2024北京首师大附中初一（下）期中数学试题及答案

试题PAGE1试题2024北京首都师大附中初一（下）期中数学第I卷（共20分）一、选择题（共20分，每题2分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.下列数中，无理数的是（）A.π B. C. D.3.14159262.在平面直角坐标系中，点所在的象限是（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.下列各式中，正确的是（）A. B. C. D.4.若，则下列不等式中正确的是（）A. B. C. D.5.下列各组数是二元一次方程的解的是（）A. B. C. D.6.如图，直线相交于点，，下列说法错误的是（）A. B.C. D.7.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A. B.C. D.8.如图，直线，，则的大小为（）A. B. C. D.9.在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴，且，则点的坐标为（）A. B. C.或 D.或10.为了培养“成达好习惯”，小李同学根据自身情况制定了跑步计划，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，下表对应了每天不同方案的跑步距离（单位：）．第1天第2天第3天第4天第5天低强度25002200200015001600高强度34004000450040002500休息00000小李定下了以下规则：若当天选择“高强度”方案，则要求前一天必须休息（第1天可选择“高强度”方案)；第1天不休息且不能连续两天都休息．小李根据计划进行了5天跑步锻炼，下列结论错误的是（）A.若小李每天都选择“低强度”方案，则他这5天共跑步B.若小李第4天休息，则他这5天最多跑步C.小李这5天最少跑步D.小李这5天最多跑步第II卷（共80分）二、填空题（共12分，每题2分）11.4的平方根是_______．12.若关于x的方程kx－1＝2x的解为正数，则k的取值范围是________．13.用一个的值说明命题“如果，那么”是假命题，这个值可以是_________．14.如图，小方同学位于玉渊潭公园，小程同学在小方北侧1800米处的花园桥．两人同时出发相向而行，10分钟后相遇；两人同时向北而行，小方90分钟后追上小程．设小方的平均速度为米/分钟，小程的平均速度为米/分钟，则根据题意可列方程组_________．15.如图，把一张长方形纸条沿折叠，若，则_________°．16.在平面直角坐标系中，记横纵坐标都是整数的点为整点．将一个整点先沿任一坐标轴方向平移2个单位，再沿与前一次平移垂直的方向平移1个单位，叫做一次“跳马运动”．例如：如图，点做一次“跳马运动”，可以到达点，但是到达不了点．点从原点处开始做“跳马运动”，下面三个结论中，所有正确结论的序号是_________．①进行一次“跳马运动”可能到达的点有8个；②进行三次“跳马运动”后可以到达；③进行四次“跳马运动”后可以到达．三、解答题（共68分，第17题5分，第18题8分，第19-25题，每题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）17.计算：18.解下列方程组：（1）（2）19.解不等式组：，并求出它的整数解．20.按要求完成下列证明：已知：如图，在中，于点，是上一点，且．求证：DEBC．证明：（已知）．____．（垂直的定义）_____．（已知）．_________）．DEBC（_____）．21.如图，相交于点，，平分，过点作的垂线，点是垂线上的点，点在直线的上方，点在直线的下方，连接线段．（1）依题意补全图形；（2）线段与长度的大小关系为：，（填“>”“=”或“<”）依据是__________________；（3）求的大小．22.为庆祝建校110周年，“朝阳红”的同学们想利用“青年创客空间”的激光雕刻机制作一批文创产品，下图是他们设计的部分图案.已知图中的小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点和点分别是“正”和“志”上的点，点的坐标为，点的坐标为．（1）在图中画出平面直角坐标系；（2）点的坐标为_________________；（3）平移图中的“正志”使点与点重合，在图中画出点的对应点的位置，点的坐标为___________．23.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，，.（1）直接写出三角形的面积；（2）点是轴上的点，若三角形的面积是三角形面积的一半，求点的坐标．24.为了筹备第十八届春季越野比赛，学校计划购买甲、乙两种纪念品．已知购买7件甲种纪念品和2件乙种纪念品需用25元，购买5件甲种纪念品和4件乙种纪念品需用23元．（1）求每件甲种纪念品和每件乙种纪念品各多少元；（2）若学校购买甲、乙两种纪念品共1000件，总费用不超过2800元，那么最多可以购买甲种纪念品多少件？25.小李同学探索的近似值的过程如下：∵面积为137的正方形的边长是且，∴设，其中，画出示意图，如图所示．根据示意图，可得图中正方形的面积又∵∴，当时，可忽略，得，解得，∴（1）的整数部分为______________；（2）仿照小李的探索过程，求的近似值．（画出示意图，标注数据，并写出求解过程）26.对于两个关于的不等式，同时满足这两个不等式的的值中，有且仅有个整数，则称这两个不等式是“关联”的．例如不等式和不等式是“关联”的．（1）请判断不等式和是否是“关联”的，并说明理由；（2）若和是“关联”的，求的最大值；（3）若不等式和是“关联”的，直接写出的值．27.已知定点，点在点的左侧，直线在直线的下方，，点是这两条直线之间的一个动点，，点在直线上，满足．（1）如图1，当时，是线段与直线的夹角，求的大小；（2）过点作平分的直线，若直线，直接写出的大小；若直线与直线相交于点，当时，直接写出的大小．28.将平面直角坐标系的纵轴绕原点顺时针旋转得到斜坐标系．如图1，在斜坐标系中，对于该平面内的任意一点，过点分别作轴，轴的平行线，与两轴交点所对应的数分别为与，则称有序数对为点的坐标．对于任意两点，和常数，定义为点与的“度量”．如图2，在斜坐标系中，已知点，，回答下列问题：（1）点与点的“度量”为____________；（2）已知点，过点作平行于轴的直线．当时，直接写出直线上与点的“度量”为2的点的坐标；若直线上存在与点的“度量”为2的点，直接写出的取值范围；（3）已知点，，若线段上存在点，在线段上存在点，使得，直接写出的取值范围．

参考答案第I卷（共20分）一、选择题（共20分，每题2分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.【答案】A【分析】根据无理数即为无限不循环小数逐一判断即可．【详解】解：A、是无理数，故符合题意；B、，是整数，不是无理数，故不符合题意；C、，是整数，不是无理数，故不符合题意；D、3.1415926是有限小数，不是无理数，故不符合题意．故选：A．【点睛】此题考查的是无理数的判断，掌握无理数即为无限不循环小数是解题关键．2.【答案】D【分析】根据各象限内点的坐标特征进行判断即可得.【详解】因则点位于第四象限故选：D.【点睛】本题考查了平面直角坐标系象限的性质，象限的符号规律：第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，熟记象限的性质是解题关键.3.【答案】A【分析】本题考查了平方根的求解，算术平方根的求解，实数的运算，根据乘方，算术平方根，平方根的求解方法进行计算判断即可．【详解】解：A、，正确，符合题意；B、，原计算错误，不符合题意；C、，原计算错误，不符合题意；D、，原计算错误，不符合题意；故选：A．4.【答案】B【分析】本题考查了不等式的性质，利用不等式的性质，不等式的性质是：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质是：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质是：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，逐项进行分析判断即可．【详解】解：A、，，原不等式不正确，不符合题意；B、，，，正确，符合题意；C、，，原不等式不正确，不符合题意；D、，，原不等式不正确，不符合题意；故选：B．5.【答案】C【分析】将选项中的解分别代入方程2x﹣y＝5，使方程成立的即为所求．【详解】解：A、把代入方程，，不满足题意；B、把代入方程，，不满足题意；C、把代入方程，，满足题意；D、把代入方程，，不满足题意；故选：C．【点睛】本题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．能正确掌握方程的解得概念是解答此题的关键．6.【答案】C【分析】本题考查了垂线，对顶角，邻补角，根据垂线，对顶角，邻补角的定义逐项进行分析判断即可．【详解】解：A、直线相交于点，（对顶角相等），故本选项说法正确，不符合题意；B、直线相交于点，（对顶角相等），，，故本选项说法正确，不符合题意；C、无法判断与是否相等，故原说法错误，符合题意；D、三点共线，，故本选项说法正确，不符合题意；故选：C．7.【答案】B【分析】本题考查了求不等式组解集，在数轴上表示不等式解集，分别求出不等式①②的值，得到不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式解集即可．【详解】解：解不等式①，得：，不等式②为：，不等式解集为：，解集在数轴上表示为：，故选：B．8.【答案】C【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，对顶角相等，先根据两直线平行同位角相等求出的度数，再根据三角形外角性质求出的度数，最后根据对顶角相等即可求出结果．【详解】解：如图，，，，，．故选：C．9.【答案】D【分析】本题考查了坐标与图形，根据轴，可得B点纵坐标，再根据，可以得到B点位于A左右两边的两个坐标点．【详解】解：点的坐标为，轴，点的纵坐标与点的纵坐标相等为3，点的横坐标为或，点的坐标为或，故选：D．10.【答案】D【分析】本题考查了【详解】解：A.若小李每天都选择“低强度”方案，5天共跑步：，结论正确，故不符合题意；B.“高强度”要求前一天必须“休息”，当“高强度”的徒步距离前一天“低强度”距离+当天“低强度”距离时选择“高强度”能使徒步距离最远，若小李第天休息，，可以第天高强度，第天休息，第天高强度，第天休息，第天高强度，此时跑步最远：，结论正确，故不符合题意；C.安排：第天低强度，第天休息，第天低强度，第天低强度，第天休息，此时跑步最少：，结论正确，故不符合题意；D.由选项B得：第天高强度，第天低强度，第天休息，第天高强度，第天低强度，此时跑步最远：，结论错误，故符合题意；故选：D．第II卷（共80分）二、填空题（共12分，每题2分）11.【答案】±2【详解】解：∵，∴4的平方根是±2．故答案为±2．12.【答案】k＞2．【分析】先解方程，然后根据解为正实数，可以得到关于k的不等式，从而可以确定出k的范围．【详解】∵kx﹣1=2x，∴（k﹣2）x=1，解得，x=，∵关于x的方程kx﹣1=2x的解为正实数，∴＞0，解得，k＞2，故答案为k＞2．考点：一元一次方程的解．13.【答案】1（答案不唯一）【分析】本题考查的是命题的证明和判断，有理数乘方计算，根据有理数的乘方法则计算，判断即可得出结果．【详解】解：当时，，，“如果，那么”是假命题，故答案为：1（答案不唯一）．14.【答案】【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据小程同学在小方北侧1800米处的花园桥，两人同时出发相向而行，10分钟后相遇；两人同时向北而行，小方90分钟后追上小程，可列方程组求解．【详解】解：根据题意得：，故答案为：．15.【答案】【分析】此题要求的度数，可先求得其邻补角的度数，根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”以及折叠的性质就可求解的度数．【详解】解：四边形是长方形，，，（两直线平行，内错角相等）由折叠得：，，，故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的性质、折叠的性质，正确观察图形，熟练掌握平行线的性质“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．16.【答案】①②【分析】本题考查了坐标的平移，根据题中“跳马运动”的移动规则逐项进行分析判断即可，熟练掌握坐标移动规则是解题关键．【详解】解：①由题可知，进行一次跳马运动，首先沿任一坐标轴方向平移2个单位，可以到达，，，四个点，再沿与前一次平移垂直的方向平移1个单位，以上4个点都有向上或向下2种情况，故可能到达的点有8个，故①正确；②，可以先向下平移2各单位，再向右平移到，再向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到，第三次向左平移2个单位，再向上平移1各单位得到，故②正确；③按照规则如何移动四次都无法到达，故③错误，综上所述正确的有：①②，故答案为：①②．三、解答题（共68分，第17题5分，第18题8分，第19-25题，每题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）17.【答案】【分析】本题考查了实数的混合运算，求一个数的算术平方根，求一个数的立方根，化简绝对值，根据有理数的乘方，算术平方根，立方根，化简绝对值，计算各项再计算计算加法即可．【详解】解：．18.【答案】（1）（2）【分析】（1）用代入消元法解方程组；（2）用加减消元法解方程组．【小问1详解】解：把代入，得，，把代入，得，故原方程组的解为；【小问2详解】解：，得，把代入，得，故原方程组的解为．【点睛】本题考查了用加减消元法和代入消元法解二元一次方程组的能力，熟练掌握并求出方程组的解是本题的关键．19.【答案】它的整数解为x=3或4．【分析】先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后找出其中的整数解即可．【详解】解不等式①，得x＞2，解不等式②，得x≤4，故原不等式组的解集为2＜x≤4．故它的整数解为x=3或4．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．20.【答案】；；，同角的余角相等；内错角相等，两直线平行．【分析】直接利用平行线的判定方法结合垂直的定义分析即得出答案．【详解】解：证明：（已知），（垂直的定义），，（已知），（同角的余角相等），（内错角相等，两直线平行），故答案为：；；，同角的余角相等；内错角相等，两直线平行．【点睛】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键．21.【答案】（1）见详解（2）>，垂线段最短（3）【分析】本题考查的是点到直线的距离，垂线的定义，角平分线的定义，掌握点到直线的距离是解题的关键（1）根据题意的描述语言进行作图，即可作答．；（2）根据垂线段最短解答即可；（3）根据垂直的定义和角之间的关系解答即可．【小问1详解】解：如图所示：【小问2详解】解：结合（1）的图得比较与的大小为：，是因为垂线段最短；故答案为：垂线段最短；【小问3详解】解：∵，平分，∴，∴．∴．22.【答案】（1）见解析（2）（3）【分析】本题考查了建立直角坐标系，写出直角坐标系中点的坐标，根据点的坐标求出平移方式，根据平移方式求出点的坐标，准确做出直角坐标系，是解题关键．（1）根据的坐标为，点的坐标为建立直角坐标系即可；（2）根据坐标系直接写出点C的坐标即可；（3）根据点与点重合求出平移方式，即可得出点D的坐标．【小问1详解】解：根据点的坐标为，点的坐标为建立直角坐标系如下：【小问2详解】由直角坐标系可知，故答案为：；【小问3详解】平移图中的“正志”使点与点重合，图形向右平移3个单位，向下平移7各单位，则向右平移3个单位，向下平移7各单位，得到，故答案为：．23.【答案】（1）7（2）或【分析】本题考查了利用网格求三角形面积，求直角坐标系中点的坐标．（1）利用网格求三角形面积即可；（2）根据点是轴上的点，先求出纵坐标，再根据三角形的面积是三角形面积的一半，求出两种情况的点P的横坐标即可．【小问1详解】解：；【小问2详解】在x轴上，点P的纵坐标为0，，，的坐标为或．24.【答案】（1）每件甲种纪念品为3元，每件乙种纪念品为2元（2）最多可以购买甲种纪念品件【分析】本题考查了一元二次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组是解答本题的关键．（1）设每件甲种纪念品为x元，每件乙种纪念品为y元，根据购买7件甲种纪念品和2件乙种纪念品需用25元，购买5件甲种纪念品和4件乙种纪念品需用23元列出方程组进行解答即可；（2）设购买甲种纪念品m件，则购买乙种纪念品为件，根据总费用不超过2800元，列出不等式进行求解即可．【小问1详解】解：设每件甲种纪念品为x元，每件乙种纪念品为y元，根据题意得，解得：，，答：每件甲种纪念品为3元，每件乙种纪念品为2元；【小问2详解】设购买甲种纪念品m件，则购买乙种纪念品为件，，解得：，答：最多可以购买甲种纪念品件．25.【答案】（1）12（2）示意图见解析，【分析】本题考查了估计无理数的大小，理解示例并合理解答是解题关键．（1）判断出，即可解答；（2）仿造示例画出图形，可得，即可解答．【小问1详解】解：，的整数部分为，故答案为：12；【小问2详解】示意图如图所示：面积为的正方形边长为，且，设，其中根据示意图，可得图中正方形面积为，，当时，可忽略，得：，解得：，即．26.【答案】（1）是“关联”的，理由见详解（2）（3）【分析】本题考查了新定义：两个不等式是“关联”的，求一元一次不等式组整数解；（1）分别解出两个不等式，找出公共解，由新定义进行判断，即可求解；（2）分别解出两个不等式，找出公共解，由新定义进行判断出，即可求解；（3）分别解出两个不等式，由新定义进行判断出当时，，可判断，由新定义可得，分类讨论①当时，②当时，③当时，即可求解．理解新定义，能根据新定义进行分类讨论是解题的关键．【小问1详解】解：是“关联”的，理由如下：由得，，由得，，，同时满足这两个不等式的的值中，有且仅有个整数，两个不等式是“关联”的；【小问2详解】解：由得，，和是“关联”的，和是“关联”的，，解得：，的最大值是；【小问3详解】解：由得，，由得，，是“关联”的，当时，，此时是“关联”的，故矛盾，，，且为整数，，解得：，