《能量原理与有限元方法》课件

能量原理与有限元方法欢迎学习《能量原理与有限元方法》课程。本课程将系统地介绍能量原理的基本概念以及有限元方法的理论基础和应用技术。通过本课程的学习，您将掌握从基础理论到实际应用的完整知识体系，为解决复杂工程问题奠定坚实基础。课程概述课程目标掌握能量原理的基本概念和应用方法；理解有限元方法的基本原理和求解步骤；培养使用有限元方法解决工程问题的能力；提高工程分析和计算机模拟的综合能力。学习内容能量原理基础；有限元方法理论；一维、二维、三维问题分析；动力学分析；非线性有限元分析等。课程将结合理论讲解和数值算例，帮助学生全面掌握知识点。考核方式第一章：能量原理基础能量概念能量是物质运动的量度，是物质运动的一种基本属性。在力学中，能量表示为物体做功的能力，是研究力学系统的重要物理量。能量的形式多样，但总量在转化过程中保持不变。力学中的能量力学能量主要包括动能、势能和应变能。动能与物体运动状态有关；势能与物体在力场中的位置有关；应变能则与物体变形状态有关。这些能量形式在力学分析中扮演着关键角色。能量守恒定律能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，只能从一种形式转变为另一种形式，或者从一个物体转移到另一个物体，而其总量保持不变。这一定律是能量原理的基础，也是分析力学系统的重要工具。功的概念功的定义功是力对物体位移的作用量，是一个标量。当力的方向与位移方向一致时，功等于力与位移的乘积；当两者方向不一致时，功等于力在位移方向上的分量与位移的乘积。功的计算对于恒力：W=F·s·cosθ，其中F为力的大小，s为位移大小，θ为力与位移的夹角。对于变力，功为力沿路径的积分，表示为W=∫F·ds。功与能量的关系功是能量传递的过程，表示能量从一种形式转变为另一种形式的量度。正功表示系统获得能量，负功表示系统损失能量。功的单位是焦耳(J)。应变能应变能的定义应变能是物体在外力作用下发生变形时储存的能量，它与物体的材料性质、几何形状和加载方式有关。应变能密度单位体积内储存的应变能称为应变能密度，可以通过应力-应变关系计算得到。应变能的计算方法线弹性体的应变能可通过积分计算：U=∫(1/2)σ:εdV，其中σ为应力，ε为应变。应变能在结构分析中具有重要意义，是能量方法的基础。通过应变能可以计算结构的位移、判断结构的稳定性，也是有限元方法中的重要概念。对于不同类型的结构和载荷，应变能的表达式也有所不同。势能势能的定义势能是由于物体在力场中的位置或状态而具有的能量。它是保守力做功的能力的度量。当物体在保守力场中运动时，势能的变化等于力做的功的负值。势能是一个相对量，通常需要选择参考点，在参考点处势能定义为零。势能的变化才具有物理意义，而绝对值通常不是关注的重点。重力势能重力势能是物体在重力场中由于高度而具有的势能。对于质量为m的物体，如果高度为h，重力加速度为g，则重力势能为：Ep=mgh。当物体下落时，重力势能减少，转化为动能。这是能量守恒定律的一个简单应用例子。在工程结构分析中，重力势能的变化常常需要考虑。弹性势能弹性势能是物体由于弹性变形而储存的能量。对于线性弹簧，如果弹簧常数为k，变形量为x，则弹性势能为：Ep=(1/2)kx²。弹性势能是应变能的一种特殊形式。在结构分析中，弹性势能通常通过应变能的方式计算。弹性势能在能量守恒和最小势能原理中起着关键作用。动能动能的定义动能是物体由于运动而具有的能量，是物体质量和速度的函数。对于质量为m，速度为v的物体，其动能为T=(1/2)mv²。动能始终为正值，与物体的运动方向无关，只与速度大小有关。动能定理动能定理指出，作用在物体上的合外力所做的功等于物体动能的变化。用数学表达即：W=ΔT=T₂-T₁。该定理将力、位移与动能变化联系起来，是牛顿力学中的重要定理。动能与功的关系当外力对物体做正功时，物体的动能增加；当外力做负功时，物体的动能减少。动能定理实际上揭示了力学系统中功与动能之间的转化关系，是能量守恒原理的一种体现。在有限元动力学分析中，动能是构建动力学方程的重要组成部分。通过正确计算系统的动能，可以分析结构在动态载荷下的响应特性，为工程设计提供重要依据。能量守恒原理能量守恒定律能量既不会凭空产生，也不会凭空消失力学系统中的能量守恒动能与势能之和保持恒定能量守恒的应用解决力学问题的强大工具能量守恒原理是物理学中最基本的定律之一，它指出在一个封闭系统中，能量的总量保持不变，只能从一种形式转化为另一种形式。在力学系统中，如果不考虑摩擦等耗散因素，系统的机械能（动能和势能之和）保持恒定。在工程分析中，能量守恒原理提供了一种强大的分析工具。我们可以通过计算系统在不同状态下的能量，来确定系统的运动状态或平衡位置。这种方法在某些复杂问题中比直接应用牛顿定律更加便捷有效。虚功原理虚功的概念虚功是指在一个与实际位移不同的、假想的位移（称为虚位移）下，力所做的功。虚功是一个假想的物理量，用于建立力学系统的平衡方程。与实际功不同，虚功不代表实际的能量传递，而是一种数学工具，用于导出平衡条件或运动方程。虚位移虚位移是指在某一时刻，与系统运动轨迹无关的、任意的、无限小的假想位移。虚位移必须满足系统的几何约束条件。虚位移的引入使得我们可以在不考虑实际运动过程的情况下，分析系统在特定状态下的平衡或运动规律。虚功方程虚功原理指出，当系统处于平衡状态时，作用在系统上的所有外力和内力在任意虚位移下所做的虚功之和为零。数学表达为：δW=δWe+δWi=0，其中δWe和δWi分别为外力和内力做的虚功。这一原理是有限元方法的理论基础之一。虚功原理的应用静力平衡问题通过虚功原理可以建立静力平衡问题的方程。对于任意虚位移，如果系统处于平衡状态，则所有力的虚功之和为零。这个原理可以应用于求解复杂结构的内力和反力，特别是对于超静定结构，虚功原理提供了一种简便的分析方法。结构分析在结构分析中，虚功原理是求解位移和内力的基础。通过引入适当的虚位移场，可以建立结构的平衡方程。这种方法特别适用于处理复杂的几何形状和载荷条件，是有限元方法的理论基础之一。约束反力的计算虚功原理可以用来计算约束反力。通过选择适当的虚位移（使其与约束反力对应的方向一致），可以直接计算出约束反力。这种方法在结构设计中非常有用，可以帮助工程师确定关键连接点的荷载情况。最小势能原理原理描述最小势能原理指出，在一个力学系统中，如果系统的总势能是它所有可能构型中的最小值，那么系统处于稳定平衡状态。换句话说，平衡位置对应于系统势能的极小值。这一原理是变分法在力学中应用的典型例子。数学表达最小势能原理的数学表达为：δΠ=0，δ²Π>0，其中Π是系统的总势能，δΠ表示势能的一阶变分，δ²Π表示势能的二阶变分。第一个条件是平衡的必要条件，第二个条件是稳定平衡的充分条件。在结构分析中的应用在结构分析中，最小势能原理被广泛应用于确定结构的平衡位置和临界载荷。通过构建系统的势能表达式，并求解使势能最小的构型，可以得到结构的平衡方程和位移场。这种方法是有限元位移法的理论基础。互补能原理互补能的定义互补能是应变能的勒让德变换，表示为应力的函数。对于线弹性体，互补能与应变能在数值上相等，但表达方式不同。互补能可以表示为：Πc=∫Wc(σ)dV，其中Wc(σ)是互补应变能密度函数。原理描述互补能原理指出，在所有满足平衡方程和力边界条件的应力场中，真实应力场使系统的互补能达到极小值。这一原理与最小势能原理互为对偶，但强调的是应力场而非位移场。应用范围互补能原理在应力分析、超静定结构和弹性接触问题中有重要应用。它是有限元力法的理论基础，特别适用于某些需要高精度应力解的问题，如裂纹尖端应力分析等。变分原理变分法基础变分法是研究函数的泛函取极值问题的数学方法。在力学中，能量原理常常通过变分法表述和求解。变分法的核心是寻找使某个泛函取极值的函数，这与力学中寻找平衡状态的过程相对应。欧拉-拉格朗日方程欧拉-拉格朗日方程是变分法中的基本方程，用于确定使泛函取极值的函数必须满足的条件。在力学中，通过将能量表达式代入欧拉-拉格朗日方程，可以导出系统的控制方程。变分原理在力学中的应用变分原理在力学中的应用十分广泛，包括最小势能原理、互补能原理、Hamilton原理等。这些原理为复杂力学问题提供了统一的数学框架，是发展高效数值方法的理论基础。第二章：有限元方法概述有限元方法的定义有限元方法是一种用于求解复杂工程和数学物理问题的数值分析技术，通过将复杂域离散为有限数量的简单子域（有限元），然后在每个元素上用简单函数近似解决方案。发展历史有限元方法起源于20世纪50年代的飞机结构分析，随着计算机技术的发展而迅速普及。如今已成为工程分析和科学计算中最重要的数值方法之一。基本思想有限元方法的核心思想是"分而治之"：将复杂问题分解为多个简单问题，分别求解后再组合。这种方法能够处理任意复杂的几何形状和边界条件。有限元方法的基本步骤离散化将连续体划分为有限数量的单元和节点，形成网格。确定单元类型和尺寸生成符合几何特征的网格单元分析建立每个单元的特性矩阵。选择插值函数推导单元刚度矩阵组装将单元贡献组装成整体系统方程。构建整体刚度矩阵组装载荷向量求解施加边界条件，求解系统方程。处理边界条件计算位移、应力等结果离散化网格划分网格划分是有限元分析的第一步，也是最关键的步骤之一。它将连续体分解为有限数量的单元，形成计算网格。网格质量直接影响计算结果的精度和计算效率。常见的网格划分方法包括结构化网格法、非结构化网格法和混合网格法。对于复杂几何形状，通常需要使用专门的网格生成软件进行自动或半自动网格划分。节点和单元节点是网格的基本组成部分，是定义未知量（如位移）的离散点。单元是由多个节点连接形成的基本计算单位。单元的类型和阶数决定了插值函数的形式和计算精度。节点数量和分布直接影响计算精度。在应力集中区域或几何变化剧烈的区域，通常需要更密集的节点分布，以捕捉局部变化的细节。离散化的原则良好的离散化应遵循以下原则：单元形状尽量规则，避免出现过度畸变的单元在应力梯度大的区域使用更细的网格相邻单元尺寸变化应平缓网格划分应准确反映结构的几何特征单元类型一维单元一维单元主要用于模拟杆、梁等细长构件。常见的一维单元包括杆单元（只考虑轴向变形）、梁单元（考虑弯曲变形）和组合单元（如梁-柱单元）。一维单元通常有两个节点（线性单元）或三个节点（二次单元），每个节点可以有多个自由度，取决于单元类型和问题性质。二维单元二维单元用于平面问题或板壳结构的分析。常见类型包括三角形单元和四边形单元，可以是线性的或高阶的。二维单元适用于平面应力、平面应变、轴对称问题以及板的弯曲问题。单元的选择取决于问题类型、精度要求和几何复杂性。三维单元三维单元用于分析真实的三维结构。主要类型包括四面体单元、六面体单元（也称为砖形单元）和棱柱单元。三维单元适用于复杂的三维应力分析、热传导、流体流动等问题。虽然计算成本较高，但能提供最准确的三维应力状态模拟。插值函数插值函数的作用插值函数（也称为形函数）是有限元方法中用于近似单元内场变量分布的数学函数。它将单元节点上的离散值连续地扩展到整个单元域，使我们能够在单元内的任意点估计未知量的值。插值函数是建立单元特性矩阵和推导单元方程的基础，直接影响有限元分析的精度和收敛性。常见插值函数线性插值函数：在一维情况下为直线，在二维情况下为平面。适用于一阶单元，如二节点杆单元、三节点三角形单元等。二次插值函数：包含二次项的多项式函数。适用于二阶单元，如三节点梁单元、六节点三角形单元等。它们能更准确地模拟曲线或曲面。等参数插值函数：使用相同的函数插值几何形状和场变量，广泛应用于非规则几何形状的模拟。插值函数的选择原则插值函数应满足以下要求：兼容性：确保相邻单元之间的连续性完备性：能够准确表示常应变状态等几何变换性质：在坐标变换下保持不变满足单元的边界条件单元刚度矩阵刚度矩阵的概念单元刚度矩阵是描述单元内节点力与节点位移关系的矩阵。它反映了单元的几何和材料特性，是构建整体刚度矩阵的基础。对于线性弹性问题，单元刚度矩阵可表示为：k=∫BᵀDBdV，其中B是应变-位移矩阵，D是弹性矩阵。刚度矩阵的推导推导单元刚度矩阵的基本步骤包括：选择合适的插值函数，建立应变-位移关系，应用材料本构关系，使用能量原理或虚功原理，通过积分得到最终的刚度矩阵。对于复杂几何形状，通常需要使用数值积分方法，如高斯积分。刚度矩阵的性质单元刚度矩阵具有以下重要性质：对称性（kᵢⱼ=kⱼᵢ），半正定性（对于非奇异问题），奇异性（如果存在刚体运动），可加性（整体刚度矩阵是单元刚度矩阵的集成）。了解这些性质有助于验证计算结果的正确性和提高计算效率。整体刚度矩阵1整体刚度矩阵的组装整体刚度矩阵是将所有单元刚度矩阵的贡献组合成一个表示整个结构的矩阵。组装过程基于节点的连接关系，将单元刚度矩阵的元素添加到整体刚度矩阵的相应位置。组装后的整体刚度矩阵反映了整个结构的刚度特性。2组装过程组装过程使用单元节点与整体节点的对应关系（通常称为连接矩阵或节点编号表）。对于每个单元，其刚度矩阵的贡献被添加到整体刚度矩阵中相应的位置。这一过程可以表示为：K=∑AᵉᵀkᵉAᵉ，其中Aᵉ是单元e的连接矩阵。3整体刚度矩阵的特点整体刚度矩阵通常具有以下特点：大型稀疏矩阵（大多数元素为零），对称矩阵，半正定或正定（取决于约束条件），带状或块状结构（取决于节点编号方案）。理解这些特点有助于选择合适的存储格式和求解算法，提高计算效率。边界条件处理几何边界条件几何边界条件，也称为位移边界条件或本质边界条件，指定了结构特定点的位移值。常见形式包括固定支撑（所有自由度为零）、铰支座（某些方向位移为零）和已知位移。几何边界条件的正确施加对于避免刚体运动和获得唯一解至关重要。力边界条件力边界条件，也称为自然边界条件，指定了作用在结构上的外力。这包括集中力、分布力、体积力等。在有限元分析中，这些力被转换为等效节点力，形成载荷向量。力边界条件影响系统的平衡状态，但不影响系统方程的可解性。边界条件的施加方法有几种方法可以在有限元分析中施加边界条件：直接法（修改刚度矩阵和载荷向量）、惩罚法（添加高刚度虚拟弹簧）、拉格朗日乘子法（引入额外未知量）和变换法（修改坐标系统）。选择合适的方法取决于问题类型和边界条件的复杂性。方程求解10⁶典型方程规模大型有限元模型中的未知量数量级99%矩阵稀疏度大型有限元刚度矩阵中的零元素比例O(n³)直接法复杂度直接法的计算时间复杂度O(n)迭代法复杂度最优迭代法的计算时间复杂度有限元方法最终导致一个大型稀疏线性方程组：Ku=F，其中K是刚度矩阵，u是待求的位移向量，F是载荷向量。求解这个方程组是有限元分析中计算密集型的部分，特别是对于大规模问题。求解方法主要分为直接法和迭代法两大类。第三章：一维问题的有限元分析杆件受轴向力分析轴向受力的杆件变形1杆件受扭转研究圆轴扭转变形和应力2梁的弯曲问题计算梁的挠度和弯矩分布3一维问题是有限元方法最基本的应用，也是理解更复杂问题的基础。本章将介绍三种典型的一维问题：杆件受轴向力、杆件受扭转和梁的弯曲问题。尽管这些问题的几何模型被简化为一维，但它们在工程中有广泛的应用。例如，桁架结构可以用轴向力杆模拟，传动轴可以用扭转单元分析，而梁模型则适用于许多土木和机械工程中的构件。通过这些一维问题，我们将学习有限元分析的基本步骤，包括建立单元刚度矩阵、组装整体方程、施加边界条件和求解位移场等。这些基本技能将为后续学习更复杂的二维和三维问题奠定基础。轴向力杆单元单元位移函数轴向力杆单元通常使用线性位移函数，即u(x)=N₁(x)u₁+N₂(x)u₂，其中N₁和N₂是形函数，u₁和u₂是节点位移。这种简单的插值确保了位移的连续性，是最基本的一维单元位移模型。单元应变和应力轴向力杆单元的应变为单轴应变，计算为位移的导数：ε=du/dx。基于线性位移假设，单元内应变为常数。应力通过胡克定律计算：σ=Eε，其中E为杨氏模量。单元刚度矩阵通过应变能或虚功原理，可以推导出轴向力杆单元的刚度矩阵：k=(EA/L)[1,-1;-1,1]，其中E是杨氏模量，A是截面积，L是单元长度。这个简单的2×2矩阵是建立整体方程的基础。轴向力杆的有限元分析步骤离散化将连续的杆件划分为若干个轴向力杆单元。对于截面积或材料变化的区域，应在变化点处设置节点。确定每个单元的节点编号和坐标，建立整体自由度与单元自由度的对应关系。单元分析对每个单元，计算其刚度矩阵k=(EA/L)[1,-1;-1,1]。如果单元具有不同的材料属性或截面积，应使用相应的参数值。同时，计算等效节点力，将分布力或自重转换为节点力。组装按照节点编号，将各单元刚度矩阵组装成整体刚度矩阵。同样地，组装等效节点力形成整体载荷向量。组装过程需要考虑节点的连接关系，确保各单元间的连续性。求解施加位移边界条件和力边界条件，修改整体刚度方程。求解修改后的方程组得到节点位移。根据位移结果，可以计算各单元的应变、应力和内力，完成分析过程。轴向力杆的数值算例问题描述考虑一个两段式轴向受力杆，总长3米，左端固定，右端受拉力P=10kN。第一段长1米，截面积A₁=200mm²，材料弹性模量E₁=200GPa；第二段长2米，截面积A₂=100mm²，材料弹性模量E₂=100GPa。求解：(1)各节点的位移；(2)各单元的应力；(3)杆件右端的总伸长量。有限元模型将杆件划分为两个单元，共三个节点。节点1位于左端（固定端），节点2位于材料交界处，节点3位于右端（受力端）。计算单元刚度矩阵：单元1：k₁=(E₁A₁/L₁)[1,-1;-1,1]=40[1,-1;-1,1]kN/mm单元2：k₂=(E₂A₂/L₂)[1,-1;-1,1]=5[1,-1;-1,1]kN/mm计算结果分析组装整体刚度矩阵并考虑边界条件后求解，得到：节点2位移：u₂=0.25mm节点3位移：u₃=2.25mm单元1应力：σ₁=E₁(u₂-u₁)/L₁=50MPa单元2应力：σ₂=E₂(u₃-u₂)/L₂=100MPa右端总伸长量：u₃=2.25mm扭转问题的有限元分析扭转单元扭转单元用于分析圆轴或薄壁截面杆件的扭转问题。对于圆轴，扭转单元是描述轴截面转角的一维单元。每个节点有一个自由度，即截面的转角θ。类似于轴向力杆单元，扭转单元通常采用线性插值函数。单元刚度矩阵圆轴扭转单元的刚度矩阵可表示为：k=(GJ/L)[1,-1;-1,1]，其中G是剪切模量，J是截面极惯性矩，L是单元长度。这个刚度矩阵的形式与轴向力杆单元相似，但物理参数不同。求解过程扭转问题的求解过程与轴向力问题类似，包括离散化、建立单元刚度矩阵、组装整体方程、施加边界条件和求解。得到节点转角后，可以计算扭转角、剪应力和扭矩等物理量。对于非圆截面或复杂几何形状，扭转问题通常需要使用二维或三维单元进行更准确的分析。梁单元梁的变形理论梁单元通常基于欧拉-伯努利梁理论（忽略剪切变形）或提莫申科梁理论（考虑剪切变形）。欧拉-伯努利梁理论假设横截面在变形后仍保持平面且垂直于中性轴，适用于细长梁；提莫申科梁理论考虑了剪切变形，适用于短粗梁。梁单元的位移函数欧拉-伯努利梁单元的每个节点有两个自由度：挠度w和转角θ。为了满足位移和转角的连续性要求，通常使用三次多项式作为挠度函数：w(x)=a₁+a₂x+a₃x²+a₄x³，其中系数可通过节点自由度确定。这种插值函数能够准确描述梁的弯曲变形。梁单元的刚度矩阵通过应变能或虚功原理，可以推导出欧拉-伯努利梁单元的刚度矩阵。这是一个4×4的矩阵，将节点的挠度和转角与对应的力和力矩关联起来。刚度矩阵的元素与梁的弹性模量E、截面惯性矩I和单元长度L有关。梁的有限元分析离散化策略梁结构的离散化应考虑几何特征、载荷分布和材料变化。在截面、材料变化处和集中载荷作用点应设置节点。对于变截面梁或复杂载荷，可能需要更细的划分以提高精度。边界条件处理梁的边界条件包括各种支撑类型，如固定端、铰支、滑动支撑等。每种支撑类型对应不同的位移和转角约束。此外，还需考虑集中力、集中力矩、分布力等载荷条件。正确施加这些条件是获得准确结果的关键。求解和后处理求解系统方程得到节点位移和转角后，可以计算梁的挠度曲线、弯矩分布、剪力分布等。这些结果可用于评估梁的强度、刚度和稳定性，为工程设计提供依据。第四章：二维问题的有限元分析平面应力/应变问题分析薄板和厚板中的应力分布轴对称问题研究具有旋转对称性的结构板的弯曲问题计算薄板的挠度和应力二维问题在工程实践中极为常见，包括平面应力/应变问题、轴对称问题和板的弯曲问题等。相比一维问题，二维问题的分析更加复杂，但也能更准确地模拟实际工程结构。本章将系统介绍二维问题的有限元分析方法，包括单元类型、应变矩阵、刚度矩阵推导以及求解技术。通过具体算例，展示二维有限元分析的完整过程和结果解释。二维单元类型三角形单元三角形单元是最基本的二维单元类型，具有几何适应性强的特点，适合复杂几何形状的网格划分。常见的三角形单元包括：常应变三角形单元（CST）：每个节点有两个自由度，单元内应变为常数线性应变三角形单元（LST）：六节点单元，可以描述线性应变分布高阶三角形单元：增加节点数以提高精度四边形单元四边形单元通常比同等数量的三角形单元提供更高的精度，但几何适应性较差。常见的四边形单元包括：双线性四边形单元：四节点单元，每个节点有两个自由度八节点四边形单元：在边的中点增加节点，提高精度九节点四边形单元：在边中点和中心增加节点，描述高阶位移场高阶单元高阶单元通过增加节点数和使用高阶插值函数来提高计算精度。它们的优点包括：更准确地描述复杂应力场使用较少的单元数量获得相同精度更好地捕捉应力集中和奇异性高阶单元的计算成本较高，通常在需要高精度结果的区域使用。等参单元等参单元的概念等参单元是指使用相同的形函数来插值单元的几何形状和场变量（如位移）的单元。等参单元引入了从实际坐标系到参考坐标系的映射，使形函数的定义和积分计算变得简单。这种方法特别适用于具有弯曲边界的单元。等参单元的优点等参单元具有多项优势：适应弯曲边界，提高几何模拟精度；简化形函数的构造；便于处理不规则形状；使用统一的数值积分方法。等参单元的引入大大扩展了有限元方法的适用范围，使其能够处理更复杂的几何问题。常见等参单元常见的等参单元包括：四节点等参四边形单元（Q4）；八节点等参四边形单元（Q8）；九节点等参四边形单元（Q9）；三节点等参三角形单元（T3）；六节点等参三角形单元（T6）。这些单元在商业有限元软件中广泛应用。平面问题的应变矩阵应变位移关系在平面问题中，应变与位移之间存在确定的关系。对于平面应变问题，应变分量包括εx,εy和γxy，与位移分量u和v通过微分关系相连：εx=∂u/∂x,εy=∂v/∂y,γxy=∂u/∂y+∂v/∂x。这种关系是建立单元应变矩阵的基础，也是连接位移场和应变场的桥梁。应变矩阵的推导应变矩阵B用于建立单元节点位移与应变之间的关系：ε=Bu，其中ε是应变向量，u是节点位移向量。对于使用形函数N插值的位移场，应变矩阵可以通过对形函数求导得到。例如，对于平面问题的常应变三角形单元，B矩阵包含形函数对坐标的偏导数，反映了应变和节点位移之间的线性关系。应变矩阵的表达式对于不同类型的单元，应变矩阵的具体表达式不同。例如，对于常应变三角形单元，B矩阵是常数矩阵；对于高阶单元，B矩阵是坐标的函数。在等参单元中，需要使用雅可比矩阵进行坐标转换，将局部坐标系中的导数转换为全局坐标系中的导数，从而得到全局坐标系下的B矩阵。平面问题的刚度矩阵单元刚度矩阵的推导平面问题的单元刚度矩阵可以通过虚功原理或最小势能原理推导。基本表达式为：k=∫BᵀDBdA，其中B是应变矩阵，D是弹性矩阵，积分范围是单元的面积。对于线弹性材料，D矩阵依赖于弹性模量E、泊松比ν以及问题类型（平面应力或平面应变）。例如，对于平面应力问题，D矩阵是一个3×3的矩阵，表示应力与应变的线性关系。数值积分方法对于复杂几何形状或高阶单元，刚度矩阵的积分通常需要使用数值积分方法，如高斯积分。高斯积分通过在积分域内选取特定的采样点和对应的权重，将积分转换为加权和。在等参单元中，积分需要考虑雅可比行列式，即：k=∫BᵀDB|J|dξdη，其中|J|是雅可比行列式的行列式值，ξ和η是参考坐标系中的坐标。刚度矩阵的计算对于简单的单元（如常应变三角形单元），刚度矩阵可以解析计算；对于复杂单元，通常需要编程实现数值积分。商业有限元软件通常提供多种单元类型和积分方法的选择。刚度矩阵的计算是有限元分析中最基本的步骤之一，影响结果的精度和计算效率。选择合适的单元类型和积分方法对于获得准确结果至关重要。平面应力/应变问题的求解问题描述平面应力问题通常适用于薄板结构，如板厚远小于其他尺寸的构件；平面应变问题适用于厚板或长直构件的横截面分析。常见的平面问题包括板件中的孔、缺口、裂纹等引起的应力集中问题，以及土工结构中的应力分布问题等。有限元模型建立建立平面问题的有限元模型包括：确定问题类型（平面应力或平面应变）；选择合适的单元类型（三角形或四边形）；进行网格划分，在应力梯度大的区域细化网格；定义材料属性（弹性模量、泊松比等）；施加边界条件和载荷。结果分析分析结果包括：节点位移场，反映结构的变形情况；单元应变场和应力场，用于评估结构的强度；主应力方向，揭示应力传递路径；应力集中系数，指示可能的失效位置。结果通常以云图、矢量图或等值线图形式可视化，便于工程师理解和判断。轴对称问题轴对称应力状态轴对称问题指几何形状、材料属性、边界条件和载荷均关于某一轴线对称的问题。在这种情况下，应力状态可以用径向应力σr、周向应力σθ、轴向应力σz和剪应力τrz描述。轴对称问题可以简化为二维问题处理，大大降低计算复杂性。轴对称单元轴对称单元是在r-z平面内定义的二维单元，通过旋转形成三维体。常用的轴对称单元包括轴对称三角形单元和轴对称四边形单元。每个节点有两个自由度：径向位移ur和轴向位移uz。单元的形函数与平面问题类似，但积分时需考虑体积元素2πrdrdz。轴对称问题的求解轴对称问题的求解流程与平面问题类似，包括建立单元刚度矩阵、组装整体方程、施加边界条件和求解。特别需要注意的是，在计算单元刚度矩阵时需要考虑体积积分中的2πr因子。轴对称分析广泛应用于压力容器、旋转机械部件和圆形基础等问题。板的弯曲理论薄板理论薄板理论，也称为Kirchhoff板理论，适用于厚度远小于其他尺寸的板结构。它基于以下假设：板中面在变形前后保持为平面且不伸长板厚方向的法线在变形前后保持为直线且垂直于中面板厚方向的应力可以忽略薄板理论忽略了剪切变形的影响，适用于厚度与跨度比小于1/20的板。厚板理论厚板理论，也称为Mindlin-Reissner板理论，考虑了剪切变形的影响，适用于中等厚度的板结构。它放宽了Kirchhoff理论的第二个假设，允许板厚方向的法线在变形后不再垂直于中面。厚板理论更加准确地描述了厚板的弯曲行为，特别是在集中载荷作用下或板厚较大时。然而，它的数学表达更加复杂，计算也更加耗时。适用范围选择合适的板理论取决于板的厚度与特征尺寸的比值：薄板理论：厚度/跨度<1/20厚板理论：1/20<厚度/跨度<1/5三维弹性理论：厚度/跨度>1/5在实际应用中，对于一般工程结构，薄板理论已经能够提供足够精确的结果。而对于厚板或在剪切变形显著的区域，应使用厚板理论或三维分析。板单元矩形板单元矩形板单元是最简单的板单元类型，通常有四个节点，每个节点有三个自由度：挠度w和两个转角θx、θy。一些高阶矩形板单元可能有更多的节点和自由度，以提高计算精度。矩形板单元的形函数通常采用多项式形式，可以满足连续性和完备性要求。三角形板单元三角形板单元在处理复杂几何形状时具有优势。常见的三角形板单元包括DKT（离散Kirchhoff三角形）单元和DST（离散剪切三角形）单元。DKT单元基于薄板理论，而DST单元基于厚板理论。三角形板单元通常需要较多的单元数量才能达到与矩形单元相同的精度。板单元的刚度矩阵板单元的刚度矩阵反映了板的弯曲刚度与节点位移之间的关系。对于薄板单元，刚度矩阵主要反映弯曲变形的能量；对于厚板单元，刚度矩阵还包括剪切变形的贡献。板单元刚度矩阵的推导通常基于变分原理或虚功原理，涉及复杂的数学推导和数值积分。板的有限元分析板的有限元分析是解决工程中平板受载问题的有效方法。分析过程包括几个关键步骤：首先是离散化策略，需要根据板的几何形状、载荷分布和边界条件选择合适的单元类型和网格密度；然后是边界条件处理，包括各种支撑类型（如简支、固支、自由边等）和载荷条件（如均布载荷、集中力等）；最后通过求解得到板的挠度场、弯矩分布和应力分布等结果。板的有限元分析广泛应用于建筑楼板、桥面板、机械底板等工程结构的设计和分析，能够准确预测结构在各种载荷条件下的响应，为工程设计提供可靠依据。第五章：三维问题的有限元分析三维应力应变关系研究复杂结构中的完整应力状态1三维单元类型探讨适用于三维分析的各类单元2三维问题的求解掌握三维问题的计算方法和技巧3三维有限元分析是最完整的结构分析方法，能够准确模拟复杂三维结构中的应力分布和变形行为。相比一维和二维分析，三维分析不需要做出简化假设，但计算量显著增加。本章将系统介绍三维有限元分析的理论基础和实施方法，包括三维应力应变关系、各类三维单元的特点、三维问题的求解技术等。通过具体案例，展示三维有限元分析在复杂工程问题中的应用。三维单元四面体单元四面体单元是最基本的三维单元，由四个节点组成，形成一个四面体。每个节点有三个自由度，对应三个方向的位移。四面体单元的优点是几何适应性强，可以自动生成网格，适合复杂几何形状；缺点是收敛速度较慢，需要大量单元才能获得准确结果。六面体单元六面体单元（也称为砖形单元）由八个节点组成，每个节点有三个自由度。六面体单元的优点是精度高，收敛速度快；缺点是对几何形状的适应性较差，难以自动生成网格。在规则几何形状的分析中，六面体单元通常是首选。高阶三维单元高阶三维单元通过增加中间节点来提高精度，如10节点四面体单元、20节点六面体单元等。这些单元能够描述曲面边界和非线性位移场，精度更高，但计算成本也更大。在应力集中区域或需要高精度结果的地方，建议使用高阶单元。三维应变矩阵三维应变位移关系三维问题中，应变与位移之间的关系更加复杂，包括六个应变分量：εx,εy,εz,γxy,γyz,γzx。这些应变分量与位移分量u,v,w之间通过偏导数关系相连：εx=∂u/∂x,εy=∂v/∂y,εz=∂w/∂zγxy=∂u/∂y+∂v/∂x,γyz=∂v/∂z+∂w/∂y,γzx=∂w/∂x+∂u/∂z应变矩阵的推导应变矩阵B建立了单元节点位移与应变之间的关系：ε=Bu，其中ε是6×1的应变向量，u是节点位移向量。对于使用形函数N插值的位移场，B矩阵可以通过对形函数求导得到。对于三维等参单元，需要使用雅可比矩阵进行坐标转换，将局部坐标系中的导数转换为全局坐标系中的导数，从而得到全局坐标系下的B矩阵。应变矩阵的表达式三维应变矩阵的具体表达式取决于单元类型和形函数选择。例如，对于8节点六面体单元，B矩阵是一个6×24的矩阵，每个节点对应3个自由度。应变矩阵的每一行对应一个应变分量，每一列对应一个节点自由度。矩阵元素包含形函数对坐标的偏导数，这些偏导数通常需要通过数值方法计算。三维刚度矩阵刚度矩阵的推导三维单元的刚度矩阵可以通过最小势能原理或虚功原理推导。基本表达式为：k=∫BᵀDBdV，其中B是应变矩阵，D是弹性矩阵，积分范围是单元的体积。对于线弹性材料，D矩阵是一个6×6的矩阵，反映六个应变分量与六个应力分量之间的关系。数值积分技术三维刚度矩阵的计算通常需要使用数值积分技术，如高斯积分。在等参单元中，积分需要考虑雅可比行列式：k=∫BᵀDB|J|dξdηdζ，其中|J|是雅可比矩阵的行列式，(ξ,η,ζ)是参考坐标系中的坐标。高斯积分点的数量和位置取决于单元类型和所需精度。刚度矩阵的计算三维刚度矩阵的尺寸通常很大，例如20节点六面体单元的刚度矩阵是60×60的。计算这样的矩阵需要大量计算资源，因此通常使用并行计算技术和高效数值算法。刚度矩阵的计算精度直接影响有限元分析的结果，合理选择积分点和积分方法至关重要。三维问题的求解步骤建模三维建模是有限元分析的第一步，包括几何建模和物理建模。几何建模涉及创建结构的三维几何表示，可以使用CAD软件完成；物理建模涉及定义材料属性、荷载条件和边界条件。建模的精度和详细程度直接影响后续分析的准确性。网格划分三维问题的网格划分比一维和二维问题更加复杂。需要考虑单元类型（四面体、六面体等）、网格密度和质量。在应力集中区域应使用更细的网格，而在应力变化平缓的区域可以使用较粗的网格。网格质量对计算精度和收敛性有重要影响。边界条件施加正确施加边界条件是准确模拟实际问题的关键。三维问题的边界条件包括位移约束、外力、压力、温度等。边界条件的施加方式应尽可能接近实际情况，避免过度简化或不必要的约束，以防止引入人为误差。求解和后处理三维问题通常导致大规模方程组，求解过程计算密集。求解后需要通过后处理获取有用信息，如位移场、应变场、应力场、主应力方向等。结果可视化（如云图、矢量图）有助于理解结构行为和识别潜在问题区域。三维问题的数值算例问题描述考虑一个三维弹性体问题：L形支架在一端固定，另一端受集中力作用。支架材料为线弹性材料，弹性模量E=200GPa，泊松比ν=0.3。需要确定支架的变形和应力分布，特别是应力集中区域的应力状态。这个问题无法通过一维或二维简化模型准确分析，需要使用三维有限元方法。分析的关键是捕捉角部的应力集中现象和整体的变形行为。有限元模型采用三维实体建模，使用10节点四面体单元进行网格划分。在角部和受力区域采用细化网格，以准确捕捉应力集中。总共使用约50,000个单元，150,000个节点，约450,000个自由度。固定端的所有节点位移设为零；载荷端施加集中力，并使用多点约束避免应力奇异性。材料参数和几何尺寸按实际情况设置。结果分析和讨论计算结果显示：最大位移出现在载荷端，约为5mm；最大vonMises应力出现在L形拐角处，约为320MPa，超过了一般结构钢的屈服强度；应力分布呈现明显的集中特征，角部应力梯度很大。基于分析结果，建议改进设计：增加角部圆角以减小应力集中；适当增加支架厚度；考虑改变材料或添加加强筋。通过这些措施，可以降低最大应力，提高结构的安全性和耐久性。第六章：动力学问题的有限元分析动力学基本方程研究运动方程和振动特性质量矩阵建立结构惯性特性模型阻尼矩阵模拟能量耗散机制动力学问题关注结构在动态载荷作用下的响应，包括振动、冲击和瞬态响应等。与静力学问题相比，动力学问题需要考虑惯性力和阻尼力的影响，计算过程更加复杂。有限元方法在动力学分析中有广泛应用，可以处理复杂几何形状和边界条件下的动态响应问题。本章将介绍动力学有限元分析的基本理论和方法，包括质量矩阵和阻尼矩阵的构建、动力学方程的求解技术以及结果的解释和应用。质量矩阵集中质量矩阵集中质量矩阵将单元的质量集中到节点上，形成对角矩阵。每个节点的质量等于分配给该节点的单元质量之和。这种方法简化了计算，特别适合显式动力学分析，但可能降低计算精度，尤其是对高阶模态。一致质量矩阵一致质量矩阵基于与位移函数相同的插值函数分布质量，形成非对角矩阵。它通过积分计算：M=∫ρN^TNdV，其中ρ是密度，N是形函数矩阵。一致质量矩阵提供更准确的惯性力表示，特别是对高阶振动模态。质量矩阵的选择选择合适的质量矩阵取决于分析类型和精度要求。对于显式时间积分，集中质量矩阵能提高计算效率；对于模态分析或需要高精度的隐式动力学分析，一致质量矩阵更为适合。有时也使用混合质量矩阵，结合两种方法的优点。阻尼矩阵阻尼的类型阻尼是结构中能量耗散的机制，影响动态响应的幅度和持续时间。实际工程中的阻尼机制复杂多样，包括材料阻尼（如内摩擦）、结构阻尼（如接头摩擦）和环境阻尼（如空气阻力）等。在有限元分析中，通常采用粘性阻尼模型，即阻尼力与速度成正比。这种简化使得动力学方程保持线性，便于求解。对于特殊情况，也可以考虑库仑阻尼（与位移方向相反的常量力）或滞回阻尼（与位移历史有关）。比例阻尼比例阻尼是最常用的阻尼模型，也称为Rayleigh阻尼。它假设阻尼矩阵C是质量矩阵M和刚度矩阵K的线性组合：C=αM+βK，其中α和β是比例系数。比例阻尼的优点是可以在模态坐标系中实现对角化，使得动力学方程在模态空间中解耦，大大简化求解过程。对于给定的阻尼比ζ（通常由试验确定），可以计算相应的α和β值。阻尼矩阵的构建构建阻尼矩阵的方法包括：比例阻尼法：直接使用C=αM+βK模态阻尼法：在模态空间中指定每个模态的阻尼比实验识别法：通过测量结构响应反推阻尼特性在大多数工程分析中，由于阻尼机制的复杂性和不确定性，通常采用简化的比例阻尼模型，阻尼比取典型值（如钢结构取2-5%，混凝土结构取5-10%）。动力学方程的求解方法1模态分析法基于结构特征向量分解的高效方法2直接积分法逐步求解时域动力方程的通用方法方法比较根据问题特点选择合适的分析方法动力学方程的一般形式为：Mü+Cu̇+Ku=F(t)，其中M、C、K分别是质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，ü、u̇、u分别是加速度向量、速度向量和位移向量，F(t)是时变外力。这个方程描述了结构在动态载荷作用下的运动行为，求解它是动力学分析的核心任务。模态分析法和直接积分法是求解动力学方程的两大类方法。模态分析法先求解结构的特征值问题，得到固有频率和振型，然后在模态坐标系中求解解耦的方程组，最后转换回物理坐标系。直接积分法则直接在时域内逐步积分原始方程，包括显式和隐式两种积分策略。模态分析特征值问题模态分析的第一步是求解特征值问题：(K-ω²M)φ=0，其中ω是结构的固有圆频率，φ是对应的振型向量。这个方程表示在没有外力和阻尼的情况下，结构可以以特定频率自由振动的条件。求解特征值问题可以得到一系列固有频率和对应的振型，它们反映了结构的动力学特性。低阶模态通常对结构的动态响应贡献最大。模态提取模态提取是计算固有频率和振型的过程。常用方法包括幂迭代法、子空间迭代法和Lanczos方法等。对于大型问题，通常只需提取前几阶模态，而不是全部模态。模态提取的结果可用于评估结构的动力学性能，如避免共振、优化结构布局等。振型图直观地显示了结构在各阶模态下的变形形态。模态叠加法模态叠加法利用振型正交性将耦合的动力学方程转换为解耦的单自由度方程组。具体步骤包括：将位移表示为振型的线性组合，代入原方程并利用正交性简化，求解一系列单自由度方程，最后将模态坐标转换回物理坐标。模态叠加法计算效率高，特别适合线性系统和中小规模问题。它也便于理解各阶模态对总响应的贡献。时域分析Newmark法Newmark法是一种常用的隐式时间积分方法，假设在时间步长内加速度和速度的变化满足特定关系。通过选择不同的参数γ和β，可以得到不同稳定性和精度特性的格式。当γ=1/2,β=1/4时，对应于常加速度法，无条件稳定且二阶精度。Newmark法需要在每个时间步求解一个线性方程组，计算成本较高，但允许使用较大的时间步长。它适用于各种动力学问题，尤其是中长时间的分析。Wilson-θ法Wilson-θ法是Newmark法的一个变种，通过引入θ参数（通常取θ≥1.37）扩展时间步长，提高数值稳定性。它假设在扩展的时间步内加速度线性变化，通过这种方式减小数值阻尼。Wilson-θ法无条件稳定且具有二阶精度，适用于需要控制数值阻尼的线性动力学问题。然而，在非线性问题中可能引入较大误差。中心差分法中心差分法是一种显式时间积分方法，使用中心差分公式近似速度和加速度。它的优点是计算简单，每个时间步不需要求解线性方程组；缺点是条件稳定，时间步长受到限制。中心差分法适用于波传播问题、冲击分析和高频响应分析等。在显式有限元程序中，它通常与集中质量矩阵结合使用，以提高计算效率。动力学问题的数值算例问题描述考虑一个简支梁在冲击载荷作用下的动态响应。梁长4米，截面为矩形，高0.2米，宽0.1米，材料为钢，弹性模量E=210GPa，密度ρ=7800kg/m³。冲击载荷作用在梁的中点，力-时间关系为半正弦波，最大值10kN，作用时间0.01秒。2有限元模型使用20个梁单元离散化结构，每个节点有2个自由度（挠度和转角）。采用一致质量矩阵和Rayleigh阻尼（阻尼比取2%）。时间积分采用Newmark方法（γ=0.5,β=0.25），时间步长0.0001秒，总计算时间0.5秒，共5000步。动力响应分析计算结果显示：最大位移发生在t=0.027秒，为4.8毫米，是静载荷下位移的1.8倍；梁的自由振动频率为42.7Hz，与理论解相差不到1%；振动幅度随时间逐渐衰减，符合阻尼特性。通过频谱分析可见，响应主要由第一阶模态主导，高阶模态贡献较小。第七章：非线性有限元分析几何非线性研究大变形和稳定性问题大位移、大转动分析屈曲后行为接触变化问题1材料非线性分析超弹性和塑性变形弹塑性分析超弹性材料蠕变和疲劳接触非线性模拟物体间的相互作用接触检测摩擦效应接触约束几何非线性大变形理论几何非线性考虑变形过程中几何构型的变化对结构行为的影响。当变形足够大时，小变形假设不再适用，需要考虑应变-位移关系的非线性项和平衡方程在变形构型上的建立。大变形分析常用于薄壁结构、柔性构件、橡胶件等可能发生大位移的问题。它能准确预测屈曲后行为、稳定性问题和变形引起的刚化或软化效应。更新拉格朗日方法更新拉格朗日方法在每个增量步的变形构型上建立控制方程，参考构型不断更新。它将总变形分解为一系列小增量，每个增量内假设线性关系，通过迭代修正误差。这种方法计算效率较高，特别适合大位移但应变适中的问题。在每个平衡构型上，可以使用常规的小变形理论建立刚度矩阵。全拉格朗日方法全拉格朗日方法始终以初始未变形构型为参考，建立所有方程和变量。这种方法需要使用合适的应变和应力测度（如Green应变和第二Piola-Kirchhoff应力）来描述变形。全拉格朗日方法理论上更为严谨，适用于任意大变形问题。但计算复杂度较高，特别是需要处理材料非线性时。在实际应用中，更新拉格朗日方法更为常用。材料非线性弹塑性理论弹塑性理论描述材料在屈服后的行为，考虑永久变形和能量耗散。关键概念包括屈服准则（如vonMises准则、Tresca准则）、硬化规则（如等向硬化、随动硬化）和流动法则（关联流动或非关联流动）。弹塑性分析广泛应用于金属构件、岩土工程和混凝土结构等。增量理论非线性材料行为通常需要增量理论描述，将加载过程分解为一系列小增量。在每个增量内，建立应力增量与应变增量的关系，通过切线刚度矩阵或割线刚度矩阵联系二者。增量理论考虑了材料响应对加载路径的依赖性，能准确模拟复杂的材料行为。迭代法求解材料非线性问题通常需要迭代求解。常用方法包括初应力法（将非线性部分视为等效载荷）、切线刚度法（使用切线模量）和Newton-Raphson法（结合了前两种方法的优点）。迭代过程中，需要不断更新刚度矩阵和内力向量，直到平衡方程满足预定的收敛准则。接触问题3接触类型点接触、线接触和面接触0.3典型摩擦系数钢-钢接触的库仑摩擦系数10⁶接触刚度典型罚函数法的接触刚度量级(N/m³)30%