椭圆的定义与标准方程练习题

椭圆的定义与标准方程

一.选择题（共19小题）

1.若Fi(3,0),F2(-3,0),点P到Fi，F2距离之和为10,则P点的轨迹方程是（）

A.B.

22

100^=1

C.D.2222

—+—=1或＜+—=1

251612516125161

2.一动圆与圆x2+y2+6x+5=0及圆x2+y2-6x-91=0都内切，则动圆圆心的轨迹是（）

A.椭圆B,双曲线C.抛物线D.圆

3.椭圆费+1■二1上一点P到一个焦点的距离为5,则P到另一个焦点的距离为（）

A.4B.5C.6D.10

4.已知坐标平面上的两点A（-1,0）和B（1,0）,动点P到A、B两点距离之和为常数2,则动点P的轨迹是

（）

A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.线段

5.椭圆看+（口上一动点P到两焦点距离之和为（）

A.10B.8C.6D.不确定

6.已知两点Fi(-L0)、F2(I,0),且IF1F2I是|PF||与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是()

A.22B.22C.22D.

xJ1x,y1x,y1

I6+T=1l6+12=1T+T=1

22

7.已知Fi、F2是椭圆工+工=1的两焦点，经点F2的直线交椭圆于点A、B,若|AB|=5,则|AFi|+|BFi|等于（）

169

A.16B.11C.8D.3

5},a,bGA,则方程F+/1表示焦点位于y轴上的椭圆（）

8.设集合A={1,2,3,4,

A.5个B.10个C.20个D.25个

9.方程{（x-2）2+y2+4（x+2）2+y2=]0,化简的结果是（）

A.22B.22C•22D.22

yy1y.xxyxy

L1x1x11

25161诿十五=-25+T=1诿+五=

10.平面内有一长度为2的线段AB和一动点P,若满足|PA|+|PB|=8,则|PA|的取值范围是（）

A.[1,4]B.[2,6]C.[3,5]D.[3,6]

11.设定点Fi（0,-3）,F2（0,3）.满足条件|PFI|+|PF2|=6,则动点P的轨迹是（）

A.椭圆B.线段

C.椭圆或线段或不存在D.不存在

12.已知△ABC的周长为20,且顶点B（0,-4）,C（0,4）,则顶点A的轨迹方程是（

A.22B.22

xV1

----+.....-1(x*0)—=1(x#0)

36202036

C.D.2

=1(x*0)—=1(x#0)

20

13.已知P是椭圆（+*二1上的一点，则P到一条准线的距离与P到相应焦点的距离之比为（）

A.4B.5C.V?D.4

-51T?7

14.平面内有两定点A、B及动点P,设命题甲是："|PA|+|PB|是定值〃，命题乙是：“点P的轨迹是以A.B为焦点

的椭圆“，那么（）

A.甲是乙成立的充分不必要条件B.甲是乙成立的必要不充分条件

C.甲是乙成立的充要条件D.甲是乙成立的非充分非必要条件

22

15.如果方程X十y二1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是（）

4-mm-3

C3<Y

16.“mn>0”是"mx2+ny2=mn为椭圆”的（）条件.

A.必要不充分B.充分不必要

C.充要D.既不充分乂不必要

2*4

17.已知动点P（x、y）满足1（）J（x-l）2+（y-2）=|3x+4y+2|,则动点P的轨迹是（）

A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.无法确定

18.已知A(-1,0),B(I,0),若点C(x,y)满足闻底-1)2+y2二贝jl|AC|+|BC卜<)

A.6B.4C.2D.与x,y取值有关

22

19.在椭圆三+01（a>b>0）中，F”F2分别是其左右焦点，若|PFI|=2|PF2|,则该椭圆离心率的取值范围是

a2b2

()

A，0,1)B.或i)C-(0,1)口.(°,K

OJ00

二.填空题（共7小题）

22

20.方程_^+卫-1表示椭圆，则k的取值范围是_____________

k-3k+3

I22

21.已如A(-1,0),B(1,0),点C(x,y)满足：V■年工_^!_二工，贝l」|AC|+|BC|=____________

|x-4|2

22.设P是椭圆上的点.若Fi、F2是椭圆的两个焦点，则PF|+PF2=

22

23.若k€Z,则椭圆I，+¥°二1的离心率是_____________

1+k3-k2

22

24.P为椭圆二+?_=1上一点，M、N分别是圆（x+3）2+y2=4和（x-3）2+y2=l上的点，则|PM|+|PN|的取值范围

2516

是.

22

25.在椭圆工+<=1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标是____________

259

26.已如OQ：（x-1）2+y2=16,动0M过定点P（-l,0）且与OQ相切，则M点的轨迹方程是:

所以|AB|=|AP|+|AP|,即动点P在线段AB上运动,

所以动点P的轨迹是线段.

故选D.

5.椭圆全+为二1上一动点P到两焦点距离之和为()

A.10B.8C.6D.不确定

解答：解：根据椭圆的定义，可知动点P到两焦点距离之和为2a=8,

故选B.

6.已知两点Fi(-1,0)、F2(1,0),且IF1F2I是|PFi|与IPF2I的等差中项,则动点P的轨迹方程是()

A.22B.22C.22D1

xJ1xyxy

I6+T=1l6x+12=11Tx+T=11

解解：••・日(-I,0)、F2(I,0),

|F|F2|=2,

・••IF1F2I是|PF]|与IPF2I的等差中项，

2|F|F2|=|PFI|+|PF2|,

BP|PFI|+|PF2|=4.

.,.点P在以FI，F2为焦点的椭圆上，

2a=4,a=2

c=l

b2=3,

.••椭圆的方程是二1

故选C.

7.已知Fi、F2是椭圆武+工二1的两焦点，经点F2的直线交椭圆于点A、

B,若|AB|=5,则|AFi|+|BFi|等于()

169

A.16B.11C.8D.3

解答：解：二•直线交椭圆于点A、B,

由椭圆的定义可知:|AFi|+|BFi|+|AB|=4a,

/.|AFI|+|BFI|=16-5=1L

故选B

8.设集合A={1,2,3,4,5},a,bGA,则方程式+g二

]表示焦点位于y轴上的椭圆()

A.5个B.10个C.20个D.25个

解答：解：焦点位于y轴上的椭圆则，aVb,

当b=2时，a=l；

当b=3时，a=l,2；

当b=4时,a=l,2,3；

当b=5时，a=l,2,3,4；

共10个

故选B.

2

9.方程J(x-2)+y2+7(x+2)2+y=。，化简的结果是()

A.22B.22C.22D.22

y,y.y,xxyx,y

25+16=1/五=11-25x+T=11--+---1

2521

解答：解：根据两点间的距离公式可得：

d(X-2)2+y漆示点P(x,y)与点Fi(2,0)的距离，｛(x+2)表示点P(x,y)与点Fz

(-2,0)的距离，

所以原等式化简为|PFI|+|PF2|=10,

因为|FIF2|=2V10,

所以由椭圆的定义可得：点P的轨迹是椭圆，并且a=5,c=2,

所以b2=21.

所以椭圆的方程为：导+(二1-

故选D.

10.平面内有一长度为2的线段AB和一动点P,若满足|PA|+|PB|=g,则|PA|的取值范围是()

A.[1,4]B.[2,6]C.[3,5]D.[3,6]

解答：解：动点P的轨迹是以A,B为左，右焦点，定长2a=8的椭圆

*.*2c=2,c=l>

2a=8,a=4

・••P为椭圆长轴端点时，|PA|分别取最大，最小值

|PA|>a-c=4-1=3,|PA|<a+c=4+l=5

「•|PA|的取值范围是：3<|PA|<5

故选C.

11.设定点Fi(0,-3),F2(0,3).满足条件|PFI|+|PF2|=6,则动点P的轨迹是()

A.椭圆B.线段

C.椭圆或线段或不存在D.不存在

解答：解：由题意可得：动点P满足条件|PFI|+|PF2|=6,

又因为|F|F2|=6,

所以点P的轨迹是线段F1F2.

故选B.

12.已知△ABC的周长为20,且顶点B(0,-4),C(0,4),则顶点A的轨迹方程是()

B.22

—i(x*0)

2036=

D.22

—=1(xxO)

206

解答：解：△ABC的周长为20,顶点B(0,-4),C(0,4),

/.BO8,AB+AC=20-8=12,

v12>8

点A到两个定点的距离之和等于定值，

二.点A的轨迹是椭圆，

a=6,c=4

b2=20,

（K卉0）

22

13.已如P是椭圆,+太二i上的一点，则P到一条准线的距离与P到相应焦点的距离之比为（)

A.4B.5C.V?D.4

解答：解：根据椭圆方程可知a=4,b=3,c=〃二§二攻

.e-C_V7

a4

由椭圆的定义可知P到焦点的距离与P到一条准线的距离之比为离心率

故P到一条准线的距离与P到相应焦点的距离之比为2=单

eV7

故选D.

14.平面内有两定点A、B及动点P,设命题甲是："|PA|+|PB|是定值〃，命题乙是："点P的轨迹是以A.B为焦点

的椭圆“，那么（）

A.甲是乙成立的充分不必要条件B.甲是乙成立的必要不充分条件

C.甲是乙成立的充要条件D.甲是乙成立的非充分非必要条件

解答：解：命题甲是："|PA|+|PB|是定值〃，

命题乙是：“点P的轨迹是以A.B为焦点的椭圆

•••当一个动点到两个顶点距离之和等于定值时，

再加上这个和大于两个定点之间的距离，

可以得到动点的轨迹是椭圆，没有加上的条件不一定推出，

而点P的轨迹是以A.B为隹点的椭圆，一定能够推出|PA|十|PB|是定值,

A甲是乙成立的必要不充分条件

故选B.

15.如果方程二1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（)

A.3VmV4

仁3〈忌、D.I<IK4

解答：22

解：由题意可得：方程*+y=1表示焦点在y轴上的椭圆,

4-min-3

所以4-m>0,m-3>0并且m-3>4-m,

解得：

2

故选D.

16.是"mx2+ny2=mn为椭圆”的（）条件.

A.必要不充分B.充分不必要

C.充要D.既不充分又不必要

解答：22

解：当mn>0时.方程mx2+nyJmn可化为3一+工~=1,当nVO,mVO时方程不是椭圆的方程，故"mn>0”

nm

是"mx2+ny2=mn为椭圆”的不充分条件：

22

当mx2+ny2=mn为椭圆时，方程可化为工+工=1,则m>0,n>0,故mn>0成立，

n1rl

综合可知“mn>0〃是“mx2+ny2=mn为椭圆〃的必要不充分条件.

故选A

22

17.已知动点P(x、y)满足10^(x-1)+(y-2)=|3XI4yI2|,则动点P的轨迹是()

A.椭圆B,双曲线C.抛物线D.无法确定

解答：________________________________________________।.

解：••・1。1(x-1)2+(y-2)』3x+4y+2],,即J«1)(y.)2二呼+吗乂"

其几何意义为点M(x,y)到定点(1,2)的距离等于到定直线3x+4y+2=0的距离的,，

由椭圆的定义，点M的轨迹为以(1,2)为焦点，以直线3x+4y+2=0为准线的椭圆，

故选A.

18.已如A(-1,0),B(1,0),若点C(x,y)满足2d今-1)2+y2二k-4|,贝jl|AC|+|BC卜<)

A.6B.4C.2D.与x,y取值有关

解答：解：(X,y)满足々/(XT)2+丫2二|x-4卜

.两边平方，得4(x-1)2+4y2=(x-4)2,整理得:3x2+4y2=12.

.,.点C(x,y)满足的方程可化为：二L

所以点C的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，满足a?：%b2=3,得c=J^1

因此该椭圆的焦点坐标为A(-I,0),B(1,0),

根据椭圆的定义，得|AC|+|BC|=2a=4.

故选B

22

19.在椭圆23+4=1(a>b>0)中，口，「2分别是其左右焦点，若|PFI|=2|P「2|，则该椭圆离心率的取值范围是

a2b2

()

A.*1)B，4,1)C(o,4)D，(0,j]

OJJO

解答：解：根据椭圆定义|PFi|+|PF2|=2a,将设|PFI|=2|PF2|代入得|pF2|若，

根据椭圆的几何性质，|PF2|>a-c,故号》a-。，即a43c

，故即巳分，又eVl，

故该椭圆离心率的取值范围是g,1).

故选B.

二.填空题(共7小题)

22

20.方程工=1表示椭圆，则k的取值范围是k>3

k-3k+3

解答：22

解：方程工_+工=|表示椭圆，

k-3k+3

k-3>0

则(k+3>0,

k-3#k+3

解可得k>3,

故答案］为k>3.

I22

21.已知A(-1,0),B(I,0),点C(x,y)满足："(丁。［母二工,则IACI+IBCU4

|x-4|2

解答：

(x-1)2+y2_1

解：由条件(x-l)252二|x-4|，可得

Tm二了

即点C(x,y)到点B(1,0)的距离比上至ljx=4的距离，等于常数工，按照椭圆的第二定义,

2

点C(x,y)在以点B为焦点，以直线x=4为准线的椭圆上，故c=L£=工，/.a=2,

a2

|AC|+|BC|=2a=4,

故答案为：4.

22.设P是椭圆号+崂=1上的点.若Fi、F2是椭圆的两个焦点，则PFI+PF2=10

解答：2

解：椭圆二中a2=25,a=5,2a=10

25

•.•P是椭圆二1上的点，Fi、F2是椭圆的两个焦点,

..・根据椭圆的定义，PFi+PF2=2a=10故答案为：1。

22厂

23.若kEZ,则椭圆-J,+y41的离心率是