2025年中考数学复习-二次函数平行四边形存在性问题

二次函数平行四边形存在性问题1如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A(-3,0)、B(1,0)两点,与y轴交于点C，对称轴l与x轴交于点F，直线l(1)抛物线的解析式为；(2)当四边形AHCE面积最大时，求点E的坐标；(3)在(2)的条件下，连接EF，点P是x轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以F、E、P、Q为顶点，以EF为一边的四边形是平行四边形.若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由.2如图，已知抛物线y=ax2过点(1)求抛物线的解析式；(2)已知直线l过点.A,M320(3)若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标.3如图所示，抛物线y=ax2+bx+ca≠0与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为A−20,(1)求抛物线的函数表达式；(2)当△BCD的面积等于△AOC的面积的34(3)在(2)的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.4如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2−2x+c与直线(1)求此抛物线和直线AB的解析式；(2)设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点?若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△PAB面积最大时，求点P的坐标，并求△PAB面积的最大值.5如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax(1).求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；(2).点D为抛物线对称轴上一点，连接CD、BD，若∠DCB=∠CBD,求点D的坐标；(3).已知F(1,1),若E(x,y)是抛物线上一个动点(其中1<x<2),连接CE、CF、EF,求△CEF面积的最大值及此时点E的坐标.(4).若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.6如图，在平面直角坐标系中，直线y=−12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线(1).求该抛物线的解析式；(2).若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD=2∠BAC时，求点D的坐标；(3).已知E，F分别是直线AB和抛物线上的动点，当以B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标.7如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y=−34x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于B点，抛物线y=−x(1)求抛物线的函数表达式；(2)是否存在点D,使得△BDE和.△ACE相似?若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；(3)如图2，F是第一象限内抛物线上的动点(不与点D重合)，点G是线段AB上的动点.连接DF，FG，当四边形DEGF是平行四边形且周长最大时，请直接写出点G的坐标.8如图，已知二次函数y=−x2+bx+c的图象交x轴于点.(1)求这个二次函数的表达式；(2)若点P在第二象限内的抛物线上，求△PAC面积的最大值和此时点P的坐标；(3)在平面直角坐标系内，是否存在点Q，使A，B，C，Q四点构成平行四边形?若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由.9如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线(1)求抛物线的解析式；(2)过点A的直线交直线BC于点M.①当AM⟂BC时，过抛物线上一动点P(不与点B，C重合)，作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于.∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标.10如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(1)求该抛物线的解析式；(2)若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；(3)若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.11如图1，抛物线y=ax2+bx+3a≠0(1)求抛物线和直线BC的表达式；(2)点P是抛物线上的一个动点.①如图1，若点P在第一象限内，连接PA，交直线BC于点D.设△PDC的面积为S₁,△ADC的面积为S2,求②如图2，抛物线的对称轴1与x轴交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F.点Q是对称轴1上的一个动点，是否存在以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由.12如图，抛物线y=ax(1)求抛物线的解析式.(2)抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D,直线BE交AD于点E,若直线BE将△ABD的面积分为1:2两部分,求点E的坐标.(3)P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.13在平面直角坐标系中，抛物线y=−x(1)求该抛物线的解析式；(2)如图1.若点P是第一象限内抛物线上的一动点.当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；(3)如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.14将抛物线y=ax2a≠0向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H:(1)求抛物线H的表达式；(2)如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动(不与A，C重合)，过点P作PD⊥AB,垂足为D,PD交AC于点E.作PF⊥AC,垂足为F,求△PEF的面积的最大值；(3)如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由.1解:(1∵y=−x2+bx+c与x轴交于(-3,0)、B(1,0),∴抛物线的解析式为y=−故答案为：y=−(2)如图1中,连接OE.设.Em−m2−2m+3.∴当△AEC的面积最大时，四边形AECH的面积最大，∵==−∵−3∴E(3)存在.因为点Q在抛物线上EF是平行四边形的边，观察图象可知，满足条件的点Q的纵坐标为±15对于抛物线y=−x2−2x+3,当y=154时，−x2−2x+3=∴当y=−154时，−x2−2x+3=−154,解得x=−2±3122解:(1)把点A−394代入y=ax2,(2)设直线l的解析式为y=kx+b,把A、C点坐标代入,则有{94=−3k+b∴直线l的解析式为y=−12x+34,令x=0,得到y=34,∴C03∴MBMC=∴MB==MCA,∴MC²=MA·MB.(5)如图2中，一共有3种情况，符合题意.∵OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形,∴PD∥OC,PD=OC,∴设D∴PD=∣14t∴∣整理得：t2+2t−6=0或解得t=−1−7或−1+∴P−1−72+或(-2,1).3解:(1)由题意得:{−b2a

∴抛物线的函数表达式为：y=−(2)过点D作DE⊥x轴于E,交BC于G,过点C作CF⊥ED交ED的延长线于F,如图1所示:∵点A的坐标为(-2,0),点C的坐标为(0,6),∴OA=2,OC=6,∴S△AOC当y=0时,−34x2+3∴直线BC的函数表达式为：y=−∵点D的横坐标为m(1<m<4),∴点D的坐标为:(m,−34m∴DG=−∴=−解得:m₁=1(不合题意舍去),m₂=3,∴m的值为3;(3)由(2)得:m=3,−34m2+32m+6=−①当N在x轴上方时，如图2所示，有M₁和M₂两种情况:∵四边形BDNM是平行四边形,∴DN∥BM,∴DN∥x轴,∴点D与点N关于直线x=1对称,∴N−1154②当N在x轴下方时，如上图所示，有M3和M∴DM=BN,DM‖BN,∴∠DMB=∠MBN,∴点D与点N的纵坐标互为相反数，∵点D3154将y=−154代入y=−3=−154,当x=1−14时，则设M3点的坐标为(m,0),又∵DB(4,0):m+42=3+1−∴M3当x=1+14时，则同理可得：M4综上所述,点M的坐标为(8,0)或(0,0)或(14,0)或4.解:(1)∵抛物线y=ax2−2x+c∴抛物线的解析式为y=∵直线y=kx+b经过A(0,-3)、B(3,0)两点,∴{3k+b=0b=−3,∴直线AB的解析式为y=x-3,(2)存在，一共分两种情况，如图1，四边形CEM1N1∵y=∴抛物线的顶点C的坐标为(1,-4),∵CE∥y轴,∴E(1,-2),∴CE=2,①若点M在x轴下方，四边形CEM1N1为平行四边形，则CE=M1N1∴−a2+3a=2,解得：a=2,a=1②若点M在x轴上方，四边形CEN2M2为平行四边形，则CE=M2N2,解得：a=3+∴综合可得M点的坐标为(2−1或(3)如图2,作PG⟂x轴交直线AB于点G，设Pmm2∴PG=m−3−∴=−32m−322+2785.解:(1)将点A(-1,0),B(3,0)代入y=ax2+bx+2∴对称轴x=1;(2).设点D(1,y),∵C(0,2),B(3,0),∴CD∴CD²=BD²,∴(2-y)²+1=4+y²,∴y=(3).如图:过点E作.EQ⟂y轴于点Q，过点F作直线FR⟂y轴于R,∵E(x,y),C(0,2),F(1,1),∴∴S△CEF∵y=−∴当x=74时，面积有最大值4948,此时(4)存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，设N(1,n),M(x,y),且已知B(3,0),C(0,2)①四边形CMNB是平行四边形时,CM∥NB,CB∥MN,由平行四边形中心点坐标公式得：1+0∴x=−2,∴M②四边形CNBM是平行四边形时,CN∥BM,CM∥BN,由平行四边形中心点坐标公式得：1+x2③四边形CNMB是平行四边形时,CB∥MN,NC∥BM,由平行四边形中心点坐标公式得：1+32=综上所述:M(2,2)或M4−106解:(1)在y=−1把A(4,0),B(0,2),代入y=−得：{c=2−1∴抛物线的解析式为y=−(2)如图1，过点B作x轴得平行线交抛物线于点E，过点D作BE的垂线，垂足为F，交AB于点G∵BE∥x轴,∴∠BAC=∠ABE∵∠ABD=2∠BAC,∴∠ABD=2∠ABE即∠DBE+∠ABE=2∠ABE∴∠DBE=∠ABE,∴∠DBE=∠BAC设D点的坐标为x−则F点的坐标是x又∵F点纵坐标和B点纵坐标相同，为2，∴−14x∴点D的坐标为(2,3)(3)当BO为边时,OB∥EF,OB=EF,如图2所示,有3种情况，设Em−12m+2∴当BO为对角线时，OB与EF互相平分，如图3，有2种情况，符合题意：过点O作OF∥AB,直线OF:y=−12x交抛物线于点F52+2取BO的中点M,则M(0,1)由题意得,M是E₄F₄的中点，也是E₅F₅的中点，由中点坐标公式可以求出：E422−23−2,E5−22−23+27.解:(1)在y=−34x+3中,令x=0,得y=3,令y=0,得x=4,∴A(4,0),B(0,3),将A(4,0),B(0,3)分别代入抛物线.y=−x2+bx+c∴抛物线的函数表达式为：y=−(2)存在.∵△BDE和△ACE相似,∠BED=∠AEC∴△BDE∽△ACE或△DBE∽△ACE①当△BDE∽△ACE时,如图1,∠BDE=∠ACE=90°,此时BD∥AC，此时D点纵坐标为3，代入二次函数解析式，可得D②当△DBE∽△ACE时,∠BDE=∠CAE,如图2所示,过点B作BH⊥CD于H∴∠BHD=90°,∴tD∴BH=x,DH=−∴x−x2+13综上所述，点D的坐标为1343或如图2，∵四边形DEGF是平行四边形∴DE‖FG,DE=FG设Dm−m2+134m+3即:(m-n)(m+n-4)=0,∵m-n≠0∴m+n-4=0,即:m+n=4,∴n=4−m过点G作GK⟂CD于K,则GK∥AC,∴∠EGK=∠BAO∴即:GK·AB=AO·EG,∴5(n-m)=4EG,即：EG=∴DEGF周长=2DE+EG=2∵--2<0,∴当m=34时，∴▱DEGF周长最大值=898,此时当E，G互换时，结论也成立，此时G343916,综上所述.8.解:(1)∵二次函数y=−x2+bx+c的图象交x轴于点∴{∴二次函数的表达式为y=−(2)如图1,连接AC,AP,PC,过点P作PE⟂x轴，交AC于点E,由点A(-4,0),点C(0,4),可得直线AC的解析式为：y=x+4,设P则PE=−∴当x=−2时，S△PAC此时P点的坐标是−2(3)存在点Q，使A，B，C，Q四点构成平行四边形，如下三种情况，理由：①以AB为边时,有Q1和Q2两种情况:∵CQ∥AB,CQ=AB=5∵C(0,4),Q(-5,4)或(5,4),②以AB为对角线时，有Q3一种情况：CQ必过线段AB中点，且被AB平分，即：AB的中点也是CQ的中点,∵A(-4,0),B(1,0),∴线段AB中点坐标为−3由平行四边形中心点坐标公式可得：a+02b+42综上所述，满足条件的点Q的坐标为Q(-5，4)或(5，4)或(-3,-4).当AB为对角线时，解法二：过点Q作QM⊥x轴于点M,则△AQM≌△BCO,则AM=BO=1,QM=CO=4,∴OM=OA-AM=3,∴∴Q(-3,-4),综上所述，满足条件的点Q的坐标为Q(-5，4)或(5，4)或(-3,-4).9.解:(1)当x=0时,y=x-5=-5,则C(0,-5),当y=0时,x-5=0,解得x=5,则B(5,0),把B(5,0),C(0,-5)代入y=ax2+6x+c得：{∴抛物线解析式为y=−(2)①令y=0,解方程−x∴△OCB为等腰直角三角形,∴∠OBC=∠OCB=45°,∵AM⊥BC,∴△AMB为等腰直角三角形,∴AM=∵以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，AM‖PQ,∴PQ=AM=2作PD⊥x轴交直线BC于D,则∠PDQ=4∴PD=设Pm①.当P点在直线BC上方时，P1符合题意PD=−解得m₁=1(舍去),m₂=4,②.当P点在直线BC下方时,P2和P3符合题意,PD=m−5−解得m综上所述，P点的横坐标为4或5+412或②.如图2,作AN⊥BC于N,NH⊥x轴于H,作AC的垂直平分线交BC于M₁,交AC于E,∵M₁A=M₁C,∴∠ACM₁=∠CAM₁,∴∠AM₁B=2∠ACB,∵△ANB为等腰直角三角形,∴AH=BH=NH=2,∴N(3,-2),易得AC的解析式为y=5x-5，E点坐标为12−5把E12−52代入得−110得：{x=136y=−在直线BC上作点M₁关于N点的对称点M₂，则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB,设M₂(x,x-5),∵N3−2,10.解:(1)把A(3,0),B(-1,0),C(0,-3)代入抛物线解析式得：{9a+3b+c=0a−b+c=0c=−3解得：{(2)设直线BC解析式为y=kx-3,把B(-1,0)代入得:-k-3=0,即k=-3,∴直线BC解析式为y=-3x-3,∵以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M∴AM⊥BC∴设直线AM解析式为y=把A(3,0)代入得:1+m=0,即m=-1,∴直线AM解析式为y=13x−1,联立得：{y=−3x−3y=13(3)以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形时，只有BC为边一种情况，易知P到x轴的距离和CO的值相等，等于3，则分两种情况讨论，如下图2：①当P在x轴的下方，则P点的纵坐标为-3，则.x2−2x-3=-3,解得:x1=0(舍去),x2=2,此时P(2,-3)②.当P在x轴的上方，则P点的纵坐标为3，则.x2−2x-3=3,解得:综上所述，存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，且P的坐标为：1+73或11.解:(1)把A(-1,0),B(3,0)代入y=ax2+bx+3得：{∴抛物线的表达式为y=−x2+2x+3,∴点C坐标为(0,3),把B(3,0),C(0,3)代入y=kx+n得:{3k+n=0(2)①∵PA交直线BC于点D,∴设点D的坐标为(m,-m+3),设直线AD的表达式为y=k₁x+b₁,∴{−k∴直线AD的表达式，y=∴联立得：−m+3m+1x+−m+3解得x1=4mm+1或x∴DM‖PN,OM=m,ON==−m2+3mm+12整理得，t+1∵△≥0,∴(2t-3)²-4t(t+1)≥0,解得t⩽916,∴②存在,理由如下:如图2,过点F作FG⊥OB于G,∵y=-x²+2x+3的对称轴为x=1,∴OE=1,∵B(3,0),C(0,3)∴OC=OB=3,又∵∠COB=90°,∴△OCB是等腰直角三角形,∵∠EFB=90°,BE=OB-OE=2,∴△EFB是等腰直角三角形,∴FG=GB=EG=1,∴点F的坐标为(2,1),第一种情况:当EF为边时,∵四边形EFPQ为平行四边形,∴QE=PF,QE∥PF∥y轴,∴点P的横坐标与点F的横坐标同为2，当x=2时,.y=−∴点P的坐标为(2,3),∴QE=PF=3-1=2,点Q的坐标为(1,2),根据对称性当P(0,3)时,Q(1,4)时,四边形EFQP也是平行四边形.第二种情况：当EF为对角线时，如图2中的P₁EQ₃F，∵四边形PEQF为平行四边形,∴QE=PF,QE∥PF∥y轴,同理求得:点P的坐标为(2,3),∴QE=PF=3-1=2,点Q的坐标为(1,-2);综上,点P的坐标为(2,3)时,点Q的坐标为(1,2)或(1,-2),P(0,3)时,Q(1,4).12.解:(1)∵抛物线y=ax∴设抛物线解析式为:y=a(x-1)(x-3),∵抛物线y=a(x-1)(x-3)(a≠0)的图象经过点C(0,6),∴6=a(0-1)(0-3),∴a=2,∴抛物线解析式为：y=2x−1x−3∴顶点M的坐标为(2,-2),∵抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，∴点N(2,2),设直线AN解析式为:y=kx+b,由题意可得：{0=k+b2=2k+b,∴直线AN解析式为:y=2x-2,联立方程组得：{y=2x−2y=2x∴点D(4,6),∴设点E(m,2m-2),∵直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，∴S△ABE=∴12×2×∴m=2或3,∴点E(2,2)或(3,4);(3)存在，分两种情况讨论：①.若AD为平行四边形的边，∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，∴AD=PQ,∴xD-xA=xP-xQ或xD-xA=xQ-xP,∴xp=4-1+2=5或xp=2-4+1=-1,∴点P坐标为(5,16)或(-1,16);②.若AD为平行四边形的对角线，∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，∴AD与PQ互相平分,∴∴xp=3,∴点P坐标为(3,0),综上所述:当点P坐标为(5,16)或(-1,16)或(3,0)时，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形.13解:(1)将A的坐标(-1,0),点C的坐(0,5)代入y=−x2+bx+c得：{0=−1−b+c5=c解得(2)过P作PD⊥x轴于D,交BC于Q,过P作PH⊥BC于H,如图1:在y=−x2+4x+5中，令y=0得∴OB=OC,△BOC是等腰直角三角形,∴∠CBO=45°,∵PD⊥x轴,∴∠BQD=45°=∠PQH,∴△PHQ是等腰直角三角形，∴PH=∴当PQ最大时,PH最大,设直线BC解析式为y=kx+5,将B(5,0)代入得:0=5k+5,∴k=-1,∴直线BC解析式为y=-x+5,设Pm−m2+4m+5∴当m=52时，PQ最大为254(3)存在，理由如下：抛物线y=−x2+4x+5对称轴为直线x