2025北京高三一模数学汇编：压轴填空（第15题）

第1页/共1页2025北京高三一模数学汇编压轴填空（第15题）一、填空题1．（2025北京门头沟高三一模）已知数列满足，，给出下列四个结论：①存在，使得为常数列；②对任意的，为递增数列；③对任意的，既不是等差数列也不是等比数列；④对于任意的，都有.其中所有正确结论的序号是.2．（2025北京平谷高三一模）已知各项均不为零的数列，其前项和是，且.给出如下结论：①；②若为递增数列，则的取值范围是；③存在实数，使得为等比数列；④，使得当时，总有.其中所有正确结论的序号是.3．（2025北京朝阳高三一模）在棱长为的正方体中，点P是底面内的动点，给出下列四个结论：①的最小值为；②的最小值为；③的最大值为；④的最小值为．其中所有正确结论的序号是．4．（2025北京顺义高三一模）已知函数，数列满足，.给出下列四个结论：①若，则有3个不同的可能取值；②若，则；③对于任意，存在正整数，使得；④对于任意大于2的正整数，存在，使得；其中所有正确结论的序号是.5．（2025北京石景山高三一模）高斯取整函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，．有如下四个结论：①若，则；②函数与函数无公共点；③；④所有满足的点组成区域的面积为．其中所有正确结论的序号是．6．（2025北京房山高三一模）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一.设曲线与轴交于两点，与轴交于两点，点是上一个动点，给出下列四个结论：①曲线关于轴对称；②曲线恰好经过2个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；③面积的最大值为1；④（为坐标原点）.其中正确结论的序号是.7．（2025北京西城高三一模）记表示不超过实数的最大整数．设函数，有以下四个结论：①函数为单调函数；②对于任意的，或；③集合（为常数）中有且仅有一个元素；④满足的点构成的区域的面积为8．其中，所有正确结论的序号是．8．（2025北京海淀高三一模）如图所示，某游乐场有一款游乐设施，该设施由转轮和转轮组成，的圆心固定在转轮上的点处，某个座椅固定在转轮上的点处．的半径为10米，的半径为5米，的圆心距离地面竖直高度为20米．游乐设施运行过程中，与分别绕各自的圆心逆时针方向匀速旋转，旋转一周用时分钟，旋转一周用时分钟．当在正下方且在正下方时，开始计时，设在第分钟距离地面的竖直高度为米．给出下列四个结论：①；②最大值是35；③在竖直方向上的速度大小低于40米/分钟；④存在，使得时到的距离等于15米．其中所有正确结论的序号为．9．（2025北京延庆高三一模）已知函数，给出下列四个结论：①，使得关于直线对称；②，使得存在最小值；③，在上单调递减；④，使得有三个零点；其中所有正确的结论的序号是.10．（2025北京丰台高三一模）已知函数.给出下列四个结论：①当时，在区间上单调递增；②对任意实数a，都没有最小值；③当时，设的零点从大到小依次为，，，，则对任意正整数i，都有；④对任意实数a，m，存在实数，当时，恒有.其中所有正确结论的序号为.11．（2025北京东城高三一模）已知数列满足，且.给出下列四个结论：①若，当时，；②若，当时，；③若，对任意正数，存在正整数，当时，；④若，对任意负数，存在正整数，当时，.其中正确结论的序号是.

参考答案1．②③④【分析】若为常数列，可得，显然不成立，可判断①；由，可判断②；若是等差数列，可得常数，得到矛盾；若是等比数列，根据递推公式，得到矛盾判断③；两边平方得，迭代计算可判断④./【详解】对于①，若为常数列，则，根据递推公式，可得，进而可得，解得，又，故不存在，使得为常数列，故①错误；对于②，对于，由递推公式，可得，所以，，所以，所以数列是递增数列，结论②正确；对于③，若是等差数列，则为常数，可得常数，则可得是常数数列，则，与矛盾，故对任意的，既不是等差数列，若是等比数列，则为常数。根据递推公式，即为常数，则为常数数列，则可得，这与矛盾，所以对任意的，不是等比数列；综上所述：对任意的，既不是等差数列也不是等比数列，故③正确；对于④，由，两边平方得，故④正确.故答案为：②③④.2．①②④【分析】根据的递推关系可得，所以的奇数项和偶数项分别为公差为1的等差数列，进而得，即可结合选项求解.【详解】由得，相减可得，由于各项均不为零，所以，所以的奇数项和偶数项分别为公差为1的等差数列，对于①，，故正确；对于②，由于的奇数项和偶数项分别为公差为1的等差数列，所以，若，则需要，则，故正确，对于③，，若为等比数列，则为常数，则，此时，故，进而可得数列的项为显然这不是等比数列，故错误，对于④，若，只要足够大，一定会有，则，只要足够的大，趋近于0，而，显然能满足，故，当时，总有，故正确，故答案为：①②④【点睛】方法点睛：本题考查了数列的递推公式，数列单调性及与数列有关的比较大小问题．根据数列前项和与数列的项的递推关系求通项公式时，注意分析，在处理涉及隔项数列问题，一般要考虑分为奇数和偶数来分类讨论，含参的恒成立或者存在类问题，先分离参数，转化为求式子的最大值或最小值问题来处理．3．①②④【分析】设点、、、关于平面的对称点分别为、、、，设底面、的中心分别为点、，作出图形，推导出，，求出的最小值，可判断①④；由对称性得出，进而可判断②；取点和点重合，可判断③.【详解】设点、、、关于平面的对称点分别为、、、，设底面、的中心分别为点、，如下图所示：对于①，易知为的中点，则，可得，所以，，当点与点重合时，底面，此时，取最小值，即的最小值为，①对；对于④，，当点与点重合时，底面，此时，取最小值，则的最小值为，④对；对于②，由对称性可知，，则，当且仅当点为线段与平面的交点时，取最小值，②对；对于③，当点与点重合时，，所以，的最大值不是，③错.故答案为：①②④.4．①②④【分析】由已知得，若，分别对分类讨论即可判断；②若，求得即可判断．③当时，计算可判断；④，进而可得，可判断．【详解】①，所以，若，当时，，解得．当时，则，解得，当时，则，解得；当时，，解得，当时，则，解得，当时，则，解得（舍去）；综上可得：可以取3个不同的值：5，，．因此①正确．②若，则，，，可得．数列是周期为3的数列，故②正确．③当时，，，，所以不存在正整数，，故③正确．④先考虑数列的周期性，对于，则，，，，，要使是周期数列，则有，解得，从而存在，使得数列是周期数列，周期为，从而要使周期为，只需，即即可，故④正确．故答案为：①②④.5．①②④【分析】根据的取值范围，分别求出，的值，判断①；作出函数与函数的图像，即可判断②；对的取值分类讨论，即可判断③；对的取值分类讨论，求出点组成区域的面积，判断④．【详解】对于①：若，则，则，，即，故①正确；对于②：函数与函数的图象如图所示，由图可得函数与函数无公共点，故②正确；对于③：当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，，故③错误；对于④：当时，，此时组成区域的面积为1，当时，，此时组成区域的面积为1，当时，，此时组成区域的面积为1，当时，，此时组成区域的面积为，综上点组成区域的面积为，故④正确．故答案为：①②④.6．①③④【分析】曲线上的任意点，其关于的对称点为，代入曲线方程验证判断①，根据方程易知，均在曲线上判断②，结合曲线的对称性研究时的曲线性质确定最大值，结合即可判断③，在上，才能保证最大，再应用三角换元及三角恒等变换、正弦型函数的性质求范围判断④.【详解】曲线上的任意点，其关于的对称点为，代入曲线左侧有，即点也在曲线上，所以曲线关于轴对称，①对；由方程易知，均在曲线上，曲线至少经过4个整数点，②错；由，即，且，根据曲线关于轴对称，只需研究时的曲线性质，对于，当且仅当时取等号，对于在上单调递增，则，令，则，可得，结合曲线的对称性有，所以，最大，③对；在上，才能保证最大，令且，此时，所以，且，所以，当且仅当取等号，④对.故答案为：①③④7．①②④【分析】①利用定义法证明单调性；②分和两种情况讨论；③求出和时的值域，结合单调性可知，当取值域未包含的值时，集合为空集；④令，，其中，，将问题转化为，找出符合题意的单位正方形，即可求出区域面积.【详解】，且，则，则，即，则在上单调递增，故①正确；当，时，，故当时，，有，，此时，当时，，，，此时，故②正确；当时，，当时，，结合在上单调递增可知，当时，方程无解，故集合为空集，故③错误；设，，其中，，则，因，则，则，在每个单位正方形内，的值从到，但不包括，因此在的区域内的每个单位正方形内，的点构成的区域面积为1，由于的区域内的单位正方形有个，因此满足的点构成的区域面积为图中的面积8.故答案为：①②④8．①③【分析】根据题意，可求得在第分钟距离地面的竖直高度为，逐项判断即可求解.【详解】转轮与转轮分别绕各自的圆心逆时针方向匀速旋转，旋转一周用时分钟，旋转一周用时分钟，可得最小正周期，，所以，，又的半径为10米，的圆心距离地面竖直高度为20米，所以第分钟，点距离地面的高度为：，第分钟，距离地面的竖直高度为：，化简得，所以，故①正确；当，即时，得最大值，为，故②错误；若到的距离等于15米，则点Q在线段PM上，则需,所以不存在，使得时到的距离等于15米．故④错误；因为旋转一周用时分钟，旋转一周用时分钟，所以可得点在圆周上的速度为，同理可得点在圆周上的速度为，所以点在竖直方向上的速度大小低于40米/分钟，故③正确.故答案为：①③.9．①③④【分析】赋值法判断①；数形结合判断②④；利用导函数判断③，【详解】取，得，因为，所以，使得关于直线对称；故①对；由，所以，若，当时，令，则，令，则，所以在单调递减，所以，所以在单调递减，当时，令，则，所以在单调递减，所以，在上单调递减，故，不存在最小值，故②错，③对，如图

若，则当函数与直线的图象相切时，设切点横坐标为，此时，则，得到方程组，化简得，易得，则此时有两个零点，图象见下图，AI

当时，只需将上图相切时的直线向左偏一点，图象如下图所示，则两函数会出现三个交点，此时有三个零点，如下图所示，AI

故④对，故答案为：①③④【点睛】方法点睛：对于复杂函数的零点个数问题我们常将其转化成两个函数的交点个数问题，其次就是相切的临界状态将是零点变化得关键位置.10．②④【分析】①取特殊值，根据导数与函数的单调性的关系即可判断；②对进行分类讨论，即可判断；③结合①②的情况进行判断即可.【详解】对于①，当时，，则，存在，使得，所以在上单调递减，在上单调递增，故①错误；对于②，当时，，则在上单调递增；当时，,,,则在上没有最小值；当时，,,,则在上没有最小值；故②正确；对于③，结合①②，当时，在的零点，最大的①中的，，当时，当时，存在零点，所以这两个零点距离大于，故③错误；对于④，，因为是对勾函数，可以取到，，所以可以取到,故④正确.故答案为：②④.11．①③④【分析】先根据构造新数列是首相为，公比为的等比数列，得出，再构造新数列是首相为，公比为的等比数列，从而求出数列的通项公式；对于①，利用作差法即可判断；对于②，取即可判断错误；对于③，求解不等式，利用放