴DCBC

∵BEAD

∴ADC≌EBCSAS

∴ACDECB，ACCE,

∵ABAD2

∴ABBEAE2

又∵DCB90

∴ACE90

∴△ACE是等腰直角三角形

∴ACcos45AE2

∵ABC60

∴AFC60

∵FAC90

AC26

∴CF

sin603

16

∴OFOCCF

23

故选：A．

【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，圆周角定理，锐角三角函数、等腰三角形的性质与判定等

知识点，熟练掌握圆周角定理以及全等三角形的性质与判定是解题的关键．

二、填空题

14．（2024·四川南充·中考真题）如图，AB是O的直径，位于AB两侧的点C，D均在O上，BOC30，

则ADC度．

【答案】75

【分析】本题考查圆周角定理，补角求出AOC，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即

可．

【详解】解：∵AB是O的直径，位于AB两侧的点C，D均在O上，BOC30，

∴AOC180BOC150，

1

∴ADCAOC75；

2

故答案为：75．

15．（2024·北京·中考真题）如图，O的直径AB平分弦CD（不是直径）.若D35，则C

【答案】55

【分析】本题考查了垂径定理的推论，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．

先由垂径定理得到ABCD，由BCBC得到AD35，故C903555．

【详解】解：∵直径AB平分弦CD，

∴ABCD，

∵BCBC，

∴AD35，

∴C903555，

故答案为：55．

16．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，ABC是O的内接三角形，若OBC28，则A．

【答案】62/62度

【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，连接OC，利用等腰三角形的

性质，三角形内角和定理求出BOC的度数，然后利用圆周角定理求解即可．

【详解】解：连接OC，

∵OBOC，OBC28，

∴OCBOBC28，

∴BOC180OCBOBC124，

1

∴ABOC62，

2

故答案为：62．

17．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，ABC内接于O，AD是直径，若B25，则CAD

．

【答案】65

【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，连接CD，根据直径所对的圆周角是直角

得出ACD=90，根据同弧所对的圆周角相等得出DB25，进而根据直角三角形的两个锐角互余，

即可求解．

【详解】解：如图所示，连接CD，

∵ABC内接于O，AD是直径，

∴ACD=90，

∵，

ACAC,B25

∴DB25

∴CAD902565，

故答案为：65．

18．（2024·四川眉山·中考真题）如图，ABC内接于O，点O在AB上，AD平分BAC交O于D，

连接BD．若AB10，BD25，则BC的长为．

【答案】8

【分析】本题考查了圆周角定理，角平分线的定义全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判

定和性质，延长AC，BD交于E，由圆周角定理可得ADBADE90，ACBBCE90，进而

可证明ABD≌AEDASA，得到BDDE25，即得BE45，利用勾股定理得AD45，再证明

BEBC

△ABD∽△BCE，得到，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．

ABAD

【详解】解：延长AC，BD交于E，

AB是O的直径，

ADBADE90，ACBBCE90，

AD平分BAC，

BADDAE，

又∵ADAD，

∴ABD≌AEDASA，

BDDE25，

BE45，

AB10，BD25，

2

AD1022545，

DACCBD，

又∵BADDAE，

∴BADCBD，

ADBBCE90，

ABD∽BEC，

BEBC

，

ABAD

45BC

，

1045

BC8，

故答案为：8．

19．（2024·陕西·中考真题）如图，BC是O的弦，连接OB，OC，A是BC所对的圆周角，则A与OBC

的和的度数是．

【答案】90/90度

【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的

关键．根据圆周角定理可得BOC2A，结合三角形内角和定理，可证明2AOBCOCB180，

再根据等腰三角形的性质可知OBCOCB，由此即得答案．

【详解】A是BC所对的圆周角，BOC是BC所对的圆心角，

BOC2A，

BOCOBCOCB180，

2AOBCOCB180，

OBOC，

OBCOCB，

2AOBCOBC180，

2A2OBC180，

AOBC90．

故答案为：90．

20．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在O中，直径ABCD于点E，CD6,BE1，则弦AC的

长为．

【答案】310

【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．

1

由垂径定理得CEEDCD3，设O的半径为r，则OEOBEBr1，在RtOED中，由勾股定

2

理得出方程，求出r=5，即可得出AE9，在RtAEC中，由勾股定理即可求解．

【详解】解：∵ABCD,CD6，

1

CEEDCD3，

2

设O的半径为r，则OEOBEBr1，

在RtOED中，由勾股定理得：OE2DE2OD2，即(r1)232r2，

解得：r=5，

OA5,OE4，

AEOAOE9，

在RtAEC中，由勾股定理得：ACCE2AE23292310，

故答案为：310．

21．（2024·江西·中考真题）如图，AB是O的直径，AB2，点C在线段AB上运动，过点C的弦DEAB，

将DBE沿DE翻折交直线AB于点F，当DE的长为正整数时，线段FB的长为．

【答案】23或23或2

【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，根据DEAB，可得DE1或2，利用勾股定理

进行解答即可，进行分类讨论是解题的关键．

【详解】解：AB为直径，DE为弦，

DEAB，

当DE的长为正整数时，DE1或2，

当DE2时，即DE为直径，

∵DE⊥AB

将DBE沿DE翻折交直线AB于点F，此时F与点A重合，

故FB2；

当DE1时，且在点C在线段OB之间，

如图，连接OD，

1

此时ODAB1，

2

∵DE⊥AB，

11

DCDE，

22

3

OCOD2DC2，

2

23

BCOBOC，

2

BF2BC23；

当DE1时，且点C在线段OA之间，连接OD，

23

同理可得BC，

2

BF2BC23，

综上，可得线段FB的长为23或23或2，

故答案为：23或23或2．

22．（2024·河南·中考真题）如图，在Rt△ABC中，ACB90，CACB3，线段CD绕点C在平面内

旋转，过点B作AD的垂线，交射线AD于点E．若CD1，则AE的最大值为，最小值为.

【答案】221/122221/122

【分析】根据题意得出点D在以点C为圆心，1为半径的圆上，点E在以AB为直径的圆上，根据

AEABcosBAE，得出当cosBAE最大时，AE最大，cosBAE最小时，AE最小，根据当AE与C

相切于点D，且点D在ABC内部时，BAE最小，AE最大，当AE与C相切于点D，且点D在ABC

外部时，BAE最大，AE最小，分别画出图形，求出结果即可．

【详解】解：∵ACB90，CACB3，

1

∴BACABC9045，

2

∵线段CD绕点C在平面内旋转，CD1，

∴点D在以点C为圆心，1为半径的圆上，

∵BE⊥AE，

∴AEB90，

∴点E在以AB为直径的圆上，

在Rt△ABE中，AEABcosBAE，

∵AB为定值，

∴当cosBAE最大时，AE最大，cosBAE最小时，AE最小，

∴当AE与C相切于点D，且点D在ABC内部时，BAE最小，AE最大，连接CD，CE，如图所示：

则CDAE，

∴ADCCDE90，

∴ADAC2CD2321222，

∵，

ACAC

∴∠CED∠ABC45，

∵CDE90，

∴CDE为等腰直角三角形，

∴DECD1，

∴AEADDE221，

即AE的最大值为221；

当AE与C相切于点D，且点D在ABC外部时，BAE最大，AE最小，连接CD，CE，如图所示：

则CDAE，

∴CDE90，

∴ADAC2CD2321222，

∵四边形ABCE为圆内接四边形，

∴∠CEA180∠ABC135，

∴∠CED180∠CEA45，

∵CDE90，

∴CDE为等腰直角三角形，

∴DECD1，

∴AEADDE221，

即AE的最小值为221；

故答案为：221；221．

【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，

解直角三角形的相关计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质，找出AE取最大值和最小值

时，点D的位置．

三、解答题

23．（2024·四川甘孜·中考真题）如图，AB为⊙O的弦，C为AB的中点，过点C作CD∥AB，交OB的

延长线于点D．连接OA，OC．

(1)求证：CD是⊙O的切线；

(2)若OA3，BD2，求OCD的面积．

【答案】(1)见解析

(2)6

【分析】本题考查了圆的切线的判定、勾股定理、垂径定理的推论等知识点，熟记相关结论是解题关键．

（1）由垂径定理的推论可知OCAB，据此即可求证；

（2）利用勾股定理求出CD即可求解；

【详解】（1）证明：∵AB为⊙O的弦，C为AB的中点，

由垂径定理的推论可知：OCAB，

∵CD∥AB，

∴OCCD，

∵OC为⊙O的半径，

∴CD是⊙O的切线；

（2）解：∵OBOAOC3，BD2，

∴ODOBBD5，

∴CDOD2OC24，

1

∴SVOCCD6．

OCD2

24．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，AB是O的直径，BC,BD是O的两条弦，点C与点D在AB的

两侧，E是OB上一点（OEBE），连接OC,CE，且BOC2BCE．

(1)如图1，若BE1，CE5，求O的半径；

(2)如图2，若BD2OE，求证：BD∥OC．（请用两种证法解答）

【答案】(1)3

(2)见解析

1

【分析】（1）利用等边对等角、三角形内角和定理求出OBCOCB180BOC，结合

2

BOC2BCE，可得出OBCBCE90，在RtOCE中，利用勾股定理求解即可；

1

（2）法一：过O作OFBD于F，利用垂径定理等可得出BFBDOE，然后利用HL定理证明

2

RtCEO≌RtOFB，得出COEOBF，然后利用平行线的判定即可得证；

法二：连接AD，证明CEO∽ADB，得出COEABD，然后利用平行线的判定即可得证

【详解】（1）解∶∵OCOB，

1

∴OBCOCB180BOC，

2

∵BOC2BCE，

1

∴OBC1802BCE90BCE，即OBCBCE90，

2

∴OEC90，

∴OC2OE2CE2，

22

∴OC2OC15，

解得OC3，

即O的半径为3；

（2）证明：法一：过O作OFBD于F，

1

∴BFBD，

2

∵BD2OE

∴OEBF，

又OCOB，OECBFO90，

∴RtCEO≌RtOFBHL，

∴COEOBF，

∴BD∥OC；

法二：连接AD，

∵AB是直径，

∴ADB90，

22

∴ADAB2BD22OC2OE2OC2OE22CE，

OCCEOE1

∴，

ABADBD2

∴CEO∽ADB，

∴COEABD，

∴BD∥OC．

【点睛】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全

等三角形的判定与性质等知识，明确题意，灵活运用所学知识解题是解题的关键．

25．（2024·安徽·中考真题）如图，O是ABC的外接圆，D是直径AB上一点，ACD的平分线交AB于

点E，交O于另一点F，FAFE．

(1)求证：CDAB；

(2)设FMAB，垂足为M，若OMOE1，求AC的长．

【答案】(1)见详解

(2)42．

【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等知识，掌握这些性质以及定理是解

题的关键．

（1）由等边对等角得出FAEAEF，由同弧所对的圆周角相等得出FAEBCE，由对顶角相等得

出AEFCEB，等量代换得出CEBBCE，由角平分线的定义可得出ACEDCE，由直径所对

的圆周角等于90可得出ACB90，即可得出CEBDCEBCEACEACB90，即

CDE90．

（2）由（1）知，CEBBCE，根据等边对等角得出BEBC，根据等腰三角形三线合一的性质可得

出MA，AE的值，进一步求出OA，BE，再利用勾股定理即可求出AC．

【详解】（1）证明：∵FAFE，

∴FAEAEF，

又FAE与BCE都是BF所对的圆周角，

∴FAEBCE，

∵AEFCEB，

∴CEBBCE，

∵CE平分ACD，

∴ACEDCE，

∵AB是直径，

∴ACB90，

∴CEBDCEBCEACEACB90，

故CDE90，

即CDAB．

（2）由（1）知，CEBBCE，

∴BEBC，

又FAFE，FMAB，

∴MAMEMOOE2，AE4，

∴圆的半径OAOBAEOE3，

∴BEBCOBOE2，

在ABC中．

AB2OA6，BC2

∴ACAB2BC2622242

即AC的长为42．

26．（2024·四川眉山·中考真题）如图，BE是O的直径，点A在O上，点C在BE的延长线上，

EACABC，AD平分BAE交O于点D，连结DE．

(1)求证：CA是O的切线；

(2)当AC8,CE4时，求DE的长．

【答案】(1)见解析

(2)62

【分析】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握切线的判

定是解题的关键．

（1）连接OA，根据圆周角定理得到BAE90，根据等腰三角形的性质得到ABCBAO，求得

OAC90，根据切线的判定定理得到结论；

（2）根据相似三角形的判定和性质定理得到BC16，求得BEBCCE12，连接BD，根据角平分线

的定义得到BADEAD，求得BDDE，得到BDDE，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．

【详解】（1）证明：连接OA，

BE是O的直径，

BAE90，

BAOOAE90，

OAOB，

ABCBAO，

EACABC，

CAEBAO，

CAEOAE90，

OAC90，

OA是O的半径，

CA是O的切线；

（2）解：EACABC，CC，

△ABC∽△EAC，

ACCE

，

BCAC

84

，

BC8

BC16，

BEBCCE12，

连接BD，

AD平分BAE，

\ÐBAD=ÐEAD，

BDDE，

BDDE，

BE是O的直径，

BDE90，

2

DEBDBE62．

2

27．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知PAQ及AP边上一点C．

(1)用无刻度直尺和圆规在射线AQ上求作点O，使得COQ2CAQ；（保留作图痕迹，不写作法）

(2)在（1）的条件下，以点O为圆心，以OA为半径的圆交射线AQ于点B，用无刻度直尺和圆规在射线CP

上求作点M，使点M到点C的距离与点M到射线AQ的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法）

3

(3)在（1）、（2）的条件下，若sinA，CM12，求BM的长．

5

【答案】(1)作图见详解

(2)作图见详解

(3)BM65

【分析】（1）根据尺规作角等于已知角的方法即可求解；

（2）根据尺规作圆，作垂线的方法即可求解；

（3）根据作图可得MWAQ，CMWM12，AB是直径，结合锐角三角函数的定义可得AM的值，根

据勾股定理可求出AC的值，在直角BCM中运用勾股定理即可求解．

【详解】（1）解：如图所示，

∴COQ2CAQ；

点O即为所求

（2）解：如图所示，

连接BC，以点B为圆心，以BC为半径画弧交AQ于点B1，以点B1为圆心，以任意长为半径画弧交AQ于

1

点C，D，分别以点C，D为圆心，以大于CD为半径画弧，交于点F，连接BF并延长交AP于点M，

1111211111

∵AB是直径，

∴ACB90，即BCAP，

，

根据作图可得B1C1B1D1C1F1D1F1，

∴MB1AQ，即MB1B90，MB1是点M到AQ的距离，

∵BCBB1，

≌

∴RtBCMRtBB1MHL，

∴CMB1M，

点M即为所求点的位置；

（3）解：如图所示，

根据作图可得，COQ2CAQ，MCMW12，MWAQ，连接BC，

WM3

∴在RtAMW中，sinA，

AM5

5WM512

∴AM20，

33

∴ACAMCM20128，

∵AB是直径，

∴ACB90，

BC3

∴sinA，

AB5

设BC3x，则AB5x，

22

∴在RtABC中，5x3x82，

解得，x2（负值舍去），

∴BC3x6，

在RtBCM中，BMCM2BC21226265．

【点睛】本题主要考查尺规作角等于已知角，尺规作垂线，勾股定理，锐角三角函数的定义等知识的综合，

掌握以上知识的综合运用是解题的关键．

28．（2024·河南·中考真题）如图1，塑像AB在底座BC上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水

平视线DE时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经

过A，B两点的圆与水平视线DE相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时APB为最大

视角．

(1)请仅就图2的情形证明APBADB．

(2)经测量，最大视角APB为30，在点P处看塑像顶部点A的仰角APE为60，点P到塑像的水平距

离PH为6m．求塑像AB的高（结果精确到0.1m．参考数据：31.73）．

【答案】(1)见解析

(2)塑像AB的高约为6.9m

【分析】本题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，解直角三角形的应用等知识，解题的关键是：

（1）连接BM，根据圆周角定理得出AMBAPB，根据三角形外角的性质得出AMBADB，然后

等量代换即可得证；

（2）在RtAHP中，利用正切的定义求出AH，在Rt△BHP中，利用正切的定义求出BH，即可求解．

【详解】（1）证明：如图，连接BM．

则AMBAPB．

∵AMBADB，

∴APBADB．

（2）解：在RtAHP中，APH60，PH6．

AH

∵tanAPH，

PH

∴AHPHtan606363．

∵APB30，

∴BPHAPHAPB603030．

BH

在Rt△BHP中，tanBPH，

PH

3

∴BHPHtan30623．

3

∴ABAHBH63234341.736.9m．

答：塑像AB的高约为6.9m．

29．（2024·江西·中考真题）如图，AB是半圆O的直径，点D是弦AC延长线上一点，连接BD，BC，

DABC60．

(1)求证：BD是半圆O的切线；

(2)当BC3时，求AC的长．

【答案】(1)见解析

(2)2

【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，等边三角形的判定和性质，弧长公式，熟知相关性质和计

算公式是解题的关键．

（1）根据直径所对的圆周角为直角结合已知条件，可得CAB30，即可得ÐABD=90°，进而可证得结

论；

（2）连接OC，证明△OBC为等边三角形，求得AOC120，利用弧长公式即可解答．

【详解】（1）证明：AB是半圆O的直径，

ACB90，

DABC60，

CAB90ABC30，

ABD180CABD90，

BD是半圆O的切线；

（2）解：如图，连接OC，

OCOB,CBA60，

OCB为等边三角形，

COB60，OCCB3，

AOC180COB120，

120

l232．

AC360

30．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在△ABD中，ABBD，O为△ABD的外接圆，BE为O的切

线，AC为O的直径，连接DC并延长交BE于点E．

(1)求证：DEBE；

(2)若AB56，BE5，求O的半径．

【答案】(1)见解析

(2)35

【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，中垂线的判定和性质，矩形的判定和性质：

（1）连接BO并延长，交AD于点H，连接OD，易证BO垂直平分AD，圆周角定理，切线的性质，推出

四边形BHDE为矩形，即可得证；

（2）由（1）可知DHBE5，勾股定理求出BH的长，设O的半径为r，在Rt△AOH中，利用勾股

定理进行求解即可．

【详解】（1）证明：连接BO并延长，交AD于点H，连接OD，

∵ABBD，OAOD，

∴BO垂直平分AD，

∴BHAD，AHDH，

∵BE为O的切线，

∴HBBE，

∵AC为O的直径，

∴ADC90，

∴四边形BHDE为矩形，

∴DEBE；

（2）由（1）知四边形BHDE为矩形，BHAD，AHDH，

∴AHDHBE5，

∴BHAB2AH255，

设O的半径为r，则：OAOBr,OHBHOB55r，

22

在Rt△AOH中，由勾股定理，得：r2555r，

解得：r35；

即：O的半径为35．

31．（2024·四川广元·中考真题）如图，在ABC中，ACBC，ACB90，O经过A、C两点，交AB

于点D，CO的延长线交AB于点F，DE∥CF交BC于点E．

(1)求证：DE为O的切线；

(2)若AC4，tanCFD2，求O的半径．

【答案】(1)证明见解析；

210

(2)r．

3

【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质可得COD2CAB90，再根据DECF，可得

EDO180COD90，问题得证；

（2）过点C作CHAB于点H，根据等腰直角三角形的性质有CHAH22，结合tanCFD2，可

CHOD

得2，即FH2，利用勾股定理可得CF10．在Rt△FOD中，根据tanCFD2，设半

FHOF

r

径为r，即有2，问题得解．

10r

【详解】（1）证明：连接OD．

∵ACBC，ACB90，

∴△ACB为等腰直角三角形，

∴CAB45，

∴COD2CAB90，

∵DECF，

∴CODEDO180，

∴EDO180COD90，

∴DE为O的切线．

（2）过点C作CHAB于点H，

∵△ACB为等腰直角三角形，AC4，

∴AB42，

∴CHAH22，

∵tanCFD2，

CH

∴2，

FH

∴FH2，

∵CF2CH2FH2，

∴CF10．

OD

在Rt△FOD中，∵tanCFD2，

OF

r

设半径为r，∴2，

10r

210

∴r．

3

【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，正切，勾股定理等知识以及等腰三角形的性质等知识，问

题难度不大，正确作出合理的辅助线，是解答本题的关键．

32．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在ABC中，以AB为直径的O交BC于点D,DEAC，

垂足为E．O的两条弦FB,FD相交于点F,DAEBFD．

(1)求证：DE是O的切线；

(2)若C30,CD23，求扇形OBD的面积．

【答案】(1)见解析

4

(2)

3

【分析】（1）连接OD，利用等边对等角，圆周角定理等可得出ODADAE，由垂直的定义得出

ADEDAE90，等量代换得出ADEODA90，即ODDE，然后根据切线的判定即可得证；

（2）先利用含30的直角三角形的性质求出DE3，同时求出EDC60，进而求出BOD30，利

用等边对等角，三角形外角的性质等可求出AOD60，BOD120，证明△AOD是等边三角形，得

出ADOD，ODA60，进而求出ADE30，在Rt△ADE中，利用余弦定义可求出AD2，最后

利用扇形面积公式求解即可．

【详解】（1）证明：连接OD，

∵ODOA，

∴ODAOAD，

又DABBFD，DAEBFD，

∴ODADAE，

∵DEAC，

∴ADEDAE90，

∴ADEODA90，即ODDE，

又OD是O的半径；

∴DE是O的切线；

（2）解：∵C30，CD23，DEAC，

1

∴DECD3，CDE60，

2

又ODDE，

∴BDO180ODECDE30，

∵OBOD，

∴OBDODB30，

∴AOD60，BOD120

又ODOA，

∴△AOD是等边三角形，

∴ADOD，ODA60，

∴ADE30，

DE3

在Rt△ADE中，AD2，

cosADEcos30

120π224π

∴扇形OBD的面积为．

3603

【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三

角形的应用，三角形外角的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．

33．（2024·江苏扬州·中考真题）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊

情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论．

如图，已知ABC，CACB，O是ABC的外接圆，点D在O上（ADBD），连接AD、BD、CD．

【特殊化感知】

（1）如图1，若ACB60，点D在AO延长线上，则ADBD与CD的数量关系为________；

【一般化探究】

（2）如图2，若ACB60，点C、D在AB同侧，判断ADBD与CD的数量关系并说明理由；

【拓展性延伸】

（3）若ACB，直接写出AD、BD、CD满足的数量关系．（用含的式子表示）

【答案】（1）ADBDCD；（2）ADBDCD（3）当D在BC上时，2CDsinADBD；当D在

2

AB上时，2CDsinADBD

2

【分析】（1）根据题意得出ABC是等边三角形，则CAB60，进而由四边形ACDB是圆内接四边形，

设AD,BC交于点E，则BECE，设BD1，则CDBD1，分别求得AD,BD，即可求解；

（2）在AD上截取DFBD，证明AFB≌CDBAAS，根据全等三角形的性质即得出结论；

（3）分两种情况讨论，①当D在BC上时，在AD上截取DEBD，证明CAB∽DEB，VABE∽VCBD，

ADBDAB

得出，作CFAB于点F，得出AB2BCsin，进而即可得出结论；②当D在AB上时，

CDBC2

延长BD至G，使得DGDA，连接AG，证明CAB∽DAG，CAD∽BAG，同①可得AB2ACsin，

2

即可求解．

【详解】解：∵CACB，ACB60，

∴ABC是等边三角形，则CAB60

∵O是ABC的外接圆，

∴AD是BAC的角平分线，则DAB30

∴ADBC

∵四边形ACDB是圆内接四边形，

∴CDB120

∴DCBDBC30

设AD,BC交于点E，则BECE，

设BD1，则CDBD1

在Rt△BDE中，

33

∴BEcos30BDBD

22

∴BC3，

∵AD是直径，则ÐABD=90°，

在Rt△ABD中，AD2BD2

∴ADBD211

∴ADBDCD

（2）如图所示，在AD上截取DFBD，

∵ABAB

∴ADBACB60

∴DBF是等边三角形，

∴BFBD，则BFD60

∴AFB120

∵四边形ACDB是圆内接四边形，

∴CDB120

∴AFBCDB；

∵CACB，ACB60，

∴ABC是等边三角形，则CAB60

∴ABBC，

又∵BD