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常系数线性微分方程组基解矩阵解法分析综述1.1定义法解题步骤及优缺点解题步骤：由2.1节我们知道，用定义法求基解矩阵分两种情况：①当系数矩阵是一个对角矩阵，可以先将方程组写为，再分别积分，最后由定义式：展开，根据定理2.1，所求就是一个基解矩阵．②当系数矩阵是一个普通矩阵，先将系数矩阵分解成两个矩阵有，即矩阵,且,再根据定义：即可得到基解矩阵．优缺点：用定义法求基解矩阵，当系数矩阵是对角矩阵时，直接由定义式展开即可得到结果，简单易行；当系数矩阵是普通矩阵时，先将系数矩阵分解成矩阵和矩阵的和，且矩阵和矩阵是可交换的，此时要求较高，只适用于矩阵阶数不高，易分解的情形．1.2特征向量法解题步骤及优缺点解题步骤：先将系数矩阵的个特征值求出来，它们相对应的重数分别为，这里，再求出分别对应于特征值的个特征向量，最后分两种情况考虑：①当系数矩阵的特征值均两两互异时，有，初始向量，这时当是一般矩阵时，能依据定理2，求得是常系数线性微分方程组的一个基解矩阵，进一步得到；②当系数矩阵的特征值完全相同时，即，这时对于任意一个，均有，直接可以根据，其中是单位向量．令，求得等个解，将个解作为列即为所求基解矩阵．优缺点：基于对线性代数知识的理解，这个方法比较容易理解接受，当系数矩阵阶数不高时，用特征向量法计算简洁﹑简单易行．但如果矩阵阶数过高时，比如系数矩阵为四阶时，求矩阵特征值就已经很复杂了，不用说还要继续求特征向量．综上矩阵阶数大于三阶时，用此方法计算量太大﹑太繁琐，用这个方法解题板书太多，不太现实．1.3若尔当标准型解题步骤及优缺点解题步骤：首先根据线性代数基本知识，求得阶矩阵的阶非奇异矩阵：使得，其中，为若尔当标准型，其次对矩阵中的若尔当块分解成一个有形式的矩阵和一个幂零矩阵：并对求解，得出初等函数有限和形式最后计算得到一个基解矩阵为：．优缺点：运用若尔当标准型来求解基解矩阵，在理论上是较为简洁的，只需要经过三个步骤，就可以求得基解矩阵．但在实际的运用上可能会比较麻烦，从若尔当标准型的结构上来看，其是由一些若尔当块组合而成的分块对角阵，其中任意的一个若尔当块又可以各自做为一个阶的方阵，看起来就非常复杂，在分解若尔当块时，对矩阵块的分析研究非常繁琐，有很大的工作量，而且一不注意就会把数据记录错，需要高度集中注意力．1.4哈密顿-凯莱定理解题步骤及优缺点解题步骤：哈密顿-凯莱定理求基解矩阵的两种方法的解题步骤：方法一：先求出系数矩阵的特征值，再根据定理5：初始条件为求初值问题，最后代入求得基解矩阵．方法二：先求出系数矩阵的特征值和重数，再解方程组：最后代入（2.22）式求得基解矩阵为：．优缺点：用哈密顿-凯莱定理能够针对基解矩阵进行有效的解题．同时也能够将这种矩阵予以简化，进而减少该方程中的运算难度．而且这种定理在方程含重根的解题过程中，效果非常显著．在解题当中可以利用初等函数中的有限积分的方法来进行表达．这种方法既能够规避代数解题当中的一些复杂理论，同时也能够错开

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