2024-2025学年高中数学复习课三导数及其应用讲义含解析新人教A版选修1-1

PAGEPAGE14复习课(三)导数及其应用导数的概念及几何意义的应用近几年的高考中，导数的几何意义和切线问题是常考内容，各种题型均有可能出现，一般题目难度较小．[考点精要](1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)；(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k；(3)已知过某点M(x1，f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点A(x0，f(x0))，利用k＝eq\f(fx1－fx0,x1－x0)求解．[典例](2024·天津高考)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－lnx的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．[解析]由题意可知f′(x)＝a－eq\f(1,x)，所以f′(1)＝a－1，因为f(1)＝a，所以切点坐标为(1，a)，所以切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)，即y＝(a－1)x＋1.令x＝0，得y＝1，即直线l在y轴上的截距为1.[答案]1[类题通法](1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种状况①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．②假如已知点不是切点，则应先出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．(2)曲线与直线相切并不肯定只有一个公共点，例如，y＝x3在(1,1)处的切线l与y＝x3的图象还有一个交点(－2，－8)．eq\a\vs4\al([题组训练])1．曲线y＝eq\f(x,x＋2)在点(－1，－1)处的切线方程为()A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2解析：选A∵y′＝eq\f(x′x＋2－xx＋2′,x＋22)＝eq\f(2,x＋22)，∴k＝y′|x＝－1＝eq\f(2,－1＋22)＝2，∴切线方程为：y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.2．已知曲线y＝x3－1与曲线y＝3－eq\f(1,2)x2在x＝x0处的切线相互垂直，则x0的值为()A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(\r(3,3),3)C.eq\r(3) D.eq\f(\r(3,9),3)解析：选Dy＝x3－1⇒y′＝3x2，y＝3－eq\f(1,2)x2⇒y′＝－x，由题意得3xeq\o\al(2,0)·(－x0)＝－1，解得xeq\o\al(3,0)＝eq\f(1,3)，即x0＝eq\r(3,\f(1,3))＝eq\f(\r(3,9),3)，故选D.导数与函数的单调性题型既有选择题、填空题也有解答题，若以选择题、填空题的形式出现，则难度以中、低档为主，若以解答题形式出现，难度则以中等偏上为主，主要考查求函数的单调区间、证明或推断函数的单调性等问题．[考点精要]函数的单调性与导函数值的关系若函数f(x)在(a，b)内可导，则f′(x)在(a，b)随意子区间内部不恒等于0.f′(x)＞0⇒函数f(x)在(a，b)上单调递增；f′(x)＜0⇒函数f(x)在(a，b)上单调递减．反之，函数f(x)在(a，b)上单调递增⇒f′(x)≥0；函数f(x)在(a，b)上单调递减⇒f′(x)≤0.即f′(x)＞0(f′(x)＜0)是f(x)为增(减)函数的充分不必要条件．特殊要留意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，肯定不能用“∪”连接．[典例](2024·全国卷Ⅲ节选)已知函数f(x)＝lnx＋ax2＋(2a＋1)x.探讨f(x)的单调性．[解]f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝eq\f(1,x)＋2ax＋2a＋1＝eq\f(x＋12ax＋1,x).若a≥0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)单调递增．若a＜0，则当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2a)))时，f′(x)＞0；当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2a)，＋∞))时，f′(x)＜0，故f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2a)))上单调递增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2a)，＋∞))上单调递减．[类题通法]求函数的单调区间的方法步骤(1)确定函数f(x)的定义域．(2)计算函数f(x)的导数f′(x)．(3)解不等式f′(x)＞0，得到函数f(x)的递增区间；解不等式f′(x)＜0，得到函数f(x)的递减区间．[留意]求函数单调区间肯定要先确定函数定义域，往往因忽视函数定义域而导致错误．eq\a\vs4\al([题组训练])1．函数f(x)＝2x2－lnx的单调递增区间是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))解析：选C由题意得f′(x)＝4x－eq\f(1,x)＝eq\f(4x2－1,x)，且x＞0，由f′(x)＞0，即4x2－1＞0，解得x＞eq\f(1,2).故选C.2．已知函数f(x)＝－eq\f(1,2)x2＋2x－aex.(1)若a＝1，求f(x)在x＝1处的切线方程；(2)若f(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝1时，f(x)＝－eq\f(1,2)x2＋2x－ex，则f(1)＝－eq\f(1,2)×12＋2×1－e＝eq\f(3,2)－e，f′(x)＝－x＋2－ex，f′(1)＝－1＋2－e＝1－e，故曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－e))＝(1－e)(x－1)，即y＝(1－e)x＋eq\f(1,2).(2)∵f(x)在R上是增函数，∴f′(x)≥0在R上恒成立，∵f(x)＝－eq\f(1,2)x2＋2x－aex，∴f′(x)＝－x＋2－aex，于是有不等式－x＋2－aex≥0在R上恒成立，即a≤eq\f(2－x,ex)在R上恒成立，令g(x)＝eq\f(2－x,ex)，则g′(x)＝eq\f(x－3,ex)，令g′(x)＝0，解得x＝3，列表如下：x(－∞，3)3(3，＋∞)g′(x)－0＋g(x)－eq\f(1,e3)故函数g(x)在x＝3处取得微小值，亦即最小值，即g(x)min＝－eq\f(1,e3)，所以a≤－eq\f(1,e3)，即实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,e3))).导数与函数的极值、最值从高考运用状况看，利用导数探讨函数极值、最值是导数应用的核心部分，年年高考都有考查，多以解答题形式考查，难度相对较大．[考点精要]1．导数与函数单调性、极值的关系(1)f′(x)>0在(a，b)上成立，是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件．(2)对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．2．利用导数求函数极值应留意三点(1)求单调区间时应先求函数的定义域，遵循定义域优先的原则；(2)f′(x0)＝0时，x0不肯定是极值点；(3)求最值时，应留意极值点和所给区间的关系，关系不确定时应分类探讨．[典例](2024·北京高考)已知函数f(x)＝excosx－x.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值．[解](1)因为f(x)＝excosx－x，所以f′(x)＝ex(cosx－sinx)－1，f′(0)＝0.又因为f(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.(2)设h(x)＝ex(cosx－sinx)－1，则h′(x)＝ex(cosx－sinx－sinx－cosx)＝－2exsinx.当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，h′(x)＜0，所以h(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上单调递减．所以对随意x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))有h(x)＜h(0)＝0，即f′(x)＜0.所以函数f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上单调递减．因此f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值为f(0)＝1，最小值为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝－eq\f(π,2).[类题通法]1．求函数的极值的方法(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)．(2)求方程f′(x)＝0的根．(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f′(x)在方程根左右的值的符号，假如左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；假如左负右正，那么f(x)在这个根处取得微小值；假如左右不变更符号即都为正或都为负，则f(x)在这个根处无极值．2．求函数的最值的方法(1)求f(x)在(a，b)内的极值．(2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较得出函数f(x)在[a，b]上的最值．eq\a\vs4\al([题组训练])1．函数f(x)＝1＋3x－x3()A．有微小值，无极大值 B．无微小值，有极大值C．无微小值，无极大值 D．有微小值，有极大值解析：选Df′(x)＝－3x2＋3，由f′(x)＝0，得x＝±1.当x∈(－1,1)时，f′(x)＞0，∴f(x)的单调增区间为(－1,1)；同理，f(x)的单调减区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)．∴当x＝－1时，函数有微小值－1，当x＝1时，函数有极大值3，故选D.2．已知函数f(x)＝eq\f(1＋lnx,x)(x≥1)，(1)试推断函数f(x)的单调性，并说明理由；(2)若f(x)≥eq\f(k,x＋1)恒成立，求实数k的取值范围．解：(1)f′(x)＝－eq\f(lnx,x2)，∵x≥1，∴lnx≥0，∴f′(x)≤0.故函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减．(2)∵x≥1，∴f(x)≥eq\f(k,x＋1)⇔eq\f(x＋11＋lnx,x)≥k，令g(x)＝eq\f(x＋11＋lnx,x)，∴g′(x)＝eq\f([x＋11＋lnx]′x－x＋11＋lnx,x2)＝eq\f(x－lnx,x2).再令h(x)＝x－lnx，则h′(x)＝1－eq\f(1,x).∵x≥1，则h′(x)≥0，∴h(x)在[1，＋∞)上单调递增．∴[h(x)]min＝h(1)＝1>0，从而g′(x)>0，故g(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴[g(x)]min＝g(1)＝2，∴k≤2.故实数k的取值范围为(－∞，2].生活中的优化问题优化问题是导数在实际生活中的应用之一，高考中有所体现，既可以以小题形式考查，也可以解答题形式考查，难度中低档．[考点精要]解答思路[典例]某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建立成本仅与表面积有关，侧面的建立成本为100元/平方米，底面的建立成本为160元/平方米，该蓄水池的总建立成本为12000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域．(2)探讨函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．[解](1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh(元)，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．又据题意知200πrh＋160πr2＝12000π，所以h＝eq\f(1,5r)(300－4r2)，从而V(r)＝πr2h＝eq\f(π,5)(300r－4r3)．因为r＞0，又由h＞0可得r＜5eq\r(3)，故函数V(r)的定义域为(0,5eq\r(3))．(2)因为V(r)＝eq\f(π,5)(300r－4r3)，所以V′(r)＝eq\f(π,5)(300－12r2)．令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因r2＝－5不在定义域内，舍去)．当r∈(0,5)时，V′(r)＞0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r∈(5,5eq\r(3))时，V′(r)＜0，故V(r)在(5,5eq\r(3))上为减函数．由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．[类题通法]利用导数求实际问题的最大(小)值的一般方法(1)分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系y＝f(x)，依据实际问题确定y＝f(x)的定义域．(2)求方程f′(x)＝0的全部实数根．(3)比较导函数在各个根和区间端点处的函数值的大小，依据实际问题的意义确定函数的最大值或最小值．eq\a\vs4\al([题组训练])1．书店预料一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，假如每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库存费40元，并假设该书匀称投放市场，问此书店分________次进货、每次进__________册，可使所付的手续费与库存费之和最少．解析：设每次进书x千册(0＜x＜150)，手续费与库存费之和为y元，由于该书匀称投放市场，则平均库存量为批量一半，即eq\f(x,2)，故有y＝eq\f(150,x)×30＋eq\f(x,2)×40，y′＝－eq\f(4500,x2)＋20＝eq\f(20x＋15x－15,x2)，∴当0＜x＜15时，y′＜0，当15＜x＜150时，y′＞0.故当x＝15时，y取得最小值，此时进货次数为eq\f(150,15)＝10(次)．即该书店分10次进货，每次进15000册书，所付手续费与库存费之和最少．答案：10150002．一艘轮船在航行时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知速度为每小时10千米时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每千米的费用总和最小？解：设轮船速度为x(x＞0)千米/时的燃料费用为Q元，则Q＝kx3，由6＝k×103，可得k＝eq\f(3,500).∴Q＝eq\f(3,500)x3.∴总费用y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,500)x3＋96))·eq\f(1,x)＝eq\f(3,500)x2＋eq\f(96,x).∵y′＝eq\f(6x,500)－eq\f(96,x2).令y′＝0，得x＝20.∴当x∈(0,20)时，y′＜0，此时函数单调递减，当x∈(20，＋∞)时，y′＞0，此时函数单调递增．∴当x＝20时，y取得最小值，∴此轮船以20千米/时的速度行驶每千米的费用总和最小．1．下面求导运算正确的是()A．(2x)′＝2xlog2eB．(x3sinx)′＝3x2cosxC.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,cosx)))′＝－eq\f(1,sinx)D．(x＋log3x)′＝1＋eq\f(1,xln3)解析：选D(2x)′＝2xln2，(x3sinx)′＝3x2sinx＋x3·cosx，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,cosx)))′＝eq\f(cosx＋xsinx,cos2x)，(x＋log3x)′＝1＋eq\f(1,xln3)，所以选D.2．已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)x2＋cx＋d有极值，则c的取值范围为()A．c＜eq\f(1,4) B．c≤eq\f(1,4)C．c≥eq\f(1,4) D．c＞eq\f(1,4)解析：选A由题意得f′(x)＝x2－x＋c，若函数f(x)有极值，则Δ＝1－4c＞0，解得c＜eq\f(1,4).3．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是()A．(2,3) B．(3，＋∞)C．(2，＋∞) D．(－∞，3)解析：选B因为函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，又f′(x)＝6x2＋2ax＋36，所以f′(2)＝0解得a＝－15.令f′(x)＞0，解得x＞3或x＜2，所以函数的一个递增区间是(3，＋∞)．4．已知f(x)＝3x2＋lnx，则lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(f1＋2Δx－f1－Δx,Δx)＝()A．7 B.eq\f(7,3)C．21 D．－21解析：选C∵f′(x)＝6x＋eq\f(1,x)，∴lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(f1＋2Δx－f1－Δx,Δx)＝3lieq\o(m,\s\up6(,3Δx→0))eq\f(f1＋2Δx－f1－Δx,3Δx)＝3f′(1)＝21.5．函数y＝lnx－x在x∈(0，e]上的最大值为()A．e B．1C．－1 D．－e解析：选C函数y＝lnx－x的定义域为(0，＋∞)，又y′＝eq\f(1,x)－1＝eq\f(1－x,x)，令y′＝0得x＝1，当x∈(0,1)时，y′>0，函数单调递增；当x∈(1，e)时，y′<0，函数单调递减．当x＝1时，函数取得最大值－1，故选C.6．已知函数f(x)＝－eq\f(1,3)x3＋2x2＋2x，若存在满意0≤x0≤3的实数x0，使得曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与直线x＋my－10＝0垂直，则实数m的取值范围是()A．[6，＋∞) B．(－∞，2]C．[2,6] D．[5,6]解析：选Cf′(x)＝－x2＋4x＋2＝－(x－2)2＋6，因为x0∈[0,3]，所以f′(x0)∈[2,6]，又因为切线与直线x＋my－10＝0垂直，所以切线的斜率为m，所以m的取值范围是[2,6]．7．曲线y＝eq\f(cosx,x)在点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))处的切线方程为________．解析：y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cosx,x)))′＝eq\f(－xsinx－cosx,x2)，∴切线的斜率k＝y′eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(π,2)))＝－eq\f(2,π).∴所求切线的方程为y－0＝－eq\f(2,π)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))，即y＝－eq\f(2,π)x＋1.答案：y＝－eq\f(2,π)x＋18．函数f(x)＝12x－x3在区间[－3,3]上的最小值是________．解析：f′(x)＝12－3x2.令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.因为f(－3)＝－9，f(－2)＝－16，f(2)＝16，f(3)＝9，所以函数f(x)在区间[－3,3]上的最小值是－16.答案：－169．设x1，x2是函数f(x)＝x3－2ax2＋a2x的两个极值点，若x1＜2＜x2，则实数a的取值范围是________．解析：由题意得f′(x)＝3x2－4ax＋a2的两个零点x1，x2满意x1＜2＜x2，所以f′(2)＝12－8a＋a2＜0，解得2＜a＜6.答案：(2,6)10．已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2＋4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x－3.(1)求a，b的值；(2)探讨f(x)的单调性，并求f(x)的微小值．解：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x＋4.∵曲线在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x－3.∴f(0)＝－3，f′(0)＝2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－3，,a＋b＋4＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－3，,a＝1.))(2)由(1)知f(x)＝ex(x－3)－x2＋4x，f′(x)＝ex(x－2)－2x＋4＝(x－2)(ex－2)．令f′(x)＝0，得x＝ln2或x＝2.∴当x∈(－∞，ln2)∪(2，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈(ln2,2)时，f′(x)＜0，故f(x)在(－∞，ln2)，(2，＋∞)上单调递增，在(ln2,2)上单调递减．∴当x＝2时，函数f(x)取得微小值，且微小值为f(2)＝4－e2.11．某工厂某种产品的年产量为1000x吨，其中x∈[20,100]，须要投入的成本为C(x)(单位：万元)，当x∈[20,80]时，C(x)＝eq\f(1,2)x2－30x＋500；当x∈(80,100]时，C(x)＝eq\f(20000,\r(x)).若每吨商品售价为eq\f(lnx,x)万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L(x)(单位：万元)关于x的函数关系式；(2)年产量为多少吨时，该厂所获利润最大？解：(1)由题意，知L(x)＝1000lnx－C(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1000lnx－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2－30x＋500))，x∈[20，80]，,1000lnx－\f(20000,\r(x))，x∈80，100].))(2)当x∈[20,80]时，L′(x)＝－eq\f(x－50x＋20,x)，∴L(x)在[20,50)上单调递增，在[50,80)上单调递减，∴当x＝50时，L(x)max＝1000ln50－250；当x∈(80,100]时，L(x)＝1000lnx－eq\f(20000,\r(x))单调递增，∴L(x)max＝1000ln100－2000.∵1000ln50－250－(1000ln100－2000)＝1750－1000ln2＞1750－1000＞0，∴当x＝50，即年产量为50000吨时，利润最大，最大利润为(1000ln50－250)万元．12．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx的导函数为h(x)，f(x)的图象在点(－2，f(－2))处的切线方程为3x－y＋4＝0，且h′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝0，又直线y＝x是函数g(x)＝kxex的图象的一条切线．(1)求函数f(x)的解析式及k的值；(2)若f(x)≤g(x)－m＋1对于随意x∈[0，＋∞)恒成立，求m的取值范围．解：(1)由f(x)＝ax3＋bx2＋cx，可知h(x)＝f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.由f(x)在(－2，f(－2))处的切线方程为3x－y＋4＝0可知，f(－2)＝－8a＋4b－2c＝－2，①f′(－2)＝12a－4b＋c＝3，②又由h′(x)＝6ax＋2b可知，h′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝－4a＋2b＝0，③由①②③，解得a＝eq\f(1,2)，b＝1，c＝1，所以f(x)的解析式为f(x)＝eq\f(1,2)x3＋x2＋x.由题意，g(x)＝kxex与y＝x相切可知函数在原点或(－lnk，－lnk)处切线斜率为1.因为g′(x)＝k(ex＋xex)，所以g′(0)＝k＝1或g′(－lnk)＝1，得k＝1.综上可得k的值为1.(2)若f(x)≤g(x)－m＋1对随意x∈[0，＋∞)恒成立，即eq\f(1,2)x3＋x2＋x≤xex－m＋1恒成立，则m－1≤xex－eq\f(1,2)x3－x2－x恒成立．设q(x)＝xex－eq\f(1,2)x3－x2－x＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex－\f(1,2)x2－x－1))，令p(x)＝ex－eq\f(1,2)x2－x－1，p′(x)＝ex－x－1，再令φ(x)＝ex－x－1，φ′(x)＝ex－1＝0，解得x＝0.所以当x∈[0，＋∞)时，φ′(x)≥0，所以φ(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以φ(x)≥φ(0)＝0，即p′(x)≥0，所以p(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以p(x)≥p(0)＝0，所以当x∈[0，＋∞)时，q(x)≥0恒成立，且q(0)＝0，因此，m－1≤0即可，则m≤1.故m的取值范围为(－∞，1]．一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“∃x0∈R,2x0－3>1”的否定是()A．∃x0∈R,2x0－3≤1 B．∀x∈R,2x－3>1C．∀x∈R,2x－3≤1 D．∃x0∈R,2x0－3>1解析：选C由特称命题的否定的定义即知．2．函数y＝－eq\f(1,x)的图象在点(1，－1)处的切线的方程是()A．x－y－2＝0 B．2x－2y＋3＝0C．x＋y＝0 D．x－y＝0解析：选A∵y′＝eq\f(1,x2)，∴y′eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＝1))，∴y＝－eq\f(1,x)在点(1，－1)处的切线的斜率为1，∴切线的方程为y－(－1)＝x－1，即x－y－2＝0，故选A.3．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为()A.eq\f(1,8) B．－eq\f(1,8)C．8 D．－8解析：选B由y＝ax2得x2＝eq\f(1,a)y， ∴eq\f(1,a)＝－8，∴a＝－eq\f(1,8).4．下列说法中正确的是()A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题肯定为真B．“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价C．“a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题肯定为真解析：选D否命题和逆命题互为逆否命题，有着一样的真假性，故选D.5．已知甲：a，b，c成等差数列；乙：eq\f(a,b)＋eq\f(c,b)＝2.则甲是乙的()A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A若eq\f(a,b)＋eq\f(c,b)＝2，则a＋c＝2b，由此可得a，b，c成等差数列；当a，b，c成等差数列时，可得a＋c＝2b，但不肯定得出eq\f(a,b)＋eq\f(c,b)＝2，如a＝－1，b＝0，c＝1.所以甲是乙的必要不充分条件，故选A.6．双曲线eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn≠0)的离心率为2，它的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为()A.eq\f(3,16) B.eq\f(3,8)C.eq\f(16,3) D.eq\f(8,3)解析：选A抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，故双曲线eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1中，m>0，n>0且m＋n＝c2＝1.①又双曲线的离心率e＝eq\f(c,\r(m))＝eq\r(\f(m＋n,m))＝2，②联立方程①②，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,4)，,n＝\f(3,4).))故mn＝eq\f(3,16).7．下列命题的否定是真命题的是()A．存在向量m，使得在△ABC中，m∥eq\o(AB,\s\up7(→))且m∥eq\o(AC,\s\up7(→))B．对全部正实数x，都有x＋eq\f(1,x)≥2C．对全部第四象限的角α，都有sinα<0D．有的幂函数的图象不经过点(1,1)解析：选DA中，当m＝0时，满意m∥eq\o(AB,\s\up7(→))且m∥eq\o(AC,\s\up7(→))，所以A是真命题，其否定是假命题；B中，由于x>0，所以x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2，当且仅当x＝eq\f(1,x)，即x＝1时等号成立，所以B是真命题，其否定是假命题；C中，由于第四象限角的正弦值是负数，所以C是真命题，其否定是假命题；D中，对于幂函数f(x)＝xα，均有f(1)＝1，所以幂函数的图象均经过点(1,1)，所以D是假命题，其否定是真命题．故选D.8.函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图，则函数y＝ax2＋eq\f(3,2)bx＋eq\f(c,3)的单调递增区间是()A．(－∞，－2] B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))C．[－2,3] D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,8)，＋∞))解析：选D由题图可知d＝0.不妨取a＝1，∵f(x)＝x3＋bx2＋cx，∴f′(x)＝3x2＋2bx＋c.由图可知f′(－2)＝0，f′(3)＝0，∴12－4b＋c＝0,27＋6b＋c＝0，∴b＝－eq\f(3,2)，c＝－18.∴y＝x2－eq\f(9,4)x－6，y′＝2x－eq\f(9,4).当x＞eq\f(9,8)时，y′＞0，∴y＝x2－eq\f(9,4)x－6的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,8)，＋∞)).故选D.9．已知F1(－3,0)，F2(3,0)是椭圆eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1的两个焦点，点P在椭圆上，∠F1PF2＝α.当α＝eq\f(2π,3)时，△F1PF2面积最大，则m＋n的值是()A．41 B．15C．9 D．1解析：选B由S△F1PF2＝eq\f(1,2)|F1F2|·yP＝3yP，知P为短轴端点时，△F1PF2面积最大．此时∠F1PF2＝eq\f(2π,3)，得a＝eq\r(m)＝2eq\r(3)，b＝eq\r(n)＝eq\r(3)，故m＋n＝15.10．已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(\r(2),4) D.eq\f(\r(2),3)解析：选A由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|F1A|－|F2A|＝2a，,|F1A|＝2|F2A|，))解得|F2A|＝2a，|F1A|＝4a，又由已知可得eq\f(c,a)＝2，所以c＝2a，即|F1F2|＝4a，∴cos∠AF2F1＝eq\f(|F2A|2＋|F1F2|2－|F1A|2,2|F2A|·|F1F2|)＝eq\f(4a2＋16a2－16a2,2×2a×4a)＝eq\f(1,4).故选A.11．若不等式2xlnx≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，0) B．(－∞，4]C．(0，＋∞) D．[4，＋∞)解析：选B由2xlnx≥－x2＋ax－3，得a≤2lnx＋x＋eq\f(3,x)，设h(x)＝2lnx＋x＋eq\f(3,x)(x＞0)，则h′(x)＝eq\f(x＋3x－1,x2).当x∈(0,1)时，h′(x)＜0，函数h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，函数h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4.所以a≤h(x)min＝4.故a的取值范围是(－∞，4]．12．定义在R上的函数f(x)满意：f′(x)＞f(x)恒成立，若x1＜x2，则ex1f(x2)与ex2f(x1)的大小关系为()A．ex1f(x2)＞ex2f(x1)B．ex1f(x2)＜ex2(x1)C．ex1f(x2)＝ex2f(x1)D．ex1f(x2)与ex2f(x1)的大小关系不确定解析：选A设g(x)＝eq\f(fx,ex)，则g′(x)＝eq\f(f′xex－fxex′,ex2)＝eq\f(f′x－fx,ex)，由题意g′(x)＞0，所以g(x)单调递增，当x1＜x2时，g(x1)＜g(x2)，即eq\f(fx1,ex1)＜eq\f(fx2,ex2)，所以ex1f(x2)＞ex2f(x1)．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)13．已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________．解析：因为f(x)＝(2x＋1)ex，所以f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex，所以f′(0)＝3e0＝3.答案：314．命题“∃x0∈R,2xeq\o\al(2,0)－3ax0＋9＜0”为假命题，则实数a的取值范围是________．解析：∵∃x0∈R,2xeq\o\al(2,0)－3ax0＋9＜0为假命题，∴∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0为真命题，∴Δ＝9a2－4×2×9≤0，即a2≤8，∴－2eq\r(2)≤a≤2eq\r(2).答案：[－2eq\r(2)，2eq\r(2)]15．若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与抛物线x2＝4y的准线所围成的三角形的面积为2，则该双曲线的离心率为________．解析：依题意，得双曲线的渐近线方程是y＝±eq\f(b,a)x，抛物线的准线方程是y＝－1，因此所围成的三角形的三个顶点坐标分别是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,b)，－1))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)，－1))，(0,0)，该三角形的面积等于2×eq\f(1,2)×eq\f(a,b)×1＝eq\f(a,b)＝2，因此该双曲线的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(5),2).答案：eq\f(\r(5),2)16．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p元，销量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170p－p2，则该商品零售价定为______元时利润最大，利润的最大值为______元．解析：设商场销售该商品所获利润为y元，则y＝(p－20)(8300－170p－p2)＝－p3－150p2＋11700p－166000(p≥20)，则y′＝－3p2－300p＋11700.令y′＝0得p2＋100p－3900＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．则p，y，y′变更关系如下表：p(20,30)30(30，＋∞)y′＋0－y极大值故当p＝30时，y取极大值为23000元．又y＝－p3－150p2＋11700p－166000在[20，＋∞)上只有一个极值，故也是最值．所以该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23000元．答案：3023000三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知命题p：方程eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,m)＝1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：∀x∈R,4x2－4mx＋4m－3≥0.若(綈p)∧q为真，求m的取值范围．解：p真时，m>2.q真时，4x2－4mx＋4m－3≥0在R上恒成立．Δ＝16m2－16(4m－3)≤0，解得1≤m≤3.∵(綈p)∧q为真，∴p假，q真．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≤2，,1≤m≤3，))即1≤m≤2.∴所求m的取值范围为[1,2]．18．(本小题满分12分)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)上一点M(m,4)到其焦点的距离为5.(1)求抛物线C的方程；(2)若过点M的双曲线eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一个顶点为抛物线C的焦点，求该双曲线的渐近线方程．解：(1)由抛物线的定义可得4＋eq\f(p,2)＝5，解得p＝2，所以抛物线C的方程为x2＝4y.(2)把M(m,4)代入x2＝4y可得m＝±4，所以M点的坐标为(±4,4)，∵抛物线x2＝4y的焦点为(0,1)，∴a＝1，∴双曲线的方程为y2－eq\f(x2,b2)＝1(b＞0)，代入M(±4,4)得b2＝eq\f(16,15)，b＝eq\f(4,\r(15))，∴双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(1,\f(4,\r(15)))x，即为y＝±eq\f(\r(15),4)x.19．(本小题满分12分)已知a＜2，函数f(x)＝(x2＋ax＋a)·ex.(1)当a＝1时，求f(x)的单调递增区间；(2)若f(x)的极大值是6e－2，求a的值．解：(1)当a＝1时，f(x)＝(x2＋x＋1)ex，则f′(x)＝(x2＋3x＋2)ex.由f′(x)≥0得x2＋3x＋2≥0，即x≥－1或x≤－2，所以函数的单调递增区间为(－∞，－2]和[－1，＋∞)．(2)f′(x)＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax＋a)ex＝[x2＋(a＋2)x＋2a]ex.由f′(x)＝0得x＝－2或x＝－a，因为a＜2，所以－a＞－2.当x变更时，f′(x)，f(x)的变更状况如表所示：x(－∞，－2)－2(－2，－a)－a(－a，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值微小值所以x＝－2时f(x)取得极大值，即(4－2a＋a)e－2＝6e－2，所以a＝－2.20．(本小题满分12分)已知椭圆C：x2＋2y2＝4.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．解：(1)由题意，得椭圆C的标准方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1，所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.因此a＝2，c＝eq\r(2).故椭圆C的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).(2)设点A，B的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中x0≠0.因为OA⊥OB，所以eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－eq\f(2y0,x0).又xeq\o\al(2,0)＋2yeq\o\al(2,0)＝4，所以|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(2y0,x0)))2＋(y0－2)2＝xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋eq\f(4y\o\al(2,0),x\o\al(2,0))＋4＝xeq\o\al(2,0)＋eq\f(4－x\o\al(