2025版高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第1节排列与组合教学案理含解析北师大版

PAGE1-第一节排列与组合[考纲传真]1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简洁的实际问题.3.理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简洁的实际问题.4.理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简洁的实际问题．1．分类加法计数原理完成一件事，可以有n类方法，在第一类方法中有m1种方法，在其次类方法中有m2种方法，…，在第n类方法中有mn种方法．那么，完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种方法．(也称加法原理)2．分步乘法计数原理完成一件事须要经过n个步骤，缺一不行，做第一步有m1种方法，做其次步有m2种方法，…，做第n步有mn种方法．那么，完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种方法．3．排列、组合的定义排列的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素依据肯定的依次排成一列组合的定义合成一组4.排列数、组合数的定义、公式、性质排列数组合数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的全部不同排列的个数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的全部不同组合的个数公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,n－m！)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)性质Aeq\o\al(n,n)＝n！，0！＝1Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)，Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)＝Ceq\o\al(m,n＋1)[基础自测]1．(思索辨析)推断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)全部元素完全相同的两个排列为相同排列． ()(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能干脆完成这件事． ()(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的． ()(4)kCeq\o\al(k,n)＝nCeq\o\al(k－1,n－1). ()[答案](1)×(2)√(3)√(4)√2．(教材改编)图书馆的一个书架有三层，第一层有3本不同的数学书，其次层有5本不同的语文书，第三层有8本不同的英语书，现从中任取1本书，不同的取法有()A．12 B．16C．64 D．120B[书架上共有3＋5＋8＝16本不同的书，从中任取一本共有16种不同的取法，故选B．]3．(教材改编)用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为()A．8 B．24C．48 D．120C[末位只能从2,4中选一个，其余的三个数字随意排列，故这样的偶数共有Aeq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,2)＝4×3×2×2＝48个．故选C.]4．某市委从组织机关10名科员中选3人担当驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A．85 B．56C．49 D．28C[法一(干脆法)：甲、乙两人均入选，有Ceq\o\al(1,7)Ceq\o\al(2,2)种方法，甲、乙两人只有1人入选，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,7)种方法，由分类加法计数原理，共有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,7)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,7)＝49种选法．法二(间接法)：从9人中选3人有Ceq\o\al(3,9)种方法，其中甲、乙均不入选有Ceq\o\al(3,7)种方法，∴满意条件的选排方法有Ceq\o\al(3,9)－Ceq\o\al(3,7)＝84－35＝49种．]5．将6名老师分到三所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．360[将6名老师分组，分3步完成：第1步，在6名老师中任取1名作为一组，有Ceq\o\al(1,6)种取法；第2步，在余下的5名老师中任取2名作为一组，有Ceq\o\al(2,5)种取法；第3步，余下的3名老师作为一组，有Ceq\o\al(3,3)种取法．依据分步乘法计数原理，共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)＝60(种)取法．将这三组老师安排到三所中学，有Aeq\o\al(3,3)＝6(种)分法，故共有60×6＝360(种)不同法．]两个计数原理的综合应用【例1】(1)从甲地到乙地每天有直达汽车4班，从甲到丙地，每天有5个班车，从丙地到乙地每天有3个班车，则从甲地到乙地不同的乘车方法有()A．12种 B．19种C．32种 D．60种(2)如图，用6种不同的颜色分别给图中A，B，C，D四块区域涂色，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有()A．400种 B．460种C．480种 D．496种(1)B(2)C[(1)分两类：一类是干脆从甲到乙，有n1＝4种方法；另一类是从甲经丙再到乙，可分为两步，有n2＝5×3＝15种方法．由分类加法计数原理可得：从甲到乙的不同乘车方法n＝n1＋n2＝4＋15＝19.故选B．(2)完成此事可能运用4种颜色，也可能运用3种颜色．当运用4种颜色时：从A起先，有6种方法，B有5种，C有4种，D有3种，完成此事共有6×5×4×3＝360种方法；当运用3种颜色时，A，D运用同一种颜色，从A，D起先，有6种方法，B有5种，C有4种，完成此事共有6×5×4＝120种方法．由分类加法计数原理可知：不同的涂法有360＋120＝480(种)．][规律方法]与两个计数原理有关问题的解题策略(1)在综合应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步，但在分步时可能又会用到分类加法计数原理．(2)对于较困难的两个原理综合应用的问题，可恰当地画出示意图或列出表格，化抽象为直观．(1)五名学生报名参与四项体育竞赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为________．五名学生争夺四项竞赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有________种．(2)用0,1,2,3,4,5,6这7个数字可以组成________个无重复数字的四位偶数．(用数字作答)(1)4554(2)420[(1)五名学生参与四项体育竞赛，每人限报一项，可逐个学生落实，每个学生有4种报名方法，共有45种不同的报名方法．五名学生争夺四项竞赛的冠军，可对4个冠军逐一落实，每个冠军有5种获得的可能性，共有54种获得冠军的可能性．(2)①当末位数字是0时，如图(1)所示，共有Aeq\o\al(3,6)个不同的四位偶数；图(1)②当末位数字是2或4或6时，如图(2)所示，共有Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)个不同的四位偶数；即共有Aeq\o\al(3,6)＋Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)＝120＋5×5×4×3＝420个无重复数字的四位偶数．]图(2)排列问题【例2】3名女生和5名男生排成一排．(1)若女生全排在一起，有多少种排法？(2)若女生都不相邻，有多少种排法？(3)若女生不站两端，有多少种排法？(4)其中甲必需排在乙左边(可不邻)，有多少种排法？(5)其中甲不站最左边，乙不站最右边，有多少种排法？[解](1)(捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同5名男生合在一起有6个元素，排成一排有Aeq\o\al(6,6)种排法，而其中每一种排法中，3名女生之间又有Aeq\o\al(3,3)种排法，因此共有Aeq\o\al(6,6)·Aeq\o\al(3,3)＝4320种不同排法．(2)(插空法)先排5名男生，有Aeq\o\al(5,5)种排法，这5名男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有Aeq\o\al(3,6)种排法，因此共有Aeq\o\al(5,5)·Aeq\o\al(3,6)＝14400种不同排法．(3)法一(位置分析法)：因为两端不排女生，只能从5名男生中选2人排，有Aeq\o\al(2,5)种排法，剩余的位置没有特别要求，有Aeq\o\al(6,6)种排法，因此共有Aeq\o\al(2,5)·Aeq\o\al(6,6)＝14400种不同排法．法二(元素分析法)：从中间6个位置选3个支配女生，有Aeq\o\al(3,6)种排法，其余位置无限制，有Aeq\o\al(5,5)种排法，因此共有Aeq\o\al(3,6)·Aeq\o\al(5,5)＝14400种不同排法.(4)8名学生的全部排列共Aeq\o\al(8,8)种，其中甲在乙左边与乙在甲左边的各占eq\f(1,2)，因此符合要求的排法种数为eq\f(1,2)Aeq\o\al(8,8)＝20160.(5)甲、乙为特别元素，左、右两边为特别位置．法一(特别元素法)：甲在最右边时，其他的可全排，有Aeq\o\al(7,7)种不同排法；甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有Aeq\o\al(1,6)种．而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任一个上，有Aeq\o\al(1,6)种，其余人全排列，共有Aeq\o\al(1,6)·Aeq\o\al(1,6)·Aeq\o\al(6,6)种不同排法．由分类加法计数原理知，共有Aeq\o\al(7,7)＋Aeq\o\al(1,6)·Aeq\o\al(1,6)·Aeq\o\al(6,6)＝30960种不同排法．法二(特别位置法)：先排最左边，除去甲外，有Aeq\o\al(1,7)种排法，余下7个位置全排，有Aeq\o\al(7,7)种排法，但应剔除乙在最右边时的排法Aeq\o\al(1,6)·Aeq\o\al(6,6)种，因此共有Aeq\o\al(1,7)·Aeq\o\al(7,7)－Aeq\o\al(1,6)·Aeq\o\al(6,6)＝30960种排法．法三(间接法)：8名学生全排列，共Aeq\o\al(8,8)种，其中，不符合条件的有甲在最左边时，有Aeq\o\al(7,7)种排法，乙在最右边时，有Aeq\o\al(7,7)种排法，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有Aeq\o\al(6,6)种排法．因此共有Aeq\o\al(8,8)－2Aeq\o\al(7,7)＋Aeq\o\al(6,6)＝30960种排法．[规律方法]求解排列应用问题的六种常用方法干脆法把符合条件的排列数干脆列式计算优先法优先支配特别元素或特别位置捆绑法相隔问题把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时留意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑依次限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反、等价转化的方法(1)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A．144 B．120C．72 D．24(2)旅游体验师小明受某网站邀请，确定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若不能最先去甲景区旅游，不能最终去乙景区和丁景区旅游，则小李可选的旅游路途数为()A．24 B．18C．16 D．10(1)D(2)D[(1)先把3把椅子隔开摆好，它们之间和两端共有4个位置，再把3人带椅子插放在4个位置，共有Aeq\o\al(3,4)＝24(种)方法．故选D．(2)分两种状况，第一种：最终体验甲景区，则有Aeq\o\al(3,3)种可选的路途；其次种：不在最终体验甲景区，则有Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,2)种可选的路途．所以小李可选的旅游路途数为Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,2)＝10.故选D．]组合问题【例3】某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生当选；(2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选．[解](1)只有一名女生当选等价于有一名女生和四名男生当选．故共有Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(4,8)＝350种．(2)两队长当选，共有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(3,11)＝165种．(3)至少有一名队长当选含有两类：只有一名队长当选，有两名队长当选．故共有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(4,11)＋Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(3,11)＝825种．(或采纳解除法：Ceq\o\al(5,13)－Ceq\o\al(5,11)＝825(种))．(4)至多有两名女生当选含有三类：有两名女生当选，只有一名女生当选，没有女生当选．故选法共有Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(4,8)＋Ceq\o\al(5,8)＝966种．[律方规法]组合问题的常见类型与处理方法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取．(2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若干脆法分类困难时，逆向思维，间接求解．(1)某单位拟支配6位员工在今年6月9日至11日值班，每天支配2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值9日，乙不值11日，则不同的支配方法共有()A．30种 B．36种C．42种 D．48种(2)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为()A．232 B．252C．472 D．484(1)C(2)C[(1)若甲在11日值班，则在除乙外的4人中任选1人在11日值班，有Ceq\o\al(1,4)种选法，9日、10日有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)种支配方法，共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝24(种)支配方法；若甲在10日值班，乙在9日值班，余下的4人有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,2)种支配方法，共有12种支配方法；若甲、乙都在10日值班，则共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝6(种)支配方法．所以总共有24＋12＋6＝42(种)支配方法．(2)分两类：第一类，含有1张红色卡片，不同的取法共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,12)＝264(种)；其次类，不含有红色卡片，不同的取法共有Ceq\o\al(3,12)－3Ceq\o\al(3,4)＝220－12＝208(种)．由分类加法计数原理知，不同的取法有264＋208＝472(种)．]排列、组合的综合应用【例4】(1)将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲小组至少2人，乙、丙组至少1人，则不同的安排方案种数为()A．80 B．120C．140 D．50(2)假如一个三位正整数“a1a2a3”满意a1＜a2，且a2＞a3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么全部凸数的个数为()A．240 B．204C．729 D．920(1)A(2)A[(1)先将5名同学分成3组，有两种安排方案，一是三组人数分别为2,2,1，分组方法有eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))＝15(种)，然后将有2人的两组分给甲、乙或甲、丙，安排方法是15×(Aeq\o\al(2,2)＋Aeq\o\al(2,2))＝60(种)；二是三组人数分别为3,1,1，分组方法有eq\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))＝10(种)，然后将1人的两组分给乙、丙两组，安排方法是10×Aeq\o\al(2,2)＝20(种)．故共有60＋20＝80(种)．(2)假如这个三位数含0，则0必在末位，共有这样的凸数Ceq\o\al(2,9)个；假如这个三位数不含0，则这样的凸数共有Ceq\o\al(3,9)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,9)个．即共有2Ceq\o\al(2,9)＋Ceq\o\al(3,9)Aeq\o\al(2,2)＝240个．][规律方法]1.排列组合综合题思路，先选后排，先组合后排列．当有多个限制条件时，应以其中一个限制条件为标准分类，限制条件多时，多考虑用间接法，但需确定一个总数．2．(1)不同元素的安排问题，往往是先分组再安排．在分组时，通常有三种类型：①不匀称分组；②匀称分组；③部分匀称分组，留意各种分组类型中，不同分组方法的求法．(2)对于相同元素的“安排”问题，常用的方法是采纳“隔板法”．(1)(2024·长春质检)要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A，B，C三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到A班的分法种数为()A．6 B．12C．24 D．36(2)(2024·浙江高考)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，一般队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)(1)B(2)660[(1)甲和另一个人一起分到A班有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)＝6种分法，甲一个人分到A班的方法有：Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝6种分法，共有12种分法．故选B．(2)法一：只有1名女生时，先选1名女生，有Ceq\o\al(1,2)种方法；再选3名男生，有Ceq\o\al(3,6)种方法；然后排队长、副队长位置，有Aeq\o\al(2,4)种方法．由分步乘法计数原理，知共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,6)Aeq\o\al(2,4)＝480(种)选法．有2名女生时，再选2名男生，有Ceq\o\al(2,6)种方法；然后排队长、副队长位置，有Aeq\o\al(2,4)种方法．由分步乘法计数原理，知共有Ceq\o\al(2,6)Aeq\o\al(2,4)＝180(种)选法．所以依据分类加法计数原理知共有480＋180＝660(种)不同的选法．法二：不考虑限制条件，共有Aeq\o\al(2,8)Ceq\o\al(2,6)种不同的选法，而没有女生的选法有Aeq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)种，故至少有1名女生的选法有Aeq\o\al(2,8)Ceq\o\al(2,6)－Aeq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)＝840－180＝660(种)．]1.(2024·全国卷Ⅱ)支配3名志