数学文化（第3版）课件：解析几何的思想方法与意义

数学文化

解析几何的思想方法与意义

17世纪前半叶，在数学中产生了一个全新的分支——解析几何。它的创始人是法国业余数学家费马与笛卡尔。费马(Fermat，1601—1665)笛卡尔(Descartes,1596—1650)虽然欧氏几何提供了一种理性的思维方式，给出了一种数学模式，但它也有一定的局限性：过于抽象，过多地依赖于图形；同样，当时的代数过多地受法则与公式的约束，比较抽象，不利于思维的发展。笛卡尔与费马都认识到，如果把代数与几何中一切精华的东西结合起来，几何学就可以为代数提供直观的图形，而代数学又能用来对抽象的未知量进行推理，互相取长补短。由此，一门新的学科解析几何诞生了。

章节目录5.1解析几何产生的背景5.2

解析几何的建立5.3

解析几何的基本思想

16世纪以后，文艺复兴后的欧洲进入了一个生产迅速发展、思想普遍活跃的时代。机械的广泛使用，促使人们对机械性能开始研究，而这需要运动学知识和相应的数学理论；建筑的兴盛、河道与堤坝的修建又提出了有关固体力学和流体力学的问题，而这些问题的解决需要正确的数学计算；航海事业的发展，向天文学实际上也是向数学提出了如何精确测定经、纬度，计算各种不同形状物体的面积、体积以及确定重心的方法；望远镜与显微镜的发明，提出了研究凹凸镜的曲面形状问题。5.1解析几何产生的背景德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处于这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略发现投掷物体是做抛物线运动的。要解决这些比较复杂的曲线和解决在天文、力学、建筑、河道、航海等方面的数学问题，显然已有的初等几何和初等代数这种常数范围内的数学是无能为力、难以解决的。于是人们试图创设变量数学，这就导致了解析几何的产生。从数学本身的发展看，笛卡尔和费马都认为欧几里德的《几何原本》虽然建立起了几何学的完整体系，但这样的几何过于抽象，过多地依赖图形。而另一位古希腊数学家阿波罗尼奥斯所写的另一著作《圆锥曲线论》，虽然将圆锥曲线的性质几乎网罗殆尽，但阿波罗尼奥斯的几何却是一种静态的几何，它既不把曲线看做是一种动点的轨迹，更没有给它以一般处理方法。

17世纪的生产和科技的发展，都向几何学提出了用运动的观点来认识和处理圆锥曲线及其他几何曲线的课题，即必须创立一种建立在运动观点上的几何学。虽然当时的代数过于受法则和公式的约束，缺乏直观，但代数符号化的建立恰好为解析几何的诞生创造了条件。代数学是一门潜在的方法科学，因此把几何学和代数学中的精华部分结合起来取长补短，就创造出一门新的学科，解析几何诞生了！费马(Fermat，1601—1665)是十七世纪伟大的数学家之一。他出身于商人家庭，在都鲁斯学过法律，并以当律师谋生。作为业余爱好，他对数学作出了巨大的贡献。

费马关于曲线的研究是从阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》开始的。1629年他写了一本《平面和立体的轨迹引论》，书中说他找到了一个研究曲线问题的普遍方法。

5.2

解析几何的建立5.2.1费马的工作

费马的坐标能把阿波罗尼奥斯的结果直接翻译成代数形式。他所建立的坐标是我们现在的斜坐标。费马把他的一般原理叙述为：“只要在最后的议程里出现两个未知量，我们就可以得到一个轨迹，用这两个量可描绘出一条直线或者曲线。”并且由给出的方程便可知道其所代表的是直线还是曲线。如：代表一条直线；也代表一条直线；代表一个圆；代表一条抛物线。费马还领悟到坐标轴可以平移和旋转，因而可以把一个复杂的二次方程，简化到简单的形式。笛卡尔1596年3月31日生于土伦的拉哈耶，父亲是个相当富有的律师。笛卡尔20岁毕业于普瓦界大学，去巴黎当了律师。在巴黎他认识了米道奇(Mydorge，1585—1647)和梅森(MarinMersenne，1588—1648)，花了一年时间和他们一起研究数学。当时有一种风气，即有志之士不是致力于宗教就是献身于军事。因此，笛卡尔赶了时髦，应征入伍，遍历欧洲。5.2.2笛卡尔的工作

笛卡尔献身数学，完全出于一个偶然的机会。1617年服役期间，在荷兰布莱达遇到一张数学难题招贴，他看不懂上面的佛来米语，一位中年人热心地给他作了翻译，第二天他把解答交给那个中年人。中年人对笛卡尔的解答非常吃惊，巧妙的解题方法，准确无误的计算，说明了这位年轻士兵的数学造诣不浅。原来这位中年人就是当时有名的荷兰数学家别克曼(IsaacBeeckeman，1588—1637)教授。这使他自信有数学才能，从此开始在别克曼教授指导下认真地钻研数学。笛卡尔在进行数学研究时，对当时的几何、代数感到不甚满意，他意识到代数具有作为一门普遍的科学方法的潜力。他凭借对方法的普遍兴趣和对代数这门知识的掌握，形成了用代数方法来研究几何的思想，并进行了探讨，于是他的著作《几何学》便应运而生。《几何学》是他的一本文学和哲学著作《方法论》之后的三个附录之一。

《几何学》共分三卷。在第一卷中，笛卡尔对代数式的几何意义作出了解释，并且比希腊人前进了一步。希腊人将一个变量表示成某个线段的长度，则表示一个矩形的面积，表示表示某个长方体的体积，而面对3个以上的乘积，希腊人就没法处理了。笛卡尔认为，与其把看做面积，不如把它看做比例式中的第四项。这样，只要给出一个单位线段，我们就能用给出线段的长度来表示一个变量的任何次幂或多个变量的乘积，在这一部分中，笛卡尔把几何算术化了。在第二卷中，笛卡尔根据代数方程的次数对曲线分了类：含x和y的一次和二次曲线是第一类；三次和四次方程对应的曲线是第二类；五次和六次方程对应的曲线是第三类；等等。

在第三卷中又回到了作图问题上，并且涉及了高于二次方程的解法。

尽管在《几何学》一书中，笛卡尔表达了方程与曲线相结合这一显著思想，但他只是把它作为解决作图问题的一个手段。笛卡尔对作图的过分强调，反而掩盖了曲线和方程的主要思想。不过瑕不掩瑜，笛卡尔的《几何学》一书仍被后世人认为是解析几何的一部经典之作。（1）通过计算来解决作图问题；（2）求具有某种几何性质的曲线方程；（3）用代数方法证明新的几何定理；（4）用几何方法解代数方程。

5.3

解析几何的基本思想5.3.1解析几何要解决的问题

在解析几何中，首先是建立坐标系。如图所示，取两条相互垂直且有一定方向和度量单位的直线，叫做平面直角坐标系Oxy。利用坐标系可以把平面内的任一点P和一对有序实数（a,b）建立起一一对应的关系，（a,b）称为点P的坐标。5.3.2解析几何思想方法举例

除了直角坐标系外，还有斜坐标系、极坐标系、空间直角坐标系等。坐标系将几何对象和数、几何关系和方程之间建立了密切的联系：把含有两个未知数的任意代数方程看成是平面上的一条曲线（或直线），即把方程F(x,y)=0看成是一条平面曲线（或直线），这样就可以吧对平面图形的研究归结为比较成熟且容易驾驭的数量关系的研究。例平面的点法式方程若一非零向量垂直于一平面，则称此向量是该平面的法向量。显然平面上的任一向量均与平面的法向量垂直。由于过空间一点可以作而且只能作一个平面垂直于一已知直线。因此，当平面

上一点和它的一个法向量

给定之后，平面的位置就确定下来了。下面我们来建立这种平面方程。设平面

过定点M0(x0,

y0,z0),且有法向量

yxzM0MnO而M0M=(x

x0,y

y0,z

z0),得:A(x

x0)+B(y

y0)+C(z

z0)=0对于平面上任一点M(x,

y,z),向量M0M与

垂直.

M0M=0

用代数的方法研究几何问题的思想是解析几何的基本思想。

坐标法是解析几何的基本方法。以坐标法为基础，把数看成是点，反之也能把点看成是数的数与点相对应的观念是解析几何的第一个基本观念。以坐标法为基础，把方程与曲线统一起来，把方程看成是曲线，曲线也可以看成是方程的曲线与方程相对应的观念是解析几何的第二个基本观念。5.3.3解析几何的思想、方法与基本观念（1）方法的革新（2）变量数学的诞生（