2024高考数学大二轮复习专题8解析几何第1讲基础小题部分增分强化练理

PAGEPAGE1第1讲基础小题部分一、选择题1．已知椭圆的中心在原点，离心率e＝eq\f(1,2)，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则此椭圆方程为 ()A.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 B.eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1C.eq\f(x2,2)＋y2＝1 D.eq\f(x2,4)＋y2＝1解析：依题意，可设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1,0)，所以c＝1，又离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，解得a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，故选A.答案：A2．若椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点F是抛物线y2＝4x的焦点，两曲线的一个交点为P，且|PF|＝4，则该椭圆的离心率为 ()A.eq\f(\r(7)－2,3) B.eq\f(\r(2)＋1,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(1,2)解析：设P(x，y)，由题意，得F(1,0)，因为|PF|＝x＋1＝4，所以x＝3，y2＝12，则eq\f(9,a2)＋eq\f(12,b2)＝1，且a2－1＝b2，解得a2＝11＋4eq\r(7)，即a＝eq\r(7)＋2，则该椭圆的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,\r(7)＋2)＝eq\f(\r(7)－2,3).故选A.答案：A3．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为 ()A.eq\f(x2,5)＋y2＝1B.eq\f(x2,5)＋y2＝1或eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,5)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,5)＝1D．以上答案都不对解析：直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)，由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，∴a2＝5，所求椭圆的标准方程为eq\f(x2,5)＋y2＝1.当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，∴a2＝5，所求椭圆标准方程为eq\f(y2,5)＋eq\f(x2,4)＝1.答案：B4．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4eq\r(2)x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4eq\r(2)，则△POF的面积为 ()A．2 B．2eq\r(2)C．2eq\r(3) D．4解析：由题意知，抛物线的焦点F(eq\r(2)，0)，设P(xP，yP)，结合抛物线的定义及|PF|＝4eq\r(2)，可知xP＝3eq\r(2)，代入抛物线方程求得yP＝2eq\r(6)，所以S△POF＝eq\f(1,2)·|OF|·yP＝2eq\r(3).答案：C5．已知F1，F2是双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝eq\f(1,3)，则E的离心率为 ()A.eq\r(2) B.eq\f(3,2)C.eq\r(3) D．2解析：因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|＝eq\f(b2,a).又sin∠MF2F1＝eq\f(1,3)，所以eq\f(|MF1|,|MF2|)＝eq\f(1,3)，即|MF2|＝3|MF1|.由双曲线的定义得2a＝|MF2|－|MF1|＝2|MF1|＝eq\f(2b2,a)，所以b2＝a2，所以c2＝b2＋a2＝2a2，所以离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2).答案：A6．(2024·高考北京卷)在平面直角坐标系中，记d为点P(cosθ，sinθ)到直线x－my－2＝0的距离．当θ，m改变时，d的最大值为 ()A．1 B．2C．3 D．4解析：由题意可得d＝eq\f(|cosθ－msinθ－2|,\r(m2＋1))＝eq\f(|msinθ－cosθ＋2|,\r(m2＋1))＝eq\f(|\r(m2＋1)\f(m,\r(m2＋1))sinθ－\f(1,\r(m2＋1))cosθ＋2|,\r(m2＋1))＝eq\f(|\r(m2＋1)sinθ－φ＋2|,\r(m2＋1))(其中cosφ＝eq\f(m,\r(m2＋1))，sinφ＝eq\f(1,\r(m2＋1)))，∵－1≤sin(θ－φ)≤1，∴eq\f(|2－\r(m2＋1)|,\r(m2＋1))≤d≤eq\f(\r(m2＋1)＋2,\r(m2＋1))，eq\f(\r(m2＋1)＋2,\r(m2＋1))＝1＋eq\f(2,\r(m2＋1))，∴当m＝0时，d取最大值3，故选C.答案：C7．椭圆C：eq\f(x2,a2)＋y2＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆上异于端点的随意一点，PF1，PF2的中点分别为M，N.O为坐标原点，四边形OMPN的周长为2eq\r(3)，则△PF1F2的周长是 ()A．2(eq\r(2)＋eq\r(3)) B.eq\r(2)＋2eq\r(3)C.eq\r(2)＋eq\r(3) D．4＋2eq\r(3)解析：因为O，M分别为F1F2和PF1的中点，所以OM∥PF2，且|OM|＝eq\f(1,2)|PF2|，同理，ON∥PF1，且|ON|＝eq\f(1,2)|PF1|，所以四边形OMPN为平行四边形，由题意知，|OM|＋|ON|＝eq\r(3)，故|PF1|＋|PF2|＝2eq\r(3)，即2a＝2eq\r(3)，a＝eq\r(3)，由a2＝b2＋c2知c2＝a2－b2＝2，c＝eq\r(2)，所以|F1F2|＝2c＝2eq\r(2)，故△PF1F2的周长为2a＋2c＝2eq\r(3)＋2eq\r(2)，选A.答案：A8．已知O为坐标原点，F是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)解析：如图所示，由题意得A(－a,0)，B(a,0)，F(－c，0)．设E(0，m)，由PF∥OE，得eq\f(|MF|,|OE|)＝eq\f(|AF|,|AO|)，则|MF|＝eq\f(ma－c,a).①又由OE∥MF，得eq\f(\f(1,2)|OE|,|MF|)＝eq\f(|BO|,|BF|)，则|MF|＝eq\f(ma＋c,2a).②由①②得a－c＝eq\f(1,2)(a＋c)，即a＝3c，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,3).故选A.答案：A9．已知点F是抛物线C：y＝ax2(a≠0)的焦点，点A在抛物线C上，则以线段AF为直径的圆与x轴的位置关系是 ()A．相离 B．相交C．相切 D．无法确定解析：抛物线C的标准方程为x2＝eq\f(1,a)y(a≠0)，焦点为F(0，eq\f(1,4a))．过点A作准线y＝－eq\f(1,4a)的垂线，垂足为A1，AA1交x轴于点A2(图略)，依据抛物线的定义得|AA1|＝|AF|.由梯形中位线定理得线段AF的中点到x轴的距离为d＝eq\f(1,2)(|OF|＋|AA2|)＝eq\f(1,2)(eq\f(1,4|a|)＋|AA1|－eq\f(1,4|a|))＝eq\f(1,2)|AF|，故以线段AF为直径的圆与x轴的位置关系是相切，故选C.答案：C10．(2024·高考天津卷)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1 B.eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1 D.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,3)＝1解析：由d1＋d2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b＝3.因为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以eq\f(c,a)＝2，所以eq\f(a2＋b2,a2)＝4，所以eq\f(a2＋9,a2)＝4，解得a2＝3，所以双曲线的方程为eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1，故选C.答案：C11．已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为eq\f(1,2)，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝()A．3 B．6C．9 D．12解析：因为e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，y2＝8x的焦点为(2,0)，所以c＝2，a＝4，故椭圆方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1，将x＝－2代入椭圆方程，解得y＝±3，所以|AB|＝6.答案：B二、填空题12．若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________．解析：由于抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线为x＝－1，设点M的坐标为(x，y)，则x＋1＝10，所以x＝9.故M到y轴的距离是9.答案：913．已知抛物线Γ：y2＝4x的焦点为F，P是Γ的准线上一点，Q是直线PF与Γ的一个交点．若eq\o(PQ,\s\up6(→))＝2eq\o(QF,\s\up6(→))，则直线PF的方程为________________．解析：由抛物线y2＝4x可得焦点坐标为F(1,0)，准线方程为x＝－1，设P(－1，yP)，Q(xQ，yQ)，由eq\o(PQ,\s\up6(→))＝2eq\o(QF,\s\up6(→))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(yQ－yP＝20－yQ，,xQ＋1＝21－xQ，))又因为yeq\o\al(2,Q)＝4xQ，则易知yP＝±2eq\r(3)，即P(－1,2eq\r(3))或P(－1，－2eq\r(3))．当P(－1,2eq\r(3))时，直线PF的方程为eq\r(3)x＋y－eq\r(3)＝0，当P(－1，－2eq\r(3))时，直线PF的方程为eq\r(3)x－y－eq\r(3)＝0，所以直线PF的方程为eq\r(3)x＋y－eq\r(3)＝0或eq\r(3)x－y－eq\r(3)＝0.答案：eq\r(3)x＋y－eq\r(3)＝0或eq\r(3)x－y－eq\r(3)＝014．(2024·高考浙江卷)已知点P(0,1)，椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝m(m>1)上两点A，B满意eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))，则当m＝________时，点B横坐标的肯定值最大．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PB,\s\up6(→))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x1＝2x2，,1－y1＝2y2－1，))即x1＝－2x2，y1＝3－2y2.因为点A，B在椭圆上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4x\o\al(2,2),4)＋3－2y22＝m，,\f(x\o\al(2,2),4)＋y\o\al(2,2)＝m，))得y2＝eq\f(1,4)m＋eq\f(3,4)，所以xeq\o\al(2,2)＝m－(3－2y2)2＝－eq\f(1,4)m2＋eq\f(5,2)m－eq\f(9,4)＝－eq\f(1,4)(m－5)2＋4≤4，所以当m＝5时，点B横坐标的肯定值最大，最大值为2.答案：515．(2024·高考全国卷Ⅲ)已知点M(－1,1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________.解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2