人教版2025年八年级数学下册 期中易错题压轴题专项复习（考试范围：第16~18章）【24大题型】

期中易错题压轴题专项复习【24大题型】（考试范围：第16~18章）【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【易错篇】 2【考点1二次根式】 2【考点2根据二次根式的性质化简】 2【考点3二次根式的乘除】 2【考点4二次根式的加减】 3【考点5勾股定理与网格】 3【考点6利用勾股定理求值】 5【考点7赵爽弦图】 6【考点8勾股定理逆定理的应用】 8【考点9勾股定理的应用】 9【考点10与平行四边形有关的证明与计算】 10【考点11与矩形有关的证明与计算】 11【考点12与菱形有关的证明与计算】 12【考点13与正方形有关的证明与计算】 14【考点14与直角三角形斜边的中线有关的证明与计算】 15【考点15与三角形中位线有关的证明与计算】 16【压轴篇】 18【考点16化简含字母的二次根式】 18【考点17求立体图形的最短路径问题】 18【考点18几何动点问题】 19【考点19几何最值问题】 21【考点20几何探究问题】 23【考点21多结论类问题】 25【考点22新定义类问题】 26【考点23规律类问题】 28【考点24阅读理解类问题】 30【易错篇】【考点1二次根式】【例1】（24-25八年级·福建莆田·期中）已知n是正整数，28n是整数，则n的最小值是(

)A．0 B．2 C．3 D．7【变式1-1】（24-25八年级·广东河源·期中）若二次根式x−2024x在实数范围内有意义，则x的取值范围是（

A．x>2024 B．x≥2024 C．x<2024 D．x≤2024【变式1-2】（24-25八年级·浙江舟山·期中）当x＝－1时，二次根式6−3x的值为.【变式1-3】（24-25八年级·河南洛阳·阶段练习）已知y=2x−1+1−2x+2，那么xy=．【考点2根据二次根式的性质化简】【例2】（24-25八年级·北京顺义·期中）如果x−2x2−4=2−x【变式2-1】（24-25八年级·甘肃兰州·期中）适合2a−32=6−2a的正整数aA．13 B．14 C．15 D．16【变式2-2】（24-25八年级·四川成都·期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：a2+b【变式2-3】（24-25八年级·上海·期中）将x−6x【考点3二次根式的乘除】【例3】（24-25八年级·山东烟台·期末）幻方是一种中国传统游戏，它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等．类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则数值A+B+C+D=．AB5510C210D【变式3-1】（24-25八年级·山东烟台·期中）计算3+22024【变式3-2】（24-25八年级·河北唐山·期中）二次根式12，12【变式3-3】（24-25八年级·江西吉安·期末）学习了a2=a小亮：解：原式=a+1−a=1；小芳：解：原式=a+1−a∵a>1，∴原式=a+a−1=2a−1，(1)________的解法是不正确的；(2)化简：ab−ba⋅ab【考点4二次根式的加减】【例4】（24-25八年级·江西萍乡·期末）若a=1003+997，b=1001+999，【变式4-1】（24-25八年级·河北唐山·期末）下列二次根式中，可与12进行合并的二次根式是（

）A．3 B．6 C．18 D．24【变式4-2】（24-25八年级·江苏南京·期末）已知x=23−1，则代数式x【变式4-3】（24-25八年级·湖北武汉·期末）已知xy=2,x+y=4，则xy+y【考点5勾股定理与网格】【例5】（24-25八年级·江苏淮安·期末）某班学生在劳动实践基地用一块正方形试验田种植苹果树，同学们将试验田分成7×7的正方形网格田，每个小正方形网格田的边长为1米，如图所示，为了布局美观及苹果树的健康成长，同学们要把苹果树种植在格点处（每个小正方形的顶点叫格点），且每两棵苹果树之间的距离都要大于2米，则这块试验田最多可种植棵苹果树．【变式5-1】（24-25八年级·山西临汾·期末）如图，在6×6的网格图中，每个小方格的边长为1，请在给定的网格中按下列要求画出图形．(1)画一个三边长分别为4，5，13的三角形；(2)画一个腰长为10的等腰直角三角形．【变式5-2】（24-25八年级·河南驻马店·期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，若△ABC和△BCD的顶点都在小正方形网格的格点上，则∠ACB+∠DBC=（

）A．45° B．75° C．120° D．135°【变式5-3】（24-25八年级·安徽安庆·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，△ABC的顶点A，B，C均在格点上．若AD⊥BC于点D，则线段AD的长为【考点6利用勾股定理求值】【例6】（24-25八年级·浙江绍兴·期末）如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=4，将△ABC沿AC折叠，点B落在B′处，AD与B′C交于E，则CEA．134 B．72 C．258【变式6-1】（24-25八年级·江苏苏州·期末）勾股定理是数学史上的一颗玻璃珠．被誉为清代“历算第一名家”的名数学家梅文鼎先生（图①）在《梅氏丛书辑要》（由其孙子梅瑴成编纂）的“勾股举隅”卷中给出了多种勾股定理的证法．其中一种是在图②的基础上，运用“出入相补”原理完成的．在△ABC中，∠ACB=90°，四边形ABDE，ACFG，BCHI均为正方形，HI与AE相交于点J，可以证明点D在直线HI上．若△AHJ，△DEJ的面积分别为2和6，则直角边AC的长为（

）A．2 B．3 C．5 D．2【变式6-2】（24-25八年级·陕西西安·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC,BD交于点O．若AD=1,BC=4，则AB2

【变式6-3】（24-25八年级·四川达州·期末）如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，BC=4，AE⊥CD，垂足为E，AE=CE，连接AC，若DE=5(1)AC的长；(2)四边形ABCD的面积．【考点7赵爽弦图】【例7】（24-25八年级·江苏宿迁·期末）综合实践我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“赵爽弦图”．他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数恒等式，严密又直观，为中国古代“形数统一”、代数和几何紧密结合的独特风格树立了一个典范．在一节八上数学复习课上，老师为了弘扬中国的数学文化，和同学们开启对“赵爽弦图”的深度研究．(1)类比“弦图”，证明定理小明同学利用四张全等的直角三角形纸片（如图1），证明勾股定理．因为大正方形的面积可以看成4个直角三角形与1个边长为b−a的小正方形组成，即面积表示为：4×12ab+善于思考的小亮同学把一个直立的火柴盒放倒（如图2），聪明的他发现用不同的方法计算梯形ABCD的面积，也可证明勾股定理，请你和他一起证明．(2)利用“弦图”，割拼图形如图3，老师给出由5个小正方形组成的十字形纸板，让同学们尝试剪开，使得剪成的若干块能够拼成一个无缝的大正方形，可以怎么剪？请你画出示意图．(3)构造“弦图”，应用计算如图4，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°,AC=BC，点D是BC中点，过点C作CE⊥AD，垂足为点F，交AB于点E，若BE=3，求AB的长．【变式7-1】（24-25八年级·江苏南京·期末）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD．连接AQ、BP、CN、DM．若正方形ABCD的面积为2a，阴影部分的面积为2b．则AN的长度为（

）A．a+b B．a2+b2 C．【变式7-2】（24-25八年级·四川成都·期末）如图1，将四个全等的直角三角形拼成了一个四边形ABEC，然后将前面四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形如图2，该正方形的面积为5；再将其四个全等的直角三角形拼成了图3形状，图3的外轮廓周长为4+45，则图1中的点C到AB的距离为【变式7-3】（24-25八年级·浙江金华·期末）图1是由5个全等的直角三角形与一个小正方形组成，延长DK交AB、AC分别于点M、N，延长EH交BD于点P（如图2）．（1）若Rt△ABF的面积为5，小正方形FGHK的面积为9，则AB＝（2）如图2，若S四边形AEHNS四边形BMHP=k，则【考点8勾股定理逆定理的应用】【例8】（24-25八年级·黑龙江双鸭山·期末）两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速40海里，乙船时速30海里，两个小时后，两船相距100海里，已知甲船的航向为北偏东46°，则乙船的航向为（

）A．南偏东44° B．北偏西44° C．南偏东44°或北偏西44° D．无法确定【变式8-1】（24-25八年级·黑龙江大庆·期末）笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B．其中AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路CH，测得BC=5千米，CH=4千米，BH=3千米．则原路线AC＝【变式8-2】（24-25八年级·辽宁鞍山·期末）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得AB=9m，BC=12m，CD=8m，AD=17m，且

A．48m2 B．114m2 C．【变式8-3】（24-25八年级·吉林四平·期末）如图①是超市的儿童玩具购物车，图②为其侧面简化示意图．测得支架AC=24cm，CB=18cm，两轮中心的距离(1)连接AB，则△ABC是__________三角形，请写出推理过程．(2)点C到AB的距离是__________cm．【考点9勾股定理的应用】【例9】（24-25八年级·四川成都·期中）四川的人民渠（利民渠、幸福渠、官渠堰）是都江堰扩灌工程之一，也是四川省建成的第一座大型水利工程，有“巴蜀新春第一渠”之称．现为扩建开挖某段干渠，如图，欲从干渠某处A向C地、D地、B地分流（点C，D，B位于同一条直线上），修三条笔直的支渠AC，AD，AB，且AC⊥BC；再从D地修了一条笔直的水渠DH与支渠AB在点H处连接，且水渠DH和支渠AB互相垂直，已知AC=6km，AB=10km，(1)求支渠AD的长度．（结果保留根号）(2)若修水渠DH每千米的费用是0.7万元，那么修完水渠DH需要多少万元？【变式9-1】（24-25八年级·福建福州·期中）《九章算术》中“勾股”一章有记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它的顶端恰好到达池边的水面，求芦苇的长度．（1丈＝10尺）解决下列问题：（1）示意图中，线段AF的长为尺，线段EF的长为尺；（2）求芦苇的长度．【变式9-2】（24-25八年级·安徽阜阳·期中）超速行驶是引发交通事故的原因之一．上周末，小聪等三位同学在某路段尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100m的点P处．这时，一辆轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得∠APO=60°，∠BPO=45°(1)求AB的距离，（3取1.73）(2)试判断此车是否超过了80km/h【变式9-3】（24-25八年级·安徽安庆·单元测试）由于大风，山坡上的一棵树甲被从点A处拦腰折断，如图所示，其树恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB=4米，BC=13米，两棵树的株距（两棵树的水平距离）为12米，请你运用所学的知识求这棵树原来的高度．【考点10与平行四边形有关的证明与计算】【例10】（24-25八年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列不能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（

）A．AO=OC，OB=OD B．∠ABC=∠ADC，ADC．AB=DC，AD∥BC D．AB=DC【变式10-1】（24-25八年级·河南商丘·期中）如图1，AB∥CD，P为AC的中点，点E为射线AB上的任意一点（不与点A重合），连接EP，并使EP的延长线交射线CD于点(1)求证：△APE≌△CPF；(2)如图2，连接EC、AF，是否有EC∥【变式10-2】（24-25八年级·西藏拉萨·期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠C=40°，过点D作CB的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为．【变式10-3】（24-25八年级·河南漯河·期中）如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE，(1)求证：四边形ADCE是平行四边形；(2)若∠B=30°，∠CAB=45°，AC=6，求AB【考点11与矩形有关的证明与计算】【例11】（24-25八年级·天津西青·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是中线，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E．(1)求证：四边形ADCE是矩形；(2)DF与AB之间的关系是什么？请说明理由．【变式11-1】（24-25八年级·山西运城·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E．若ED=3BE，则AE的长为（

）A．3 B．4 C．33 【变式11-2】（24-25八年级·辽宁鞍山·期中）已知：如图，点P为矩形ABCD的边AD上一点，连接BP，将矩形ABCD的一部分DPBC沿BP翻折180°得D′PBC′，且点(1)求证：C′(2)若BC=10，DC=6，求折痕BP的长．【变式11-3】（24-25八年级·海南海口·期中）如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点E处，已知AB=6cm，BC=10cm，则CF=cm，DE【考点12与菱形有关的证明与计算】【例12】（24-25八年级·陕西西安·期中）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC平分∠BAD，过点D作DP∥AC，过点C作CP∥BD，(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若AC=12，BD=16，求OP的长．【变式12-1】（24-25八年级·陕西西安·期中）如图，在菱形ABCD中摆放了一副三角板，等腰直角三角板DEF的一条直角边DE在菱形边AD上，直角顶点E为AD的中点，含30°角的直角三角板的斜边GB在菱形ABCD的边AB上．连接AC，若DF=4，则AC的长为（

）A．8 B．42 C．82 【变式12-2】（24-25八年级·广东梅州·期中）如图，矩形ABCD和矩形AECF有公共顶点A和C，CD=CE,AE与BC相交于点G，AD与CF相交于点H．(1)求证：四边形AGCH是菱形．(2)连接AC,GH，若AC=10,GH=4,求四边形AGCH的面积．【变式12-3】（24-25八年级·湖北武汉·期中）菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，点G为AB的中点，以BG为边作菱形BEFG，其中点E在CB的延长线上，点P为FD的中点，则PB=（

）A．72 B．3 C．5+12【考点13与正方形有关的证明与计算】【例13】（24-25八年级·四川泸州·期中）如图所示，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A、B重合），另一直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F．(1)如图1，当点E在AB边的中点位置时，若DE=EF，连接点E与AD边的中点N，请猜想NE与BF的数量关系，并加以证明．(2)如图2，当点E在AB边上的任意位置时，猜想此时DE与EF有怎样的数量关系并证明你的猜想．【变式13-1】（24-25八年级·河北张家口·期中）如图，已知正方形纸片ABCD，M、N分别是AD、BC的中点，把BC边向上翻折，使点C恰好落在MN上的P点处，BQ为折痕，则∠PBQ的度数为（

）

A．20° B．25° C．30° D．60°【变式13-2】（24-25八年级·河南郑州·期中）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E,F分别是边CD,AD的中点，连接AE,BF，点G,H分别是AE,BF的中点，连接GH，则GH的长为．【变式13-3】（24-25八年级·宁夏银川·期中）如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于点G，连接DG．(1)求证△ADG≌△FDG；(2)如图2，若正方形边长为6，点E为BC的中点，连接BF，求线段AG的长；(3)在（2）的条件下求出△BEF的面积．【考点14与直角三角形斜边的中线有关的证明与计算】【例14】（24-25八年级·广东梅州·期中）在正方形ABCD中，AD=2，E，F分别为边DC，CB上的点，且始终保持DE=CF，连接AE和DF交于点P，则线段A．5−1 B．5 C．52 【变式14-1】（24-25八年级·浙江绍兴·期中）如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC．若DE=5，AE=8，EC=7，则BC的长度是【变式14-2】（24-25八年级·山西运城·期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAD=130°，点E为对角线AC的中点，连接DE，BE，BD，则∠DBE的度数为（

）A．50° B．40° C．30° D．25°【变式14-3】（24-25八年级·江苏盐城·期中）如图，已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．(1)证：MN⊥DE；(2)若∠ABC=75°，∠ACB=40°，连接DM、ME，求∠DME的度数．【考点15与三角形中位线有关的证明与计算】【例15】（24-25八年级·陕西咸阳·期末）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB,BC,CD,DA的中点，那么添加下列条件一定能判定四边形EFGH是正方形的是（

）A．AC=BD且AB=AD B．AC⊥BD且AC和BD互相平分C．∠BAD=∠ABC且AC=BD D．AC=BD且AC⊥BD【变式15-1】（24-25八年级·甘肃兰州·期末）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，BE=EC,AC=2，则菱形ABCD的周长是（）A．6 B．8 C．10 D．12【变式15-2】（24-25八年级·辽宁鞍山·期中）如图，菱形ABCD对角线AC、BD交于点O，点E为OD的中点，连接AE并延长至点F使EF=AE，连接FD、FC，试判断四边形OCFD的形状并说明理由．【变式15-3】（24-25八年级·山东潍坊·期末）【观察与发现】如图1，我们在探究三角形中位线定理时，通过剪切和拼接的方法将三角形拼成了面积相等的平行四边形．同样，我们也可以将任意一个四边形剪开拼成一个面积相等的平行四边形．操作如下：如图2，沿着过对边中点的两条线段EG和HF剪开，将四边形ABCD分成四部分．通过旋转或移动，使点B，C，D与A重合，可以得到，新四边形OLKJ是平行四边形．【类比与探究】（1）类比上述做法，尝试将任意一个三角形剪开拼成一个与其面积相等的矩形．①图3是将△ABC剪开拼成矩形BCH依据图中呈现的操作方法，可知：DE与BC的数量关系为_______；AH与DE的位置关系为_________；②如图4，请你再设计一种将△ABC剪开拼成与其面积相等的矩形的方法．仿照图3用虚线在左图中画出剪切线，简单说明剪切线满足的条件，在右图画出拼成的简图．【实践与应用】（2）请思考如何将任意一个四边形剪开拼成一个与原四边形面积相等的矩形？请你设计思路不同的两种方案，在图5中用虚线画出分割线，用实线画出拼成的矩形．【压轴篇】【考点16化简含字母的二次根式】【例16】（24-25八年级·上海静安·期中）已知xy<0，化简二次根式−xy2yA．x B．−x C．−x D．【变式16-1】（24-25八年级·湖北黄石·期中）已知a<0，则二次根式−a2bA．ab B．a−b C．−ab【变式16-2】（24-25八年级·上海·期中）已知a>0，那么−ab可化简为（

A．b−ab B．−1bab C．【变式16-3】（24-25八年级·北京顺义·期末）当m<0时，化简二次根式mnnmA．nmn  B．−nmn  C．【考点17求立体图形的最短路径问题】【例17】（24-25八年级·四川达州·期末）如图，桌上有一个圆柱形盒子（盒子厚度忽略不计），高为10cm，底面周长为12cm，在盒子外壁离上沿2cm的点A处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿盒子表面爬到点A．12cm B．23cm C．6【变式17-1】（24-25八年级·河南周口·期末）如图①所示的正方体木块的棱长为2cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②所示的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为（

A．2+1cm B．2+3cm 【变式17-2】（24-25八年级·河南南阳·期末）如图，教室墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上，若PA=13米，AB=2米，点P到AF的距离是3米，一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是（

A．5 B．18 C．13 D．3【变式17-3】（24-25八年级·陕西西安·期末）如图，一只蚂蚁从长为5cm、宽为3cm、高为10cm的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是cm．【考点18几何动点问题】【例18】（24-25八年级·江苏扬州·期中）如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，当点P从点B运动到点C，点M运动的路径长为（

）A．1.5 B．2 C．2.4 D．2.5【变式18-1】（24-25八年级·贵州遵义·期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，且AD=12cm，AB=8cm，DC=10cm，若动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿线段AD向点D运动；动点Q从C点出发以每秒2cm的速度沿CB向B点运动，当Q点到达B点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q(1)BC=cm；(2)当t=秒时，四边形PQBA成为矩形．(3)当t为多少时，PQ∥CD？(4)是否存在t，使得△DQC是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由．【变式18-2】（24-25八年级·福建厦门·期中）如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，对角线AC，BD相交于点O，P为线段OB上一点，连接CP，将线段CP绕点P顺时针旋转，交AB延长线于点Q．(1)求证：AP=PQ；(2)在P点运动过程中，∠CPQ的大小是否发生变化？请说明理由；(3)判断线段DP与线段BQ的数量关系，并证明．【变式18-3】（24-25八年级·山东日照·期中）如图1，已知在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、DC上运动．【尝试探究】（1）如图1，当点E、F分别在边BC、DC上运动，∠EAF=45°时，探究DF、BE和EF的数量关系，并说明理由；【模型建立】（2）如图2，当点E、F分别在射线CB、DC上运动，∠EAF=45°时，（1）中的结论是否成立？若成立请加以说明；若不成立，请写出它们的数量关系并加以说明；【模型应用】（3）如图3，已知△ABC是边长为5的等边三角形，BD=CD，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，使其角的两边分别交边AB、AC于点E、F，连接EF，求△AEF的周长．【考点19几何最值问题】【例19】（24-25八年级·吉林长春·期中）如图1．在四边形ABCD中，顺次连结各边中点E、F、G、H得到的四边形EFGH叫做四边形ABCD的中点四边形．利用三角形中位线的相关知识解决下列问题：(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；(2)当AC⊥BD时，四边形EFGH是_________；(3)如图2．四边形ABCD中，AC和BD互相垂直，AC=6、BD=10．则AD+BC的最小值为________．【变式19-1】（24-25八年级·四川成都·期末）如图，已知菱形ABCD的边长为5，面积为15，点E是对角线AC上的动点（不与点A重合），以AB为对角线作平行四边形AEBF，则EF的最小值为．【变式19-2】（24-25八年级·河南洛阳·期中）综合与实践：在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为3的正方形ABCDD与边长为6的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．连接DG，BE，易得DG=BE且DG⊥BE(不需要说明理由)．(1)如下图，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，旋转角为α(15°<α<165°)．①连接DG，BE，判断DG与BE的数量关系和位置关系，并说明理由；②在旋转过程中，如下图，连接BG，GE，ED，DB，求四边形BGED面积的最大值．(2)如下图，分别取BG，GE，ED，DB的中点M，N，P，Q，连接MN，NP，PQ，QM，则四边形MNPQ的形状为______，四边形MNPQ面积的最大值是______．【变式19-3】（24-25八年级·广东广州·期中）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝10，折叠纸片使B点落在边AD上的点E处，折痕为PQ．过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF．（1）求证：四边形PBFE为菱形；（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形PBFE的边长；②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，菱形PBFE的面积有最值吗？若有，请写出，若没有，填“无”．最大值为；最小值为．【考点20几何探究问题】【例20】（24-25八年级·陕西汉中·期末）在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的两条直线EF，GH分别交边AB，CD，AD，BC于点E，F，G，H．【问题发现】（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，且AG=BE=CH=DF，则S四边形AEOG=【问题探究】（2）如图2，若四边形ABCD是矩形，且满足S四边形AEOG=14S矩形ABCD，设AB=a，AD=b，BE=m，求【问题解决】（3）如图3，张大伯有一块平行四边形ABCD菜地，且AB=6米，AD=10米，点E处是一口水井，且BE=2米，EF是原先就有的一条沟渠，且经过平行四边形ABCD菜地的对角线的交点O，张大伯准备再修建一条经过点O的沟渠GH，将该菜地分成四个面积相等的部分，并分别种上四种不同的蔬菜，试确定点G的位置．【变式20-1】（24-25八年级·广东阳江·期末）【探究与证明】【问题情境】如图1，点E为正方形ABCD内一点，AE=2，BE=4，∠AEB=90°，将直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转α度(0≤α≤180°)点B、E的对应点分别为点B′、E【问题解决】(1)如图2，在旋转的过程中，点B′落在了AC上，求此时C(2)若α=90°，如图3，得到△ADE′（此时B′与D重合），延长BE交DE′①试判断四边形AEFE②连接CE，求CE的长．【变式20-2】（24-25八年级·甘肃庆阳·期末）【背景】在菱形ABCD中，∠B=60°，作∠PAQ=∠B，AP，AQ分别交边BC，CD于点P，(1)【感知】如图1，若P是边BC的中点，则线段AP与AQ之间的数量关系是______；(2)【探究】如图2，若P为边BC上任意一点，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．(3)【应用】在如图3所示的菱形纸片ABCD中，∠ABC=60°，AB=6，在边BC上取一点P，连接AP，在菱形内部作∠PAQ=60°，AQ交CD于点Q，当AP=27时，求线段CQ【变式20-3】（24-25八年级·辽宁大连·期末）【问题情景】如图1，在菱形ABCD中，AB=25，点N为菱形ABCD外部一点，连接AN交对角线BD于点M，且满足∠AMD+∠ANC=180°【初步探究】（1）求证：AM=MN；【解决问题】（2）如图2，连接DN，当AM=13，CN=6①求线段BM的长；②求∠BDN的度数；【类比探究】（3）如图3，在菱形ABCD中，当∠BCD=90°时，AN交CD于点E，连接BE，DN，并延长BE交DN于点F．若DMAD=2【考点21多结论类问题】【例21】（24-25八年级·浙江杭州·阶段练习）如图，四边形ABCD，对角线BD⊥AB，且平分∠ADC，O为BD的中点．在AD上取一点G，使CG⊥BD，E为垂足，取AC中点F，连接BF．下列五句判断：①AO=2BO；②EF∥AD；③AG=2BF；④连接DF，则四边形BCDF是平行四边形；⑤FB=2GE．其中判断正确的是（A．①③④ B．③④⑤ C．②④⑤ D．②③④【变式21-1】（24-25八年级·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一个动点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF，有下列5个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤EF的最小值等于12BD．其中正确结论的序号是

【变式21-2】（24-25八年级·安徽·期末）如图，矩形ABCD中，E为BC边的中点，沿DE对折矩形，使点C落在C′处，折痕为DE，延长DC′交AB于点F，连接BC′并延长交AD于点G，连接CC′．给出以下结论：①四边形BEDG为平行四边形；②∠E

A．1 B．2 C．3 D．4【变式21-3】（24-25八年级·吉林长春·期末）知图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC=8，BD=6，点E、F分别在边AB、CD上（点E不与A、B重合）．且DE∥BF，DE、BF分别交AC于点P、Q，连结BP、DQ．给出下面四个结论：①AC平分四边形BEDF的周长；②四边形BEDF是矩形；③BD平分∠PDQ；④当

【考点22新定义类问题】【例22】（24-25八年级·广东梅州·期中）综合与实践折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的长方形，这样的长方形称为完美长方形．(1)操作发现：如图1，将△ABC纸片按所示折叠成完美长方形EFGH，若△ABC的面积为18，BC=6，则此完美长方形的边长FG=_____，面积为_____．(2)类比探究：如图2，将▱ABCD纸片按所示折叠成完美长方形AEFG，若▱ABCD的面积为40，BC=8，求完美长方形AEFG的周长．(3)拓展延伸：如图3，将▱ABCD纸片按所示折叠成完美长方形EFGH，若EF:EH=3:4，AD=25，求此完美长方形EFGH的周长与面积．【变式22-1】（24-25八年级·江苏·期中）定义：角内部的一点P到角两边的距离分别为m、n（m≤n），将m与n的比值叫做点P关于这个角的“距离比”，记作k，其中k=mn；若“距离比”k=1，则称点(1)下列四边形对角线的交点一定是这个四边形内角的“平衡点”的是__________（填序号）①平行四边形

②矩形

③菱形(2)在平面直角坐标系xoy中，四边形OABC是平行四边形，A10,0，对角线AC、OB相交于点P，PM⊥OA，PN⊥OC，垂足分别为M、N①如图，点C在第一象限，且坐标为4,3，求点P关于∠AOC的“距离比”k的值；②若点P为∠AOC的“平衡点”，且点B的纵坐标为7，求点C的坐标．【变式22-2】（24-25八年级·山东淄博·期末）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：(1)如图①，正方形ABCD中，E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF为“直等补”四边形，为什么？(2)如图②，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB=BC=5，CD=1，AD>AB，过点B作BE⊥AD于点E，作BF⊥DC交DC延长线于点①试判断四边形BFDE的形状，证明你的结论，并求出BE的长．②若点M是AD边上的动点，求△BCM周长的最小值．【变式22-3】（24-25八年级·广东揭阳·期中）定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．(1)如图1，等腰直角四边形ABCD，AB=BC，∠ABC=90°，①若AB=CD=1，AB∥CD，求对角线BD的长；②若AC⊥BD，求证：AD=CD；(2)如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=9，点P是对角线BD中点，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形，求四边形DPFC的面积．【考点23规律类问题】【例23】（24-25八年级·江苏扬州·期中）如图，在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，点B在y轴上，OA=1．将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2023次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则BA．1349,0 B．1350,0 C．1349.5,32 【变式23-1】（24-25八年级·河南洛阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y=x的图象，点A1的坐标为1,0，过点A1作x轴的垂线交直线l于点D1，以A1D1为边作正方形A1B1C1D1；过点C1作直线l的垂线，垂足为A2，交x轴于点B2，以A2B2为边作正方形AA．92n B．32n C．【变式23-2】（24-25八年级·四川内江·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ACC1B1，使矩形ACC1B1∽矩形ADCB；再连接AC1，以对角线AC1A．5×522023 B．2×52【变式23-3】（24-25八年级·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1（记为第1个正方形）的顶点A1与原点重合，点D1在x轴上，点C1的坐标为1,1，以C1为顶点作等边三角形C1A2B2，点【考点24阅读理解类问题】【例24】（24-25八年级·广东惠州·期末）阅读下列材料：在数学课上，老师要求学生探究如下问题：(1)【提出问题】如图1，在等边三角形ABC内有一点P且PA=2，PB=3，PC=1．求∠BPC的度数．李华同学一时没有思路，当他跟同学讨论后，发现以PA、PB、PC的长为边构成的三角形是直角三角形，他突然有了正确的思路：如图2，将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP′A，连接PP′，易得(2)【类比问题】如图3，在正方形ABCD内有一点P且PA=5，BP=2，PC=1．求(3)【探索问题】如图4，在正六边形ABCDEF内有一点P且PA=213，PB=4，PC=2，则∠BPC=【变式24-1】（2024·北京海淀·一模）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，DE∥BC分别交AB于D，交AC于E．已知CD⊥BE，CD=3，BE=5，求BC+DE的值．小明发现，过点E作EF∥DC，交BC延长线于点F，构造△BEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：BC+DE的值为．参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，已知▱ABCD和矩形ABEF，AC与DF交于点G，AC=BF=DF，求∠AGF的度数．【变式24-2】（24-25八年级·山西大同·期中）阅读与思考：小明同学在学习矩形性质之后，对直角三角形的性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明思路做了及时的梳理与总结．阅读小明同学的笔记，并完成相应任务直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半如图1，△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的中线．求证：BD=1

分析：要证明BD等于AC的一半．可以用“倍长法”将BD延长一倍，如图2，延长BD到E，使得DE=BD．连接AE，CE．可证四边形ABCE是矩形，由矩形的对角线相等得BE=AC，这样将直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系转化为矩形对角线的数量关系，进而得到BD=1证明：延长BD到E，使得DE=BD，连接AE、CE，如图2所示：

∵BD是斜边AC上的中线，∴AD=CD又∵DE=BD，∴四边形ABCE是平行四边形（①依据：__________）任务：(1)①依据为：______________(2)请补小明的全证明过程；(3)上述证明方法中主要体现的数学思想是______；A．转化思想

B．类比思想

C．数形结合思想

D．从一般到特殊思想(4)将Rt△ABC和Rt△BDE按图3放置，其中∠ABC=90°，∠DBE=90°，点A、B、D在一直线上，分别取AC和DE的中点F和G，连接GF．若AB=3，BC=4，BD=BE=1，则

【变式24-3】（24-25八年级·江苏盐城·期中）阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，∠ABC=∠BEF=60°，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC，探究PG与PC的位置关系．(1)请你写出上面问题中线段PG与PC的位置关系，并说明理由；(2)将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明，(3)将菱形ABCD和菱形BEFG均改成正方形，如图3，P为DF的中点，此时PG与PC的位置关系和数量关系分别是什么？直接写出答案．

期中易错题压轴题专项复习【24大题型】（考试范围：第16~18章）【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【易错篇】 2【考点1二次根式】 2【考点2根据二次根式的性质化简】 3【考点3二次根式的乘除】 4【考点4二次根式的加减】 7【考点5勾股定理与网格】 8【考点6利用勾股定理求值】 11【考点7赵爽弦图】 15【考点8勾股定理逆定理的应用】 22【考点9勾股定理的应用】 25【考点10与平行四边形有关的证明与计算】 29【考点11与矩形有关的证明与计算】 32【考点12与菱形有关的证明与计算】 37【考点13与正方形有关的证明与计算】 42【考点14与直角三角形斜边的中线有关的证明与计算】 48【考点15与三角形中位线有关的证明与计算】 52【压轴篇】 58【考点16化简含字母的二次根式】 58【考点17求立体图形的最短路径问题】 60【考点18几何动点问题】 64【考点19几何最值问题】 74【考点20几何探究问题】 82【考点21多结论类问题】 94【考点22新定义类问题】 102【考点23规律类问题】 111【考点24阅读理解类问题】 116【易错篇】【考点1二次根式】【例1】（24-25八年级·福建莆田·期中）已知n是正整数，28n是整数，则n的最小值是(

)A．0 B．2 C．3 D．7【答案】D【分析】首先把28n进行化简，然后根据28n是整数确定n的最小值．【详解】解：∵28n=27n，且∴7n是个完全平方数，(完全平方数是能表示成一个整式的平方的数)∴n的最小值是7．故选：D．【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，做题的关键是推导“7n是个完全平方数”．【变式1-1】（24-25八年级·广东河源·期中）若二次根式x−2024x在实数范围内有意义，则x的取值范围是（

A．x>2024 B．x≥2024 C．x<2024 D．x≤2024【答案】B【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，由题意得x−2024≥0且x≠0，据此即可求解，掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键．【详解】解：∵二次根式x−2024x∴x−2024≥0且x≠0，解得x≥2024，故选：B．【变式1-2】（24-25八年级·浙江舟山·期中）当x＝－1时，二次根式6−3x的值为.【答案】3【分析】直接将x的值代入进而化简求出答案．【详解】解：∵x=-1，∴6−3x=6−3×（−1）=9=3.故答案为3.【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．【变式1-3】（24-25八年级·河南洛阳·阶段练习）已知y=2x−1+1−2x+2，那么xy=．【答案】1【分析】先根据二次根式的定义求出x的值，继而可得出y的值，再代入求解即可．【详解】解：由题意得出：2x−1≥01−2x≥0解得：x=1∴y=2∴xy故答案为：14【点睛】本题考查的知识点是二次根式的定义，比较基础，熟记定义内容即可．【考点2根据二次根式的性质化简】【例2】（24-25八年级·北京顺义·期中）如果x−2x2−4=2−x【答案】−2≤x≤2/2≥x≥−2【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数求解即可．【详解】∵x−2∴2−x≥0，x+2≥0∴−2≤x≤2．故答案为：−2≤x≤2．【变式2-1】（24-25八年级·甘肃兰州·期中）适合2a−32=6−2a的正整数aA．13 B．14 C．15 D．16【答案】B【分析】本题考查的是二次根式的非负性，先根据题意判断出a的符号，求出正整数a的值，进而可得出结论．【详解】解：∵2解得a≤3，∴正整数a的值为1，2，3，∴12故选：B．【变式2-2】（24-25八年级·四川成都·期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：a2+b【答案】2b−2a【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、二次根式的性质，由数轴可得：−1<a<0<b<1，a>b，从而得出【详解】解：由数轴可得：−1<a<0<b<1，a>∴a−b<0，∴a2故答案为：2b−2a．【变式2-3】（24-25八年级·上海·期中）将x−6x【答案】−【分析】本题考查了二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解．根据二次根式的性质，得x<0，再根据二次根式的性质计算，即可得到答案．【详解】解：根据题意，得−6∵−6≠0，∴−6∴x<0，∴x−故答案为：−−6x【考点3二次根式的乘除】【例3】（24-25八年级·山东烟台·期末）幻方是一种中国传统游戏，它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等．类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则数值A+B+C+D=．AB5510C210D【答案】3【分析】本题考查了数的规律探究，涉及考查一元一次方程的应用，二次根式的乘法．根据横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等列出方程求解即可．【详解】解：对角线方向上的实数相乘的结果为52根据方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等得，A×5×2=1010B×10×10=10105×10×C=10102×10×D=1010，解得∴A+B+C+D=25故答案为：35【变式3-1】（24-25八年级·山东烟台·期中）计算3+22024【答案】3+2【分析】本题考查二次根式的乘法运算，逆用积的乘方以及平方差公式进行计算即可．【详解】解：原式===3故答案为：3+【变式3-2】（24-25八年级·河北唐山·期中）二次根式12，12【答案】30、x+2、x【分析】根据最简二次根式的定义判断即可.【详解】解：第一个根式不是最简二次根式，因为被开方数的因式不是整数，第二个根式不是最简二次根式，因为被开方数含有开的尽方的因数，第三个根式为最简二次根式，第四个根式为最简二次根式，第五个根式不是最简二次根式，因为被开方数含有开的尽方的因数和因式，第六个根式为最简二次根式，故答案为30【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，明确什么是最简二次根式是解题关键.【变式3-3】（24-25八年级·江西吉安·期末）学习了a2=a小亮：解：原式=a+1−a=1；小芳：解：原式=a+1−a∵a>1，∴原式=a+a−1=2a−1，(1)________的解法是不正确的；(2)化简：ab−ba⋅ab【答案】(1)小亮(2)ab+b【分析】本题考查乘法公式，二次根式的性质以及绝对值的化简，根据给定条件正确运用相关性质进行化简是解答本题的关键．（1）根据a>1得1−a<0，所以原式a+1−a（2）先根据乘法公式化简得：ab−ba⋅ab=(ab)2−b2【详解】（1）解：∵a>1，∴1−a<0，∴a+1−a∴小亮的解法是不正确的，故答案为：小亮；（2）解：原式=(ab)∵a<0，b<0，∴原式=ab+b．【考点4二次根式的加减】【例4】（24-25八年级·江西萍乡·期末）若a=1003+997，b=1001+999，【答案】a＜b＜c【分析】利用平方法把三个数值平方后再比较大小即可．【详解】解：∵a2=2000+21003×997，b2=2000+21001×999，c2=4004=2000+2×1002，1003×997=1000000-9=999991，1001×999=1000000-1=999999，10022=1004004．∴a＜b＜c．故答案为：a＜b＜c.【点睛】这里注意比较数的大小可以用平方法，两个正数，平方大的就大．此题也要求学生熟练运用完全平方公式和平方差公式．【变式4-1】（24-25八年级·河北唐山·期末）下列二次根式中，可与12进行合并的二次根式是（

）A．3 B．6 C．18 D．24【答案】A【分析】本题考查了同类二次根式的定义，根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的定义判断即可，掌握二次根式的性质是解题的关键．【详解】A、由12=23，则3与B、由12=23，则6与C、由12=23，18=32，则D、由12=23，24=26，则故选：A．【变式4-2】（24-25八年级·江苏南京·期末）已知x=23−1，则代数式x【答案】5【分析】本题主要考查了完全平方公式、分母有理化、代数式求值等知识点，根据分母有理化化简成为解题的关键．由分母有理化可得x=3+1，然后再对【详解】解：∵x=2∴x=3故答案为：5．【变式4-3】（24-25八年级·湖北武汉·期末）已知xy=2,x+y=4，则xy+y【答案】2【分析】将二次根式化简代值即可.【详解】解：x所以原式42故答案为2【点睛】本题考查了二次根式的运算，将二次根式转化为和已知条件相关的式子是解题的关键.【考点5勾股定理与网格】【例5】（24-25八年级·江苏淮安·期末）某班学生在劳动实践基地用一块正方形试验田种植苹果树，同学们将试验田分成7×7的正方形网格田，每个小正方形网格田的边长为1米，如图所示，为了布局美观及苹果树的健康成长，同学们要把苹果树种植在格点处（每个小正方形的顶点叫格点），且每两棵苹果树之间的距离都要大于2米，则这块试验田最多可种植棵苹果树．【答案】13【分析】此题考查了勾股定理和无理数的估算．此题为了最大化种植苹果树的数量，同时满足每两棵苹果树之间的距离都要大于2米的要求，我们采用隔点种植的方法，在横纵方向，每行每列最多能种植3棵苹果树，因两棵树之间的距离最小为3米，而试验田的边长为7米，所以最多可以种植3棵苹果树，满足要求，即可求出答案．【详解】解：在7×7的正方形网格田中，采用隔点种植的方式，每行每列最多能种植3棵苹果树,小正方形的对角线长度为22+2如图，因此，这块试验田最多可种植13棵苹果树，故答案为：13【变式5-1】（24-25八年级·山西临汾·期末）如图，在6×6的网格图中，每个小方格的边长为1，请在给定的网格中按下列要求画出图形．(1)画一个三边长分别为4，5，13的三角形；(2)画一个腰长为10的等腰直角三角形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查勾股定理的应用，正确画图是解答本题的关键．（1）根据勾股定理画出5,13的线段可得三边长分别为4，5，（2）运用勾股定理求出边长为10，可画出腰长为10的等腰直角三角形【详解】（1）解：5=12如图，即为边长分别为4，5，13的三角形，（2）解：10=如图，即为腰长为10的等腰直角三角形【变式5-2】（24-25八年级·河南驻马店·期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，若△ABC和△BCD的顶点都在小正方形网格的格点上，则∠ACB+∠DBC=（

）A．45° B．75° C．120° D．135°【答案】D【分析】本题考查了格点与勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，取格点E，F，连接AE,CE，利用勾股定理证明△ACE是等腰直角三角形，得出∠ACE=45°，根据格点的性质推出BD∥CE，得到∠DBC=∠ECF，即【详解】解：如图，取格点E，F，连接AE,CE，∵AE=12∴AC∴△ACE是等腰直角三角形，∴∠ACE=45°，由格点的性质得：BD∥∴∠DBC=∠ECF，∴∠ACB+∠DBC=∠ACB+∠ECF=180°−∠ACE=135°，故选：D．【变式5-3】（24-25八年级·安徽安庆·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，△ABC的顶点A，B，C均在格点上．若AD⊥BC于点D，则线段AD的长为【答案】2【分析】由勾股定求出AC2=5，AB2=20，BC2=25，得到AC=5，AB=25，BC=5【详解】解：由勾股定理得：AC2=22∴AC=5，AB=25，∵AC∴Δ∵AD⊥BC，∴△ABC的面积=1∴5×2∴AD=2．故答案为：2．【考点6利用勾股定理求值】【例6】（24-25八年级·浙江绍兴·期末）如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=4，将△ABC沿AC折叠，点B落在B′处，AD与B′C交于E，则CEA．134 B．72 C．258【答案】C【分析】先根据翻折变换的性质得出AB=AB′=3，BC=B′C=4，再由AAS得出△CDE≌△AB′E，则AE=CE【详解】解：∵长方形ABCD中，AB=3，BC=4，∴CD=AB=3，∵将△ABC沿AC折叠，点B落在B′处，AD与B′C∴AB=AB′=3在△CDE与△ABCD=AB∴△CDE≌△AB∴AE=CE，DE=B设CE=x，则DE=4−x，在Rt△CDE中，DE2解得x=25∴CE=25故选：C．【点睛】本题考查的是翻折变换，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟知以上知识是解题的关键．【变式6-1】（24-25八年级·江苏苏州·期末）勾股定理是数学史上的一颗玻璃珠．被誉为清代“历算第一名家”的名数学家梅文鼎先生（图①）在《梅氏丛书辑要》（由其孙子梅瑴成编纂）的“勾股举隅”卷中给出了多种勾股定理的证法．其中一种是在图②的基础上，运用“出入相补”原理完成的．在△ABC中，∠ACB=90°，四边形ABDE，ACFG，BCHI均为正方形，HI与AE相交于点J，可以证明点D在直线HI上．若△AHJ，△DEJ的面积分别为2和6，则直角边AC的长为（

）A．2 B．3 C．5 D．2【答案】D【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，先证明Rt△ABC≌Rt△DBIHL得S△ABC=S△DBI，设AC=a，BC=b，【详解】解：∵四边形ABDE，BCHI为正方形，∴AB=BD，BC=BI，∠ACB=∠DIB=90°，∴Rt△ABC≌∴S△ABC设AC=a，BC=b，AB=c，由勾股定理得，a2即S正方形S正方形∴S正方形∴S正方形ACFG=∴a=2，即AC=2，故选：D．【变式6-2】（24-25八年级·陕西西安·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC,BD交于点O．若AD=1,BC=4，则AB2

【答案】17【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可；【详解】解：∵AC⊥BD，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°,由勾股定理得，AA∴A∵AD=1,BC=4,∴A故答案为：17．【点睛】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．【变式6-3】（24-25八年级·四川达州·期末）如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，BC=4，AE⊥CD，垂足为E，AE=CE，连接AC，若DE=5(1)AC的长；(2)四边形ABCD的面积．【答案】(1)6(2)4【分析】本题主要考查了勾股定理的综合运用、三角形面积的计算等知识点；由勾股定理求出AE、（1）由垂直的定义得出∠AED=∠AEC=90°，由勾股定理求出AE，再求出CE，然后根据勾股定理求解即可；（2）由勾股定理求出AB，再求出CD，再根据S四边形ABCD=【详解】（1）解：∵AE⊥CD，∴∠AED=∠AEC=90°，∵AD=61∴AE=A∴CE=AE=6，∴AC=A（2）解：∵∠B=90°，∴AB=A∵CD=CE+DE=6+5=11，∴S四边形ABCD【考点7赵爽弦图】【例7】（24-25八年级·江苏宿迁·期末）综合实践我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“赵爽弦图”．他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数恒等式，严密又直观，为中国古代“形数统一”、代数和几何紧密结合的独特风格树立了一个典范．在一节八上数学复习课上，老师为了弘扬中国的数学文化，和同学们开启对“赵爽弦图”的深度研究．(1)类比“弦图”，证明定理小明同学利用四张全等的直角三角形纸片（如图1），证明勾股定理．因为大正方形的面积可以看成4个直角三角形与1个边长为b−a的小正方形组成，即面积表示为：4×12ab+善于思考的小亮同学把一个直立的火柴盒放倒（如图2），聪明的他发现用不同的方法计算梯形ABCD的面积，也可证明勾股定理，请你和他一起证明．(2)利用“弦图”，割拼图形如图3，老师给出由5个小正方形组成的十字形纸板，让同学们尝试剪开，使得剪成的若干块能够拼成一个无缝的大正方形，可以怎么剪？请你画出示意图．(3)构造“弦图”，应用计算如图4，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°,AC=BC，点D是BC中点，过点C作CE⊥AD，垂足为点F，交AB于点E，若BE=3，求AB的长．【答案】(1)证明见解析(2)作图见解析，(3)9【分析】（1）依据题意，四边形ABCD的面积从大的一方面来说属于直角梯形，可利用直角梯形的面积公式进行表示；从组成来看，由三个直角三角形组成．应利用三角形的面积公式来进行表示；（2）由5个小正方形组成的十字形纸板得，拼成的大正方形边长应为5，由此可得出要沿宽为1，长为2的长方形对角线剪开，才能形成边长为22+12=（3）依据题意，过B作BG⊥BC交CE的延长线于点G，先证明△ACD≌△CBG，从而CD=BG，再由D是CB的中点，可得CD=12BC=12AC，故BG=12AC，又∠CBG+∠ACB=180°，可得AC∥BG，取AE的中点为H，CE的中点为P，连PH，构造中位线，证出HP∥AC，HP=【详解】（1）证明：由题意，图中的四边形ABCD为直角梯形，△EDA为等腰直角三角形，Rt△ABE和Rt设梯形ABCD的面积为S，则S=1又∵S=S∴1∴a（2）由题意，把由5个小正方形组成的十字形纸板（如图）剪开，可拼成一个大正方形．，（3）由题意，过B作BG⊥BC交CE的延长线于点G，取AE的中点为H，CE的中点为P，连PH，∵CF⊥AD，∴∠DAC+∠ACF=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACF+∠GCB=90°．∴∠DAC=∠GCB．又∵AC=CB，∠ACD=∠CBG=90°，∴△ACD≌△CBGASA∴CD=BG．又∵D是CB的中点，∴CD=1∴BG=1∵∠CBG+∠ACB=90°+90°=180°，∴AC∥BG，∵AE的中点为H，CE的中点为P，∴HP∥AC，HP=1∴HP∥AC∥BG，HP=1∴∠PHE=∠EBG，∠HPE=∠G，∴△PHE≌△GBEASA∴BE=EH=HA=1又∵BE=3，∴AE=6，∴AB=AE+BE=6+3=9．【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明、完全平方式、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形，解题时要熟练掌握并能读懂题意，找出关键图形是关键．【变式7-1】（24-25八年级·江苏南京·期末）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD．连接AQ、BP、CN、DM．若正方形ABCD的面积为2a，阴影部分的面积为2b．则AN的长度为（

）A．a+b B．a2+b2 C．【答案】C【分析】本题考查了勾股定理的证明，整式的混合运算．由阴影部分的面积为2b，得到S△ADM=142a−2b=12AM⋅DN=【详解】解：由题意得AM=DN，∵正方形ABCD的面积为2a，∴AD=2∵阴影部分的面积为2b，∴S△ADM∴AM=a−b∵S△AMQ∴2a−bQM=2b−QM∴MQ=−a−b∴AN=AM+MN=a+b故选：C．【变式7-2】（24-25八年级·四川成都·期末）如图1，将四个全等的直角三角形拼成了一个四边形ABEC，然后将前面四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形如图2，该正方形的面积为5；再将其四个全等的直角三角形拼成了图3形状，图3的外轮廓周长为4+45，则图1中的点C到AB的距离为【答案】455【分析】本题考查了勾股定理的应用．求得四个全等的直角三角形的斜边长为5，设两条直角边分别为a、b，利用图3的外轮廓周长为4+45，求得ab=2，再利用图1中S【详解】解：如图，由题意得FG∴FG=5如图，MN=5，设ON=a，OM=b，则PM=b−a由题意得4MN+PM∴b−a=1，由勾股定理得a2∵b−a2∴a2∴5−2ab=1，解得ab=2，如图，AB=5，设点C到AB的距离为ℎ∴S四边形ABCD=4×∴ℎ=4∴点C到AB的距离为45故答案为：45【变式7-3】（24-25八年级·浙江金华·期末）图1是由5个全等的直角三角形与一个小正方形组成，延长DK交AB、AC分别于点M、N，延长EH交BD于点P（如图2）．（1）若Rt△ABF的面积为5，小正方形FGHK的面积为9，则AB＝（2）如图2，若S四边形AEHNS四边形BMHP=k，则【答案】29k【分析】本题考查了正方形的性质，直角三角形的性质，图形面积的几何意义与代数式的变形．掌握正方形的性质是解题的关键．（1）根据勾股定理求出a和b的等式，即可得到AB；（2）求出a，b，k之间的关系式，从而求得面积比．【详解】解：（1）设AF=EG=DH=BK=BC=a，FK=GF=HG=HK=b，∵若Rt△ABF的面积为5，小正方形FGHK的面积为9∴12aa+b∴a2∵AB∴AB=a故答案为：29；（2）∵S四边形S四边形∴12∴b+1−k∴b=k−1∴S四边形故答案为：k2【考点8勾股定理逆定理的应用】【例8】（24-25八年级·黑龙江双鸭山·期末）两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速40海里，乙船时速30海里，两个小时后，两船相距100海里，已知甲船的航向为北偏东46°，则乙船的航向为（

）A．南偏东44° B．北偏西44° C．南偏东44°或北偏西44° D．无法确定【答案】C【分析】本题考查了方位角，勾股定理逆定理，根据题意画出图形，然后利用勾股定理逆定理判断出∠AOC=∠AOB=90°即可求解，掌握勾股定理逆定理的应用是解题的关键．【详解】解：由题意得，OA=40×2=80海里，OB=OC=30×2=60海里，AB=AC=100，∵OA2+O∴∠AOC=∠AOB=90°，∴点B、O、C三点共线，∵∠1=46°，∴∠5=90°−46°=44°，∵∠2=∠5，∴∠2=44°，∴乙船的航向为南偏东44°或北偏西44°，故选：C．【变式8-1】（24-25八年级·黑龙江大庆·期末）笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B．其中AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路CH，测得BC=5千米，CH=4千米，BH=3千米．则原路线AC＝【答案】256/【分析】先根据勾股定理的逆定理说明△HBC是直角三角形且∠CHB=90°，设AC=AB=x千米，则AH=AB−BH=x−3千米，最后在Rt【详解】解：∵在△CHB中，CH∴CH∴△HBC是直角三角形且∠CHB=90°；设AC=AB=x千米，则AH=AB−BH=x−3在Rt△ACH中，由已知得AC=x由勾股定理得：AC∴x2=x−32+故答案为256【点睛】本题主要考查勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，掌握勾股定理的逆定理和定理是解决本题的关键．【变式8-2】（24-25八年级·辽宁鞍山·期末）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得AB=9m，BC=12m，CD=8m，AD=17m，且

A．48m2 B．114m2 C．【答案】B【分析】在△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，再由勾股定理逆定理判断△ACD的形状，由三角形面积公式求得菜地的面积．【详解】解：连接AC在△ABC中，∠ABC=90°，AB=9m，BC=12AC=在△ACD中，CD=8m，AD=17A∴A∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90∴S∴这块菜地的面积是114故选：B

【点睛】本题考查勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，四边形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【变式8-3】（24-25八年级·吉林四平·期末）如图①是超市的儿童玩具购物车，图②为其侧面简化示意图．测得支架AC=24cm，CB=18cm，两轮中心的距离(1)连接AB，则△ABC是__________三角形，请写出推理过程．(2)点C到AB的距离是__________cm．【答案】(1)直角，见解析(2)72【分析】本题考查了三角形的面积公式，勾股定理的逆定理，点到直线的距离，解题的关键是正确的识别图形．（1）过点C作CE⊥AB于点E，则CE的长即点C到AB的距离，根据勾股定理的逆定理得到△ABC为直角三角形；（2）根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】（1）解：过点C作CE⊥AB于点E，则CE的长即点C到AB的距离，在△ABC中，∵AC=24cm，CB=18cm，∴AC2+C∴AC∴△ABC为直角三角形；（2）∵S∴AC⋅BC=CE⋅AB，即24×18=CE×30，∴CE=24×18【考点9勾股定理的应用】【例9】（24-25八年级·四川成都·期中）四川的人民渠（利民渠、幸福渠、官渠堰）是都江堰扩灌工程之一，也是四川省建成的第一座大型水利工程，有“巴蜀新春第一渠”之称．现为扩建开挖某段干渠，如图，欲从干渠某处A向C地、D地、B地分流（点C，D，B位于同一条直线上），修三条笔直的支渠AC，AD，AB，且AC⊥BC；再从D地修了一条笔直的水渠DH与支渠AB在点H处连接，且水渠DH和支渠AB互相垂直，已知AC=6km，AB=10km，(1)求支渠AD的长度．（结果保留根号）(2)若修水渠DH每千米的费用是0.7万元，那么修完水渠DH需要多少万元？【答案】(1)3(2)2.1万元【分析】本题考查了勾股定理的应用以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．（1）由勾股定理求出BC=8km，则CD=3km，再由勾股定理求出（2）由△ABD的面积求出DH的长，即可解决问题．【详解】（1）解：由题意可知：AC⊥CB，∴∠C=90°，∵AC=6km，AB=10∴BC=A∴CD=BC−BD=8−5=3km∴AD=A答：公路AD的长度为35（2）∵AC⊥BC，∴S∴BD⋅AC=AB⋅DH，∴DH=BD⋅AC∴修建林荫小道DH需要的费用为3×0.7=2.1万元．【变式9-1】（24-25八年级·福建福州·期中）《九章算术》中“勾股”一章有记载：今有